Mục tiêu bài học
- Nhận biết cách đếm phù hợp trong chuyên đề “Bài toán tổng hợp tổ hợp và đếm”.
- Đếm có hệ thống, tránh trùng và tránh bỏ sót.
- Giải được bài nhiều bước bằng quy tắc cộng, quy tắc nhân hoặc chia trường hợp ở mức tiểu học.
Kiến thức cần nhớ
- Quy tắc cộng dùng khi chọn đúng một trong các trường hợp không trùng nhau.
- Quy tắc nhân dùng khi một kết quả được tạo qua nhiều bước liên tiếp.
- Cần xác định rõ có phân biệt thứ tự hay không và có cho phép lặp hay không.
- Nếu phải chia trường hợp, các trường hợp cần không trùng nhau và bao quát hết mọi khả năng.
Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Từ các chữ số 5, 7, 3, 6, 4, lập số chẵn có 4 chữ số, không lặp chữ số. Có bao nhiêu số?
Hướng dẫn giải chi tiết:
Bước 1: Chọn chữ số hàng đơn vị là một chữ số chẵn; sau đó chọn hàng nghìn khác 0 và khác chữ số đã dùng.
Bước 2: Với mỗi lựa chọn, chọn tiếp hàng trăm và hàng chục từ các chữ số còn lại; cộng các trường hợp theo từng chữ số cuối.
Kết luận: Có 48 số.
Ví dụ 2: Từ các chữ số 3, 2, 7, 6, 1, lập số chẵn có 4 chữ số, không lặp chữ số. Có bao nhiêu số?
Hướng dẫn giải chi tiết:
Bước 1: Chọn chữ số hàng đơn vị là một chữ số chẵn; sau đó chọn hàng nghìn khác 0 và khác chữ số đã dùng.
Bước 2: Với mỗi lựa chọn, chọn tiếp hàng trăm và hàng chục từ các chữ số còn lại; cộng các trường hợp theo từng chữ số cuối.
Kết luận: Có 48 số.
Ví dụ 3: Từ các chữ số 4, 5, 6, 0, 8, lập số chẵn có 4 chữ số, không lặp chữ số. Có bao nhiêu số?
Hướng dẫn giải chi tiết:
Bước 1: Chọn chữ số hàng đơn vị là một chữ số chẵn; sau đó chọn hàng nghìn khác 0 và khác chữ số đã dùng.
Bước 2: Với mỗi lựa chọn, chọn tiếp hàng trăm và hàng chục từ các chữ số còn lại; cộng các trường hợp theo từng chữ số cuối.
Kết luận: Có 78 số.
Bài tập áp dụng
Bài 1: Từ các chữ số 4, 7, 6, 3, 2, lập số chẵn có 4 chữ số, không lặp chữ số. Có bao nhiêu số?
Bài 2: Từ các chữ số 4, 0, 7, 2, 5, lập số chẵn có 4 chữ số, không lặp chữ số. Có bao nhiêu số?
Bài 3: Từ các chữ số 5, 1, 3, 8, 9, lập số chẵn có 4 chữ số, không lặp chữ số. Có bao nhiêu số?
Bài 4: Từ 12 học sinh, chọn 4 học sinh vào một nhóm, không phân biệt thứ tự. Có bao nhiêu nhóm có bạn An bắt buộc tham gia? Hãy giải bằng cách lấy tổng số nhóm trừ số nhóm không có An.
Bài 5: Từ 11 học sinh, chọn 4 học sinh vào một nhóm, không phân biệt thứ tự. Có bao nhiêu nhóm có bạn An bắt buộc tham gia? Hãy giải bằng cách lấy tổng số nhóm trừ số nhóm không có An.
Xem lời giải
Bài 1: Từ các chữ số 4, 7, 6, 3, 2, lập số chẵn có 4 chữ số, không lặp chữ số. Có bao nhiêu số?
Lời giải:
Chọn chữ số hàng đơn vị là một chữ số chẵn; sau đó chọn hàng nghìn khác 0 và khác chữ số đã dùng.
Với mỗi lựa chọn, chọn tiếp hàng trăm và hàng chục từ các chữ số còn lại; cộng các trường hợp theo từng chữ số cuối.
Đáp số: Có 72 số.
Bài 2: Từ các chữ số 4, 0, 7, 2, 5, lập số chẵn có 4 chữ số, không lặp chữ số. Có bao nhiêu số?
Lời giải:
Chọn chữ số hàng đơn vị là một chữ số chẵn; sau đó chọn hàng nghìn khác 0 và khác chữ số đã dùng.
Đáp số: Có 60 số.
Bài 3: Từ các chữ số 5, 1, 3, 8, 9, lập số chẵn có 4 chữ số, không lặp chữ số. Có bao nhiêu số?
Lời giải:
Chọn chữ số hàng đơn vị là một chữ số chẵn; sau đó chọn hàng nghìn khác 0 và khác chữ số đã dùng.
Đáp số: Có 24 số.
Bài 4: Từ 12 học sinh, chọn 4 học sinh vào một nhóm, không phân biệt thứ tự. Có bao nhiêu nhóm có bạn An bắt buộc tham gia? Hãy giải bằng cách lấy tổng số nhóm trừ số nhóm không có An.
Lời giải:
Tổng số nhóm là (12×11×10×9):(4×3×2×1)=495.
Số nhóm không có An, tức chọn 4 bạn từ 11 bạn còn lại, là (11×10×9×8):(4×3×2×1)=330.
Đáp số: Số nhóm có An là 495−330=165.
Bài 5: Từ 11 học sinh, chọn 4 học sinh vào một nhóm, không phân biệt thứ tự. Có bao nhiêu nhóm có bạn An bắt buộc tham gia? Hãy giải bằng cách lấy tổng số nhóm trừ số nhóm không có An.
Lời giải:
Tổng số nhóm là (11×10×9×8):(4×3×2×1)=330.
Số nhóm không có An, tức chọn 4 bạn từ 10 bạn còn lại, là (10×9×8×7):(4×3×2×1)=210.
Đáp số: Số nhóm có An là 330−210=120.
Bài tập tự luyện
Bài 1: Từ 11 học sinh, chọn 4 học sinh vào một nhóm, không phân biệt thứ tự. Có bao nhiêu nhóm có bạn An bắt buộc tham gia? Hãy giải bằng cách lấy tổng số nhóm trừ số nhóm không có An.
Bài 2: Có 6 bạn đứng thành một hàng. Tính số cách xếp sao cho An và Bình không đứng cạnh nhau. Trình bày bằng cách lấy tổng số cách xếp trừ số cách hai bạn đứng cạnh nhau.
Bài 3: Có 9 bạn đứng thành một hàng. Tính số cách xếp sao cho An và Bình không đứng cạnh nhau. Trình bày bằng cách lấy tổng số cách xếp trừ số cách hai bạn đứng cạnh nhau.
Bài 4: Có 9 bạn đứng thành một hàng. Tính số cách xếp sao cho An và Bình không đứng cạnh nhau. Trình bày bằng cách lấy tổng số cách xếp trừ số cách hai bạn đứng cạnh nhau.
Bài 5: Trên lưới, từ A đến B phải đi 3 bước sang phải và 8 bước lên trên, không đi lùi. Có bao nhiêu đường đi ngắn nhất?
Bài 6: Trên lưới, từ A đến B phải đi 6 bước sang phải và 8 bước lên trên, không đi lùi. Có bao nhiêu đường đi ngắn nhất?
Bài 7: Trên lưới, từ A đến B phải đi 5 bước sang phải và 4 bước lên trên, không đi lùi. Có bao nhiêu đường đi ngắn nhất?
Bài 8: Có 10 người, mỗi cặp bắt tay đúng một lần. Có bao nhiêu cái bắt tay? Nếu thêm một người thì số bắt tay tăng bao nhiêu?
Bài 9: Có 12 người, mỗi cặp bắt tay đúng một lần. Có bao nhiêu cái bắt tay? Nếu thêm một người thì số bắt tay tăng bao nhiêu?
Bài 10: Có 17 người, mỗi cặp bắt tay đúng một lần. Có bao nhiêu cái bắt tay? Nếu thêm một người thì số bắt tay tăng bao nhiêu?
Bài 11: Tô 9 ô liên tiếp bằng 4 màu, hai ô kề nhau không cùng màu. Có bao nhiêu cách tô tất cả? Nếu màu của ô đầu đã được ấn định thì còn bao nhiêu cách?
Bài 12: Tô 7 ô liên tiếp bằng 4 màu, hai ô kề nhau không cùng màu. Có bao nhiêu cách tô tất cả? Nếu màu của ô đầu đã được ấn định thì còn bao nhiêu cách?
Xem lời giải bài tập tự luyện
Bài 1: Từ 11 học sinh, chọn 4 học sinh vào một nhóm, không phân biệt thứ tự. Có bao nhiêu nhóm có bạn An bắt buộc tham gia? Hãy giải bằng cách lấy tổng số nhóm trừ số nhóm không có An.
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Tổng số nhóm là (11×10×9×8):(4×3×2×1)=330.
Bước 2: Số nhóm không có An, tức chọn 4 bạn từ 10 bạn còn lại, là (10×9×8×7):(4×3×2×1)=210.
Đáp số: Số nhóm có An là 330−210=120.
Bài 2: Có 6 bạn đứng thành một hàng. Tính số cách xếp sao cho An và Bình không đứng cạnh nhau. Trình bày bằng cách lấy tổng số cách xếp trừ số cách hai bạn đứng cạnh nhau.
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Tổng số cách xếp là 6×5×4×3×2×1=720.
Bước 2: Gộp An và Bình thành một khối: có 5 đối tượng, xếp được 5×4×3×2×1=120 cách; trong khối có 2 thứ tự nên có 240 cách đứng cạnh nhau.
Đáp số: Số cách không đứng cạnh nhau là 720−240=480.
Bài 3: Có 9 bạn đứng thành một hàng. Tính số cách xếp sao cho An và Bình không đứng cạnh nhau. Trình bày bằng cách lấy tổng số cách xếp trừ số cách hai bạn đứng cạnh nhau.
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Tổng số cách xếp là 9×8×7×6×5×4×3×2×1=362 880.
Bước 2: Gộp An và Bình thành một khối: có 8 đối tượng, xếp được 8×7×6×5×4×3×2×1=40 320 cách; trong khối có 2 thứ tự nên có 80 640 cách đứng cạnh nhau.
Đáp số: Số cách không đứng cạnh nhau là 362 880−80 640=282 240.
Bài 4: Có 9 bạn đứng thành một hàng. Tính số cách xếp sao cho An và Bình không đứng cạnh nhau. Trình bày bằng cách lấy tổng số cách xếp trừ số cách hai bạn đứng cạnh nhau.
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Tổng số cách xếp là 9×8×7×6×5×4×3×2×1=362 880.
Bước 2: Gộp An và Bình thành một khối: có 8 đối tượng, xếp được 8×7×6×5×4×3×2×1=40 320 cách; trong khối có 2 thứ tự nên có 80 640 cách đứng cạnh nhau.
Đáp số: Số cách không đứng cạnh nhau là 362 880−80 640=282 240.
Bài 5: Trên lưới, từ A đến B phải đi 3 bước sang phải và 8 bước lên trên, không đi lùi. Có bao nhiêu đường đi ngắn nhất?
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Mỗi đường ngắn nhất gồm 11 bước, trong đó chọn vị trí cho 3 bước sang phải (các bước còn lại là đi lên).
Bước 2: Số cách chọn là 11×10×…×9 : (3×…×1).
Đáp số: Có 165 đường đi.
Bài 6: Trên lưới, từ A đến B phải đi 6 bước sang phải và 8 bước lên trên, không đi lùi. Có bao nhiêu đường đi ngắn nhất?
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Mỗi đường ngắn nhất gồm 14 bước, trong đó chọn vị trí cho 6 bước sang phải (các bước còn lại là đi lên).
Bước 2: Số cách chọn là 14×13×…×9 : (6×…×1).
Đáp số: Có 3003 đường đi.
Bài 7: Trên lưới, từ A đến B phải đi 5 bước sang phải và 4 bước lên trên, không đi lùi. Có bao nhiêu đường đi ngắn nhất?
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Mỗi đường ngắn nhất gồm 9 bước, trong đó chọn vị trí cho 5 bước sang phải (các bước còn lại là đi lên).
Bước 2: Số cách chọn là 9×8×…×5 : (5×…×1).
Đáp số: Có 126 đường đi.
Bài 8: Có 10 người, mỗi cặp bắt tay đúng một lần. Có bao nhiêu cái bắt tay? Nếu thêm một người thì số bắt tay tăng bao nhiêu?
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Mỗi người bắt tay 9 người, được 10×9 lượt đếm; mỗi cái bắt tay bị đếm hai lần.
Bước 2: Số bắt tay = 10×9:2=45.
Đáp số: Thêm một người, người đó bắt tay với 10 người cũ nên tăng 10 cái.
Bài 9: Có 12 người, mỗi cặp bắt tay đúng một lần. Có bao nhiêu cái bắt tay? Nếu thêm một người thì số bắt tay tăng bao nhiêu?
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Mỗi người bắt tay 11 người, được 12×11 lượt đếm; mỗi cái bắt tay bị đếm hai lần.
Bước 2: Số bắt tay = 12×11:2=66.
Đáp số: Thêm một người, người đó bắt tay với 12 người cũ nên tăng 12 cái.
Bài 10: Có 17 người, mỗi cặp bắt tay đúng một lần. Có bao nhiêu cái bắt tay? Nếu thêm một người thì số bắt tay tăng bao nhiêu?
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Mỗi người bắt tay 16 người, được 17×16 lượt đếm; mỗi cái bắt tay bị đếm hai lần.
Bước 2: Số bắt tay = 17×16:2=136.
Đáp số: Thêm một người, người đó bắt tay với 17 người cũ nên tăng 17 cái.
Bài 11: Tô 9 ô liên tiếp bằng 4 màu, hai ô kề nhau không cùng màu. Có bao nhiêu cách tô tất cả? Nếu màu của ô đầu đã được ấn định thì còn bao nhiêu cách?
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Ô đầu có 4 cách; mỗi ô tiếp theo có 3 cách vì phải khác ô ngay trước.
Bước 2: Tổng số cách là 4×3×3×3×3×3×3×3×3=26 244.
Đáp số: Khi màu ô đầu đã ấn định, chỉ còn 8 ô cần chọn: 3×3×3×3×3×3×3×3=6 561 cách.
Bài 12: Tô 7 ô liên tiếp bằng 4 màu, hai ô kề nhau không cùng màu. Có bao nhiêu cách tô tất cả? Nếu màu của ô đầu đã được ấn định thì còn bao nhiêu cách?
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Ô đầu có 4 cách; mỗi ô tiếp theo có 3 cách vì phải khác ô ngay trước.
Bước 2: Tổng số cách là 4×3×3×3×3×3×3=2 916.
Đáp số: Khi màu ô đầu đã ấn định, chỉ còn 6 ô cần chọn: 3×3×3×3×3×3=729 cách.
Bài 13: Có 8 bạn đứng thành một hàng. Tính số cách xếp sao cho An và Bình không đứng cạnh nhau.
Lời giải
Tổng số cách xếp là 8×7×6×5×4×3×2×1 = 40 320. Gộp An và Bình thành một khối thì có 7 đối tượng, xếp được 7×6×5×4×3×2×1 = 5 040 cách; trong khối có 2 thứ tự nên có 10 080 cách đứng cạnh nhau. Vậy số cách không đứng cạnh nhau là 40 320 − 10 080 = 30 240 cách.
Bài 14: Trên lưới, từ A đến B phải đi 4 bước sang phải và 3 bước lên trên, không đi lùi. Có bao nhiêu đường đi ngắn nhất?
Lời giải
Mỗi đường ngắn nhất gồm 7 bước, chỉ cần chọn 4 vị trí cho các bước sang phải. Số cách là (7×6×5×4):(4×3×2×1) = 35 đường.
Bài 15: Tô 6 ô liên tiếp bằng 3 màu, hai ô kề nhau không được cùng màu. Có bao nhiêu cách tô?
Lời giải
Ô đầu có 3 cách chọn màu. Mỗi ô sau có 2 cách vì phải khác ô ngay trước. Số cách là 3×2×2×2×2×2 = 96 cách.
Ghi nhớ
- Quy tắc cộng dùng khi chọn đúng một trong các trường hợp không trùng nhau.
- Quy tắc nhân dùng khi một kết quả được tạo qua nhiều bước liên tiếp.
- Cần xác định rõ có phân biệt thứ tự hay không và có cho phép lặp hay không.