Bài toán tổng hợp tổ hợp và đếm
Chuyên đề nâng cao bài toán tổng hợp tổ hợp và đếm với phương pháp chọn lọc, 20 bài toán phân loại và lời giải đầy đủ từng bước dành cho học sinh ôn thi vào lớp 6 CLC.
Mục tiêu bài học
- Nhận biết và xử lí các biến đổi nâng cao của dạng Bài toán tổng hợp tổ hợp và đếm.
- Biết phân tích dữ kiện ẩn, lựa chọn phương pháp ngắn gọn và kiểm tra kết quả.
- Trình bày lời giải đầy đủ từng bước theo ngôn ngữ Toán tiểu học, không dùng kiến thức thuần THCS.
Kiến thức cần nhớ
- Quy tắc cộng dùng cho các trường hợp loại trừ nhau; quy tắc nhân dùng cho các bước liên tiếp.
- Cần xác định rõ có phân biệt thứ tự hay không và có cho phép lặp hay không.
- Chia trường hợp sao cho các trường hợp không trùng và bao quát hết khả năng.
- Trọng tâm là nhận đúng dữ kiện đặc trưng của dạng “Bài toán tổng hợp tổ hợp và đếm” và chọn phép tính phù hợp.
- Nên trình bày theo thứ tự: tóm tắt, lập luận, phép tính, kết luận.
Ví dụ minh họa
Phương pháp chung
- Đọc kĩ đề, gạch dưới dữ kiện và xác định chính xác yêu cầu cuối cùng.
- Ta chia quá trình lựa chọn thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Cần bảo đảm mỗi kết quả được đếm đúng một lần.
- Trình bày từng kết quả trung gian, giải thích ý nghĩa của phép tính và kiểm tra lại kết luận.
Ví dụ 1: Từ các chữ số 5, 7, 3, 6, 4, lập số chẵn có 4 chữ số, không lặp chữ số. Có bao nhiêu số?
Hướng dẫn giải chi tiết:
Phân tích đề: Ta chia quá trình lựa chọn thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Cần bảo đảm mỗi kết quả được đếm đúng một lần.
Bước 1: Chọn chữ số hàng đơn vị là một chữ số chẵn; sau đó chọn hàng nghìn khác 0 và khác chữ số đã dùng. Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.
Vì sao làm như vậy: Khi mỗi lựa chọn ở bước trước ghép được với tất cả lựa chọn ở bước sau, số cách được tính bằng phép nhân.
Bước 2: Với mỗi lựa chọn, chọn tiếp hàng trăm và hàng chục từ các chữ số còn lại; cộng các trường hợp theo từng chữ số cuối. Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.
Vì sao làm như vậy: Khi chia thành các trường hợp riêng biệt, ta tính từng trường hợp rồi cộng, đồng thời loại những cách vi phạm điều kiện.
Ý nghĩa của kết quả: Kết quả phải là số tự nhiên và phản ánh đúng các điều kiện không lặp, không trùng hoặc không được phép.
Kết luận: Có 48 số.
Kiểm tra: Liệt kê thử một trường hợp nhỏ hoặc đếm theo cách khác để phát hiện đếm thiếu, đếm thừa.
Ví dụ 2: Từ các chữ số 3, 2, 7, 6, 1, lập số chẵn có 4 chữ số, không lặp chữ số. Có bao nhiêu số?
Hướng dẫn giải chi tiết:
Phân tích đề: Ta chia quá trình lựa chọn thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Cần bảo đảm mỗi kết quả được đếm đúng một lần.
Bước 1: Chọn chữ số hàng đơn vị là một chữ số chẵn; sau đó chọn hàng nghìn khác 0 và khác chữ số đã dùng. Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.
Vì sao làm như vậy: Khi mỗi lựa chọn ở bước trước ghép được với tất cả lựa chọn ở bước sau, số cách được tính bằng phép nhân.
Bước 2: Với mỗi lựa chọn, chọn tiếp hàng trăm và hàng chục từ các chữ số còn lại; cộng các trường hợp theo từng chữ số cuối. Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.
Vì sao làm như vậy: Khi chia thành các trường hợp riêng biệt, ta tính từng trường hợp rồi cộng, đồng thời loại những cách vi phạm điều kiện.
Ý nghĩa của kết quả: Kết quả phải là số tự nhiên và phản ánh đúng các điều kiện không lặp, không trùng hoặc không được phép.
Kết luận: Có 48 số.
Kiểm tra: Liệt kê thử một trường hợp nhỏ hoặc đếm theo cách khác để phát hiện đếm thiếu, đếm thừa.
Ví dụ 3: Từ các chữ số 4, 5, 6, 0, 8, lập số chẵn có 4 chữ số, không lặp chữ số. Có bao nhiêu số?
Hướng dẫn giải chi tiết:
Phân tích đề: Ta chia quá trình lựa chọn thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Cần bảo đảm mỗi kết quả được đếm đúng một lần.
Bước 1: Chọn chữ số hàng đơn vị là một chữ số chẵn; sau đó chọn hàng nghìn khác 0 và khác chữ số đã dùng. Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.
Vì sao làm như vậy: Khi mỗi lựa chọn ở bước trước ghép được với tất cả lựa chọn ở bước sau, số cách được tính bằng phép nhân.
Bước 2: Với mỗi lựa chọn, chọn tiếp hàng trăm và hàng chục từ các chữ số còn lại; cộng các trường hợp theo từng chữ số cuối. Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.
Vì sao làm như vậy: Khi chia thành các trường hợp riêng biệt, ta tính từng trường hợp rồi cộng, đồng thời loại những cách vi phạm điều kiện.
Ý nghĩa của kết quả: Kết quả phải là số tự nhiên và phản ánh đúng các điều kiện không lặp, không trùng hoặc không được phép.
Kết luận: Có 78 số.
Kiểm tra: Liệt kê thử một trường hợp nhỏ hoặc đếm theo cách khác để phát hiện đếm thiếu, đếm thừa.
Bài tập áp dụng
Bài 1: Từ các chữ số 4, 7, 6, 3, 2, lập số chẵn có 4 chữ số, không lặp chữ số. Có bao nhiêu số?
Bài 2: Từ các chữ số 4, 0, 7, 2, 5, lập số chẵn có 4 chữ số, không lặp chữ số. Có bao nhiêu số?
Bài 3: Từ các chữ số 5, 1, 3, 8, 9, lập số chẵn có 4 chữ số, không lặp chữ số. Có bao nhiêu số?
Bài 4: Từ 12 học sinh, chọn 4 học sinh vào một nhóm, không phân biệt thứ tự. Có bao nhiêu nhóm có bạn An bắt buộc tham gia? Hãy giải bằng cách lấy tổng số nhóm trừ số nhóm không có An.
Bài 5: Từ 11 học sinh, chọn 4 học sinh vào một nhóm, không phân biệt thứ tự. Có bao nhiêu nhóm có bạn An bắt buộc tham gia? Hãy giải bằng cách lấy tổng số nhóm trừ số nhóm không có An.
Xem lời giải
Bài 1: Từ các chữ số 4, 7, 6, 3, 2, lập số chẵn có 4 chữ số, không lặp chữ số. Có bao nhiêu số?
Lời giải:
Trước hết, ta chia việc chọn thành từng bước hoặc từng trường hợp, xác định số lựa chọn ở mỗi phần và tránh đếm trùng.
Chọn chữ số hàng đơn vị là một chữ số chẵn; sau đó chọn hàng nghìn khác 0 và khác chữ số đã dùng.
Mỗi lựa chọn của phần này ghép được với các lựa chọn phù hợp của phần sau, nên ta nhân số cách tương ứng.
Với mỗi lựa chọn, chọn tiếp hàng trăm và hàng chục từ các chữ số còn lại; cộng các trường hợp theo từng chữ số cuối.
Nếu có điều kiện cấm hoặc lặp, ta loại các cách không hợp lệ trước khi cộng các trường hợp.
Từ các kết quả trên, ta trả lời đầy đủ yêu cầu của bài toán và ghi đáp số kèm đơn vị (nếu có).
Đáp số: Có 72 số.
Bài 2: Từ các chữ số 4, 0, 7, 2, 5, lập số chẵn có 4 chữ số, không lặp chữ số. Có bao nhiêu số?
Lời giải:
Trước hết, ta chia việc chọn thành từng bước hoặc từng trường hợp, xác định số lựa chọn ở mỗi phần và tránh đếm trùng.
Chọn chữ số hàng đơn vị là một chữ số chẵn; sau đó chọn hàng nghìn khác 0 và khác chữ số đã dùng.
Mỗi lựa chọn của phần này ghép được với các lựa chọn phù hợp của phần sau, nên ta nhân số cách tương ứng.
Với mỗi lựa chọn, chọn tiếp hàng trăm và hàng chục từ các chữ số còn lại; cộng các trường hợp theo từng chữ số cuối.
Nếu có điều kiện cấm hoặc lặp, ta loại các cách không hợp lệ trước khi cộng các trường hợp.
Từ các kết quả trên, ta trả lời đầy đủ yêu cầu của bài toán và ghi đáp số kèm đơn vị (nếu có).
Đáp số: Có 60 số.
Bài 3: Từ các chữ số 5, 1, 3, 8, 9, lập số chẵn có 4 chữ số, không lặp chữ số. Có bao nhiêu số?
Lời giải:
Trước hết, ta chia việc chọn thành từng bước hoặc từng trường hợp, xác định số lựa chọn ở mỗi phần và tránh đếm trùng.
Chọn chữ số hàng đơn vị là một chữ số chẵn; sau đó chọn hàng nghìn khác 0 và khác chữ số đã dùng.
Mỗi lựa chọn của phần này ghép được với các lựa chọn phù hợp của phần sau, nên ta nhân số cách tương ứng.
Với mỗi lựa chọn, chọn tiếp hàng trăm và hàng chục từ các chữ số còn lại; cộng các trường hợp theo từng chữ số cuối.
Nếu có điều kiện cấm hoặc lặp, ta loại các cách không hợp lệ trước khi cộng các trường hợp.
Từ các kết quả trên, ta trả lời đầy đủ yêu cầu của bài toán và ghi đáp số kèm đơn vị (nếu có).
Đáp số: Có 24 số.
Bài 4: Từ 12 học sinh, chọn 4 học sinh vào một nhóm, không phân biệt thứ tự. Có bao nhiêu nhóm có bạn An bắt buộc tham gia? Hãy giải bằng cách lấy tổng số nhóm trừ số nhóm không có An.
Lời giải:
Trước hết, ta chia việc chọn thành từng bước hoặc từng trường hợp, xác định số lựa chọn ở mỗi phần và tránh đếm trùng.
Tổng số nhóm là (12×11×10×9):(4×3×2×1)=495.
Mỗi lựa chọn của phần này ghép được với các lựa chọn phù hợp của phần sau, nên ta nhân số cách tương ứng.
Số nhóm không có An, tức chọn 4 bạn từ 11 bạn còn lại, là (11×10×9×8):(4×3×2×1)=330.
Nếu có điều kiện cấm hoặc lặp, ta loại các cách không hợp lệ trước khi cộng các trường hợp.
Từ các kết quả trên, ta trả lời đầy đủ yêu cầu của bài toán và ghi đáp số kèm đơn vị (nếu có).
Đáp số: Số nhóm có An là 495−330=165.
Bài 5: Từ 11 học sinh, chọn 4 học sinh vào một nhóm, không phân biệt thứ tự. Có bao nhiêu nhóm có bạn An bắt buộc tham gia? Hãy giải bằng cách lấy tổng số nhóm trừ số nhóm không có An.
Lời giải:
Trước hết, ta chia việc chọn thành từng bước hoặc từng trường hợp, xác định số lựa chọn ở mỗi phần và tránh đếm trùng.
Tổng số nhóm là (11×10×9×8):(4×3×2×1)=330.
Mỗi lựa chọn của phần này ghép được với các lựa chọn phù hợp của phần sau, nên ta nhân số cách tương ứng.
Số nhóm không có An, tức chọn 4 bạn từ 10 bạn còn lại, là (10×9×8×7):(4×3×2×1)=210.
Nếu có điều kiện cấm hoặc lặp, ta loại các cách không hợp lệ trước khi cộng các trường hợp.
Từ các kết quả trên, ta trả lời đầy đủ yêu cầu của bài toán và ghi đáp số kèm đơn vị (nếu có).
Đáp số: Số nhóm có An là 330−210=120.
Bài tập tự luyện
Bài 1: Từ 11 học sinh, chọn 4 học sinh vào một nhóm, không phân biệt thứ tự. Có bao nhiêu nhóm có bạn An bắt buộc tham gia? Hãy giải bằng cách lấy tổng số nhóm trừ số nhóm không có An. (Bộ dữ liệu 3)
Bài 2: Có 6 bạn đứng thành một hàng. Tính số cách xếp sao cho An và Bình không đứng cạnh nhau. Trình bày bằng cách lấy tổng số cách xếp trừ số cách hai bạn đứng cạnh nhau.
Bài 3: Có 9 bạn đứng thành một hàng. Tính số cách xếp sao cho An và Bình không đứng cạnh nhau. Trình bày bằng cách lấy tổng số cách xếp trừ số cách hai bạn đứng cạnh nhau.
Bài 4: Có 9 bạn đứng thành một hàng. Tính số cách xếp sao cho An và Bình không đứng cạnh nhau. Trình bày bằng cách lấy tổng số cách xếp trừ số cách hai bạn đứng cạnh nhau. (Bộ dữ liệu 3)
Bài 5: Trên lưới, từ A đến B phải đi 3 bước sang phải và 8 bước lên trên, không đi lùi. Có bao nhiêu đường đi ngắn nhất?
Bài 6: Trên lưới, từ A đến B phải đi 6 bước sang phải và 8 bước lên trên, không đi lùi. Có bao nhiêu đường đi ngắn nhất?
Bài 7: Trên lưới, từ A đến B phải đi 5 bước sang phải và 4 bước lên trên, không đi lùi. Có bao nhiêu đường đi ngắn nhất?
Bài 8: Có 10 người, mỗi cặp bắt tay đúng một lần. Có bao nhiêu cái bắt tay? Nếu thêm một người thì số bắt tay tăng bao nhiêu?
Bài 9: Có 12 người, mỗi cặp bắt tay đúng một lần. Có bao nhiêu cái bắt tay? Nếu thêm một người thì số bắt tay tăng bao nhiêu?
Bài 10: Có 17 người, mỗi cặp bắt tay đúng một lần. Có bao nhiêu cái bắt tay? Nếu thêm một người thì số bắt tay tăng bao nhiêu?
Bài 11: Tô 9 ô liên tiếp bằng 4 màu, hai ô kề nhau không cùng màu. Có bao nhiêu cách tô tất cả? Nếu màu của ô đầu đã được ấn định thì còn bao nhiêu cách?
Bài 12: Tô 7 ô liên tiếp bằng 4 màu, hai ô kề nhau không cùng màu. Có bao nhiêu cách tô tất cả? Nếu màu của ô đầu đã được ấn định thì còn bao nhiêu cách?
Xem lời giải bài tập tự luyện
Bài 1: Từ 11 học sinh, chọn 4 học sinh vào một nhóm, không phân biệt thứ tự. Có bao nhiêu nhóm có bạn An bắt buộc tham gia? Hãy giải bằng cách lấy tổng số nhóm trừ số nhóm không có An. (Bộ dữ liệu 3)
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Tổng số nhóm là (11×10×9×8):(4×3×2×1)=330. Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.
Bước 2: Số nhóm không có An, tức chọn 4 bạn từ 10 bạn còn lại, là (10×9×8×7):(4×3×2×1)=210. Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.
Đáp số: Số nhóm có An là 330−210=120.
Kiểm tra: Đối chiếu trường hợp vừa tìm với từng điều kiện của đề. Nếu không có điều kiện nào bị vi phạm và các trường hợp đã được xét không trùng nhau, kết quả được chấp nhận.
Bài 2: Có 6 bạn đứng thành một hàng. Tính số cách xếp sao cho An và Bình không đứng cạnh nhau. Trình bày bằng cách lấy tổng số cách xếp trừ số cách hai bạn đứng cạnh nhau.
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Tổng số cách xếp là 6×5×4×3×2×1=720. Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.
Bước 2: Gộp An và Bình thành một khối: có 5 đối tượng, xếp được 5×4×3×2×1=120 cách; trong khối có 2 thứ tự nên có 240 cách đứng cạnh nhau. Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.
Đáp số: Số cách không đứng cạnh nhau là 720−240=480.
Kiểm tra: Đối chiếu trường hợp vừa tìm với từng điều kiện của đề. Nếu không có điều kiện nào bị vi phạm và các trường hợp đã được xét không trùng nhau, kết quả được chấp nhận.
Bài 3: Có 9 bạn đứng thành một hàng. Tính số cách xếp sao cho An và Bình không đứng cạnh nhau. Trình bày bằng cách lấy tổng số cách xếp trừ số cách hai bạn đứng cạnh nhau.
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Tổng số cách xếp là 9×8×7×6×5×4×3×2×1=362 880. Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.
Bước 2: Gộp An và Bình thành một khối: có 8 đối tượng, xếp được 8×7×6×5×4×3×2×1=40 320 cách; trong khối có 2 thứ tự nên có 80 640 cách đứng cạnh nhau. Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.
Đáp số: Số cách không đứng cạnh nhau là 362 880−80 640=282 240.
Kiểm tra: Đối chiếu trường hợp vừa tìm với từng điều kiện của đề. Nếu không có điều kiện nào bị vi phạm và các trường hợp đã được xét không trùng nhau, kết quả được chấp nhận.
Bài 4: Có 9 bạn đứng thành một hàng. Tính số cách xếp sao cho An và Bình không đứng cạnh nhau. Trình bày bằng cách lấy tổng số cách xếp trừ số cách hai bạn đứng cạnh nhau. (Bộ dữ liệu 3)
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Tổng số cách xếp là 9×8×7×6×5×4×3×2×1=362 880. Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.
Bước 2: Gộp An và Bình thành một khối: có 8 đối tượng, xếp được 8×7×6×5×4×3×2×1=40 320 cách; trong khối có 2 thứ tự nên có 80 640 cách đứng cạnh nhau. Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.
Đáp số: Số cách không đứng cạnh nhau là 362 880−80 640=282 240.
Kiểm tra: Đối chiếu trường hợp vừa tìm với từng điều kiện của đề. Nếu không có điều kiện nào bị vi phạm và các trường hợp đã được xét không trùng nhau, kết quả được chấp nhận.
Bài 5: Trên lưới, từ A đến B phải đi 3 bước sang phải và 8 bước lên trên, không đi lùi. Có bao nhiêu đường đi ngắn nhất?
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Mỗi đường ngắn nhất gồm 11 bước, trong đó chọn vị trí cho 3 bước sang phải (các bước còn lại là đi lên). Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.
Bước 2: Số cách chọn là 11×10×...×9 : (3×...×1). Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.
Đáp số: Có 165 đường đi.
Kiểm tra: Đối chiếu trường hợp vừa tìm với từng điều kiện của đề. Nếu không có điều kiện nào bị vi phạm và các trường hợp đã được xét không trùng nhau, kết quả được chấp nhận.
Bài 6: Trên lưới, từ A đến B phải đi 6 bước sang phải và 8 bước lên trên, không đi lùi. Có bao nhiêu đường đi ngắn nhất?
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Mỗi đường ngắn nhất gồm 14 bước, trong đó chọn vị trí cho 6 bước sang phải (các bước còn lại là đi lên). Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.
Bước 2: Số cách chọn là 14×13×...×9 : (6×...×1). Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.
Đáp số: Có 3003 đường đi.
Kiểm tra: Đối chiếu trường hợp vừa tìm với từng điều kiện của đề. Nếu không có điều kiện nào bị vi phạm và các trường hợp đã được xét không trùng nhau, kết quả được chấp nhận.
Bài 7: Trên lưới, từ A đến B phải đi 5 bước sang phải và 4 bước lên trên, không đi lùi. Có bao nhiêu đường đi ngắn nhất?
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Mỗi đường ngắn nhất gồm 9 bước, trong đó chọn vị trí cho 5 bước sang phải (các bước còn lại là đi lên). Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.
Bước 2: Số cách chọn là 9×8×...×5 : (5×...×1). Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.
Đáp số: Có 126 đường đi.
Kiểm tra: Đối chiếu trường hợp vừa tìm với từng điều kiện của đề. Nếu không có điều kiện nào bị vi phạm và các trường hợp đã được xét không trùng nhau, kết quả được chấp nhận.
Bài 8: Có 10 người, mỗi cặp bắt tay đúng một lần. Có bao nhiêu cái bắt tay? Nếu thêm một người thì số bắt tay tăng bao nhiêu?
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Mỗi người bắt tay 9 người, được 10×9 lượt đếm; mỗi cái bắt tay bị đếm hai lần. Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.
Bước 2: Số bắt tay = 10×9:2=45. Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.
Đáp số: Thêm một người, người đó bắt tay với 10 người cũ nên tăng 10 cái.
Kiểm tra: Đối chiếu trường hợp vừa tìm với từng điều kiện của đề. Nếu không có điều kiện nào bị vi phạm và các trường hợp đã được xét không trùng nhau, kết quả được chấp nhận.
Bài 9: Có 12 người, mỗi cặp bắt tay đúng một lần. Có bao nhiêu cái bắt tay? Nếu thêm một người thì số bắt tay tăng bao nhiêu?
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Mỗi người bắt tay 11 người, được 12×11 lượt đếm; mỗi cái bắt tay bị đếm hai lần. Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.
Bước 2: Số bắt tay = 12×11:2=66. Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.
Đáp số: Thêm một người, người đó bắt tay với 12 người cũ nên tăng 12 cái.
Kiểm tra: Đối chiếu trường hợp vừa tìm với từng điều kiện của đề. Nếu không có điều kiện nào bị vi phạm và các trường hợp đã được xét không trùng nhau, kết quả được chấp nhận.
Bài 10: Có 17 người, mỗi cặp bắt tay đúng một lần. Có bao nhiêu cái bắt tay? Nếu thêm một người thì số bắt tay tăng bao nhiêu?
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Mỗi người bắt tay 16 người, được 17×16 lượt đếm; mỗi cái bắt tay bị đếm hai lần. Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.
Bước 2: Số bắt tay = 17×16:2=136. Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.
Đáp số: Thêm một người, người đó bắt tay với 17 người cũ nên tăng 17 cái.
Kiểm tra: Đối chiếu trường hợp vừa tìm với từng điều kiện của đề. Nếu không có điều kiện nào bị vi phạm và các trường hợp đã được xét không trùng nhau, kết quả được chấp nhận.
Bài 11: Tô 9 ô liên tiếp bằng 4 màu, hai ô kề nhau không cùng màu. Có bao nhiêu cách tô tất cả? Nếu màu của ô đầu đã được ấn định thì còn bao nhiêu cách?
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Ô đầu có 4 cách; mỗi ô tiếp theo có 3 cách vì phải khác ô ngay trước. Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.
Bước 2: Tổng số cách là 4×3×3×3×3×3×3×3×3=26 244. Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.
Đáp số: Khi màu ô đầu đã ấn định, chỉ còn 8 ô cần chọn: 3×3×3×3×3×3×3×3=6 561 cách.
Kiểm tra: Đối chiếu trường hợp vừa tìm với từng điều kiện của đề. Nếu không có điều kiện nào bị vi phạm và các trường hợp đã được xét không trùng nhau, kết quả được chấp nhận.
Bài 12: Tô 7 ô liên tiếp bằng 4 màu, hai ô kề nhau không cùng màu. Có bao nhiêu cách tô tất cả? Nếu màu của ô đầu đã được ấn định thì còn bao nhiêu cách?
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Ô đầu có 4 cách; mỗi ô tiếp theo có 3 cách vì phải khác ô ngay trước. Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.
Bước 2: Tổng số cách là 4×3×3×3×3×3×3=2 916. Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.
Đáp số: Khi màu ô đầu đã ấn định, chỉ còn 6 ô cần chọn: 3×3×3×3×3×3=729 cách.
Kiểm tra: Đối chiếu trường hợp vừa tìm với từng điều kiện của đề. Nếu không có điều kiện nào bị vi phạm và các trường hợp đã được xét không trùng nhau, kết quả được chấp nhận.
Ghi nhớ và tự kiểm tra
- Trọng tâm của bài là nhận ra cấu trúc ẩn trong dạng Bài toán tổng hợp tổ hợp và đếm.
- Không làm theo phép tính máy móc; cần giải thích vì sao chọn cách làm.
- Mọi đáp số phải được kiểm tra lại với toàn bộ dữ kiện của đề.
Câu hỏi tự kiểm tra
- Em có tách được từng điều kiện và xác định thứ tự xử lí không?
- Em có trình bày đủ các kết quả trung gian không?
- Em có kiểm tra lại đáp số bằng điều kiện ban đầu hoặc một cách khác không?