Đề bài
Phần I. Trắc nghiệm
Chọn đáp án đúng nhất cho mỗi câu.
Câu 1: Từ các số tự nhiên 1, 2, 3, …, 65, có bao nhiêu cặp số khác nhau có tổng bằng 63?
Câu 2: Hai hộp có số bi theo tỉ số 4:7. Chuyển 5 viên từ hộp thứ nhất sang hộp thứ hai thì tỉ số mới là 87:166. Hỏi ban đầu hộp thứ nhất có bao nhiêu viên bi?
Câu 3: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất lớn hơn 33, biết rằng chia cho 5 dư 4 và chia cho 7 dư 6.
Câu 4: Tìm chữ số tận cùng của tổng gồm tích thứ nhất có 17 thừa số đều bằng 8 và tích thứ hai có 17 thừa số đều bằng 9.
Câu 5: Có bao nhiêu số tự nhiên từ 100 đến 787 vừa chia cho 8 dư 3, vừa chia cho 9 dư 2?
Câu 6: Trên lưới 4 cột, 3 hàng, đi từ góc dưới trái đến góc trên phải chỉ bằng bước sang phải hoặc đi lên. Có bao nhiêu đường đi ngắn nhất đi qua điểm lưới cách góc xuất phát 1 bước sang phải và 2 bước đi lên?
Câu 7: Một hộp có nhiều viên bi thuộc 5 màu, mỗi màu đều có đủ bi. Không nhìn vào hộp, cần lấy ít nhất bao nhiêu viên để chắc chắn có 5 viên cùng màu?
Câu 8: Chèn chữ số 4 vào giữa hai chữ số của một số có hai chữ số thì số mới lớn hơn số cũ 130. Biết tổng hai chữ số của số cũ bằng 2. Tìm số ban đầu.
Phần II. Tự luận
Trình bày đầy đủ cách làm và nêu rõ lập luận ở các bài phân loại.
Bài 1: Viết liên tiếp dãy chữ số 285628562856… theo chu kì. Chữ số ở vị trí thứ 1 998 là chữ số nào?
Bài 2: Viết liên tiếp các số tự nhiên từ 1 đến 129. Chữ số 4 xuất hiện bao nhiêu lần?
Bài 3: (Phân loại) Nhóm A có 6 bạn, điểm trung bình là 7; nhóm B có 3 bạn, điểm trung bình là 10. Tính điểm trung bình của cả hai nhóm.
Bài 4: (Phân loại) Một khu đất hình chữ nhật trên bản đồ tỉ lệ 1:25 000 có chiều dài 8 cm, chiều rộng 3 cm. Diện tích thực tế của khu đất là bao nhiêu héc-ta?
Bài 5: (Phân loại) Một lưới hình chữ nhật có 4 cột và 3 hàng ô vuông đơn vị. Có tất cả bao nhiêu hình chữ nhật có cạnh nằm trên các đường lưới?
Đáp án và lời giải chi tiết
Câu 1: D
Số bé trong cặp phải nhỏ hơn 63:2 và số lớn không vượt quá 65. Liệt kê theo thứ tự từ cặp đầu 1 + 62 đến cặp cuối 31 + 32, mỗi lần số bé tăng 1 thì số lớn giảm 1. Có tất cả 31 cặp.
Đáp số: 31
Câu 2: B
Tổng số bi không đổi. Quy hai tỉ số về cùng một tổng số phần: trước khi chuyển, hộp thứ nhất ứng với 4 × 253 = 1012 phần; sau khi chuyển ứng với 87 × 11 = 957 phần. 5 viên tương ứng 1012 − 957 = 55 phần theo cách quy đổi này. Tổng số bi ứng với 11 × 253 = 2783 phần nên tổng số bi là 5 × 2783 : 55 = 253. Hộp thứ nhất ban đầu có 253 × 4 : 11 = 92 viên.
Đáp số: 92
Câu 3: A
Các số lớn hơn 33 chia cho 5 dư 4 lần lượt là 34. Kiểm tra theo thứ tự với phép chia cho 7, số đầu tiên dư 6 là 34.
Đáp số: 34
Câu 4: B
Xét chu kì chữ số tận cùng khi nhân liên tiếp với 8 và với 9. Dựa vào vị trí 17 trong các chu kì, chữ số tận cùng của hai tích lần lượt là 8 và 9. Vì vậy chữ số tận cùng của tổng là 7.
Đáp số: 7
Câu 5: B
Xét lần lượt các số chia cho 8 dư 3, số đầu tiên trong khoảng đồng thời chia cho 9 dư 2 là 155. Nếu cộng thêm 8 × 9 = 72, cả hai số dư đều được giữ nguyên. Vì vậy các số cần tìm tạo thành dãy cách nhau 72 đơn vị. Số lượng là (787 − 155) : 72 lấy phần nguyên rồi cộng 1, được 9 số.
Đáp số: 9
Câu 6: C
Từ điểm xuất phát đến điểm bắt buộc cần 1 bước sang phải và 2 bước đi lên; sắp xếp các bước đó có 3 cách. Từ điểm bắt buộc đến đích có 3 bước sang phải và 1 bước đi lên; sắp xếp có 4 cách. Mỗi cách ở đoạn đầu ghép với mỗi cách ở đoạn sau, nên có 3 × 4 = 12 đường đi.
Đáp số: 12
Câu 7: A
Để vẫn chưa có 5 viên cùng màu, nhiều nhất mỗi màu chỉ lấy được 4 viên. Khi đó có thể lấy 5 × 4 = 20 viên. Lấy thêm 1 viên chắc chắn có 5 viên cùng màu. Vậy cần 21 viên.
Đáp số: 21
Câu 8: A
Khi chèn 4 vào giữa, chữ số hàng chục cũ chuyển sang hàng trăm nên phần tăng do chữ số đó là 90 lần chữ số hàng chục; chữ số 4 mới góp thêm 40. Ta có phần tăng còn lại: 130 − 40 = 90, nên chữ số hàng chục là 1. Chữ số hàng đơn vị là 2 − 1 = 1. Số ban đầu là 11.
Đáp số: 11
Bài 1:
Mỗi chu kì có 4 chữ số. Chia 1 998 cho 4 được số dư 2. Vì dư 2 nên vị trí cần tìm là chữ số thứ 2 trong chu kì. Chữ số đó là 8.
Đáp số: 8
Bài 2:
Đếm theo vị trí: ở hàng đơn vị, chữ số 4 xuất hiện 13 lần; ở hàng chục xuất hiện 10 lần; ở hàng trăm xuất hiện 0 lần. Tổng cộng 13 + 10 + 0 = 23 lần.
Đáp số: 23
Bài 3:
Tổng điểm nhóm A là 6 × 7 = 42; nhóm B là 3 × 10 = 30. Cả hai nhóm có 9 bạn và tổng điểm 72. Điểm trung bình chung là 72 : 9 = 8.
Đáp số: 8
Bài 4:
Chiều dài thực tế: 8 × 25 000 = 200 000 cm = 2 000 m. Chiều rộng thực tế: 3 × 25 000 = 75 000 cm = 750 m. Diện tích là 1 500 000 m² = 150 ha.
Đáp số: 150
Bài 5:
Có 5 đường thẳng đứng và 4 đường ngang. Chọn 2 đường đứng để làm hai cạnh bên: có 10 cách; chọn 2 đường ngang để làm cạnh trên và dưới: có 6 cách. Mỗi lựa chọn tạo đúng một hình chữ nhật, nên có 10 × 6 = 60 hình chữ nhật.
Đáp số: 60