Đề bài
Phần I. Trắc nghiệm
Chọn đáp án đúng nhất cho mỗi câu.
Câu 1: Một hộp có nhiều viên bi thuộc 7 màu, mỗi màu đều có đủ bi. Không nhìn vào hộp, cần lấy ít nhất bao nhiêu viên để chắc chắn có 3 viên cùng màu?
Câu 2: Một lưới hình chữ nhật có 5 cột và 3 hàng ô vuông đơn vị. Có tất cả bao nhiêu hình chữ nhật có cạnh nằm trên các đường lưới?
Câu 3: Từ các số tự nhiên 1, 2, 3, …, 40, có bao nhiêu cặp số khác nhau có tổng bằng 35?
Câu 4: Hai hộp có số bi theo tỉ số 5:8. Chuyển 10 viên từ hộp thứ nhất sang hộp thứ hai thì tỉ số mới là 155:274. Hỏi ban đầu hộp thứ nhất có bao nhiêu viên bi?
Câu 5: Một số có ba chữ số, chữ số hàng chục là 9, tổng ba chữ số bằng 17. Khi viết các chữ số theo thứ tự ngược lại, số ban đầu lớn hơn số mới 198. Tìm số ban đầu.
Câu 6: Từ các chữ số 0, 8, 9, 6, 3, lập các số chẵn có bốn chữ số, các chữ số không lặp. Có bao nhiêu số như vậy?
Câu 7: Tìm số tự nhiên cần cộng vào cả tử số và mẫu số của phân số 1120 để được phân số 1726.
Câu 8: Một số được tăng 40% rồi giảm 10% trên giá trị mới thì được 1 008. Tìm số ban đầu.
Phần II. Tự luận
Trình bày đầy đủ cách làm và nêu rõ lập luận ở các bài phân loại.
Bài 1: Viết liên tiếp các số tự nhiên từ 1 đến 79. Chữ số 8 xuất hiện bao nhiêu lần?
Bài 2: Một hình chữ nhật có chiều dài lớn hơn chiều rộng. Cắt ở một đầu một hình vuông có cạnh bằng chiều rộng của hình chữ nhật thì phần còn lại là hình chữ nhật có chu vi 42 cm và chiều dài phần còn lại ngắn hơn chiều rộng ban đầu 5 cm. Tính diện tích hình chữ nhật ban đầu.
Bài 3: (Phân loại) Có bao nhiêu số tự nhiên từ 114 đến 588 vừa chia cho 8 dư 6, vừa chia cho 9 dư 7?
Bài 4: (Phân loại) Nhóm A có 4 bạn, điểm trung bình là 10; nhóm B có 6 bạn, điểm trung bình là 5. Tính điểm trung bình của cả hai nhóm.
Bài 5: (Phân loại) Trên lưới 4 cột, 3 hàng, đi từ góc dưới trái đến góc trên phải chỉ bằng bước sang phải hoặc đi lên. Có bao nhiêu đường đi ngắn nhất đi qua điểm lưới cách góc xuất phát 1 bước sang phải và 1 bước đi lên?
Đáp án và lời giải chi tiết
Câu 1: A
Để vẫn chưa có 3 viên cùng màu, nhiều nhất mỗi màu chỉ lấy được 2 viên. Khi đó có thể lấy 7 × 2 = 14 viên. Lấy thêm 1 viên chắc chắn có 3 viên cùng màu. Vậy cần 15 viên.
Đáp số: 15
Câu 2: D
Có 6 đường thẳng đứng và 4 đường ngang. Chọn 2 đường đứng để làm hai cạnh bên: có 15 cách; chọn 2 đường ngang để làm cạnh trên và dưới: có 6 cách. Mỗi lựa chọn tạo đúng một hình chữ nhật, nên có 15 × 6 = 90 hình chữ nhật.
Đáp số: 90
Câu 3: A
Số bé trong cặp phải nhỏ hơn 35:2 và số lớn không vượt quá 40. Liệt kê theo thứ tự từ cặp đầu 1 + 34 đến cặp cuối 17 + 18, mỗi lần số bé tăng 1 thì số lớn giảm 1. Có tất cả 17 cặp.
Đáp số: 17
Câu 4: D
Tổng số bi không đổi. Quy hai tỉ số về cùng một tổng số phần: trước khi chuyển, hộp thứ nhất ứng với 5 × 429 = 2145 phần; sau khi chuyển ứng với 155 × 13 = 2015 phần. 10 viên tương ứng 2145 − 2015 = 130 phần theo cách quy đổi này. Tổng số bi ứng với 13 × 429 = 5577 phần nên tổng số bi là 10 × 5577 : 130 = 429. Hộp thứ nhất ban đầu có 429 × 5 : 13 = 165 viên.
Đáp số: 165
Câu 5: D
Độ chênh lệch giữa số ban đầu và số viết ngược bằng 99 lần độ chênh lệch giữa chữ số hàng trăm và hàng đơn vị. Vì 198 : 99 = 2, hàng trăm hơn hàng đơn vị 2. Hai chữ số này có tổng 17 − 9 = 8. Suy ra hàng trăm là (8 + 2) : 2 = 5, hàng đơn vị là 3. Số cần tìm là 593.
Đáp số: 593
Câu 6: C
Xét chữ số hàng đơn vị. Nếu hàng đơn vị là 0 thì hàng nghìn có 4 cách chọn, hàng trăm có 3 cách, hàng chục có 2 cách: có 4 × 3 × 2 = 24 số. Có 2 chữ số chẵn khác 0 có thể đứng ở hàng đơn vị; với mỗi chữ số như vậy, hàng nghìn có 3 cách chọn (không chọn 0), hàng trăm có 3 cách và hàng chục có 2 cách, được 3 × 3 × 2 = 18 số. Tổng cộng 24 + 2 × 18 = 60 số.
Đáp số: 60
Câu 7: D
Hiệu giữa mẫu số và tử số ban đầu là 20 − 11 = 9; khi cộng cùng một số vào tử và mẫu thì hiệu này không đổi. Ở phân số mới, hiệu số phần là 26 − 17 = 9 phần, nên 1 phần ứng với 1. Tử số mới là 17 phần, bằng 17. Số cần cộng là 17 − 11 = 6.
Đáp số: 6
Câu 8: C
Sau khi giảm 10%, số còn lại bằng 90% giá trị trước khi giảm. Giá trị trước khi giảm là 1 008 × 100 : 90 = 1 120. Sau khi tăng 40%, giá trị này bằng 140% số ban đầu. Số ban đầu là 1 120 × 100 : 140 = 800.
Đáp số: 800
Bài 1:
Đếm theo vị trí: ở hàng đơn vị, chữ số 8 xuất hiện 8 lần; ở hàng chục xuất hiện 0 lần; ở hàng trăm xuất hiện 0 lần. Tổng cộng 8 + 0 + 0 = 8 lần.
Đáp số: 8
Bài 2:
Phần còn lại có hai kích thước là chiều rộng ban đầu và phần chiều dài còn dư. Nửa chu vi phần còn lại là 42 : 2 = 21 cm, tức tổng hai kích thước bằng 21. Hiệu hai kích thước bằng 5. Suy ra chiều rộng ban đầu là (21 + 5) : 2 = 13 cm; phần dư dài 8 cm. Chiều dài ban đầu là 13 + 8 = 21 cm. Diện tích là 21 × 13 = 273 cm².
Đáp số: 273
Bài 3:
Xét lần lượt các số chia cho 8 dư 6, số đầu tiên trong khoảng đồng thời chia cho 9 dư 7 là 142. Nếu cộng thêm 8 × 9 = 72, cả hai số dư đều được giữ nguyên. Vì vậy các số cần tìm tạo thành dãy cách nhau 72 đơn vị. Số lượng là (588 − 142) : 72 lấy phần nguyên rồi cộng 1, được 7 số.
Đáp số: 7
Bài 4:
Tổng điểm nhóm A là 4 × 10 = 40; nhóm B là 6 × 5 = 30. Cả hai nhóm có 10 bạn và tổng điểm 70. Điểm trung bình chung là 70 : 10 = 7.
Đáp số: 7
Bài 5:
Từ điểm xuất phát đến điểm bắt buộc cần 1 bước sang phải và 1 bước đi lên; sắp xếp các bước đó có 2 cách. Từ điểm bắt buộc đến đích có 3 bước sang phải và 2 bước đi lên; sắp xếp có 10 cách. Mỗi cách ở đoạn đầu ghép với mỗi cách ở đoạn sau, nên có 2 × 10 = 20 đường đi.
Đáp số: 20