Dạng toán đếm các số có thể lập từ một nhóm chữ số thường xuất hiện trong đề ôn thi vào lớp 6 trường chất lượng cao. Bài toán không chỉ yêu cầu học sinh biết sắp xếp chữ số mà còn phải chú ý đến chữ số 0, điều kiện lặp chữ số, tính chẵn lẻ, dấu hiệu chia hết và giới hạn của số cần lập.
Muốn giải chính xác, học sinh nên xác định rõ số cần lập có bao nhiêu chữ số, mỗi chữ số được sử dụng bao nhiêu lần và mỗi vị trí có bao nhiêu cách lựa chọn.
1. Kiến thức cần nhớ
1.1. Chữ số đầu tiên không được bằng 0
Trong một số có nhiều chữ số, chữ số ở hàng cao nhất không thể là 0.
Chẳng hạn, khi lập số có 3 chữ số từ các chữ số 0, 2, 5 và 7 thì chữ số hàng trăm chỉ có thể là 2, 5 hoặc 7.
Các cách viết 025, 052 hoặc 075 không được coi là số có 3 chữ số.
1.2. Quy tắc nhân
Nếu công việc được thực hiện qua nhiều bước liên tiếp thì số cách thực hiện bằng tích số cách lựa chọn ở từng bước.
Ví dụ:
- Hàng trăm có 4 cách chọn.
- Sau khi chọn hàng trăm, hàng chục có 3 cách chọn.
- Sau khi chọn hàng chục, hàng đơn vị có 2 cách chọn.
Số các số lập được là:
4×3×2=24 số.
1.3. Quy tắc cộng
Nếu phải chia bài toán thành nhiều trường hợp riêng biệt và các trường hợp không trùng nhau thì tổng số cần tìm bằng tổng số cách của từng trường hợp.
Ví dụ, khi đếm các số chẵn, có thể chia thành:
- Trường hợp chữ số tận cùng bằng 0.
- Trường hợp chữ số tận cùng là một chữ số chẵn khác 0.
Sau đó cộng kết quả của các trường hợp.
1.4. Phân biệt hai yêu cầu thường gặp
Không lặp lại chữ số: Mỗi chữ số chỉ được sử dụng nhiều nhất một lần trong một số.
Được phép lặp lại chữ số: Một chữ số có thể xuất hiện nhiều lần trong cùng một số.
Hai yêu cầu này cho kết quả rất khác nhau nên phải đọc kỹ đề bài.
2. Các bước giải dạng toán đếm số
Có thể thực hiện theo bốn bước sau:
Bước 1: Xác định số cần lập có bao nhiêu chữ số.
Bước 2: Xác định các chữ số được phép sử dụng và có được lặp lại hay không.
Bước 3: Chọn thứ tự xét các vị trí phù hợp.
- Nếu có chữ số 0, thường xét chữ số đầu tiên trước.
- Nếu cần lập số chẵn, số lẻ hoặc số chia hết cho 5, thường xét chữ số tận cùng trước.
- Nếu số cần lập phải lớn hơn hoặc nhỏ hơn một số cho trước, thường xét từ hàng cao nhất.
Bước 4: Dùng quy tắc nhân trong từng trường hợp và quy tắc cộng giữa các trường hợp.
3. Các dạng toán thường gặp
Dạng 1. Lập số khi không có chữ số 0 và không lặp lại chữ số
Khi nhóm chữ số không có 0, mọi chữ số đều có thể đứng ở vị trí đầu tiên.
Ví dụ 1: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4 và 5, lập được bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau?
Lời giải:
- Hàng trăm có 5 cách chọn.
- Hàng chục có 4 cách chọn trong các chữ số còn lại.
- Hàng đơn vị có 3 cách chọn.
Số các số có 3 chữ số khác nhau lập được là:
5×4×3=60 số.
Đáp số: 60 số.
Dạng 2. Lập số khi có chữ số 0 và không lặp lại chữ số
Phải loại chữ số 0 khi chọn chữ số đầu tiên. Sau khi đã chọn chữ số đầu tiên, chữ số 0 có thể được sử dụng ở các vị trí còn lại.
Ví dụ 2: Từ các chữ số 0, 1, 2, 3 và 4, lập được bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau?
Lời giải:
- Hàng nghìn không thể bằng 0 nên có 4 cách chọn: 1, 2, 3 hoặc 4.
- Hàng trăm có 4 cách chọn trong các chữ số còn lại.
- Hàng chục có 3 cách chọn.
- Hàng đơn vị có 2 cách chọn.
Số các số lập được là:
4×4×3×2=96 số.
Đáp số: 96 số.
Dạng 3. Lập số khi được phép lặp lại chữ số
Khi được phép lặp lại, sau mỗi lần chọn, chữ số vừa chọn vẫn tiếp tục được sử dụng ở vị trí sau.
Ví dụ 3: Từ các chữ số 0, 2, 5 và 7, lập được bao nhiêu số có 4 chữ số nếu các chữ số được phép lặp lại?
Lời giải:
- Hàng nghìn có 3 cách chọn: 2, 5 hoặc 7.
- Mỗi hàng trăm, hàng chục và hàng đơn vị đều có 4 cách chọn.
Số các số lập được là:
3×4×4×4=192 số.
Đáp số: 192 số.
Dạng 4. Đếm các số chẵn hoặc số lẻ
Một số chẵn có chữ số tận cùng là 0, 2, 4, 6 hoặc 8.
Một số lẻ có chữ số tận cùng là 1, 3, 5, 7 hoặc 9.
Khi đề bài yêu cầu lập số chẵn hoặc số lẻ, nên chọn chữ số hàng đơn vị trước.
Ví dụ 4: Từ các chữ số 0, 1, 2, 3 và 4, lập được bao nhiêu số chẵn có 4 chữ số khác nhau?
Lời giải:
Chữ số tận cùng phải là 0, 2 hoặc 4. Ta chia thành hai trường hợp.
Trường hợp 1: Chữ số tận cùng là 0
- Hàng nghìn có 4 cách chọn: 1, 2, 3 hoặc 4.
- Hàng trăm có 3 cách chọn.
- Hàng chục có 2 cách chọn.
Số các số lập được là:
4×3×2=24 số.
Trường hợp 2: Chữ số tận cùng là 2 hoặc 4
- Hàng đơn vị có 2 cách chọn.
- Sau khi chọn hàng đơn vị, hàng nghìn có 3 cách chọn trong các chữ số khác 0 còn lại.
- Hàng trăm có 3 cách chọn.
- Hàng chục có 2 cách chọn.
Số các số lập được là:
2×3×3×2=36 số.
Tổng số các số chẵn là:
24+36=60 số.
Đáp số: 60 số.
Dạng 5. Đếm các số chia hết cho 5
Một số chia hết cho 5 khi chữ số tận cùng là 0 hoặc 5.
Nếu nhóm chữ số có cả 0 và 5, cần xét riêng từng trường hợp vì khi chữ số tận cùng là 0 và khi chữ số tận cùng là 5, số cách chọn chữ số đầu tiên có thể khác nhau.
Ví dụ 5: Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4 và 5, lập được bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau và chia hết cho 5?
Lời giải:
Trường hợp 1: Chữ số tận cùng là 0
- Hàng nghìn có 5 cách chọn: 1, 2, 3, 4 hoặc 5.
- Hàng trăm có 4 cách chọn.
- Hàng chục có 3 cách chọn.
Số các số lập được là:
5×4×3=60 số.
Trường hợp 2: Chữ số tận cùng là 5
- Hàng nghìn không thể bằng 0 hoặc 5 nên có 4 cách chọn.
- Hàng trăm có 4 cách chọn.
- Hàng chục có 3 cách chọn.
Số các số lập được là:
4×4×3=48 số.
Tổng số các số thỏa mãn là:
60+48=108 số.
Đáp số: 108 số.
Dạng 6. Đếm các số nằm trong một khoảng cho trước
Muốn đếm các số lớn hơn hoặc nhỏ hơn một số cho trước, nên xét chữ số ở hàng cao nhất trước.
Ví dụ 6: Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4 và 5, lập được bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau, lớn hơn 3000 và nhỏ hơn 5000?
Lời giải:
Số cần lập lớn hơn 3000 và nhỏ hơn 5000 nên chữ số hàng nghìn chỉ có thể là 3 hoặc 4.
- Hàng nghìn có 2 cách chọn.
- Hàng trăm có 5 cách chọn.
- Hàng chục có 4 cách chọn.
- Hàng đơn vị có 3 cách chọn.
Số các số lập được là:
2×5×4×3=120 số.
Đáp số: 120 số.
Dạng 7. Đếm các số bắt buộc chứa một chữ số
Có thể đếm trực tiếp hoặc sử dụng cách lấy tổng số trừ đi số không chứa chữ số bắt buộc.
Cách lấy phần bù thường ngắn gọn và ít bỏ sót hơn.
Ví dụ 7: Từ các chữ số 0, 1, 2, 3 và 4, lập được bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau và phải chứa chữ số 0?
Lời giải:
Trước hết, đếm tất cả các số có 4 chữ số khác nhau lập từ 0, 1, 2, 3 và 4:
4×4×3×2=96 số.
Nếu không sử dụng chữ số 0 thì phải dùng cả bốn chữ số 1, 2, 3 và 4.
Số các số không chứa chữ số 0 là:
4×3×2×1=24 số.
Số các số phải chứa chữ số 0 là:
96-24=72 số.
Đáp số: 72 số.
Dạng 8. Đếm số thỏa mãn điều kiện về tổng các chữ số
Trước hết, cần tìm các nhóm chữ số có tổng đúng yêu cầu. Sau đó đếm số cách sắp xếp từng nhóm.
Ví dụ 8: Từ các chữ số 0, 1, 2, 3 và 4, lập được bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau và tổng các chữ số bằng 6?
Lời giải:
Các nhóm gồm ba chữ số khác nhau có tổng bằng 6 là:
- 0, 2 và 4.
- 1, 2 và 3.
Với nhóm 0, 2 và 4:
Có tất cả 3×2×1=6 cách sắp xếp.
Trong đó có 2 cách bắt đầu bằng 0 là 024 và 042, không phải số có 3 chữ số.
Vì vậy, nhóm 0, 2 và 4 lập được:
6-2=4 số.
Với nhóm 1, 2 và 3:
Cả ba chữ số đều khác 0 nên lập được:
3×2×1=6 số.
Tổng số các số thỏa mãn là:
4+6=10 số.
Đáp số: 10 số.
Dạng 9. Lập số từ một nhóm có các chữ số giống nhau
Khi nhóm chữ số có các chữ số giống nhau, đổi chỗ hai chữ số giống nhau không tạo thành số mới. Vì vậy, phải loại các cách đếm trùng.
Ví dụ 9: Dùng tất cả các chữ số 0, 0, 1, 2 và 3, lập được bao nhiêu số có 5 chữ số khác nhau?
Lời giải:
Nếu tạm coi hai chữ số 0 là khác nhau thì số cách sắp xếp là:
5×4×3×2×1=120 cách.
Tuy nhiên, đổi chỗ hai chữ số 0 không tạo thành số mới nên số cách sắp xếp khác nhau là:
120:2=60 cách.
Trong đó, các cách có chữ số đầu tiên bằng 0 không tạo thành số có 5 chữ số.
Cố định một chữ số 0 ở đầu, bốn chữ số còn lại 0, 1, 2 và 3 có:
4×3×2×1=24 cách sắp xếp.
Số các số có 5 chữ số lập được là:
60-24=36 số.
Đáp số: 36 số.
4. Những lỗi học sinh thường gặp
4.1. Cho chữ số 0 đứng đầu
Khi chọn chữ số hàng cao nhất, phải loại chữ số 0. Đây là lỗi phổ biến nhất trong dạng toán này.
4.2. Không phân biệt được phép lặp và không được phép lặp
Nếu không được lặp lại, sau mỗi lần chọn, số chữ số còn lại phải giảm đi.
Nếu được phép lặp lại, số cách chọn ở các vị trí sau thường không thay đổi.
4.3. Xét số chẵn nhưng quên trường hợp tận cùng bằng 0
Khi chữ số tận cùng bằng 0, số cách chọn chữ số đầu tiên thường khác trường hợp chữ số tận cùng là 2, 4, 6 hoặc 8.
4.4. Đếm trùng giữa các trường hợp
Các trường hợp được cộng với nhau phải hoàn toàn tách biệt. Một số không được xuất hiện trong hai trường hợp khác nhau.
4.5. Chọn vị trí theo thứ tự chưa hợp lý
- Số chẵn, số lẻ: chọn hàng đơn vị trước.
- Số chia hết cho 5: chọn hàng đơn vị trước.
- Số lớn hơn hoặc nhỏ hơn một số cho trước: chọn hàng cao nhất trước.
- Có chữ số 0: chú ý hàng cao nhất.
- Bắt buộc chứa một chữ số: cân nhắc dùng cách lấy phần bù.
5. Bài tập luyện tập
Mức 1. Cơ bản
Bài 1. Từ các chữ số 1, 2, 3 và 4, lập được bao nhiêu số có 2 chữ số khác nhau?
Bài 2. Từ các chữ số 2, 4, 6 và 8, lập được bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau?
Bài 3. Từ các chữ số 0, 1, 2 và 3, lập được bao nhiêu số có 2 chữ số khác nhau?
Bài 4. Từ các chữ số 0, 2, 4, 6 và 8, lập được bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau?
Bài 5. Từ các chữ số 1, 3 và 5, lập được bao nhiêu số có 4 chữ số nếu các chữ số được phép lặp lại?
Bài 6. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3 và 4, lập được bao nhiêu số có 3 chữ số nếu các chữ số được phép lặp lại?
Mức 2. Vận dụng
Bài 7. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3 và 4, lập được bao nhiêu số chẵn có 3 chữ số khác nhau?
Bài 8. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4 và 5, lập được bao nhiêu số lẻ có 4 chữ số khác nhau?
Bài 9. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4 và 5, lập được bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau và chia hết cho 5?
Bài 10. Từ các chữ số 1, 2, 3, 4 và 5, lập được bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau và lớn hơn 3000?
Bài 11. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4 và 5, lập được bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau, lớn hơn 2000 và nhỏ hơn 5000?
Bài 12. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3 và 4, lập được bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau và chứa chữ số 0?
Mức 3. Nâng cao
Bài 13. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4 và 5, lập được bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau và chứa chữ số 5?
Bài 14. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3 và 4, lập được bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau và tổng các chữ số bằng 6?
Bài 15. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4 và 5, lập được bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau và chia hết cho 3?
6. Đáp án và hướng dẫn
Bài 1.
4×3=12 số.
Đáp án: 12 số.
Bài 2.
4×3×2=24 số.
Đáp án: 24 số.
Bài 3.
Hàng chục có 3 cách chọn, hàng đơn vị có 3 cách chọn.
3×3=9 số.
Đáp án: 9 số.
Bài 4.
Hàng trăm có 4 cách chọn, hàng chục có 4 cách chọn, hàng đơn vị có 3 cách chọn.
4×4×3=48 số.
Đáp án: 48 số.
Bài 5.
Mỗi vị trí đều có 3 cách chọn.
3×3×3×3=81 số.
Đáp án: 81 số.
Bài 6.
Hàng trăm có 4 cách chọn. Hàng chục và hàng đơn vị đều có 5 cách chọn.
4×5×5=100 số.
Đáp án: 100 số.
Bài 7.
- Tận cùng bằng 0: 4×3=12 số.
- Tận cùng bằng 2 hoặc 4: 2×3×3=18 số.
Tổng số là:
12+18=30 số.
Đáp án: 30 số.
Bài 8.
Hàng đơn vị có 3 cách chọn: 1, 3 hoặc 5.
Sau khi chọn hàng đơn vị:
- Hàng nghìn có 4 cách chọn.
- Hàng trăm có 4 cách chọn.
- Hàng chục có 3 cách chọn.
Số các số lập được là:
3×4×4×3=144 số.
Đáp án: 144 số.
Bài 9.
- Tận cùng bằng 0: 5×4=20 số.
- Tận cùng bằng 5: 4×4=16 số.
Tổng số là:
20+16=36 số.
Đáp án: 36 số.
Bài 10.
Số lớn hơn 3000 nên hàng nghìn có thể là 3, 4 hoặc 5.
3×4×3×2=72 số.
Đáp án: 72 số.
Bài 11.
Hàng nghìn có thể là 2, 3 hoặc 4.
3×5×4×3=180 số.
Đáp án: 180 số.
Bài 12.
Tổng số có 4 chữ số khác nhau lập từ 0, 1, 2, 3 và 4 là:
4×4×3×2=96 số.
Số không chứa chữ số 0 là:
4×3×2×1=24 số.
Số phải chứa chữ số 0 là:
96-24=72 số.
Đáp án: 72 số.
Bài 13.
Tổng số có 4 chữ số khác nhau lập từ 0, 1, 2, 3, 4 và 5 là:
5×5×4×3=300 số.
Số không chứa chữ số 5 được lập từ 0, 1, 2, 3 và 4 là:
4×4×3×2=96 số.
Số chứa chữ số 5 là:
300-96=204 số.
Đáp án: 204 số.
Bài 14.
Các nhóm chữ số có tổng bằng 6 là 0, 2, 4 và 1, 2, 3.
- Nhóm 0, 2, 4 lập được 4 số có 3 chữ số.
- Nhóm 1, 2, 3 lập được 6 số.
Tổng số là:
4+6=10 số.
Đáp án: 10 số.
Bài 15.
Chia các chữ số thành ba nhóm theo số dư khi chia cho 3:
- Nhóm thứ nhất: 0 và 3.
- Nhóm thứ hai: 1 và 4.
- Nhóm thứ ba: 2 và 5.
Muốn tổng ba chữ số chia hết cho 3, ta chọn một chữ số từ mỗi nhóm.
Có:
2×2×2=8 nhóm ba chữ số.
Trong đó:
- Có 4 nhóm chứa chữ số 0. Mỗi nhóm lập được 4 số có 3 chữ số nên có 4×4=16 số.
- Có 4 nhóm không chứa chữ số 0. Mỗi nhóm lập được 6 số nên có 4×6=24 số.
Tổng số là:
16+24=40 số.
Đáp án: 40 số.
7. Kinh nghiệm làm bài
Đối với dạng toán đếm số, học sinh không nên viết lần lượt tất cả các số vì dễ thiếu hoặc trùng. Thay vào đó, cần xác định số cách lựa chọn ở từng vị trí.
Trước khi tính, hãy tự trả lời các câu hỏi:
- Số cần lập có bao nhiêu chữ số?
- Chữ số đầu tiên có thể là những chữ số nào?
- Các chữ số có được lặp lại không?
- Có điều kiện về chữ số tận cùng không?
- Có cần chia thành nhiều trường hợp không?
- Các trường hợp đã tách biệt hoàn toàn chưa?
Sau khi tìm được kết quả, nên kiểm tra xem số cách lựa chọn ở các vị trí có giảm đúng khi không được lặp chữ số hay không và đã loại các trường hợp có chữ số 0 đứng đầu chưa.
Góc Hỏi Đáp (0 bình luận)