Bài toán chu kỳ của chữ số tận cùng
Chuyên đề nâng cao bài toán chu kỳ của chữ số tận cùng với phương pháp chọn lọc, 20 bài toán phân loại và lời giải đầy đủ từng bước dành cho học sinh ôn thi vào lớp 6 CLC.
Mục tiêu bài học
- Nhận biết và xử lí các biến đổi nâng cao của dạng Bài toán chu kỳ của chữ số tận cùng.
- Biết phân tích dữ kiện ẩn, lựa chọn phương pháp ngắn gọn và kiểm tra kết quả.
- Trình bày lời giải đầy đủ từng bước theo ngôn ngữ Toán tiểu học, không dùng kiến thức thuần THCS.
Kiến thức cần nhớ
- Khi nhân liên tiếp nhiều thừa số giống nhau, chữ số tận cùng thường lặp lại theo một quy luật.
- Với thừa số 2, các chữ số tận cùng lần lượt là 2, 4, 8, 6 rồi lặp lại.
- Với thừa số 3, các chữ số tận cùng lần lượt là 3, 9, 7, 1 rồi lặp lại.
- Với thừa số 7, các chữ số tận cùng lần lượt là 7, 9, 3, 1 rồi lặp lại.
- Với thừa số 8, các chữ số tận cùng lần lượt là 8, 4, 2, 6 rồi lặp lại.
- Chia số thừa số cho 4; dựa vào số dư để xác định vị trí trong dãy lặp.
Ví dụ minh họa
Phương pháp chung
- Chỉ tìm chữ số tận cùng của từng tích; không cần tính toàn bộ các tích rất lớn.
- Viết chu kì chữ số tận cùng của mỗi thừa số, chia số lượng thừa số cho độ dài chu kì và dùng số dư để xác định vị trí.
- Cộng các chữ số tận cùng vừa tìm rồi lấy chữ số tận cùng của tổng.
Ví dụ 1: Tìm chữ số tận cùng của tổng gồm: tích thứ nhất có 24 thừa số đều bằng 8, và tích thứ hai có 15 thừa số đều bằng 4.
Hướng dẫn giải chi tiết:
Ta chỉ cần tìm chữ số tận cùng của mỗi tích, không cần tính toàn bộ tích vì các số đó rất lớn.
Bước 1: Tìm chữ số tận cùng của tích thứ nhất:
Quan sát chữ số tận cùng khi nhân liên tiếp với 8:
- 8 → chữ số tận cùng là 8
- 8 × 8 → chữ số tận cùng là 4
- 8 × 8 × 8 → chữ số tận cùng là 2
- 8 × 8 × 8 × 8 → chữ số tận cùng là 6
Các chữ số tận cùng lặp lại theo chu kì: 8; 4; 2; 6; …
Chu kì gồm 4 số.
Ta có: 24 : 4 = 6 dư 0.
Vì phép chia không dư, chữ số tận cùng cần tìm là số đứng cuối chu kì, tức là 6.
Bước 2: Tìm chữ số tận cùng của tích thứ hai:
Quan sát chữ số tận cùng khi nhân liên tiếp với 4:
- 4 → chữ số tận cùng là 4
- 4 × 4 → chữ số tận cùng là 6
Các chữ số tận cùng lặp lại theo chu kì: 4; 6; …
Chu kì gồm 2 số.
Ta có: 15 : 2 = 7 dư 1.
Vì phép chia dư 1, chữ số tận cùng cần tìm là số đứng thứ 1 trong chu kì, tức là 4.
Kết luận: Chữ số tận cùng của tổng là chữ số tận cùng của 6 + 4 = 10, tức là 0.
Đáp số: 0.
Ví dụ 2: Tìm chữ số tận cùng của tổng gồm: tích thứ nhất có 41 thừa số đều bằng 2, và tích thứ hai có 24 thừa số đều bằng 5.
Hướng dẫn giải chi tiết:
Ta chỉ cần tìm chữ số tận cùng của mỗi tích, không cần tính toàn bộ tích vì các số đó rất lớn.
Bước 1: Tìm chữ số tận cùng của tích thứ nhất:
Quan sát chữ số tận cùng khi nhân liên tiếp với 2:
- 2 → chữ số tận cùng là 2
- 2 × 2 → chữ số tận cùng là 4
- 2 × 2 × 2 → chữ số tận cùng là 8
- 2 × 2 × 2 × 2 → chữ số tận cùng là 6
Các chữ số tận cùng lặp lại theo chu kì: 2; 4; 8; 6; …
Chu kì gồm 4 số.
Ta có: 41 : 4 = 10 dư 1.
Vì phép chia dư 1, chữ số tận cùng cần tìm là số đứng thứ 1 trong chu kì, tức là 2.
Bước 2: Tìm chữ số tận cùng của tích thứ hai:
Quan sát chữ số tận cùng khi nhân liên tiếp với 5:
- 5 → chữ số tận cùng là 5
Các chữ số tận cùng lặp lại theo chu kì: 5; …
Chu kì gồm 1 số.
Ta có: 24 : 1 = 24 dư 0.
Vì phép chia không dư, chữ số tận cùng cần tìm là số đứng cuối chu kì, tức là 5.
Kết luận: Chữ số tận cùng của tổng là chữ số tận cùng của 2 + 5 = 7, tức là 7.
Đáp số: 7.
Ví dụ 3: Tìm chữ số tận cùng của tổng gồm: tích thứ nhất có 53 thừa số đều bằng 6, và tích thứ hai có 21 thừa số đều bằng 8.
Hướng dẫn giải chi tiết:
Ta chỉ cần tìm chữ số tận cùng của mỗi tích, không cần tính toàn bộ tích vì các số đó rất lớn.
Bước 1: Tìm chữ số tận cùng của tích thứ nhất:
Quan sát chữ số tận cùng khi nhân liên tiếp với 6:
- 6 → chữ số tận cùng là 6
Các chữ số tận cùng lặp lại theo chu kì: 6; …
Chu kì gồm 1 số.
Ta có: 53 : 1 = 53 dư 0.
Vì phép chia không dư, chữ số tận cùng cần tìm là số đứng cuối chu kì, tức là 6.
Bước 2: Tìm chữ số tận cùng của tích thứ hai:
Quan sát chữ số tận cùng khi nhân liên tiếp với 8:
- 8 → chữ số tận cùng là 8
- 8 × 8 → chữ số tận cùng là 4
- 8 × 8 × 8 → chữ số tận cùng là 2
- 8 × 8 × 8 × 8 → chữ số tận cùng là 6
Các chữ số tận cùng lặp lại theo chu kì: 8; 4; 2; 6; …
Chu kì gồm 4 số.
Ta có: 21 : 4 = 5 dư 1.
Vì phép chia dư 1, chữ số tận cùng cần tìm là số đứng thứ 1 trong chu kì, tức là 8.
Kết luận: Chữ số tận cùng của tổng là chữ số tận cùng của 6 + 8 = 14, tức là 4.
Đáp số: 4.
Bài tập áp dụng
Bài 1: Tìm chữ số tận cùng của tổng gồm: tích thứ nhất có 59 thừa số đều bằng 8, và tích thứ hai có 35 thừa số đều bằng 4.
Bài 2: Tìm chữ số tận cùng của tổng gồm: tích thứ nhất có 19 thừa số đều bằng 8, và tích thứ hai có 26 thừa số đều bằng 3.
Bài 3: Tìm chữ số tận cùng của tổng gồm: tích thứ nhất có 26 thừa số đều bằng 5, và tích thứ hai có 51 thừa số đều bằng 3.
Bài 4: Tìm chữ số tận cùng của tổng gồm: tích thứ nhất có 40 thừa số đều bằng 8, và tích thứ hai có 25 thừa số đều bằng 4.
Bài 5: Tìm chữ số tận cùng của tổng gồm: tích thứ nhất có 26 thừa số đều bằng 2, và tích thứ hai có 30 thừa số đều bằng 6.
Xem lời giải
Bài 1: Tìm chữ số tận cùng của tổng gồm: tích thứ nhất có 59 thừa số đều bằng 8, và tích thứ hai có 35 thừa số đều bằng 4.
Lời giải:
Ta chỉ cần tìm chữ số tận cùng của mỗi tích, không cần tính toàn bộ tích vì các số đó rất lớn.
Xét tích thứ nhất:
Quan sát chữ số tận cùng khi nhân liên tiếp với 8:
- 8 → chữ số tận cùng là 8
- 8 × 8 → chữ số tận cùng là 4
- 8 × 8 × 8 → chữ số tận cùng là 2
- 8 × 8 × 8 × 8 → chữ số tận cùng là 6
Các chữ số tận cùng lặp lại theo chu kì: 8; 4; 2; 6; …
Chu kì gồm 4 số.
Ta có: 59 : 4 = 14 dư 3.
Vì phép chia dư 3, chữ số tận cùng cần tìm là số đứng thứ 3 trong chu kì, tức là 2.
Xét tích thứ hai:
Quan sát chữ số tận cùng khi nhân liên tiếp với 4:
- 4 → chữ số tận cùng là 4
- 4 × 4 → chữ số tận cùng là 6
Các chữ số tận cùng lặp lại theo chu kì: 4; 6; …
Chu kì gồm 2 số.
Ta có: 35 : 2 = 17 dư 1.
Vì phép chia dư 1, chữ số tận cùng cần tìm là số đứng thứ 1 trong chu kì, tức là 4.
Vậy chữ số tận cùng của tổng là chữ số tận cùng của 2 + 4 = 6, tức là 6.
Đáp số: 6.
Bài 2: Tìm chữ số tận cùng của tổng gồm: tích thứ nhất có 19 thừa số đều bằng 8, và tích thứ hai có 26 thừa số đều bằng 3.
Lời giải:
Ta chỉ cần tìm chữ số tận cùng của mỗi tích, không cần tính toàn bộ tích vì các số đó rất lớn.
Xét tích thứ nhất:
Quan sát chữ số tận cùng khi nhân liên tiếp với 8:
- 8 → chữ số tận cùng là 8
- 8 × 8 → chữ số tận cùng là 4
- 8 × 8 × 8 → chữ số tận cùng là 2
- 8 × 8 × 8 × 8 → chữ số tận cùng là 6
Các chữ số tận cùng lặp lại theo chu kì: 8; 4; 2; 6; …
Chu kì gồm 4 số.
Ta có: 19 : 4 = 4 dư 3.
Vì phép chia dư 3, chữ số tận cùng cần tìm là số đứng thứ 3 trong chu kì, tức là 2.
Xét tích thứ hai:
Quan sát chữ số tận cùng khi nhân liên tiếp với 3:
- 3 → chữ số tận cùng là 3
- 3 × 3 → chữ số tận cùng là 9
- 3 × 3 × 3 → chữ số tận cùng là 7
- 3 × 3 × 3 × 3 → chữ số tận cùng là 1
Các chữ số tận cùng lặp lại theo chu kì: 3; 9; 7; 1; …
Chu kì gồm 4 số.
Ta có: 26 : 4 = 6 dư 2.
Vì phép chia dư 2, chữ số tận cùng cần tìm là số đứng thứ 2 trong chu kì, tức là 9.
Vậy chữ số tận cùng của tổng là chữ số tận cùng của 2 + 9 = 11, tức là 1.
Đáp số: 1.
Bài 3: Tìm chữ số tận cùng của tổng gồm: tích thứ nhất có 26 thừa số đều bằng 5, và tích thứ hai có 51 thừa số đều bằng 3.
Lời giải:
Ta chỉ cần tìm chữ số tận cùng của mỗi tích, không cần tính toàn bộ tích vì các số đó rất lớn.
Xét tích thứ nhất:
Quan sát chữ số tận cùng khi nhân liên tiếp với 5:
- 5 → chữ số tận cùng là 5
Các chữ số tận cùng lặp lại theo chu kì: 5; …
Chu kì gồm 1 số.
Ta có: 26 : 1 = 26 dư 0.
Vì phép chia không dư, chữ số tận cùng cần tìm là số đứng cuối chu kì, tức là 5.
Xét tích thứ hai:
Quan sát chữ số tận cùng khi nhân liên tiếp với 3:
- 3 → chữ số tận cùng là 3
- 3 × 3 → chữ số tận cùng là 9
- 3 × 3 × 3 → chữ số tận cùng là 7
- 3 × 3 × 3 × 3 → chữ số tận cùng là 1
Các chữ số tận cùng lặp lại theo chu kì: 3; 9; 7; 1; …
Chu kì gồm 4 số.
Ta có: 51 : 4 = 12 dư 3.
Vì phép chia dư 3, chữ số tận cùng cần tìm là số đứng thứ 3 trong chu kì, tức là 7.
Vậy chữ số tận cùng của tổng là chữ số tận cùng của 5 + 7 = 12, tức là 2.
Đáp số: 2.
Bài 4: Tìm chữ số tận cùng của tổng gồm: tích thứ nhất có 40 thừa số đều bằng 8, và tích thứ hai có 25 thừa số đều bằng 4.
Lời giải:
Ta chỉ cần tìm chữ số tận cùng của mỗi tích, không cần tính toàn bộ tích vì các số đó rất lớn.
Xét tích thứ nhất:
Quan sát chữ số tận cùng khi nhân liên tiếp với 8:
- 8 → chữ số tận cùng là 8
- 8 × 8 → chữ số tận cùng là 4
- 8 × 8 × 8 → chữ số tận cùng là 2
- 8 × 8 × 8 × 8 → chữ số tận cùng là 6
Các chữ số tận cùng lặp lại theo chu kì: 8; 4; 2; 6; …
Chu kì gồm 4 số.
Ta có: 40 : 4 = 10 dư 0.
Vì phép chia không dư, chữ số tận cùng cần tìm là số đứng cuối chu kì, tức là 6.
Xét tích thứ hai:
Quan sát chữ số tận cùng khi nhân liên tiếp với 4:
- 4 → chữ số tận cùng là 4
- 4 × 4 → chữ số tận cùng là 6
Các chữ số tận cùng lặp lại theo chu kì: 4; 6; …
Chu kì gồm 2 số.
Ta có: 25 : 2 = 12 dư 1.
Vì phép chia dư 1, chữ số tận cùng cần tìm là số đứng thứ 1 trong chu kì, tức là 4.
Vậy chữ số tận cùng của tổng là chữ số tận cùng của 6 + 4 = 10, tức là 0.
Đáp số: 0.
Bài 5: Tìm chữ số tận cùng của tổng gồm: tích thứ nhất có 26 thừa số đều bằng 2, và tích thứ hai có 30 thừa số đều bằng 6.
Lời giải:
Ta chỉ cần tìm chữ số tận cùng của mỗi tích, không cần tính toàn bộ tích vì các số đó rất lớn.
Xét tích thứ nhất:
Quan sát chữ số tận cùng khi nhân liên tiếp với 2:
- 2 → chữ số tận cùng là 2
- 2 × 2 → chữ số tận cùng là 4
- 2 × 2 × 2 → chữ số tận cùng là 8
- 2 × 2 × 2 × 2 → chữ số tận cùng là 6
Các chữ số tận cùng lặp lại theo chu kì: 2; 4; 8; 6; …
Chu kì gồm 4 số.
Ta có: 26 : 4 = 6 dư 2.
Vì phép chia dư 2, chữ số tận cùng cần tìm là số đứng thứ 2 trong chu kì, tức là 4.
Xét tích thứ hai:
Quan sát chữ số tận cùng khi nhân liên tiếp với 6:
- 6 → chữ số tận cùng là 6
Các chữ số tận cùng lặp lại theo chu kì: 6; …
Chu kì gồm 1 số.
Ta có: 30 : 1 = 30 dư 0.
Vì phép chia không dư, chữ số tận cùng cần tìm là số đứng cuối chu kì, tức là 6.
Vậy chữ số tận cùng của tổng là chữ số tận cùng của 4 + 6 = 10, tức là 0.
Đáp số: 0.
Bài tập tự luyện
Bài 1: Tìm chữ số tận cùng của tổng gồm: tích thứ nhất có 41 thừa số đều bằng 9, và tích thứ hai có 46 thừa số đều bằng 6.
Bài 2: Tìm chữ số tận cùng của tổng gồm: tích thứ nhất có 30 thừa số đều bằng 5, và tích thứ hai có 49 thừa số đều bằng 3.
Bài 3: Tìm chữ số tận cùng của tổng gồm: tích thứ nhất có 44 thừa số đều bằng 3, và tích thứ hai có 42 thừa số đều bằng 2.
Bài 4: Tìm chữ số tận cùng của tổng gồm: tích thứ nhất có 38 thừa số đều bằng 8, và tích thứ hai có 29 thừa số đều bằng 9.
Bài 5: Tìm chữ số tận cùng của tổng gồm: tích thứ nhất có 43 thừa số đều bằng 7, và tích thứ hai có 12 thừa số đều bằng 8.
Bài 6: Tìm chữ số tận cùng của tổng gồm: tích thứ nhất có 17 thừa số đều bằng 5, và tích thứ hai có 30 thừa số đều bằng 2.
Bài 7: Tìm chữ số tận cùng của tổng gồm: tích thứ nhất có 53 thừa số đều bằng 2, và tích thứ hai có 25 thừa số đều bằng 4.
Bài 8: Tìm chữ số tận cùng của tổng gồm: tích thứ nhất có 33 thừa số đều bằng 4, và tích thứ hai có 33 thừa số đều bằng 4.
Bài 9: Tìm chữ số tận cùng của tổng gồm: tích thứ nhất có 26 thừa số đều bằng 9, và tích thứ hai có 13 thừa số đều bằng 7.
Bài 10: Tìm chữ số tận cùng của tổng gồm: tích thứ nhất có 54 thừa số đều bằng 4, và tích thứ hai có 18 thừa số đều bằng 6.
Bài 11: Tìm chữ số tận cùng của tổng gồm: tích thứ nhất có 31 thừa số đều bằng 2, và tích thứ hai có 31 thừa số đều bằng 4.
Bài 12: Tìm chữ số tận cùng của tổng gồm: tích thứ nhất có 41 thừa số đều bằng 2, và tích thứ hai có 18 thừa số đều bằng 3.
Xem lời giải bài tập tự luyện
Bài 1: Tìm chữ số tận cùng của tổng gồm: tích thứ nhất có 41 thừa số đều bằng 9, và tích thứ hai có 46 thừa số đều bằng 6.
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Lập chu kì chữ số tận cùng khi nhân liên tiếp với 9; dựa vào 41 để xác định chữ số tận cùng của tích thứ nhất là 9. Ta giữ đúng quan hệ: số bị chia bằng số chia nhân thương cộng số dư, trong đó số dư nhỏ hơn số chia. Mỗi số tìm được phải được thử lại với tất cả điều kiện chia hết hoặc số dư của đề.
Bước 2: Tương tự với 6 và 46, chữ số tận cùng của tích thứ hai là 6. Ta giữ đúng quan hệ: số bị chia bằng số chia nhân thương cộng số dư, trong đó số dư nhỏ hơn số chia. Mỗi số tìm được phải được thử lại với tất cả điều kiện chia hết hoặc số dư của đề.
Đáp số: Chữ số tận cùng của tổng là chữ số tận cùng của 9+6=15, tức 5.
Kiểm tra: Cuối cùng, thay kết quả vào các điều kiện ban đầu hoặc thực hiện phép tính ngược. Nếu tất cả dữ kiện đều được thỏa mãn thì lời giải và đáp số là hợp lí.
Bài 2: Tìm chữ số tận cùng của tổng gồm: tích thứ nhất có 30 thừa số đều bằng 5, và tích thứ hai có 49 thừa số đều bằng 3.
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Lập chu kì chữ số tận cùng khi nhân liên tiếp với 5; dựa vào 30 để xác định chữ số tận cùng của tích thứ nhất là 5. Ta giữ đúng quan hệ: số bị chia bằng số chia nhân thương cộng số dư, trong đó số dư nhỏ hơn số chia. Mỗi số tìm được phải được thử lại với tất cả điều kiện chia hết hoặc số dư của đề.
Bước 2: Tương tự với 3 và 49, chữ số tận cùng của tích thứ hai là 3. Ta giữ đúng quan hệ: số bị chia bằng số chia nhân thương cộng số dư, trong đó số dư nhỏ hơn số chia. Mỗi số tìm được phải được thử lại với tất cả điều kiện chia hết hoặc số dư của đề.
Đáp số: Chữ số tận cùng của tổng là chữ số tận cùng của 5+3=8, tức 8.
Kiểm tra: Cuối cùng, thay kết quả vào các điều kiện ban đầu hoặc thực hiện phép tính ngược. Nếu tất cả dữ kiện đều được thỏa mãn thì lời giải và đáp số là hợp lí.
Bài 3: Tìm chữ số tận cùng của tổng gồm: tích thứ nhất có 44 thừa số đều bằng 3, và tích thứ hai có 42 thừa số đều bằng 2.
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Lập chu kì chữ số tận cùng khi nhân liên tiếp với 3; dựa vào 44 để xác định chữ số tận cùng của tích thứ nhất là 1. Ta giữ đúng quan hệ: số bị chia bằng số chia nhân thương cộng số dư, trong đó số dư nhỏ hơn số chia. Mỗi số tìm được phải được thử lại với tất cả điều kiện chia hết hoặc số dư của đề.
Bước 2: Tương tự với 2 và 42, chữ số tận cùng của tích thứ hai là 4. Ta giữ đúng quan hệ: số bị chia bằng số chia nhân thương cộng số dư, trong đó số dư nhỏ hơn số chia. Mỗi số tìm được phải được thử lại với tất cả điều kiện chia hết hoặc số dư của đề.
Đáp số: Chữ số tận cùng của tổng là chữ số tận cùng của 1+4=5, tức 5.
Kiểm tra: Cuối cùng, thay kết quả vào các điều kiện ban đầu hoặc thực hiện phép tính ngược. Nếu tất cả dữ kiện đều được thỏa mãn thì lời giải và đáp số là hợp lí.
Bài 4: Tìm chữ số tận cùng của tổng gồm: tích thứ nhất có 38 thừa số đều bằng 8, và tích thứ hai có 29 thừa số đều bằng 9.
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Lập chu kì chữ số tận cùng khi nhân liên tiếp với 8; dựa vào 38 để xác định chữ số tận cùng của tích thứ nhất là 4. Ta giữ đúng quan hệ: số bị chia bằng số chia nhân thương cộng số dư, trong đó số dư nhỏ hơn số chia. Mỗi số tìm được phải được thử lại với tất cả điều kiện chia hết hoặc số dư của đề.
Bước 2: Tương tự với 9 và 29, chữ số tận cùng của tích thứ hai là 9. Ta giữ đúng quan hệ: số bị chia bằng số chia nhân thương cộng số dư, trong đó số dư nhỏ hơn số chia. Mỗi số tìm được phải được thử lại với tất cả điều kiện chia hết hoặc số dư của đề.
Đáp số: Chữ số tận cùng của tổng là chữ số tận cùng của 4+9=13, tức 3.
Kiểm tra: Cuối cùng, thay kết quả vào các điều kiện ban đầu hoặc thực hiện phép tính ngược. Nếu tất cả dữ kiện đều được thỏa mãn thì lời giải và đáp số là hợp lí.
Bài 5: Tìm chữ số tận cùng của tổng gồm: tích thứ nhất có 43 thừa số đều bằng 7, và tích thứ hai có 12 thừa số đều bằng 8.
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Lập chu kì chữ số tận cùng khi nhân liên tiếp với 7; dựa vào 43 để xác định chữ số tận cùng của tích thứ nhất là 3. Ta giữ đúng quan hệ: số bị chia bằng số chia nhân thương cộng số dư, trong đó số dư nhỏ hơn số chia. Mỗi số tìm được phải được thử lại với tất cả điều kiện chia hết hoặc số dư của đề.
Bước 2: Tương tự với 8 và 12, chữ số tận cùng của tích thứ hai là 6. Ta giữ đúng quan hệ: số bị chia bằng số chia nhân thương cộng số dư, trong đó số dư nhỏ hơn số chia. Mỗi số tìm được phải được thử lại với tất cả điều kiện chia hết hoặc số dư của đề.
Đáp số: Chữ số tận cùng của tổng là chữ số tận cùng của 3+6=9, tức 9.
Kiểm tra: Cuối cùng, thay kết quả vào các điều kiện ban đầu hoặc thực hiện phép tính ngược. Nếu tất cả dữ kiện đều được thỏa mãn thì lời giải và đáp số là hợp lí.
Bài 6: Tìm chữ số tận cùng của tổng gồm: tích thứ nhất có 17 thừa số đều bằng 5, và tích thứ hai có 30 thừa số đều bằng 2.
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Lập chu kì chữ số tận cùng khi nhân liên tiếp với 5; dựa vào 17 để xác định chữ số tận cùng của tích thứ nhất là 5. Ta giữ đúng quan hệ: số bị chia bằng số chia nhân thương cộng số dư, trong đó số dư nhỏ hơn số chia. Mỗi số tìm được phải được thử lại với tất cả điều kiện chia hết hoặc số dư của đề.
Bước 2: Tương tự với 2 và 30, chữ số tận cùng của tích thứ hai là 4. Ta giữ đúng quan hệ: số bị chia bằng số chia nhân thương cộng số dư, trong đó số dư nhỏ hơn số chia. Mỗi số tìm được phải được thử lại với tất cả điều kiện chia hết hoặc số dư của đề.
Đáp số: Chữ số tận cùng của tổng là chữ số tận cùng của 5+4=9, tức 9.
Kiểm tra: Cuối cùng, thay kết quả vào các điều kiện ban đầu hoặc thực hiện phép tính ngược. Nếu tất cả dữ kiện đều được thỏa mãn thì lời giải và đáp số là hợp lí.
Bài 7: Tìm chữ số tận cùng của tổng gồm: tích thứ nhất có 53 thừa số đều bằng 2, và tích thứ hai có 25 thừa số đều bằng 4.
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Lập chu kì chữ số tận cùng khi nhân liên tiếp với 2; dựa vào 53 để xác định chữ số tận cùng của tích thứ nhất là 2. Ta giữ đúng quan hệ: số bị chia bằng số chia nhân thương cộng số dư, trong đó số dư nhỏ hơn số chia. Mỗi số tìm được phải được thử lại với tất cả điều kiện chia hết hoặc số dư của đề.
Bước 2: Tương tự với 4 và 25, chữ số tận cùng của tích thứ hai là 4. Ta giữ đúng quan hệ: số bị chia bằng số chia nhân thương cộng số dư, trong đó số dư nhỏ hơn số chia. Mỗi số tìm được phải được thử lại với tất cả điều kiện chia hết hoặc số dư của đề.
Đáp số: Chữ số tận cùng của tổng là chữ số tận cùng của 2+4=6, tức 6.
Kiểm tra: Cuối cùng, thay kết quả vào các điều kiện ban đầu hoặc thực hiện phép tính ngược. Nếu tất cả dữ kiện đều được thỏa mãn thì lời giải và đáp số là hợp lí.
Bài 8: Tìm chữ số tận cùng của tổng gồm: tích thứ nhất có 33 thừa số đều bằng 4, và tích thứ hai có 33 thừa số đều bằng 4.
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Lập chu kì chữ số tận cùng khi nhân liên tiếp với 4; dựa vào 33 để xác định chữ số tận cùng của tích thứ nhất là 4. Ta giữ đúng quan hệ: số bị chia bằng số chia nhân thương cộng số dư, trong đó số dư nhỏ hơn số chia. Mỗi số tìm được phải được thử lại với tất cả điều kiện chia hết hoặc số dư của đề.
Bước 2: Tương tự với 4 và 33, chữ số tận cùng của tích thứ hai là 4. Ta giữ đúng quan hệ: số bị chia bằng số chia nhân thương cộng số dư, trong đó số dư nhỏ hơn số chia. Mỗi số tìm được phải được thử lại với tất cả điều kiện chia hết hoặc số dư của đề.
Đáp số: Chữ số tận cùng của tổng là chữ số tận cùng của 4+4=8, tức 8.
Kiểm tra: Cuối cùng, thay kết quả vào các điều kiện ban đầu hoặc thực hiện phép tính ngược. Nếu tất cả dữ kiện đều được thỏa mãn thì lời giải và đáp số là hợp lí.
Bài 9: Tìm chữ số tận cùng của tổng gồm: tích thứ nhất có 26 thừa số đều bằng 9, và tích thứ hai có 13 thừa số đều bằng 7.
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Lập chu kì chữ số tận cùng khi nhân liên tiếp với 9; dựa vào 26 để xác định chữ số tận cùng của tích thứ nhất là 1. Ta giữ đúng quan hệ: số bị chia bằng số chia nhân thương cộng số dư, trong đó số dư nhỏ hơn số chia. Mỗi số tìm được phải được thử lại với tất cả điều kiện chia hết hoặc số dư của đề.
Bước 2: Tương tự với 7 và 13, chữ số tận cùng của tích thứ hai là 7. Ta giữ đúng quan hệ: số bị chia bằng số chia nhân thương cộng số dư, trong đó số dư nhỏ hơn số chia. Mỗi số tìm được phải được thử lại với tất cả điều kiện chia hết hoặc số dư của đề.
Đáp số: Chữ số tận cùng của tổng là chữ số tận cùng của 1+7=8, tức 8.
Kiểm tra: Cuối cùng, thay kết quả vào các điều kiện ban đầu hoặc thực hiện phép tính ngược. Nếu tất cả dữ kiện đều được thỏa mãn thì lời giải và đáp số là hợp lí.
Bài 10: Tìm chữ số tận cùng của tổng gồm: tích thứ nhất có 54 thừa số đều bằng 4, và tích thứ hai có 18 thừa số đều bằng 6.
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Lập chu kì chữ số tận cùng khi nhân liên tiếp với 4; dựa vào 54 để xác định chữ số tận cùng của tích thứ nhất là 6. Ta giữ đúng quan hệ: số bị chia bằng số chia nhân thương cộng số dư, trong đó số dư nhỏ hơn số chia. Mỗi số tìm được phải được thử lại với tất cả điều kiện chia hết hoặc số dư của đề.
Bước 2: Tương tự với 6 và 18, chữ số tận cùng của tích thứ hai là 6. Ta giữ đúng quan hệ: số bị chia bằng số chia nhân thương cộng số dư, trong đó số dư nhỏ hơn số chia. Mỗi số tìm được phải được thử lại với tất cả điều kiện chia hết hoặc số dư của đề.
Đáp số: Chữ số tận cùng của tổng là chữ số tận cùng của 6+6=12, tức 2.
Kiểm tra: Cuối cùng, thay kết quả vào các điều kiện ban đầu hoặc thực hiện phép tính ngược. Nếu tất cả dữ kiện đều được thỏa mãn thì lời giải và đáp số là hợp lí.
Bài 11: Tìm chữ số tận cùng của tổng gồm: tích thứ nhất có 31 thừa số đều bằng 2, và tích thứ hai có 31 thừa số đều bằng 4.
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Lập chu kì chữ số tận cùng khi nhân liên tiếp với 2; dựa vào 31 để xác định chữ số tận cùng của tích thứ nhất là 8. Ta giữ đúng quan hệ: số bị chia bằng số chia nhân thương cộng số dư, trong đó số dư nhỏ hơn số chia. Mỗi số tìm được phải được thử lại với tất cả điều kiện chia hết hoặc số dư của đề.
Bước 2: Tương tự với 4 và 31, chữ số tận cùng của tích thứ hai là 4. Ta giữ đúng quan hệ: số bị chia bằng số chia nhân thương cộng số dư, trong đó số dư nhỏ hơn số chia. Mỗi số tìm được phải được thử lại với tất cả điều kiện chia hết hoặc số dư của đề.
Đáp số: Chữ số tận cùng của tổng là chữ số tận cùng của 8+4=12, tức 2.
Kiểm tra: Cuối cùng, thay kết quả vào các điều kiện ban đầu hoặc thực hiện phép tính ngược. Nếu tất cả dữ kiện đều được thỏa mãn thì lời giải và đáp số là hợp lí.
Bài 12: Tìm chữ số tận cùng của tổng gồm: tích thứ nhất có 41 thừa số đều bằng 2, và tích thứ hai có 18 thừa số đều bằng 3.
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Lập chu kì chữ số tận cùng khi nhân liên tiếp với 2; dựa vào 41 để xác định chữ số tận cùng của tích thứ nhất là 2. Ta giữ đúng quan hệ: số bị chia bằng số chia nhân thương cộng số dư, trong đó số dư nhỏ hơn số chia. Mỗi số tìm được phải được thử lại với tất cả điều kiện chia hết hoặc số dư của đề.
Bước 2: Tương tự với 3 và 18, chữ số tận cùng của tích thứ hai là 9. Ta giữ đúng quan hệ: số bị chia bằng số chia nhân thương cộng số dư, trong đó số dư nhỏ hơn số chia. Mỗi số tìm được phải được thử lại với tất cả điều kiện chia hết hoặc số dư của đề.
Đáp số: Chữ số tận cùng của tổng là chữ số tận cùng của 2+9=11, tức 1.
Kiểm tra: Cuối cùng, thay kết quả vào các điều kiện ban đầu hoặc thực hiện phép tính ngược. Nếu tất cả dữ kiện đều được thỏa mãn thì lời giải và đáp số là hợp lí.
Ghi nhớ và tự kiểm tra
- Trọng tâm của bài là nhận ra cấu trúc ẩn trong dạng Bài toán chu kỳ của chữ số tận cùng.
- Không làm theo phép tính máy móc; cần giải thích vì sao chọn cách làm.
- Mọi đáp số phải được kiểm tra lại với toàn bộ dữ kiện của đề.
Câu hỏi tự kiểm tra
- Em có tách được từng điều kiện và xác định thứ tự xử lí không?
- Em có trình bày đủ các kết quả trung gian không?
- Em có kiểm tra lại đáp số bằng điều kiện ban đầu hoặc một cách khác không?