Mục tiêu bài học
Bài toán tổng hợp dãy số yêu cầu lựa chọn đúng công cụ: nhận quy luật, tìm vị trí, đếm số hạng hoặc tính tổng.
- Phân loại nhanh dạng dãy trước khi tính.
- Kết hợp nhiều kỹ năng trong cùng một bài.
- Biết kiểm tra kết quả bằng quy luật của dãy.
Kiến thức cần nhớ
- Dãy cách đều: dùng khoảng cách để tìm vị trí, số lượng và tổng.
- Dãy xen kẽ: tách vị trí lẻ–chẵn.
- Dãy nhiều tầng: xét mức tăng; dãy nhân chia: xét phép biến đổi giữa các số.
Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Dãy 2, 5, 11, 23, 47, … Tìm số hạng thứ 8.
Hướng dẫn giải chi tiết:
Quy luật: nhân 2 rồi cộng 1.
Số thứ 6: 47 × 2 + 1 = 95; số thứ 7: 191; số thứ 8: 383.
Đáp số: 383.
Ví dụ 2: Dãy 3, 8, 15, 24, 35, … Tìm số tiếp theo và giải thích.
Hướng dẫn giải chi tiết:
Các mức tăng là 5, 7, 9, 11.
Mức tăng tiếp theo là 13.
35 + 13 = 48.
Đáp số: 48.
Ví dụ 3: Dãy 1, 10, 2, 20, 3, 30, … Số hạng thứ 12 là bao nhiêu?
Hướng dẫn giải chi tiết:
Vị trí chẵn tạo dãy 10, 20, 30, …
Số hạng thứ 12 là số thứ 6 của dãy chẵn: 10 × 6 = 60.
Đáp số: 60.
Bài tập áp dụng
Bài 1: Tìm số hạng thứ 10 của dãy 4, 7, 10, 13, …
Lời giải:
Dãy tăng đều 3; số thứ 10 = 4 + 9 × 3 = 31.
Đáp số: 31.
Bài 2: Tính tổng 5 + 10 + 15 + … + 100.
Lời giải:
Có (100 − 5) : 5 + 1 = 20 số hạng.
Tổng = (5 + 100) × 20 : 2 = 1 050.
Đáp số: 1 050.
Bài 3: Tìm số tiếp theo: 2, 6, 12, 20, 30, …
Lời giải:
Các mức tăng 4, 6, 8, 10; tiếp theo tăng 12.
Đáp số: 42.
Bài 4: Dãy 2, 50, 4, 45, 6, 40, … Tìm hai số tiếp theo.
Lời giải:
Vị trí lẻ tăng 2; vị trí chẵn giảm 5.
Đáp số: 8; 35.
Bài 5: Một dãy cách đều bắt đầu 7, kết thúc 127, khoảng cách 5. Có bao nhiêu số hạng?
Lời giải:
(127 − 7) : 5 + 1 = 25.
Đáp số: 25 số hạng.
Bài tập tự luyện
Bài 1: Tìm số tiếp theo: 2, 7, 14, 23, 34, …
Bài 2: Tìm số thứ 15 của dãy 2, 6, 10, 14, …
Bài 3: Tính tổng 3 + 6 + 9 + … + 60.
Bài 4: Dãy từ 11 đến 101, cách 5 đơn vị, có bao nhiêu số hạng?
Bài 5: Tìm hai số tiếp theo: 3, 30, 6, 27, 9, 24, …
Bài 6: Tìm số tiếp theo: 5, 12, 21, 32, 45, …
Bài 7: Tìm số tiếp theo: 2, 4, 12, 24, 72, …
Bài 8: Tìm số thứ 20 của dãy 5, 8, 11, 14, …
Bài 9: Tính tổng 10 + 20 + … + 200.
Bài 10: Dãy 100, 93, 86, …, 2 có bao nhiêu số hạng?
Bài 11: Tìm số tiếp theo: 3, 5, 9, 15, 23, …
Bài 12: Tìm hai số tiếp theo: 5, 60, 10, 54, 15, 48, …
Bài 13: Tìm số tiếp theo: 10, 15, 13, 18, 16, …
Bài 14: Dãy 2, 5, 8, …, 95 có bao nhiêu số hạng?
Bài 15: Tính tổng 7 + 14 + … + 140.
Lời giải bài tập tự luyện
Bài 1:
Đáp số: 47.
Bài 2:
Đáp số: 58.
Bài 3:
Đáp số: 630.
Bài 4:
Đáp số: 19.
Bài 5:
Đáp số: 12; 21.
Bài 6:
Đáp số: 60.
Bài 7:
Đáp số: 144.
Bài 8:
Đáp số: 62.
Bài 9:
Đáp số: 2 100.
Bài 10:
Đáp số: 15.
Bài 11:
Đáp số: 33.
Bài 12:
Đáp số: 20; 42.
Bài 13:
Đáp số: 21.
Bài 14:
Đáp số: 32.
Bài 15:
Đáp số: 1 470.
Ghi nhớ
- Nhận dạng trước, tính sau.
- Không áp dụng công thức dãy cách đều cho dãy không cách đều.
- Sau khi có đáp số, thử lại bằng vài số hạng gần đó.