Bài 122 Công việc và năng suất Nâng cao

Bài toán vòi nước chảy vào bể

Chuyên đề nâng cao bài toán vòi nước chảy vào bể với phương pháp chọn lọc, 20 bài toán phân loại và lời giải đầy đủ từng bước dành cho học sinh ôn thi vào lớp 6 CLC.

Học xong bài này

Mục tiêu bài học

Nhận biết và xử lí các biến đổi nâng cao của dạng Bài toán vòi nước chảy vào bể.
Biết phân tích dữ kiện ẩn, lựa chọn phương pháp ngắn gọn và kiểm tra kết quả.
Trình bày lời giải đầy đủ từng bước theo ngôn ngữ Toán tiểu học, không dùng kiến thức thuần THCS.

Ghi nhớ kiến thức nền

Kiến thức cần nhớ

Phạm vi: Bài học chỉ tập trung vào câu hỏi nâng cao, dữ kiện ẩn, bài toán ngược và bài toán có nhiều điều kiện. Các thao tác cơ bản được coi là kiến thức nền.

Công việc = năng suất × thời gian.
Nếu coi toàn bộ công việc là 1 thì năng suất một giờ là một phân số của công việc.
Năng suất làm chung bằng tổng năng suất của các người hoặc máy đang cùng hoạt động.
Vòi vào mang năng suất dương; vòi tháo mang năng suất trừ.

Quan sát cách làm

Ví dụ minh họa

Phương pháp chung

Đọc kĩ đề, gạch dưới dữ kiện và xác định chính xác yêu cầu cuối cùng.
Ta coi toàn bộ công việc là một đơn vị hoặc một số phần bằng nhau, rồi xác định phần công việc mỗi người hay mỗi vòi hoàn thành trong một đơn vị thời gian.
Trình bày từng kết quả trung gian, giải thích ý nghĩa của phép tính và kiểm tra lại kết luận.

Ví dụ 1: Vòi A chảy đầy bể trong 10 giờ, vòi B trong 12 giờ. Mở cả hai trong 2 giờ rồi khóa B. A cần chảy thêm bao lâu để đầy bể?

Hướng dẫn giải chi tiết:

Phân tích đề: Ta coi toàn bộ công việc là một đơn vị hoặc một số phần bằng nhau, rồi xác định phần công việc mỗi người hay mỗi vòi hoàn thành trong một đơn vị thời gian.

Bước 1: Mỗi giờ hai vòi chảy (dfrac{1}{10})+(dfrac{1}{12})=(dfrac{11}{60}) bể. Coi toàn bộ công việc hoặc cả bể là một đơn vị. Phần làm được trong một giờ là năng suất; khi cùng làm thì cộng các phần công việc, còn có vòi tháo ra thì phải trừ phần bị tháo.

Vì sao làm như vậy: Năng suất cho biết trong một đơn vị thời gian hoàn thành được bao nhiêu phần công việc.

Bước 2: Trong 2 giờ chảy được (dfrac{11}{30}), còn (dfrac{19}{30}). Coi toàn bộ công việc hoặc cả bể là một đơn vị. Phần làm được trong một giờ là năng suất; khi cùng làm thì cộng các phần công việc, còn có vòi tháo ra thì phải trừ phần bị tháo.

Vì sao làm như vậy: Khi cùng làm, các phần công việc hoàn thành trong cùng một thời gian được cộng lại; khi có vòi tháo hoặc phần việc bị giảm thì phải trừ.

Ý nghĩa của kết quả: Thời gian tìm được phải dương và hợp lí so với thời gian làm riêng của từng người hoặc từng máy.

Kết luận: Vòi A chảy mỗi giờ (dfrac{1}{10}) bể, nên cần thêm (dfrac{19}{30}):(dfrac{1}{10})=(dfrac{19}{3}) giờ.

Kiểm tra: Nhân năng suất chung với thời gian vừa tìm để xem có hoàn thành đúng toàn bộ công việc hay không.

Ví dụ 2: Vòi A chảy đầy bể trong 10 giờ, vòi B trong 15 giờ. Mở cả hai trong 2 giờ rồi khóa B. A cần chảy thêm bao lâu để đầy bể?

Hướng dẫn giải chi tiết:

Bước 1: Mỗi giờ hai vòi chảy (dfrac{1}{10})+(dfrac{1}{15})=(dfrac{1}{6}) bể. Coi toàn bộ công việc hoặc cả bể là một đơn vị. Phần làm được trong một giờ là năng suất; khi cùng làm thì cộng các phần công việc, còn có vòi tháo ra thì phải trừ phần bị tháo.

Vì sao làm như vậy: Năng suất cho biết trong một đơn vị thời gian hoàn thành được bao nhiêu phần công việc.

Bước 2: Trong 2 giờ chảy được (dfrac{1}{3}), còn (dfrac{2}{3}). Coi toàn bộ công việc hoặc cả bể là một đơn vị. Phần làm được trong một giờ là năng suất; khi cùng làm thì cộng các phần công việc, còn có vòi tháo ra thì phải trừ phần bị tháo.

Ý nghĩa của kết quả: Thời gian tìm được phải dương và hợp lí so với thời gian làm riêng của từng người hoặc từng máy.

Kết luận: Vòi A chảy mỗi giờ (dfrac{1}{10}) bể, nên cần thêm (dfrac{2}{3}):(dfrac{1}{10})=(dfrac{20}{3}) giờ.

Kiểm tra: Nhân năng suất chung với thời gian vừa tìm để xem có hoàn thành đúng toàn bộ công việc hay không.

Ví dụ 3: Vòi A chảy đầy bể trong 12 giờ, vòi B trong 12 giờ. Mở cả hai trong 2 giờ rồi khóa B. A cần chảy thêm bao lâu để đầy bể?

Hướng dẫn giải chi tiết:

Bước 1: Mỗi giờ hai vòi chảy (dfrac{1}{12})+(dfrac{1}{12})=(dfrac{1}{6}) bể. Coi toàn bộ công việc hoặc cả bể là một đơn vị. Phần làm được trong một giờ là năng suất; khi cùng làm thì cộng các phần công việc, còn có vòi tháo ra thì phải trừ phần bị tháo.

Vì sao làm như vậy: Năng suất cho biết trong một đơn vị thời gian hoàn thành được bao nhiêu phần công việc.

Ý nghĩa của kết quả: Thời gian tìm được phải dương và hợp lí so với thời gian làm riêng của từng người hoặc từng máy.

Kết luận: Vòi A chảy mỗi giờ (dfrac{1}{12}) bể, nên cần thêm (dfrac{2}{3}):(dfrac{1}{12})=8 giờ.

Kiểm tra: Nhân năng suất chung với thời gian vừa tìm để xem có hoàn thành đúng toàn bộ công việc hay không.

Làm theo kiến thức vừa học

Bài tập áp dụng

Gồm 5 bài tập nâng cao. Em hãy tự trình bày bài giải đầy đủ vào vở trước khi mở lời giải.

Bài 1: Vòi A chảy đầy bể trong 12 giờ, vòi B trong 20 giờ. Mở cả hai trong 2 giờ rồi khóa B. A cần chảy thêm bao lâu để đầy bể?

Bài 2: Vòi A chảy đầy bể trong 6 giờ, vòi B trong 8 giờ. Mở cả hai trong 2 giờ rồi khóa B. A cần chảy thêm bao lâu để đầy bể?

Bài 3: Vòi A chảy đầy bể trong 5 giờ, vòi B trong 15 giờ. Mở cả hai trong 2 giờ rồi khóa B. A cần chảy thêm bao lâu để đầy bể?

Bài 4: Vòi A chảy đầy bể trong 8 giờ, vòi B trong 10 giờ. Mở cả hai trong 2 giờ rồi khóa B. A cần chảy thêm bao lâu để đầy bể?

Bài 5: Vòi A chảy đầy bể trong 4 giờ, vòi B trong 8 giờ. Mở cả hai trong 2 giờ rồi khóa B. A cần chảy thêm bao lâu để đầy bể?

Xem lời giải

Bài 1: Vòi A chảy đầy bể trong 12 giờ, vòi B trong 20 giờ. Mở cả hai trong 2 giờ rồi khóa B. A cần chảy thêm bao lâu để đầy bể?

Lời giải:

Trước hết, ta xác định năng suất trong một đơn vị thời gian của từng đối tượng, rồi cộng hoặc trừ để tìm năng suất chung.

Mỗi giờ hai vòi chảy (dfrac{1}{12})+(dfrac{1}{20})=(dfrac{2}{15}) bể.

Kết quả này cho biết trong một giờ hoặc một ngày, nhóm hoàn thành được bao nhiêu phần công việc.

Trong 2 giờ chảy được (dfrac{4}{15}), còn (dfrac{11}{15}).

Lấy toàn bộ công việc chia cho năng suất chung để tìm thời gian, sau đó kiểm tra lại phần công việc đã hoàn thành.

Từ các kết quả trên, ta trả lời đầy đủ yêu cầu của bài toán và ghi đáp số kèm đơn vị (nếu có).

Đáp số: Vòi A chảy mỗi giờ (dfrac{1}{12}) bể, nên cần thêm (dfrac{11}{15}):(dfrac{1}{12})=(dfrac{44}{5}) giờ.

Bài 2: Vòi A chảy đầy bể trong 6 giờ, vòi B trong 8 giờ. Mở cả hai trong 2 giờ rồi khóa B. A cần chảy thêm bao lâu để đầy bể?

Lời giải:

Trước hết, ta xác định năng suất trong một đơn vị thời gian của từng đối tượng, rồi cộng hoặc trừ để tìm năng suất chung.

Mỗi giờ hai vòi chảy (dfrac{1}{6})+(dfrac{1}{8})=(dfrac{7}{24}) bể.

Kết quả này cho biết trong một giờ hoặc một ngày, nhóm hoàn thành được bao nhiêu phần công việc.

Trong 2 giờ chảy được (dfrac{7}{12}), còn (dfrac{5}{12}).

Lấy toàn bộ công việc chia cho năng suất chung để tìm thời gian, sau đó kiểm tra lại phần công việc đã hoàn thành.

Từ các kết quả trên, ta trả lời đầy đủ yêu cầu của bài toán và ghi đáp số kèm đơn vị (nếu có).

Đáp số: Vòi A chảy mỗi giờ (dfrac{1}{6}) bể, nên cần thêm (dfrac{5}{12}):(dfrac{1}{6})=(dfrac{5}{2}) giờ.

Bài 3: Vòi A chảy đầy bể trong 5 giờ, vòi B trong 15 giờ. Mở cả hai trong 2 giờ rồi khóa B. A cần chảy thêm bao lâu để đầy bể?

Lời giải:

Trước hết, ta xác định năng suất trong một đơn vị thời gian của từng đối tượng, rồi cộng hoặc trừ để tìm năng suất chung.

Mỗi giờ hai vòi chảy (dfrac{1}{5})+(dfrac{1}{15})=(dfrac{4}{15}) bể.

Kết quả này cho biết trong một giờ hoặc một ngày, nhóm hoàn thành được bao nhiêu phần công việc.

Trong 2 giờ chảy được (dfrac{8}{15}), còn (dfrac{7}{15}).

Lấy toàn bộ công việc chia cho năng suất chung để tìm thời gian, sau đó kiểm tra lại phần công việc đã hoàn thành.

Từ các kết quả trên, ta trả lời đầy đủ yêu cầu của bài toán và ghi đáp số kèm đơn vị (nếu có).

Đáp số: Vòi A chảy mỗi giờ (dfrac{1}{5}) bể, nên cần thêm (dfrac{7}{15}):(dfrac{1}{5})=(dfrac{7}{3}) giờ.

Bài 4: Vòi A chảy đầy bể trong 8 giờ, vòi B trong 10 giờ. Mở cả hai trong 2 giờ rồi khóa B. A cần chảy thêm bao lâu để đầy bể?

Lời giải:

Trước hết, ta xác định năng suất trong một đơn vị thời gian của từng đối tượng, rồi cộng hoặc trừ để tìm năng suất chung.

Mỗi giờ hai vòi chảy (dfrac{1}{8})+(dfrac{1}{10})=(dfrac{9}{40}) bể.

Kết quả này cho biết trong một giờ hoặc một ngày, nhóm hoàn thành được bao nhiêu phần công việc.

Trong 2 giờ chảy được (dfrac{9}{20}), còn (dfrac{11}{20}).

Lấy toàn bộ công việc chia cho năng suất chung để tìm thời gian, sau đó kiểm tra lại phần công việc đã hoàn thành.

Từ các kết quả trên, ta trả lời đầy đủ yêu cầu của bài toán và ghi đáp số kèm đơn vị (nếu có).

Đáp số: Vòi A chảy mỗi giờ (dfrac{1}{8}) bể, nên cần thêm (dfrac{11}{20}):(dfrac{1}{8})=(dfrac{22}{5}) giờ.

Bài 5: Vòi A chảy đầy bể trong 4 giờ, vòi B trong 8 giờ. Mở cả hai trong 2 giờ rồi khóa B. A cần chảy thêm bao lâu để đầy bể?

Lời giải:

Trước hết, ta xác định năng suất trong một đơn vị thời gian của từng đối tượng, rồi cộng hoặc trừ để tìm năng suất chung.

Mỗi giờ hai vòi chảy (dfrac{1}{4})+(dfrac{1}{8})=(dfrac{3}{8}) bể.

Kết quả này cho biết trong một giờ hoặc một ngày, nhóm hoàn thành được bao nhiêu phần công việc.

Trong 2 giờ chảy được (dfrac{3}{4}), còn (dfrac{1}{4}).

Lấy toàn bộ công việc chia cho năng suất chung để tìm thời gian, sau đó kiểm tra lại phần công việc đã hoàn thành.

Từ các kết quả trên, ta trả lời đầy đủ yêu cầu của bài toán và ghi đáp số kèm đơn vị (nếu có).

Đáp số: Vòi A chảy mỗi giờ (dfrac{1}{4}) bể, nên cần thêm (dfrac{1}{4}):(dfrac{1}{4})=1 giờ.

Tự kiểm tra mức độ thành thạo

Bài tập tự luyện

Em hãy tự làm trước. Các bài tập đều ở mức nâng cao hoặc nâng cao CLC.

Bài 1: Vòi A chảy đầy bể trong 6 giờ, vòi B trong 12 giờ. Mở cả hai trong 2 giờ rồi khóa B. A cần chảy thêm bao lâu để đầy bể?

Bài 2: Vòi A chảy đầy bể trong 10 giờ, vòi B trong 6 giờ. Mở cả hai trong 2 giờ rồi khóa B. A cần chảy thêm bao lâu để đầy bể?

Bài 3: Vòi A chảy đầy bể trong 6 giờ, vòi B trong 6 giờ. Mở cả hai trong 2 giờ rồi khóa B. A cần chảy thêm bao lâu để đầy bể?

Bài 4: Vòi A chảy đầy bể trong 4 giờ, vòi B trong 6 giờ. Mở cả hai trong 2 giờ rồi khóa B. A cần chảy thêm bao lâu để đầy bể?

Bài 5: Vòi A chảy đầy bể trong 8 giờ, vòi B trong 20 giờ. Mở cả hai trong 2 giờ rồi khóa B. A cần chảy thêm bao lâu để đầy bể?

Bài 6: Vòi A chảy đầy bể trong 10 giờ, vòi B trong 10 giờ. Mở cả hai trong 2 giờ rồi khóa B. A cần chảy thêm bao lâu để đầy bể?

Bài 7: Vòi A chảy đầy bể trong 5 giờ, vòi B trong 8 giờ. Mở cả hai trong 2 giờ rồi khóa B. A cần chảy thêm bao lâu để đầy bể?

Bài 8: Vòi A chảy đầy bể trong 6 giờ, vòi B trong 15 giờ. Mở cả hai trong 2 giờ rồi khóa B. A cần chảy thêm bao lâu để đầy bể?

Bài 9: Vòi A chảy đầy bể trong 6 giờ, vòi B trong 10 giờ. Mở cả hai trong 2 giờ rồi khóa B. A cần chảy thêm bao lâu để đầy bể?

Bài 10: Vòi A chảy đầy bể trong 6 giờ, vòi B trong 20 giờ. Mở cả hai trong 2 giờ rồi khóa B. A cần chảy thêm bao lâu để đầy bể?

Bài 11: Vòi A chảy đầy bể trong 12 giờ, vòi B trong 8 giờ. Mở cả hai trong 2 giờ rồi khóa B. A cần chảy thêm bao lâu để đầy bể?

Bài 12: Vòi A chảy đầy bể trong 10 giờ, vòi B trong 20 giờ. Mở cả hai trong 2 giờ rồi khóa B. A cần chảy thêm bao lâu để đầy bể?

Xem lời giải bài tập tự luyện

Bài 1: Vòi A chảy đầy bể trong 6 giờ, vòi B trong 12 giờ. Mở cả hai trong 2 giờ rồi khóa B. A cần chảy thêm bao lâu để đầy bể?

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Mỗi giờ hai vòi chảy (dfrac{1}{6})+(dfrac{1}{12})=(dfrac{1}{4}) bể. Coi toàn bộ công việc hoặc cả bể là một đơn vị. Phần làm được trong một giờ là năng suất; khi cùng làm thì cộng các phần công việc, còn có vòi tháo ra thì phải trừ phần bị tháo.

Bước 2: Trong 2 giờ chảy được (dfrac{1}{2}), còn (dfrac{1}{2}). Coi toàn bộ công việc hoặc cả bể là một đơn vị. Phần làm được trong một giờ là năng suất; khi cùng làm thì cộng các phần công việc, còn có vòi tháo ra thì phải trừ phần bị tháo.

Đáp số: Vòi A chảy mỗi giờ (dfrac{1}{6}) bể, nên cần thêm (dfrac{1}{2}):(dfrac{1}{6})=3 giờ.