Bài toán tổng hợp hình học không gian

Bài 1: Hình hộp chữ nhật dài 11 cm, rộng 15 cm, cao 5 cm. Tính diện tích xung quanh. Nếu giữ đáy và tăng chiều cao 3 cm thì diện tích xung quanh tăng bao nhiêu?

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Chu vi đáy = (11+15)×2=52 cm. Cần phân biệt độ dài, diện tích mặt và thể tích.

Bước 2: Diện tích xung quanh = 52×5=260 cm². Cần phân biệt độ dài, diện tích mặt và thể tích.

Đáp số: Tăng cao 3 cm làm diện tích xung quanh tăng 52×3=156 cm².

Bài 2: Một khối hộp chữ nhật 20 cm × 15 cm × 4 cm. Cắt bỏ một lớp dày 2 cm song song với đáy. Tính thể tích ban đầu, phần bị cắt và phần còn lại.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Thể tích ban đầu = 20×15×4=1200 cm³. Cần phân biệt độ dài, diện tích mặt và thể tích.

Bước 2: Thể tích lớp cắt = 20×15×2=600 cm³. Cần phân biệt độ dài, diện tích mặt và thể tích.

Đáp số: Phần còn lại = 1200−600=600 cm³.

Bài 3: Một khối hộp chữ nhật 13 cm × 4 cm × 7 cm. Cắt bỏ một lớp dày 2 cm song song với đáy. Tính thể tích ban đầu, phần bị cắt và phần còn lại.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Thể tích ban đầu = 13×4×7=364 cm³. Cần phân biệt độ dài, diện tích mặt và thể tích.

Bước 2: Thể tích lớp cắt = 13×4×2=104 cm³. Cần phân biệt độ dài, diện tích mặt và thể tích.

Đáp số: Phần còn lại = 364−104=260 cm³.

Bài 4: Một khối hộp chữ nhật 8 cm × 14 cm × 6 cm. Cắt bỏ một lớp dày 1 cm song song với đáy. Tính thể tích ban đầu, phần bị cắt và phần còn lại.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Thể tích ban đầu = 8×14×6=672 cm³. Cần phân biệt độ dài, diện tích mặt và thể tích.

Bước 2: Thể tích lớp cắt = 8×14×1=112 cm³. Cần phân biệt độ dài, diện tích mặt và thể tích.

Đáp số: Phần còn lại = 672−112=560 cm³.

Bài 5: Xếp khối hộp gồm 3×9×4 khối lập phương đơn vị. Bỏ đi một khối lập phương nhỏ ở góc có cạnh 1 đơn vị. Hỏi còn bao nhiêu khối đơn vị?

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Khối ban đầu có 3×9×4=108 khối đơn vị. Cần phân biệt độ dài, diện tích mặt và thể tích.

Bước 2: Phần bỏ đi có 1×1×1=1 khối. Cần phân biệt độ dài, diện tích mặt và thể tích.

Đáp số: Còn 108−1=107 khối đơn vị.

Bài 6: Xếp khối hộp gồm 6×6×7 khối lập phương đơn vị. Bỏ đi một khối lập phương nhỏ ở góc có cạnh 3 đơn vị. Hỏi còn bao nhiêu khối đơn vị?

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Khối ban đầu có 6×6×7=252 khối đơn vị. Cần phân biệt độ dài, diện tích mặt và thể tích.

Bước 2: Phần bỏ đi có 3×3×3=27 khối. Cần phân biệt độ dài, diện tích mặt và thể tích.

Đáp số: Còn 252−27=225 khối đơn vị.

Bài 7: Xếp khối hộp gồm 9×7×6 khối lập phương đơn vị. Bỏ đi một khối lập phương nhỏ ở góc có cạnh 1 đơn vị. Hỏi còn bao nhiêu khối đơn vị?

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Khối ban đầu có 9×7×6=378 khối đơn vị. Cần phân biệt độ dài, diện tích mặt và thể tích.

Bước 2: Phần bỏ đi có 1×1×1=1 khối. Cần phân biệt độ dài, diện tích mặt và thể tích.

Đáp số: Còn 378−1=377 khối đơn vị.

Bài 8: Một khối hộp 5×7×5 khối lập phương nhỏ được sơn cả sáu mặt ngoài rồi tách ra. Có bao nhiêu khối nhỏ được sơn 3 mặt, 2 mặt, 1 mặt và không được sơn mặt nào?

Lời giải chi tiết:

Bước 1: 8 khối ở các đỉnh được sơn 3 mặt; các khối trên cạnh nhưng không ở đỉnh được sơn 2 mặt: 4×[(5−2)+(7−2)+(5−2)]=44. Cần phân biệt độ dài, diện tích mặt và thể tích.

Bước 2: Các khối trong lòng mỗi mặt được sơn 1 mặt: 2×[(5−2)(7−2)+(5−2)(5−2)+(7−2)(5−2)]=78. Cần phân biệt độ dài, diện tích mặt và thể tích.

Đáp số: Khối không sơn = (5−2)(7−2)(5−2)=45. Kiểm tra tổng: 8+44+78+45=175.

Bài 9: Một khối hộp 6×8×4 khối lập phương nhỏ được sơn cả sáu mặt ngoài rồi tách ra. Có bao nhiêu khối nhỏ được sơn 3 mặt, 2 mặt, 1 mặt và không được sơn mặt nào?

Lời giải chi tiết:

Bước 1: 8 khối ở các đỉnh được sơn 3 mặt; các khối trên cạnh nhưng không ở đỉnh được sơn 2 mặt: 4×[(6−2)+(8−2)+(4−2)]=48. Cần phân biệt độ dài, diện tích mặt và thể tích.

Bước 2: Các khối trong lòng mỗi mặt được sơn 1 mặt: 2×[(6−2)(8−2)+(6−2)(4−2)+(8−2)(4−2)]=88. Cần phân biệt độ dài, diện tích mặt và thể tích.

Đáp số: Khối không sơn = (6−2)(8−2)(4−2)=48. Kiểm tra tổng: 8+48+88+48=192.

Bài 10: Một khối hộp 6×3×5 khối lập phương nhỏ được sơn cả sáu mặt ngoài rồi tách ra. Có bao nhiêu khối nhỏ được sơn 3 mặt, 2 mặt, 1 mặt và không được sơn mặt nào?

Lời giải chi tiết:

Bước 1: 8 khối ở các đỉnh được sơn 3 mặt; các khối trên cạnh nhưng không ở đỉnh được sơn 2 mặt: 4×[(6−2)+(3−2)+(5−2)]=32. Cần phân biệt độ dài, diện tích mặt và thể tích.

Bước 2: Các khối trong lòng mỗi mặt được sơn 1 mặt: 2×[(6−2)(3−2)+(6−2)(5−2)+(3−2)(5−2)]=38. Cần phân biệt độ dài, diện tích mặt và thể tích.

Đáp số: Khối không sơn = (6−2)(3−2)(5−2)=12. Kiểm tra tổng: 8+32+38+12=90.

Bài 11: Bể chữ nhật đáy 30 dm × 18 dm đang có nước cao 24 dm. Thả chìm hoàn toàn một khối hộp 15 dm × 5 dm × 2 dm. Mực nước dâng bao nhiêu và lên tới bao nhiêu?

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Thể tích khối thả vào = 15×5×2=150 dm³. Cần phân biệt độ dài, diện tích mặt và thể tích.

Bước 2: Diện tích đáy bể = 30×18=540 dm²; mức dâng = 150:540=518 dm. Các phân số phải được đưa về cùng đơn vị phần trước khi cộng, trừ hoặc so sánh. Ta rút gọn, quy đồng hoặc chọn phân số trung gian phù hợp, sau đó rút gọn kết quả cuối cùng nếu có thể.

Đáp số: Mực nước mới = 24+518=43718 dm.

Bài 12: Bể chữ nhật đáy 13 dm × 8 dm đang có nước cao 13 dm. Thả chìm hoàn toàn một khối hộp 3 dm × 4 dm × 7 dm. Mực nước dâng bao nhiêu và lên tới bao nhiêu?

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Thể tích khối thả vào = 3×4×7=84 dm³. Cần phân biệt độ dài, diện tích mặt và thể tích.

Bước 2: Diện tích đáy bể = 13×8=104 dm²; mức dâng = 84:104=2126 dm. Các phân số phải được đưa về cùng đơn vị phần trước khi cộng, trừ hoặc so sánh. Ta rút gọn, quy đồng hoặc chọn phân số trung gian phù hợp, sau đó rút gọn kết quả cuối cùng nếu có thể.

Đáp số: Mực nước mới = 13+2126=35926 dm.