Mục tiêu bài học
- Nhận biết cách đếm phù hợp trong chuyên đề “Đếm cách chọn đồ vật”.
- Đếm có hệ thống, tránh trùng và tránh bỏ sót.
- Giải được bài nhiều bước bằng quy tắc cộng, quy tắc nhân hoặc chia trường hợp ở mức tiểu học.
Kiến thức cần nhớ
- Quy tắc cộng dùng khi chọn đúng một trong các trường hợp không trùng nhau.
- Quy tắc nhân dùng khi một kết quả được tạo qua nhiều bước liên tiếp.
- Cần xác định rõ có phân biệt thứ tự hay không và có cho phép lặp hay không.
- Nếu phải chia trường hợp, các trường hợp cần không trùng nhau và bao quát hết mọi khả năng.
Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Từ 12 học sinh, chọn 4 học sinh vào một nhóm, không phân biệt thứ tự. Có bao nhiêu nhóm có bạn An bắt buộc tham gia? Hãy giải bằng cách lấy tổng số nhóm trừ số nhóm không có An.
Hướng dẫn giải chi tiết:
Bước 1: Tổng số nhóm là (12×11×10×9):(4×3×2×1)=495.
Bước 2: Số nhóm không có An, tức chọn 4 bạn từ 11 bạn còn lại, là (11×10×9×8):(4×3×2×1)=330.
Kết luận: Số nhóm có An là 495−330=165.
Ví dụ 2: Từ 11 học sinh, chọn 4 học sinh vào một nhóm, không phân biệt thứ tự. Có bao nhiêu nhóm có bạn An bắt buộc tham gia? Hãy giải bằng cách lấy tổng số nhóm trừ số nhóm không có An.
Hướng dẫn giải chi tiết:
Bước 1: Tổng số nhóm là (11×10×9×8):(4×3×2×1)=330.
Bước 2: Số nhóm không có An, tức chọn 4 bạn từ 10 bạn còn lại, là (10×9×8×7):(4×3×2×1)=210.
Kết luận: Số nhóm có An là 330−210=120.
Ví dụ 3: Từ 11 học sinh, chọn 4 học sinh vào một nhóm, không phân biệt thứ tự. Có bao nhiêu nhóm có bạn An bắt buộc tham gia? Hãy giải bằng cách lấy tổng số nhóm trừ số nhóm không có An.
Hướng dẫn giải chi tiết:
Bước 1: Tổng số nhóm là (11×10×9×8):(4×3×2×1)=330.
Bước 2: Số nhóm không có An, tức chọn 4 bạn từ 10 bạn còn lại, là (10×9×8×7):(4×3×2×1)=210.
Kết luận: Số nhóm có An là 330−210=120.
Bài tập áp dụng
Bài 1: Từ 8 học sinh, chọn 3 học sinh vào một nhóm, không phân biệt thứ tự. Có bao nhiêu nhóm có bạn An bắt buộc tham gia? Hãy giải bằng cách lấy tổng số nhóm trừ số nhóm không có An.
Bài 2: Từ 10 học sinh, chọn 4 học sinh vào một nhóm, không phân biệt thứ tự. Có bao nhiêu nhóm có bạn An bắt buộc tham gia? Hãy giải bằng cách lấy tổng số nhóm trừ số nhóm không có An.
Bài 3: Từ 8 học sinh, chọn 4 học sinh vào một nhóm, không phân biệt thứ tự. Có bao nhiêu nhóm có bạn An bắt buộc tham gia? Hãy giải bằng cách lấy tổng số nhóm trừ số nhóm không có An.
Bài 4: Từ 8 học sinh, chọn 4 học sinh vào một nhóm, không phân biệt thứ tự. Có bao nhiêu nhóm có bạn An bắt buộc tham gia? Hãy giải bằng cách lấy tổng số nhóm trừ số nhóm không có An.
Bài 5: Từ 14 học sinh, chọn 5 học sinh vào một nhóm, không phân biệt thứ tự. Có bao nhiêu nhóm có bạn An bắt buộc tham gia? Hãy giải bằng cách lấy tổng số nhóm trừ số nhóm không có An.
Xem lời giải
Bài 1: Từ 8 học sinh, chọn 3 học sinh vào một nhóm, không phân biệt thứ tự. Có bao nhiêu nhóm có bạn An bắt buộc tham gia? Hãy giải bằng cách lấy tổng số nhóm trừ số nhóm không có An.
Lời giải:
Tổng số nhóm là (8×7×6):(3×2×1)=56.
Số nhóm không có An, tức chọn 3 bạn từ 7 bạn còn lại, là (7×6×5):(3×2×1)=35.
Đáp số: Số nhóm có An là 56−35=21.
Bài 2: Từ 10 học sinh, chọn 4 học sinh vào một nhóm, không phân biệt thứ tự. Có bao nhiêu nhóm có bạn An bắt buộc tham gia? Hãy giải bằng cách lấy tổng số nhóm trừ số nhóm không có An.
Lời giải:
Tổng số nhóm là (10×9×8×7):(4×3×2×1)=210.
Số nhóm không có An, tức chọn 4 bạn từ 9 bạn còn lại, là (9×8×7×6):(4×3×2×1)=126.
Đáp số: Số nhóm có An là 210−126=84.
Bài 3: Từ 8 học sinh, chọn 4 học sinh vào một nhóm, không phân biệt thứ tự. Có bao nhiêu nhóm có bạn An bắt buộc tham gia? Hãy giải bằng cách lấy tổng số nhóm trừ số nhóm không có An.
Lời giải:
Tổng số nhóm là (8×7×6×5):(4×3×2×1)=70.
Số nhóm không có An, tức chọn 4 bạn từ 7 bạn còn lại, là (7×6×5×4):(4×3×2×1)=35.
Đáp số: Số nhóm có An là 70−35=35.
Bài 4: Từ 8 học sinh, chọn 4 học sinh vào một nhóm, không phân biệt thứ tự. Có bao nhiêu nhóm có bạn An bắt buộc tham gia? Hãy giải bằng cách lấy tổng số nhóm trừ số nhóm không có An.
Lời giải:
Tổng số nhóm là (8×7×6×5):(4×3×2×1)=70.
Số nhóm không có An, tức chọn 4 bạn từ 7 bạn còn lại, là (7×6×5×4):(4×3×2×1)=35.
Đáp số: Số nhóm có An là 70−35=35.
Bài 5: Từ 14 học sinh, chọn 5 học sinh vào một nhóm, không phân biệt thứ tự. Có bao nhiêu nhóm có bạn An bắt buộc tham gia? Hãy giải bằng cách lấy tổng số nhóm trừ số nhóm không có An.
Lời giải:
Tổng số nhóm là (14×13×12×11×10):(5×4×3×2×1)=2002.
Số nhóm không có An, tức chọn 5 bạn từ 13 bạn còn lại, là (13×12×11×10×9):(5×4×3×2×1)=1287.
Đáp số: Số nhóm có An là 2002−1287=715.
Bài tập tự luyện
Bài 1: Từ 10 học sinh, chọn 3 học sinh vào một nhóm, không phân biệt thứ tự. Có bao nhiêu nhóm có bạn An bắt buộc tham gia? Hãy giải bằng cách lấy tổng số nhóm trừ số nhóm không có An.
Bài 2: Từ 14 học sinh, chọn 4 học sinh vào một nhóm, không phân biệt thứ tự. Có bao nhiêu nhóm có bạn An bắt buộc tham gia? Hãy giải bằng cách lấy tổng số nhóm trừ số nhóm không có An.
Bài 3: Từ 14 học sinh, chọn 5 học sinh vào một nhóm, không phân biệt thứ tự. Có bao nhiêu nhóm có bạn An bắt buộc tham gia? Hãy giải bằng cách lấy tổng số nhóm trừ số nhóm không có An.
Bài 4: Từ 14 học sinh, chọn 5 học sinh vào một nhóm, không phân biệt thứ tự. Có bao nhiêu nhóm có bạn An bắt buộc tham gia? Hãy giải bằng cách lấy tổng số nhóm trừ số nhóm không có An.
Bài 5: Từ 10 học sinh, chọn 4 học sinh vào một nhóm, không phân biệt thứ tự. Có bao nhiêu nhóm có bạn An bắt buộc tham gia? Hãy giải bằng cách lấy tổng số nhóm trừ số nhóm không có An.
Bài 6: Từ 9 học sinh, chọn 3 học sinh vào một nhóm, không phân biệt thứ tự. Có bao nhiêu nhóm có bạn An bắt buộc tham gia? Hãy giải bằng cách lấy tổng số nhóm trừ số nhóm không có An.
Bài 7: Từ 11 học sinh, chọn 5 học sinh vào một nhóm, không phân biệt thứ tự. Có bao nhiêu nhóm có bạn An bắt buộc tham gia? Hãy giải bằng cách lấy tổng số nhóm trừ số nhóm không có An.
Bài 8: Từ 11 học sinh, chọn 5 học sinh vào một nhóm, không phân biệt thứ tự. Có bao nhiêu nhóm có bạn An bắt buộc tham gia? Hãy giải bằng cách lấy tổng số nhóm trừ số nhóm không có An.
Bài 9: Từ 11 học sinh, chọn 3 học sinh vào một nhóm, không phân biệt thứ tự. Có bao nhiêu nhóm có bạn An bắt buộc tham gia? Hãy giải bằng cách lấy tổng số nhóm trừ số nhóm không có An.
Bài 10: Từ 12 học sinh, chọn 5 học sinh vào một nhóm, không phân biệt thứ tự. Có bao nhiêu nhóm có bạn An bắt buộc tham gia? Hãy giải bằng cách lấy tổng số nhóm trừ số nhóm không có An.
Bài 11: Từ 9 học sinh, chọn 4 học sinh vào một nhóm, không phân biệt thứ tự. Có bao nhiêu nhóm có bạn An bắt buộc tham gia? Hãy giải bằng cách lấy tổng số nhóm trừ số nhóm không có An.
Bài 12: Từ 9 học sinh, chọn 3 học sinh vào một nhóm, không phân biệt thứ tự. Có bao nhiêu nhóm có bạn An bắt buộc tham gia? Hãy giải bằng cách lấy tổng số nhóm trừ số nhóm không có An.
Xem lời giải bài tập tự luyện
Bài 1: Từ 10 học sinh, chọn 3 học sinh vào một nhóm, không phân biệt thứ tự. Có bao nhiêu nhóm có bạn An bắt buộc tham gia? Hãy giải bằng cách lấy tổng số nhóm trừ số nhóm không có An.
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Tổng số nhóm là (10×9×8):(3×2×1)=120.
Bước 2: Số nhóm không có An, tức chọn 3 bạn từ 9 bạn còn lại, là (9×8×7):(3×2×1)=84.
Đáp số: Số nhóm có An là 120−84=36.
Bài 2: Từ 14 học sinh, chọn 4 học sinh vào một nhóm, không phân biệt thứ tự. Có bao nhiêu nhóm có bạn An bắt buộc tham gia? Hãy giải bằng cách lấy tổng số nhóm trừ số nhóm không có An.
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Tổng số nhóm là (14×13×12×11):(4×3×2×1)=1001.
Bước 2: Số nhóm không có An, tức chọn 4 bạn từ 13 bạn còn lại, là (13×12×11×10):(4×3×2×1)=715.
Đáp số: Số nhóm có An là 1001−715=286.
Bài 3: Từ 14 học sinh, chọn 5 học sinh vào một nhóm, không phân biệt thứ tự. Có bao nhiêu nhóm có bạn An bắt buộc tham gia? Hãy giải bằng cách lấy tổng số nhóm trừ số nhóm không có An.
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Tổng số nhóm là (14×13×12×11×10):(5×4×3×2×1)=2002.
Bước 2: Số nhóm không có An, tức chọn 5 bạn từ 13 bạn còn lại, là (13×12×11×10×9):(5×4×3×2×1)=1287.
Đáp số: Số nhóm có An là 2002−1287=715.
Bài 4: Từ 14 học sinh, chọn 5 học sinh vào một nhóm, không phân biệt thứ tự. Có bao nhiêu nhóm có bạn An bắt buộc tham gia? Hãy giải bằng cách lấy tổng số nhóm trừ số nhóm không có An.
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Tổng số nhóm là (14×13×12×11×10):(5×4×3×2×1)=2002.
Bước 2: Số nhóm không có An, tức chọn 5 bạn từ 13 bạn còn lại, là (13×12×11×10×9):(5×4×3×2×1)=1287.
Đáp số: Số nhóm có An là 2002−1287=715.
Bài 5: Từ 10 học sinh, chọn 4 học sinh vào một nhóm, không phân biệt thứ tự. Có bao nhiêu nhóm có bạn An bắt buộc tham gia? Hãy giải bằng cách lấy tổng số nhóm trừ số nhóm không có An.
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Tổng số nhóm là (10×9×8×7):(4×3×2×1)=210.
Bước 2: Số nhóm không có An, tức chọn 4 bạn từ 9 bạn còn lại, là (9×8×7×6):(4×3×2×1)=126.
Đáp số: Số nhóm có An là 210−126=84.
Bài 6: Từ 9 học sinh, chọn 3 học sinh vào một nhóm, không phân biệt thứ tự. Có bao nhiêu nhóm có bạn An bắt buộc tham gia? Hãy giải bằng cách lấy tổng số nhóm trừ số nhóm không có An.
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Tổng số nhóm là (9×8×7):(3×2×1)=84.
Bước 2: Số nhóm không có An, tức chọn 3 bạn từ 8 bạn còn lại, là (8×7×6):(3×2×1)=56.
Đáp số: Số nhóm có An là 84−56=28.
Bài 7: Từ 11 học sinh, chọn 5 học sinh vào một nhóm, không phân biệt thứ tự. Có bao nhiêu nhóm có bạn An bắt buộc tham gia? Hãy giải bằng cách lấy tổng số nhóm trừ số nhóm không có An.
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Tổng số nhóm là (11×10×9×8×7):(5×4×3×2×1)=462.
Bước 2: Số nhóm không có An, tức chọn 5 bạn từ 10 bạn còn lại, là (10×9×8×7×6):(5×4×3×2×1)=252.
Đáp số: Số nhóm có An là 462−252=210.
Bài 8: Từ 11 học sinh, chọn 5 học sinh vào một nhóm, không phân biệt thứ tự. Có bao nhiêu nhóm có bạn An bắt buộc tham gia? Hãy giải bằng cách lấy tổng số nhóm trừ số nhóm không có An.
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Tổng số nhóm là (11×10×9×8×7):(5×4×3×2×1)=462.
Bước 2: Số nhóm không có An, tức chọn 5 bạn từ 10 bạn còn lại, là (10×9×8×7×6):(5×4×3×2×1)=252.
Đáp số: Số nhóm có An là 462−252=210.
Bài 9: Từ 11 học sinh, chọn 3 học sinh vào một nhóm, không phân biệt thứ tự. Có bao nhiêu nhóm có bạn An bắt buộc tham gia? Hãy giải bằng cách lấy tổng số nhóm trừ số nhóm không có An.
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Tổng số nhóm là (11×10×9):(3×2×1)=165.
Bước 2: Số nhóm không có An, tức chọn 3 bạn từ 10 bạn còn lại, là (10×9×8):(3×2×1)=120.
Đáp số: Số nhóm có An là 165−120=45.
Bài 10: Từ 12 học sinh, chọn 5 học sinh vào một nhóm, không phân biệt thứ tự. Có bao nhiêu nhóm có bạn An bắt buộc tham gia? Hãy giải bằng cách lấy tổng số nhóm trừ số nhóm không có An.
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Tổng số nhóm là (12×11×10×9×8):(5×4×3×2×1)=792.
Bước 2: Số nhóm không có An, tức chọn 5 bạn từ 11 bạn còn lại, là (11×10×9×8×7):(5×4×3×2×1)=462.
Đáp số: Số nhóm có An là 792−462=330.
Bài 11: Từ 9 học sinh, chọn 4 học sinh vào một nhóm, không phân biệt thứ tự. Có bao nhiêu nhóm có bạn An bắt buộc tham gia? Hãy giải bằng cách lấy tổng số nhóm trừ số nhóm không có An.
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Tổng số nhóm là (9×8×7×6):(4×3×2×1)=126.
Bước 2: Số nhóm không có An, tức chọn 4 bạn từ 8 bạn còn lại, là (8×7×6×5):(4×3×2×1)=70.
Đáp số: Số nhóm có An là 126−70=56.
Bài 12: Từ 9 học sinh, chọn 3 học sinh vào một nhóm, không phân biệt thứ tự. Có bao nhiêu nhóm có bạn An bắt buộc tham gia? Hãy giải bằng cách lấy tổng số nhóm trừ số nhóm không có An.
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Tổng số nhóm là (9×8×7):(3×2×1)=84.
Bước 2: Số nhóm không có An, tức chọn 3 bạn từ 8 bạn còn lại, là (8×7×6):(3×2×1)=56.
Đáp số: Số nhóm có An là 84−56=28.
Bài 13: Có 5 tấm thẻ khác nhau. Chọn 2 thẻ, không phân biệt thứ tự. Có bao nhiêu cách chọn?
Lời giải
Ghép từng thẻ với các thẻ đứng sau nó: 4 + 3 + 2 + 1 = 10 cách.
Bài 14: Có 6 học sinh, trong đó có An. Chọn 3 học sinh vào một nhóm và bắt buộc có An. Có bao nhiêu nhóm?
Lời giải
Đã chọn An, chỉ cần chọn thêm 2 bạn trong 5 bạn còn lại. Số cặp là 4 + 3 + 2 + 1 = 10 nhóm.
Bài 15: Có 4 quyển sách Toán khác nhau và 3 quyển sách Khoa học khác nhau. Chọn 1 quyển Toán và 1 quyển Khoa học. Có bao nhiêu cách chọn?
Lời giải
Mỗi quyển Toán có thể ghép với 3 quyển Khoa học, nên có 4 × 3 = 12 cách.
Ghi nhớ
- Quy tắc cộng dùng khi chọn đúng một trong các trường hợp không trùng nhau.
- Quy tắc nhân dùng khi một kết quả được tạo qua nhiều bước liên tiếp.
- Cần xác định rõ có phân biệt thứ tự hay không và có cho phép lặp hay không.