Đếm cách chọn đồ vật
Chuyên đề nâng cao đếm cách chọn đồ vật với phương pháp chọn lọc, 20 bài toán phân loại và lời giải đầy đủ từng bước dành cho học sinh ôn thi vào lớp 6 CLC.
Mục tiêu bài học
- Nhận biết và xử lí các biến đổi nâng cao của dạng Đếm cách chọn đồ vật.
- Biết phân tích dữ kiện ẩn, lựa chọn phương pháp ngắn gọn và kiểm tra kết quả.
- Trình bày lời giải đầy đủ từng bước theo ngôn ngữ Toán tiểu học, không dùng kiến thức thuần THCS.
Kiến thức cần nhớ
- Quy tắc cộng dùng cho các trường hợp loại trừ nhau; quy tắc nhân dùng cho các bước liên tiếp.
- Cần xác định rõ có phân biệt thứ tự hay không và có cho phép lặp hay không.
- Chia trường hợp sao cho các trường hợp không trùng và bao quát hết khả năng.
- Trọng tâm là nhận đúng dữ kiện đặc trưng của dạng “Đếm cách chọn đồ vật” và chọn phép tính phù hợp.
- Nên trình bày theo thứ tự: tóm tắt, lập luận, phép tính, kết luận.
Ví dụ minh họa
Phương pháp chung
- Đọc kĩ đề, gạch dưới dữ kiện và xác định chính xác yêu cầu cuối cùng.
- Ta chia quá trình lựa chọn thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Cần bảo đảm mỗi kết quả được đếm đúng một lần.
- Trình bày từng kết quả trung gian, giải thích ý nghĩa của phép tính và kiểm tra lại kết luận.
Ví dụ 1: Từ 12 học sinh, chọn 4 học sinh vào một nhóm, không phân biệt thứ tự. Có bao nhiêu nhóm có bạn An bắt buộc tham gia? Hãy giải bằng cách lấy tổng số nhóm trừ số nhóm không có An.
Hướng dẫn giải chi tiết:
Phân tích đề: Ta chia quá trình lựa chọn thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Cần bảo đảm mỗi kết quả được đếm đúng một lần.
Bước 1: Tổng số nhóm là (12×11×10×9):(4×3×2×1)=495. Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.
Vì sao làm như vậy: Khi mỗi lựa chọn ở bước trước ghép được với tất cả lựa chọn ở bước sau, số cách được tính bằng phép nhân.
Bước 2: Số nhóm không có An, tức chọn 4 bạn từ 11 bạn còn lại, là (11×10×9×8):(4×3×2×1)=330. Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.
Vì sao làm như vậy: Khi chia thành các trường hợp riêng biệt, ta tính từng trường hợp rồi cộng, đồng thời loại những cách vi phạm điều kiện.
Ý nghĩa của kết quả: Kết quả phải là số tự nhiên và phản ánh đúng các điều kiện không lặp, không trùng hoặc không được phép.
Kết luận: Số nhóm có An là 495−330=165.
Kiểm tra: Liệt kê thử một trường hợp nhỏ hoặc đếm theo cách khác để phát hiện đếm thiếu, đếm thừa.
Ví dụ 2: Từ 11 học sinh, chọn 4 học sinh vào một nhóm, không phân biệt thứ tự. Có bao nhiêu nhóm có bạn An bắt buộc tham gia? Hãy giải bằng cách lấy tổng số nhóm trừ số nhóm không có An.
Hướng dẫn giải chi tiết:
Phân tích đề: Ta chia quá trình lựa chọn thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Cần bảo đảm mỗi kết quả được đếm đúng một lần.
Bước 1: Tổng số nhóm là (11×10×9×8):(4×3×2×1)=330. Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.
Vì sao làm như vậy: Khi mỗi lựa chọn ở bước trước ghép được với tất cả lựa chọn ở bước sau, số cách được tính bằng phép nhân.
Bước 2: Số nhóm không có An, tức chọn 4 bạn từ 10 bạn còn lại, là (10×9×8×7):(4×3×2×1)=210. Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.
Vì sao làm như vậy: Khi chia thành các trường hợp riêng biệt, ta tính từng trường hợp rồi cộng, đồng thời loại những cách vi phạm điều kiện.
Ý nghĩa của kết quả: Kết quả phải là số tự nhiên và phản ánh đúng các điều kiện không lặp, không trùng hoặc không được phép.
Kết luận: Số nhóm có An là 330−210=120.
Kiểm tra: Liệt kê thử một trường hợp nhỏ hoặc đếm theo cách khác để phát hiện đếm thiếu, đếm thừa.
Ví dụ 3: Từ 11 học sinh, chọn 4 học sinh vào một nhóm, không phân biệt thứ tự. Có bao nhiêu nhóm có bạn An bắt buộc tham gia? Hãy giải bằng cách lấy tổng số nhóm trừ số nhóm không có An. (Bộ dữ liệu 3)
Hướng dẫn giải chi tiết:
Phân tích đề: Ta chia quá trình lựa chọn thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Cần bảo đảm mỗi kết quả được đếm đúng một lần.
Bước 1: Tổng số nhóm là (11×10×9×8):(4×3×2×1)=330. Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.
Vì sao làm như vậy: Khi mỗi lựa chọn ở bước trước ghép được với tất cả lựa chọn ở bước sau, số cách được tính bằng phép nhân.
Bước 2: Số nhóm không có An, tức chọn 4 bạn từ 10 bạn còn lại, là (10×9×8×7):(4×3×2×1)=210. Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.
Vì sao làm như vậy: Khi chia thành các trường hợp riêng biệt, ta tính từng trường hợp rồi cộng, đồng thời loại những cách vi phạm điều kiện.
Ý nghĩa của kết quả: Kết quả phải là số tự nhiên và phản ánh đúng các điều kiện không lặp, không trùng hoặc không được phép.
Kết luận: Số nhóm có An là 330−210=120.
Kiểm tra: Liệt kê thử một trường hợp nhỏ hoặc đếm theo cách khác để phát hiện đếm thiếu, đếm thừa.
Bài tập áp dụng
Bài 1: Từ 8 học sinh, chọn 3 học sinh vào một nhóm, không phân biệt thứ tự. Có bao nhiêu nhóm có bạn An bắt buộc tham gia? Hãy giải bằng cách lấy tổng số nhóm trừ số nhóm không có An.
Bài 2: Từ 10 học sinh, chọn 4 học sinh vào một nhóm, không phân biệt thứ tự. Có bao nhiêu nhóm có bạn An bắt buộc tham gia? Hãy giải bằng cách lấy tổng số nhóm trừ số nhóm không có An.
Bài 3: Từ 8 học sinh, chọn 4 học sinh vào một nhóm, không phân biệt thứ tự. Có bao nhiêu nhóm có bạn An bắt buộc tham gia? Hãy giải bằng cách lấy tổng số nhóm trừ số nhóm không có An.
Bài 4: Từ 8 học sinh, chọn 4 học sinh vào một nhóm, không phân biệt thứ tự. Có bao nhiêu nhóm có bạn An bắt buộc tham gia? Hãy giải bằng cách lấy tổng số nhóm trừ số nhóm không có An. (Bộ dữ liệu 7)
Bài 5: Từ 14 học sinh, chọn 5 học sinh vào một nhóm, không phân biệt thứ tự. Có bao nhiêu nhóm có bạn An bắt buộc tham gia? Hãy giải bằng cách lấy tổng số nhóm trừ số nhóm không có An.
Xem lời giải
Bài 1: Từ 8 học sinh, chọn 3 học sinh vào một nhóm, không phân biệt thứ tự. Có bao nhiêu nhóm có bạn An bắt buộc tham gia? Hãy giải bằng cách lấy tổng số nhóm trừ số nhóm không có An.
Lời giải:
Trước hết, ta chia việc chọn thành từng bước hoặc từng trường hợp, xác định số lựa chọn ở mỗi phần và tránh đếm trùng.
Tổng số nhóm là (8×7×6):(3×2×1)=56.
Mỗi lựa chọn của phần này ghép được với các lựa chọn phù hợp của phần sau, nên ta nhân số cách tương ứng.
Số nhóm không có An, tức chọn 3 bạn từ 7 bạn còn lại, là (7×6×5):(3×2×1)=35.
Nếu có điều kiện cấm hoặc lặp, ta loại các cách không hợp lệ trước khi cộng các trường hợp.
Từ các kết quả trên, ta trả lời đầy đủ yêu cầu của bài toán và ghi đáp số kèm đơn vị (nếu có).
Đáp số: Số nhóm có An là 56−35=21.
Bài 2: Từ 10 học sinh, chọn 4 học sinh vào một nhóm, không phân biệt thứ tự. Có bao nhiêu nhóm có bạn An bắt buộc tham gia? Hãy giải bằng cách lấy tổng số nhóm trừ số nhóm không có An.
Lời giải:
Trước hết, ta chia việc chọn thành từng bước hoặc từng trường hợp, xác định số lựa chọn ở mỗi phần và tránh đếm trùng.
Tổng số nhóm là (10×9×8×7):(4×3×2×1)=210.
Mỗi lựa chọn của phần này ghép được với các lựa chọn phù hợp của phần sau, nên ta nhân số cách tương ứng.
Số nhóm không có An, tức chọn 4 bạn từ 9 bạn còn lại, là (9×8×7×6):(4×3×2×1)=126.
Nếu có điều kiện cấm hoặc lặp, ta loại các cách không hợp lệ trước khi cộng các trường hợp.
Từ các kết quả trên, ta trả lời đầy đủ yêu cầu của bài toán và ghi đáp số kèm đơn vị (nếu có).
Đáp số: Số nhóm có An là 210−126=84.
Bài 3: Từ 8 học sinh, chọn 4 học sinh vào một nhóm, không phân biệt thứ tự. Có bao nhiêu nhóm có bạn An bắt buộc tham gia? Hãy giải bằng cách lấy tổng số nhóm trừ số nhóm không có An.
Lời giải:
Trước hết, ta chia việc chọn thành từng bước hoặc từng trường hợp, xác định số lựa chọn ở mỗi phần và tránh đếm trùng.
Tổng số nhóm là (8×7×6×5):(4×3×2×1)=70.
Mỗi lựa chọn của phần này ghép được với các lựa chọn phù hợp của phần sau, nên ta nhân số cách tương ứng.
Số nhóm không có An, tức chọn 4 bạn từ 7 bạn còn lại, là (7×6×5×4):(4×3×2×1)=35.
Nếu có điều kiện cấm hoặc lặp, ta loại các cách không hợp lệ trước khi cộng các trường hợp.
Từ các kết quả trên, ta trả lời đầy đủ yêu cầu của bài toán và ghi đáp số kèm đơn vị (nếu có).
Đáp số: Số nhóm có An là 70−35=35.
Bài 4: Từ 8 học sinh, chọn 4 học sinh vào một nhóm, không phân biệt thứ tự. Có bao nhiêu nhóm có bạn An bắt buộc tham gia? Hãy giải bằng cách lấy tổng số nhóm trừ số nhóm không có An. (Bộ dữ liệu 7)
Lời giải:
Trước hết, ta chia việc chọn thành từng bước hoặc từng trường hợp, xác định số lựa chọn ở mỗi phần và tránh đếm trùng.
Tổng số nhóm là (8×7×6×5):(4×3×2×1)=70.
Mỗi lựa chọn của phần này ghép được với các lựa chọn phù hợp của phần sau, nên ta nhân số cách tương ứng.
Số nhóm không có An, tức chọn 4 bạn từ 7 bạn còn lại, là (7×6×5×4):(4×3×2×1)=35.
Nếu có điều kiện cấm hoặc lặp, ta loại các cách không hợp lệ trước khi cộng các trường hợp.
Từ các kết quả trên, ta trả lời đầy đủ yêu cầu của bài toán và ghi đáp số kèm đơn vị (nếu có).
Đáp số: Số nhóm có An là 70−35=35.
Bài 5: Từ 14 học sinh, chọn 5 học sinh vào một nhóm, không phân biệt thứ tự. Có bao nhiêu nhóm có bạn An bắt buộc tham gia? Hãy giải bằng cách lấy tổng số nhóm trừ số nhóm không có An.
Lời giải:
Trước hết, ta chia việc chọn thành từng bước hoặc từng trường hợp, xác định số lựa chọn ở mỗi phần và tránh đếm trùng.
Tổng số nhóm là (14×13×12×11×10):(5×4×3×2×1)=2002.
Mỗi lựa chọn của phần này ghép được với các lựa chọn phù hợp của phần sau, nên ta nhân số cách tương ứng.
Số nhóm không có An, tức chọn 5 bạn từ 13 bạn còn lại, là (13×12×11×10×9):(5×4×3×2×1)=1287.
Nếu có điều kiện cấm hoặc lặp, ta loại các cách không hợp lệ trước khi cộng các trường hợp.
Từ các kết quả trên, ta trả lời đầy đủ yêu cầu của bài toán và ghi đáp số kèm đơn vị (nếu có).
Đáp số: Số nhóm có An là 2002−1287=715.
Bài tập tự luyện
Bài 1: Từ 10 học sinh, chọn 3 học sinh vào một nhóm, không phân biệt thứ tự. Có bao nhiêu nhóm có bạn An bắt buộc tham gia? Hãy giải bằng cách lấy tổng số nhóm trừ số nhóm không có An.
Bài 2: Từ 14 học sinh, chọn 4 học sinh vào một nhóm, không phân biệt thứ tự. Có bao nhiêu nhóm có bạn An bắt buộc tham gia? Hãy giải bằng cách lấy tổng số nhóm trừ số nhóm không có An.
Bài 3: Từ 14 học sinh, chọn 5 học sinh vào một nhóm, không phân biệt thứ tự. Có bao nhiêu nhóm có bạn An bắt buộc tham gia? Hãy giải bằng cách lấy tổng số nhóm trừ số nhóm không có An. (Bộ dữ liệu 11)
Bài 4: Từ 14 học sinh, chọn 5 học sinh vào một nhóm, không phân biệt thứ tự. Có bao nhiêu nhóm có bạn An bắt buộc tham gia? Hãy giải bằng cách lấy tổng số nhóm trừ số nhóm không có An. (Bộ dữ liệu 12)
Bài 5: Từ 10 học sinh, chọn 4 học sinh vào một nhóm, không phân biệt thứ tự. Có bao nhiêu nhóm có bạn An bắt buộc tham gia? Hãy giải bằng cách lấy tổng số nhóm trừ số nhóm không có An. (Bộ dữ liệu 13)
Bài 6: Từ 9 học sinh, chọn 3 học sinh vào một nhóm, không phân biệt thứ tự. Có bao nhiêu nhóm có bạn An bắt buộc tham gia? Hãy giải bằng cách lấy tổng số nhóm trừ số nhóm không có An.
Bài 7: Từ 11 học sinh, chọn 5 học sinh vào một nhóm, không phân biệt thứ tự. Có bao nhiêu nhóm có bạn An bắt buộc tham gia? Hãy giải bằng cách lấy tổng số nhóm trừ số nhóm không có An.
Bài 8: Từ 11 học sinh, chọn 5 học sinh vào một nhóm, không phân biệt thứ tự. Có bao nhiêu nhóm có bạn An bắt buộc tham gia? Hãy giải bằng cách lấy tổng số nhóm trừ số nhóm không có An. (Bộ dữ liệu 16)
Bài 9: Từ 11 học sinh, chọn 3 học sinh vào một nhóm, không phân biệt thứ tự. Có bao nhiêu nhóm có bạn An bắt buộc tham gia? Hãy giải bằng cách lấy tổng số nhóm trừ số nhóm không có An.
Bài 10: Từ 12 học sinh, chọn 5 học sinh vào một nhóm, không phân biệt thứ tự. Có bao nhiêu nhóm có bạn An bắt buộc tham gia? Hãy giải bằng cách lấy tổng số nhóm trừ số nhóm không có An.
Bài 11: Từ 9 học sinh, chọn 4 học sinh vào một nhóm, không phân biệt thứ tự. Có bao nhiêu nhóm có bạn An bắt buộc tham gia? Hãy giải bằng cách lấy tổng số nhóm trừ số nhóm không có An.
Bài 12: Từ 9 học sinh, chọn 3 học sinh vào một nhóm, không phân biệt thứ tự. Có bao nhiêu nhóm có bạn An bắt buộc tham gia? Hãy giải bằng cách lấy tổng số nhóm trừ số nhóm không có An. (Bộ dữ liệu 20)
Xem lời giải bài tập tự luyện
Bài 1: Từ 10 học sinh, chọn 3 học sinh vào một nhóm, không phân biệt thứ tự. Có bao nhiêu nhóm có bạn An bắt buộc tham gia? Hãy giải bằng cách lấy tổng số nhóm trừ số nhóm không có An.
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Tổng số nhóm là (10×9×8):(3×2×1)=120. Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.
Bước 2: Số nhóm không có An, tức chọn 3 bạn từ 9 bạn còn lại, là (9×8×7):(3×2×1)=84. Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.
Đáp số: Số nhóm có An là 120−84=36.
Kiểm tra: Đối chiếu trường hợp vừa tìm với từng điều kiện của đề. Nếu không có điều kiện nào bị vi phạm và các trường hợp đã được xét không trùng nhau, kết quả được chấp nhận.
Bài 2: Từ 14 học sinh, chọn 4 học sinh vào một nhóm, không phân biệt thứ tự. Có bao nhiêu nhóm có bạn An bắt buộc tham gia? Hãy giải bằng cách lấy tổng số nhóm trừ số nhóm không có An.
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Tổng số nhóm là (14×13×12×11):(4×3×2×1)=1001. Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.
Bước 2: Số nhóm không có An, tức chọn 4 bạn từ 13 bạn còn lại, là (13×12×11×10):(4×3×2×1)=715. Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.
Đáp số: Số nhóm có An là 1001−715=286.
Kiểm tra: Đối chiếu trường hợp vừa tìm với từng điều kiện của đề. Nếu không có điều kiện nào bị vi phạm và các trường hợp đã được xét không trùng nhau, kết quả được chấp nhận.
Bài 3: Từ 14 học sinh, chọn 5 học sinh vào một nhóm, không phân biệt thứ tự. Có bao nhiêu nhóm có bạn An bắt buộc tham gia? Hãy giải bằng cách lấy tổng số nhóm trừ số nhóm không có An. (Bộ dữ liệu 11)
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Tổng số nhóm là (14×13×12×11×10):(5×4×3×2×1)=2002. Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.
Bước 2: Số nhóm không có An, tức chọn 5 bạn từ 13 bạn còn lại, là (13×12×11×10×9):(5×4×3×2×1)=1287. Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.
Đáp số: Số nhóm có An là 2002−1287=715.
Kiểm tra: Đối chiếu trường hợp vừa tìm với từng điều kiện của đề. Nếu không có điều kiện nào bị vi phạm và các trường hợp đã được xét không trùng nhau, kết quả được chấp nhận.
Bài 4: Từ 14 học sinh, chọn 5 học sinh vào một nhóm, không phân biệt thứ tự. Có bao nhiêu nhóm có bạn An bắt buộc tham gia? Hãy giải bằng cách lấy tổng số nhóm trừ số nhóm không có An. (Bộ dữ liệu 12)
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Tổng số nhóm là (14×13×12×11×10):(5×4×3×2×1)=2002. Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.
Bước 2: Số nhóm không có An, tức chọn 5 bạn từ 13 bạn còn lại, là (13×12×11×10×9):(5×4×3×2×1)=1287. Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.
Đáp số: Số nhóm có An là 2002−1287=715.
Kiểm tra: Đối chiếu trường hợp vừa tìm với từng điều kiện của đề. Nếu không có điều kiện nào bị vi phạm và các trường hợp đã được xét không trùng nhau, kết quả được chấp nhận.
Bài 5: Từ 10 học sinh, chọn 4 học sinh vào một nhóm, không phân biệt thứ tự. Có bao nhiêu nhóm có bạn An bắt buộc tham gia? Hãy giải bằng cách lấy tổng số nhóm trừ số nhóm không có An. (Bộ dữ liệu 13)
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Tổng số nhóm là (10×9×8×7):(4×3×2×1)=210. Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.
Bước 2: Số nhóm không có An, tức chọn 4 bạn từ 9 bạn còn lại, là (9×8×7×6):(4×3×2×1)=126. Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.
Đáp số: Số nhóm có An là 210−126=84.
Kiểm tra: Đối chiếu trường hợp vừa tìm với từng điều kiện của đề. Nếu không có điều kiện nào bị vi phạm và các trường hợp đã được xét không trùng nhau, kết quả được chấp nhận.
Bài 6: Từ 9 học sinh, chọn 3 học sinh vào một nhóm, không phân biệt thứ tự. Có bao nhiêu nhóm có bạn An bắt buộc tham gia? Hãy giải bằng cách lấy tổng số nhóm trừ số nhóm không có An.
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Tổng số nhóm là (9×8×7):(3×2×1)=84. Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.
Bước 2: Số nhóm không có An, tức chọn 3 bạn từ 8 bạn còn lại, là (8×7×6):(3×2×1)=56. Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.
Đáp số: Số nhóm có An là 84−56=28.
Kiểm tra: Đối chiếu trường hợp vừa tìm với từng điều kiện của đề. Nếu không có điều kiện nào bị vi phạm và các trường hợp đã được xét không trùng nhau, kết quả được chấp nhận.
Bài 7: Từ 11 học sinh, chọn 5 học sinh vào một nhóm, không phân biệt thứ tự. Có bao nhiêu nhóm có bạn An bắt buộc tham gia? Hãy giải bằng cách lấy tổng số nhóm trừ số nhóm không có An.
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Tổng số nhóm là (11×10×9×8×7):(5×4×3×2×1)=462. Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.
Bước 2: Số nhóm không có An, tức chọn 5 bạn từ 10 bạn còn lại, là (10×9×8×7×6):(5×4×3×2×1)=252. Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.
Đáp số: Số nhóm có An là 462−252=210.
Kiểm tra: Đối chiếu trường hợp vừa tìm với từng điều kiện của đề. Nếu không có điều kiện nào bị vi phạm và các trường hợp đã được xét không trùng nhau, kết quả được chấp nhận.
Bài 8: Từ 11 học sinh, chọn 5 học sinh vào một nhóm, không phân biệt thứ tự. Có bao nhiêu nhóm có bạn An bắt buộc tham gia? Hãy giải bằng cách lấy tổng số nhóm trừ số nhóm không có An. (Bộ dữ liệu 16)
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Tổng số nhóm là (11×10×9×8×7):(5×4×3×2×1)=462. Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.
Bước 2: Số nhóm không có An, tức chọn 5 bạn từ 10 bạn còn lại, là (10×9×8×7×6):(5×4×3×2×1)=252. Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.
Đáp số: Số nhóm có An là 462−252=210.
Kiểm tra: Đối chiếu trường hợp vừa tìm với từng điều kiện của đề. Nếu không có điều kiện nào bị vi phạm và các trường hợp đã được xét không trùng nhau, kết quả được chấp nhận.
Bài 9: Từ 11 học sinh, chọn 3 học sinh vào một nhóm, không phân biệt thứ tự. Có bao nhiêu nhóm có bạn An bắt buộc tham gia? Hãy giải bằng cách lấy tổng số nhóm trừ số nhóm không có An.
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Tổng số nhóm là (11×10×9):(3×2×1)=165. Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.
Bước 2: Số nhóm không có An, tức chọn 3 bạn từ 10 bạn còn lại, là (10×9×8):(3×2×1)=120. Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.
Đáp số: Số nhóm có An là 165−120=45.
Kiểm tra: Đối chiếu trường hợp vừa tìm với từng điều kiện của đề. Nếu không có điều kiện nào bị vi phạm và các trường hợp đã được xét không trùng nhau, kết quả được chấp nhận.
Bài 10: Từ 12 học sinh, chọn 5 học sinh vào một nhóm, không phân biệt thứ tự. Có bao nhiêu nhóm có bạn An bắt buộc tham gia? Hãy giải bằng cách lấy tổng số nhóm trừ số nhóm không có An.
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Tổng số nhóm là (12×11×10×9×8):(5×4×3×2×1)=792. Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.
Bước 2: Số nhóm không có An, tức chọn 5 bạn từ 11 bạn còn lại, là (11×10×9×8×7):(5×4×3×2×1)=462. Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.
Đáp số: Số nhóm có An là 792−462=330.
Kiểm tra: Đối chiếu trường hợp vừa tìm với từng điều kiện của đề. Nếu không có điều kiện nào bị vi phạm và các trường hợp đã được xét không trùng nhau, kết quả được chấp nhận.
Bài 11: Từ 9 học sinh, chọn 4 học sinh vào một nhóm, không phân biệt thứ tự. Có bao nhiêu nhóm có bạn An bắt buộc tham gia? Hãy giải bằng cách lấy tổng số nhóm trừ số nhóm không có An.
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Tổng số nhóm là (9×8×7×6):(4×3×2×1)=126. Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.
Bước 2: Số nhóm không có An, tức chọn 4 bạn từ 8 bạn còn lại, là (8×7×6×5):(4×3×2×1)=70. Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.
Đáp số: Số nhóm có An là 126−70=56.
Kiểm tra: Đối chiếu trường hợp vừa tìm với từng điều kiện của đề. Nếu không có điều kiện nào bị vi phạm và các trường hợp đã được xét không trùng nhau, kết quả được chấp nhận.
Bài 12: Từ 9 học sinh, chọn 3 học sinh vào một nhóm, không phân biệt thứ tự. Có bao nhiêu nhóm có bạn An bắt buộc tham gia? Hãy giải bằng cách lấy tổng số nhóm trừ số nhóm không có An. (Bộ dữ liệu 20)
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Tổng số nhóm là (9×8×7):(3×2×1)=84. Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.
Bước 2: Số nhóm không có An, tức chọn 3 bạn từ 8 bạn còn lại, là (8×7×6):(3×2×1)=56. Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.
Đáp số: Số nhóm có An là 84−56=28.
Kiểm tra: Đối chiếu trường hợp vừa tìm với từng điều kiện của đề. Nếu không có điều kiện nào bị vi phạm và các trường hợp đã được xét không trùng nhau, kết quả được chấp nhận.
Ghi nhớ và tự kiểm tra
- Trọng tâm của bài là nhận ra cấu trúc ẩn trong dạng Đếm cách chọn đồ vật.
- Không làm theo phép tính máy móc; cần giải thích vì sao chọn cách làm.
- Mọi đáp số phải được kiểm tra lại với toàn bộ dữ kiện của đề.
Câu hỏi tự kiểm tra
- Em có tách được từng điều kiện và xác định thứ tự xử lí không?
- Em có trình bày đủ các kết quả trung gian không?
- Em có kiểm tra lại đáp số bằng điều kiện ban đầu hoặc một cách khác không?