Đếm cách sắp xếp

Học xong bài này

Mục tiêu bài học

Nhận biết cách đếm phù hợp trong chuyên đề “Đếm cách sắp xếp”.
Đếm có hệ thống, tránh trùng và tránh bỏ sót.
Giải được bài nhiều bước bằng quy tắc cộng, quy tắc nhân hoặc chia trường hợp ở mức tiểu học.

Nắm chắc trước khi làm bài

Kiến thức cần nhớ

Quy tắc cộng dùng khi chọn đúng một trong các trường hợp không trùng nhau.
Quy tắc nhân dùng khi một kết quả được tạo qua nhiều bước liên tiếp.
Cần xác định rõ có phân biệt thứ tự hay không và có cho phép lặp hay không.
Nếu phải chia trường hợp, các trường hợp cần không trùng nhau và bao quát hết mọi khả năng.

Quan sát cách làm

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Có 6 bạn đứng thành một hàng. Tính số cách xếp sao cho An và Bình không đứng cạnh nhau. Trình bày bằng cách lấy tổng số cách xếp trừ số cách hai bạn đứng cạnh nhau.

Hướng dẫn giải chi tiết:

Bước 1: Tổng số cách xếp là 6×5×4×3×2×1=720.

Bước 2: Gộp An và Bình thành một khối: có 5 đối tượng, xếp được 5×4×3×2×1=120 cách; trong khối có 2 thứ tự nên có 240 cách đứng cạnh nhau.

Kết luận: Số cách không đứng cạnh nhau là 720−240=480.

Ví dụ 2: Có 9 bạn đứng thành một hàng. Tính số cách xếp sao cho An và Bình không đứng cạnh nhau. Trình bày bằng cách lấy tổng số cách xếp trừ số cách hai bạn đứng cạnh nhau.

Hướng dẫn giải chi tiết:

Bước 1: Tổng số cách xếp là 9×8×7×6×5×4×3×2×1=362 880.

Bước 2: Gộp An và Bình thành một khối: có 8 đối tượng, xếp được 8×7×6×5×4×3×2×1=40 320 cách; trong khối có 2 thứ tự nên có 80 640 cách đứng cạnh nhau.

Kết luận: Số cách không đứng cạnh nhau là 362 880−80 640=282 240.

Ví dụ 3: Có 9 bạn đứng thành một hàng. Tính số cách xếp sao cho An và Bình không đứng cạnh nhau. Trình bày bằng cách lấy tổng số cách xếp trừ số cách hai bạn đứng cạnh nhau.

Hướng dẫn giải chi tiết:

Bước 1: Tổng số cách xếp là 9×8×7×6×5×4×3×2×1=362 880.

Kết luận: Số cách không đứng cạnh nhau là 362 880−80 640=282 240.

Luyện ngay sau ví dụ

Bài tập áp dụng

Bài 1: Có 7 bạn đứng thành một hàng. Tính số cách xếp sao cho An và Bình không đứng cạnh nhau. Trình bày bằng cách lấy tổng số cách xếp trừ số cách hai bạn đứng cạnh nhau.

Bài 2: Có 8 bạn đứng thành một hàng. Tính số cách xếp sao cho An và Bình không đứng cạnh nhau. Trình bày bằng cách lấy tổng số cách xếp trừ số cách hai bạn đứng cạnh nhau.

Bài 3: Có 9 bạn đứng thành một hàng. Tính số cách xếp sao cho An và Bình không đứng cạnh nhau. Trình bày bằng cách lấy tổng số cách xếp trừ số cách hai bạn đứng cạnh nhau.

Bài 4: Có 6 bạn đứng thành một hàng. Tính số cách xếp sao cho An và Bình không đứng cạnh nhau. Trình bày bằng cách lấy tổng số cách xếp trừ số cách hai bạn đứng cạnh nhau.

Bài 5: Có 7 bạn đứng thành một hàng. Tính số cách xếp sao cho An và Bình không đứng cạnh nhau. Trình bày bằng cách lấy tổng số cách xếp trừ số cách hai bạn đứng cạnh nhau.

Xem lời giải

Lời giải:

Tổng số cách xếp là 7×6×5×4×3×2×1=5 040.

Gộp An và Bình thành một khối: có 6 đối tượng, xếp được 6×5×4×3×2×1=720 cách; trong khối có 2 thứ tự nên có 1 440 cách đứng cạnh nhau.

Đáp số: Số cách không đứng cạnh nhau là 5 040−1 440=3 600.

Lời giải:

Tổng số cách xếp là 8×7×6×5×4×3×2×1=40 320.

Gộp An và Bình thành một khối: có 7 đối tượng, xếp được 7×6×5×4×3×2×1=5 040 cách; trong khối có 2 thứ tự nên có 10 080 cách đứng cạnh nhau.

Đáp số: Số cách không đứng cạnh nhau là 40 320−10 080=30 240.

Lời giải:

Tổng số cách xếp là 9×8×7×6×5×4×3×2×1=362 880.

Gộp An và Bình thành một khối: có 8 đối tượng, xếp được 8×7×6×5×4×3×2×1=40 320 cách; trong khối có 2 thứ tự nên có 80 640 cách đứng cạnh nhau.

Đáp số: Số cách không đứng cạnh nhau là 362 880−80 640=282 240.

Lời giải:

Tổng số cách xếp là 6×5×4×3×2×1=720.

Gộp An và Bình thành một khối: có 5 đối tượng, xếp được 5×4×3×2×1=120 cách; trong khối có 2 thứ tự nên có 240 cách đứng cạnh nhau.

Đáp số: Số cách không đứng cạnh nhau là 720−240=480.

Lời giải:

Tổng số cách xếp là 7×6×5×4×3×2×1=5 040.

Gộp An và Bình thành một khối: có 6 đối tượng, xếp được 6×5×4×3×2×1=720 cách; trong khối có 2 thứ tự nên có 1 440 cách đứng cạnh nhau.

Đáp số: Số cách không đứng cạnh nhau là 5 040−1 440=3 600.

Tự kiểm tra mức độ thành thạo

Bài tập tự luyện

Bài 2: Có 7 bạn đứng thành một hàng. Tính số cách xếp sao cho An và Bình không đứng cạnh nhau. Trình bày bằng cách lấy tổng số cách xếp trừ số cách hai bạn đứng cạnh nhau.

Bài 3: Có 10 bạn đứng thành một hàng. Tính số cách xếp sao cho An và Bình không đứng cạnh nhau. Trình bày bằng cách lấy tổng số cách xếp trừ số cách hai bạn đứng cạnh nhau.

Bài 4: Có 9 bạn đứng thành một hàng. Tính số cách xếp sao cho An và Bình không đứng cạnh nhau. Trình bày bằng cách lấy tổng số cách xếp trừ số cách hai bạn đứng cạnh nhau.

Bài 5: Có 8 bạn đứng thành một hàng. Tính số cách xếp sao cho An và Bình không đứng cạnh nhau. Trình bày bằng cách lấy tổng số cách xếp trừ số cách hai bạn đứng cạnh nhau.

Bài 6: Có 10 bạn đứng thành một hàng. Tính số cách xếp sao cho An và Bình không đứng cạnh nhau. Trình bày bằng cách lấy tổng số cách xếp trừ số cách hai bạn đứng cạnh nhau.

Bài 7: Có 9 bạn đứng thành một hàng. Tính số cách xếp sao cho An và Bình không đứng cạnh nhau. Trình bày bằng cách lấy tổng số cách xếp trừ số cách hai bạn đứng cạnh nhau.

Bài 8: Có 9 bạn đứng thành một hàng. Tính số cách xếp sao cho An và Bình không đứng cạnh nhau. Trình bày bằng cách lấy tổng số cách xếp trừ số cách hai bạn đứng cạnh nhau.

Bài 9: Có 7 bạn đứng thành một hàng. Tính số cách xếp sao cho An và Bình không đứng cạnh nhau. Trình bày bằng cách lấy tổng số cách xếp trừ số cách hai bạn đứng cạnh nhau.

Bài 10: Có 9 bạn đứng thành một hàng. Tính số cách xếp sao cho An và Bình không đứng cạnh nhau. Trình bày bằng cách lấy tổng số cách xếp trừ số cách hai bạn đứng cạnh nhau.

Bài 11: Có 6 bạn đứng thành một hàng. Tính số cách xếp sao cho An và Bình không đứng cạnh nhau. Trình bày bằng cách lấy tổng số cách xếp trừ số cách hai bạn đứng cạnh nhau.

Bài 12: Có 9 bạn đứng thành một hàng. Tính số cách xếp sao cho An và Bình không đứng cạnh nhau. Trình bày bằng cách lấy tổng số cách xếp trừ số cách hai bạn đứng cạnh nhau.

Xem lời giải bài tập tự luyện

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Tổng số cách xếp là 7×6×5×4×3×2×1=5 040.

Bước 2: Gộp An và Bình thành một khối: có 6 đối tượng, xếp được 6×5×4×3×2×1=720 cách; trong khối có 2 thứ tự nên có 1 440 cách đứng cạnh nhau.

Đáp số: Số cách không đứng cạnh nhau là 5 040−1 440=3 600.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Tổng số cách xếp là 7×6×5×4×3×2×1=5 040.

Bước 2: Gộp An và Bình thành một khối: có 6 đối tượng, xếp được 6×5×4×3×2×1=720 cách; trong khối có 2 thứ tự nên có 1 440 cách đứng cạnh nhau.

Đáp số: Số cách không đứng cạnh nhau là 5 040−1 440=3 600.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Tổng số cách xếp là 10×9×8×7×6×5×4×3×2×1=3 628 800.

Bước 2: Gộp An và Bình thành một khối: có 9 đối tượng, xếp được 9×8×7×6×5×4×3×2×1=362 880 cách; trong khối có 2 thứ tự nên có 725 760 cách đứng cạnh nhau.

Đáp số: Số cách không đứng cạnh nhau là 3 628 800−725 760=2 903 040.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Tổng số cách xếp là 9×8×7×6×5×4×3×2×1=362 880.

Đáp số: Số cách không đứng cạnh nhau là 362 880−80 640=282 240.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Tổng số cách xếp là 8×7×6×5×4×3×2×1=40 320.

Bước 2: Gộp An và Bình thành một khối: có 7 đối tượng, xếp được 7×6×5×4×3×2×1=5 040 cách; trong khối có 2 thứ tự nên có 10 080 cách đứng cạnh nhau.

Đáp số: Số cách không đứng cạnh nhau là 40 320−10 080=30 240.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Tổng số cách xếp là 10×9×8×7×6×5×4×3×2×1=3 628 800.

Đáp số: Số cách không đứng cạnh nhau là 3 628 800−725 760=2 903 040.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Tổng số cách xếp là 9×8×7×6×5×4×3×2×1=362 880.

Đáp số: Số cách không đứng cạnh nhau là 362 880−80 640=282 240.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Tổng số cách xếp là 9×8×7×6×5×4×3×2×1=362 880.

Đáp số: Số cách không đứng cạnh nhau là 362 880−80 640=282 240.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Tổng số cách xếp là 7×6×5×4×3×2×1=5 040.

Bước 2: Gộp An và Bình thành một khối: có 6 đối tượng, xếp được 6×5×4×3×2×1=720 cách; trong khối có 2 thứ tự nên có 1 440 cách đứng cạnh nhau.

Đáp số: Số cách không đứng cạnh nhau là 5 040−1 440=3 600.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Tổng số cách xếp là 9×8×7×6×5×4×3×2×1=362 880.

Đáp số: Số cách không đứng cạnh nhau là 362 880−80 640=282 240.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Tổng số cách xếp là 6×5×4×3×2×1=720.

Bước 2: Gộp An và Bình thành một khối: có 5 đối tượng, xếp được 5×4×3×2×1=120 cách; trong khối có 2 thứ tự nên có 240 cách đứng cạnh nhau.

Đáp số: Số cách không đứng cạnh nhau là 720−240=480.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Tổng số cách xếp là 9×8×7×6×5×4×3×2×1=362 880.

Đáp số: Số cách không đứng cạnh nhau là 362 880−80 640=282 240.

Bài 13: Có 5 lựa chọn ở bước thứ nhất và 2 lựa chọn ở bước thứ hai; mọi lựa chọn ở hai bước ghép được với nhau. Có bao nhiêu kết quả?

Lời giải

Có 5 × 2 = 10 kết quả.

Bài 14: Có 6 lựa chọn ở bước thứ nhất và 3 lựa chọn ở bước thứ hai; mọi lựa chọn ở hai bước ghép được với nhau. Có bao nhiêu kết quả?

Lời giải

Có 6 × 3 = 18 kết quả.

Bài 15: Có 7 lựa chọn ở bước thứ nhất và 4 lựa chọn ở bước thứ hai; mọi lựa chọn ở hai bước ghép được với nhau. Có bao nhiêu kết quả?

Lời giải

Có 7 × 4 = 28 kết quả.

Chốt lại kiến thức

Ghi nhớ

Quy tắc cộng dùng khi chọn đúng một trong các trường hợp không trùng nhau.
Quy tắc nhân dùng khi một kết quả được tạo qua nhiều bước liên tiếp.
Cần xác định rõ có phân biệt thứ tự hay không và có cho phép lặp hay không.