Đếm cách sắp xếp
Chuyên đề nâng cao đếm cách sắp xếp với phương pháp chọn lọc, 20 bài toán phân loại và lời giải đầy đủ từng bước dành cho học sinh ôn thi vào lớp 6 CLC.
Mục tiêu bài học
- Nhận biết và xử lí các biến đổi nâng cao của dạng Đếm cách sắp xếp.
- Biết phân tích dữ kiện ẩn, lựa chọn phương pháp ngắn gọn và kiểm tra kết quả.
- Trình bày lời giải đầy đủ từng bước theo ngôn ngữ Toán tiểu học, không dùng kiến thức thuần THCS.
Kiến thức cần nhớ
- Quy tắc cộng dùng cho các trường hợp loại trừ nhau; quy tắc nhân dùng cho các bước liên tiếp.
- Cần xác định rõ có phân biệt thứ tự hay không và có cho phép lặp hay không.
- Chia trường hợp sao cho các trường hợp không trùng và bao quát hết khả năng.
- Trọng tâm là nhận đúng dữ kiện đặc trưng của dạng “Đếm cách sắp xếp” và chọn phép tính phù hợp.
- Nên trình bày theo thứ tự: tóm tắt, lập luận, phép tính, kết luận.
Ví dụ minh họa
Phương pháp chung
- Đọc kĩ đề, gạch dưới dữ kiện và xác định chính xác yêu cầu cuối cùng.
- Ta chia quá trình lựa chọn thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Cần bảo đảm mỗi kết quả được đếm đúng một lần.
- Trình bày từng kết quả trung gian, giải thích ý nghĩa của phép tính và kiểm tra lại kết luận.
Ví dụ 1: Có 6 bạn đứng thành một hàng. Tính số cách xếp sao cho An và Bình không đứng cạnh nhau. Trình bày bằng cách lấy tổng số cách xếp trừ số cách hai bạn đứng cạnh nhau.
Hướng dẫn giải chi tiết:
Phân tích đề: Ta chia quá trình lựa chọn thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Cần bảo đảm mỗi kết quả được đếm đúng một lần.
Bước 1: Tổng số cách xếp là 6×5×4×3×2×1=720. Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.
Vì sao làm như vậy: Khi mỗi lựa chọn ở bước trước ghép được với tất cả lựa chọn ở bước sau, số cách được tính bằng phép nhân.
Bước 2: Gộp An và Bình thành một khối: có 5 đối tượng, xếp được 5×4×3×2×1=120 cách; trong khối có 2 thứ tự nên có 240 cách đứng cạnh nhau. Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.
Vì sao làm như vậy: Khi chia thành các trường hợp riêng biệt, ta tính từng trường hợp rồi cộng, đồng thời loại những cách vi phạm điều kiện.
Ý nghĩa của kết quả: Kết quả phải là số tự nhiên và phản ánh đúng các điều kiện không lặp, không trùng hoặc không được phép.
Kết luận: Số cách không đứng cạnh nhau là 720−240=480.
Kiểm tra: Liệt kê thử một trường hợp nhỏ hoặc đếm theo cách khác để phát hiện đếm thiếu, đếm thừa.
Ví dụ 2: Có 9 bạn đứng thành một hàng. Tính số cách xếp sao cho An và Bình không đứng cạnh nhau. Trình bày bằng cách lấy tổng số cách xếp trừ số cách hai bạn đứng cạnh nhau.
Hướng dẫn giải chi tiết:
Phân tích đề: Ta chia quá trình lựa chọn thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Cần bảo đảm mỗi kết quả được đếm đúng một lần.
Bước 1: Tổng số cách xếp là 9×8×7×6×5×4×3×2×1=362 880. Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.
Vì sao làm như vậy: Khi mỗi lựa chọn ở bước trước ghép được với tất cả lựa chọn ở bước sau, số cách được tính bằng phép nhân.
Bước 2: Gộp An và Bình thành một khối: có 8 đối tượng, xếp được 8×7×6×5×4×3×2×1=40 320 cách; trong khối có 2 thứ tự nên có 80 640 cách đứng cạnh nhau. Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.
Vì sao làm như vậy: Khi chia thành các trường hợp riêng biệt, ta tính từng trường hợp rồi cộng, đồng thời loại những cách vi phạm điều kiện.
Ý nghĩa của kết quả: Kết quả phải là số tự nhiên và phản ánh đúng các điều kiện không lặp, không trùng hoặc không được phép.
Kết luận: Số cách không đứng cạnh nhau là 362 880−80 640=282 240.
Kiểm tra: Liệt kê thử một trường hợp nhỏ hoặc đếm theo cách khác để phát hiện đếm thiếu, đếm thừa.
Ví dụ 3: Có 9 bạn đứng thành một hàng. Tính số cách xếp sao cho An và Bình không đứng cạnh nhau. Trình bày bằng cách lấy tổng số cách xếp trừ số cách hai bạn đứng cạnh nhau. (Bộ dữ liệu 3)
Hướng dẫn giải chi tiết:
Phân tích đề: Ta chia quá trình lựa chọn thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Cần bảo đảm mỗi kết quả được đếm đúng một lần.
Bước 1: Tổng số cách xếp là 9×8×7×6×5×4×3×2×1=362 880. Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.
Vì sao làm như vậy: Khi mỗi lựa chọn ở bước trước ghép được với tất cả lựa chọn ở bước sau, số cách được tính bằng phép nhân.
Bước 2: Gộp An và Bình thành một khối: có 8 đối tượng, xếp được 8×7×6×5×4×3×2×1=40 320 cách; trong khối có 2 thứ tự nên có 80 640 cách đứng cạnh nhau. Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.
Vì sao làm như vậy: Khi chia thành các trường hợp riêng biệt, ta tính từng trường hợp rồi cộng, đồng thời loại những cách vi phạm điều kiện.
Ý nghĩa của kết quả: Kết quả phải là số tự nhiên và phản ánh đúng các điều kiện không lặp, không trùng hoặc không được phép.
Kết luận: Số cách không đứng cạnh nhau là 362 880−80 640=282 240.
Kiểm tra: Liệt kê thử một trường hợp nhỏ hoặc đếm theo cách khác để phát hiện đếm thiếu, đếm thừa.
Bài tập áp dụng
Bài 1: Có 7 bạn đứng thành một hàng. Tính số cách xếp sao cho An và Bình không đứng cạnh nhau. Trình bày bằng cách lấy tổng số cách xếp trừ số cách hai bạn đứng cạnh nhau.
Bài 2: Có 8 bạn đứng thành một hàng. Tính số cách xếp sao cho An và Bình không đứng cạnh nhau. Trình bày bằng cách lấy tổng số cách xếp trừ số cách hai bạn đứng cạnh nhau.
Bài 3: Có 9 bạn đứng thành một hàng. Tính số cách xếp sao cho An và Bình không đứng cạnh nhau. Trình bày bằng cách lấy tổng số cách xếp trừ số cách hai bạn đứng cạnh nhau. (Bộ dữ liệu 6)
Bài 4: Có 6 bạn đứng thành một hàng. Tính số cách xếp sao cho An và Bình không đứng cạnh nhau. Trình bày bằng cách lấy tổng số cách xếp trừ số cách hai bạn đứng cạnh nhau. (Bộ dữ liệu 7)
Bài 5: Có 7 bạn đứng thành một hàng. Tính số cách xếp sao cho An và Bình không đứng cạnh nhau. Trình bày bằng cách lấy tổng số cách xếp trừ số cách hai bạn đứng cạnh nhau. (Bộ dữ liệu 8)
Xem lời giải
Bài 1: Có 7 bạn đứng thành một hàng. Tính số cách xếp sao cho An và Bình không đứng cạnh nhau. Trình bày bằng cách lấy tổng số cách xếp trừ số cách hai bạn đứng cạnh nhau.
Lời giải:
Trước hết, ta chia việc chọn thành từng bước hoặc từng trường hợp, xác định số lựa chọn ở mỗi phần và tránh đếm trùng.
Tổng số cách xếp là 7×6×5×4×3×2×1=5 040.
Mỗi lựa chọn của phần này ghép được với các lựa chọn phù hợp của phần sau, nên ta nhân số cách tương ứng.
Gộp An và Bình thành một khối: có 6 đối tượng, xếp được 6×5×4×3×2×1=720 cách; trong khối có 2 thứ tự nên có 1 440 cách đứng cạnh nhau.
Nếu có điều kiện cấm hoặc lặp, ta loại các cách không hợp lệ trước khi cộng các trường hợp.
Từ các kết quả trên, ta trả lời đầy đủ yêu cầu của bài toán và ghi đáp số kèm đơn vị (nếu có).
Đáp số: Số cách không đứng cạnh nhau là 5 040−1 440=3 600.
Bài 2: Có 8 bạn đứng thành một hàng. Tính số cách xếp sao cho An và Bình không đứng cạnh nhau. Trình bày bằng cách lấy tổng số cách xếp trừ số cách hai bạn đứng cạnh nhau.
Lời giải:
Trước hết, ta chia việc chọn thành từng bước hoặc từng trường hợp, xác định số lựa chọn ở mỗi phần và tránh đếm trùng.
Tổng số cách xếp là 8×7×6×5×4×3×2×1=40 320.
Mỗi lựa chọn của phần này ghép được với các lựa chọn phù hợp của phần sau, nên ta nhân số cách tương ứng.
Gộp An và Bình thành một khối: có 7 đối tượng, xếp được 7×6×5×4×3×2×1=5 040 cách; trong khối có 2 thứ tự nên có 10 080 cách đứng cạnh nhau.
Nếu có điều kiện cấm hoặc lặp, ta loại các cách không hợp lệ trước khi cộng các trường hợp.
Từ các kết quả trên, ta trả lời đầy đủ yêu cầu của bài toán và ghi đáp số kèm đơn vị (nếu có).
Đáp số: Số cách không đứng cạnh nhau là 40 320−10 080=30 240.
Bài 3: Có 9 bạn đứng thành một hàng. Tính số cách xếp sao cho An và Bình không đứng cạnh nhau. Trình bày bằng cách lấy tổng số cách xếp trừ số cách hai bạn đứng cạnh nhau. (Bộ dữ liệu 6)
Lời giải:
Trước hết, ta chia việc chọn thành từng bước hoặc từng trường hợp, xác định số lựa chọn ở mỗi phần và tránh đếm trùng.
Tổng số cách xếp là 9×8×7×6×5×4×3×2×1=362 880.
Mỗi lựa chọn của phần này ghép được với các lựa chọn phù hợp của phần sau, nên ta nhân số cách tương ứng.
Gộp An và Bình thành một khối: có 8 đối tượng, xếp được 8×7×6×5×4×3×2×1=40 320 cách; trong khối có 2 thứ tự nên có 80 640 cách đứng cạnh nhau.
Nếu có điều kiện cấm hoặc lặp, ta loại các cách không hợp lệ trước khi cộng các trường hợp.
Từ các kết quả trên, ta trả lời đầy đủ yêu cầu của bài toán và ghi đáp số kèm đơn vị (nếu có).
Đáp số: Số cách không đứng cạnh nhau là 362 880−80 640=282 240.
Bài 4: Có 6 bạn đứng thành một hàng. Tính số cách xếp sao cho An và Bình không đứng cạnh nhau. Trình bày bằng cách lấy tổng số cách xếp trừ số cách hai bạn đứng cạnh nhau. (Bộ dữ liệu 7)
Lời giải:
Trước hết, ta chia việc chọn thành từng bước hoặc từng trường hợp, xác định số lựa chọn ở mỗi phần và tránh đếm trùng.
Tổng số cách xếp là 6×5×4×3×2×1=720.
Mỗi lựa chọn của phần này ghép được với các lựa chọn phù hợp của phần sau, nên ta nhân số cách tương ứng.
Gộp An và Bình thành một khối: có 5 đối tượng, xếp được 5×4×3×2×1=120 cách; trong khối có 2 thứ tự nên có 240 cách đứng cạnh nhau.
Nếu có điều kiện cấm hoặc lặp, ta loại các cách không hợp lệ trước khi cộng các trường hợp.
Từ các kết quả trên, ta trả lời đầy đủ yêu cầu của bài toán và ghi đáp số kèm đơn vị (nếu có).
Đáp số: Số cách không đứng cạnh nhau là 720−240=480.
Bài 5: Có 7 bạn đứng thành một hàng. Tính số cách xếp sao cho An và Bình không đứng cạnh nhau. Trình bày bằng cách lấy tổng số cách xếp trừ số cách hai bạn đứng cạnh nhau. (Bộ dữ liệu 8)
Lời giải:
Trước hết, ta chia việc chọn thành từng bước hoặc từng trường hợp, xác định số lựa chọn ở mỗi phần và tránh đếm trùng.
Tổng số cách xếp là 7×6×5×4×3×2×1=5 040.
Mỗi lựa chọn của phần này ghép được với các lựa chọn phù hợp của phần sau, nên ta nhân số cách tương ứng.
Gộp An và Bình thành một khối: có 6 đối tượng, xếp được 6×5×4×3×2×1=720 cách; trong khối có 2 thứ tự nên có 1 440 cách đứng cạnh nhau.
Nếu có điều kiện cấm hoặc lặp, ta loại các cách không hợp lệ trước khi cộng các trường hợp.
Từ các kết quả trên, ta trả lời đầy đủ yêu cầu của bài toán và ghi đáp số kèm đơn vị (nếu có).
Đáp số: Số cách không đứng cạnh nhau là 5 040−1 440=3 600.
Bài tập tự luyện
Bài 1: Có 7 bạn đứng thành một hàng. Tính số cách xếp sao cho An và Bình không đứng cạnh nhau. Trình bày bằng cách lấy tổng số cách xếp trừ số cách hai bạn đứng cạnh nhau. (Bộ dữ liệu 9)
Bài 2: Có 7 bạn đứng thành một hàng. Tính số cách xếp sao cho An và Bình không đứng cạnh nhau. Trình bày bằng cách lấy tổng số cách xếp trừ số cách hai bạn đứng cạnh nhau. (Bộ dữ liệu 10)
Bài 3: Có 10 bạn đứng thành một hàng. Tính số cách xếp sao cho An và Bình không đứng cạnh nhau. Trình bày bằng cách lấy tổng số cách xếp trừ số cách hai bạn đứng cạnh nhau.
Bài 4: Có 9 bạn đứng thành một hàng. Tính số cách xếp sao cho An và Bình không đứng cạnh nhau. Trình bày bằng cách lấy tổng số cách xếp trừ số cách hai bạn đứng cạnh nhau. (Bộ dữ liệu 12)
Bài 5: Có 8 bạn đứng thành một hàng. Tính số cách xếp sao cho An và Bình không đứng cạnh nhau. Trình bày bằng cách lấy tổng số cách xếp trừ số cách hai bạn đứng cạnh nhau. (Bộ dữ liệu 13)
Bài 6: Có 10 bạn đứng thành một hàng. Tính số cách xếp sao cho An và Bình không đứng cạnh nhau. Trình bày bằng cách lấy tổng số cách xếp trừ số cách hai bạn đứng cạnh nhau. (Bộ dữ liệu 14)
Bài 7: Có 9 bạn đứng thành một hàng. Tính số cách xếp sao cho An và Bình không đứng cạnh nhau. Trình bày bằng cách lấy tổng số cách xếp trừ số cách hai bạn đứng cạnh nhau. (Bộ dữ liệu 15)
Bài 8: Có 9 bạn đứng thành một hàng. Tính số cách xếp sao cho An và Bình không đứng cạnh nhau. Trình bày bằng cách lấy tổng số cách xếp trừ số cách hai bạn đứng cạnh nhau. (Bộ dữ liệu 16)
Bài 9: Có 7 bạn đứng thành một hàng. Tính số cách xếp sao cho An và Bình không đứng cạnh nhau. Trình bày bằng cách lấy tổng số cách xếp trừ số cách hai bạn đứng cạnh nhau. (Bộ dữ liệu 17)
Bài 10: Có 9 bạn đứng thành một hàng. Tính số cách xếp sao cho An và Bình không đứng cạnh nhau. Trình bày bằng cách lấy tổng số cách xếp trừ số cách hai bạn đứng cạnh nhau. (Bộ dữ liệu 18)
Bài 11: Có 6 bạn đứng thành một hàng. Tính số cách xếp sao cho An và Bình không đứng cạnh nhau. Trình bày bằng cách lấy tổng số cách xếp trừ số cách hai bạn đứng cạnh nhau. (Bộ dữ liệu 19)
Bài 12: Có 9 bạn đứng thành một hàng. Tính số cách xếp sao cho An và Bình không đứng cạnh nhau. Trình bày bằng cách lấy tổng số cách xếp trừ số cách hai bạn đứng cạnh nhau. (Bộ dữ liệu 20)
Xem lời giải bài tập tự luyện
Bài 1: Có 7 bạn đứng thành một hàng. Tính số cách xếp sao cho An và Bình không đứng cạnh nhau. Trình bày bằng cách lấy tổng số cách xếp trừ số cách hai bạn đứng cạnh nhau. (Bộ dữ liệu 9)
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Tổng số cách xếp là 7×6×5×4×3×2×1=5 040. Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.
Bước 2: Gộp An và Bình thành một khối: có 6 đối tượng, xếp được 6×5×4×3×2×1=720 cách; trong khối có 2 thứ tự nên có 1 440 cách đứng cạnh nhau. Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.
Đáp số: Số cách không đứng cạnh nhau là 5 040−1 440=3 600.
Kiểm tra: Đối chiếu trường hợp vừa tìm với từng điều kiện của đề. Nếu không có điều kiện nào bị vi phạm và các trường hợp đã được xét không trùng nhau, kết quả được chấp nhận.
Bài 2: Có 7 bạn đứng thành một hàng. Tính số cách xếp sao cho An và Bình không đứng cạnh nhau. Trình bày bằng cách lấy tổng số cách xếp trừ số cách hai bạn đứng cạnh nhau. (Bộ dữ liệu 10)
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Tổng số cách xếp là 7×6×5×4×3×2×1=5 040. Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.
Bước 2: Gộp An và Bình thành một khối: có 6 đối tượng, xếp được 6×5×4×3×2×1=720 cách; trong khối có 2 thứ tự nên có 1 440 cách đứng cạnh nhau. Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.
Đáp số: Số cách không đứng cạnh nhau là 5 040−1 440=3 600.
Kiểm tra: Đối chiếu trường hợp vừa tìm với từng điều kiện của đề. Nếu không có điều kiện nào bị vi phạm và các trường hợp đã được xét không trùng nhau, kết quả được chấp nhận.
Bài 3: Có 10 bạn đứng thành một hàng. Tính số cách xếp sao cho An và Bình không đứng cạnh nhau. Trình bày bằng cách lấy tổng số cách xếp trừ số cách hai bạn đứng cạnh nhau.
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Tổng số cách xếp là 10×9×8×7×6×5×4×3×2×1=3 628 800. Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.
Bước 2: Gộp An và Bình thành một khối: có 9 đối tượng, xếp được 9×8×7×6×5×4×3×2×1=362 880 cách; trong khối có 2 thứ tự nên có 725 760 cách đứng cạnh nhau. Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.
Đáp số: Số cách không đứng cạnh nhau là 3 628 800−725 760=2 903 040.
Kiểm tra: Đối chiếu trường hợp vừa tìm với từng điều kiện của đề. Nếu không có điều kiện nào bị vi phạm và các trường hợp đã được xét không trùng nhau, kết quả được chấp nhận.
Bài 4: Có 9 bạn đứng thành một hàng. Tính số cách xếp sao cho An và Bình không đứng cạnh nhau. Trình bày bằng cách lấy tổng số cách xếp trừ số cách hai bạn đứng cạnh nhau. (Bộ dữ liệu 12)
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Tổng số cách xếp là 9×8×7×6×5×4×3×2×1=362 880. Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.
Bước 2: Gộp An và Bình thành một khối: có 8 đối tượng, xếp được 8×7×6×5×4×3×2×1=40 320 cách; trong khối có 2 thứ tự nên có 80 640 cách đứng cạnh nhau. Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.
Đáp số: Số cách không đứng cạnh nhau là 362 880−80 640=282 240.
Kiểm tra: Đối chiếu trường hợp vừa tìm với từng điều kiện của đề. Nếu không có điều kiện nào bị vi phạm và các trường hợp đã được xét không trùng nhau, kết quả được chấp nhận.
Bài 5: Có 8 bạn đứng thành một hàng. Tính số cách xếp sao cho An và Bình không đứng cạnh nhau. Trình bày bằng cách lấy tổng số cách xếp trừ số cách hai bạn đứng cạnh nhau. (Bộ dữ liệu 13)
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Tổng số cách xếp là 8×7×6×5×4×3×2×1=40 320. Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.
Bước 2: Gộp An và Bình thành một khối: có 7 đối tượng, xếp được 7×6×5×4×3×2×1=5 040 cách; trong khối có 2 thứ tự nên có 10 080 cách đứng cạnh nhau. Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.
Đáp số: Số cách không đứng cạnh nhau là 40 320−10 080=30 240.
Kiểm tra: Đối chiếu trường hợp vừa tìm với từng điều kiện của đề. Nếu không có điều kiện nào bị vi phạm và các trường hợp đã được xét không trùng nhau, kết quả được chấp nhận.
Bài 6: Có 10 bạn đứng thành một hàng. Tính số cách xếp sao cho An và Bình không đứng cạnh nhau. Trình bày bằng cách lấy tổng số cách xếp trừ số cách hai bạn đứng cạnh nhau. (Bộ dữ liệu 14)
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Tổng số cách xếp là 10×9×8×7×6×5×4×3×2×1=3 628 800. Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.
Bước 2: Gộp An và Bình thành một khối: có 9 đối tượng, xếp được 9×8×7×6×5×4×3×2×1=362 880 cách; trong khối có 2 thứ tự nên có 725 760 cách đứng cạnh nhau. Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.
Đáp số: Số cách không đứng cạnh nhau là 3 628 800−725 760=2 903 040.
Kiểm tra: Đối chiếu trường hợp vừa tìm với từng điều kiện của đề. Nếu không có điều kiện nào bị vi phạm và các trường hợp đã được xét không trùng nhau, kết quả được chấp nhận.
Bài 7: Có 9 bạn đứng thành một hàng. Tính số cách xếp sao cho An và Bình không đứng cạnh nhau. Trình bày bằng cách lấy tổng số cách xếp trừ số cách hai bạn đứng cạnh nhau. (Bộ dữ liệu 15)
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Tổng số cách xếp là 9×8×7×6×5×4×3×2×1=362 880. Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.
Bước 2: Gộp An và Bình thành một khối: có 8 đối tượng, xếp được 8×7×6×5×4×3×2×1=40 320 cách; trong khối có 2 thứ tự nên có 80 640 cách đứng cạnh nhau. Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.
Đáp số: Số cách không đứng cạnh nhau là 362 880−80 640=282 240.
Kiểm tra: Đối chiếu trường hợp vừa tìm với từng điều kiện của đề. Nếu không có điều kiện nào bị vi phạm và các trường hợp đã được xét không trùng nhau, kết quả được chấp nhận.
Bài 8: Có 9 bạn đứng thành một hàng. Tính số cách xếp sao cho An và Bình không đứng cạnh nhau. Trình bày bằng cách lấy tổng số cách xếp trừ số cách hai bạn đứng cạnh nhau. (Bộ dữ liệu 16)
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Tổng số cách xếp là 9×8×7×6×5×4×3×2×1=362 880. Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.
Bước 2: Gộp An và Bình thành một khối: có 8 đối tượng, xếp được 8×7×6×5×4×3×2×1=40 320 cách; trong khối có 2 thứ tự nên có 80 640 cách đứng cạnh nhau. Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.
Đáp số: Số cách không đứng cạnh nhau là 362 880−80 640=282 240.
Kiểm tra: Đối chiếu trường hợp vừa tìm với từng điều kiện của đề. Nếu không có điều kiện nào bị vi phạm và các trường hợp đã được xét không trùng nhau, kết quả được chấp nhận.
Bài 9: Có 7 bạn đứng thành một hàng. Tính số cách xếp sao cho An và Bình không đứng cạnh nhau. Trình bày bằng cách lấy tổng số cách xếp trừ số cách hai bạn đứng cạnh nhau. (Bộ dữ liệu 17)
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Tổng số cách xếp là 7×6×5×4×3×2×1=5 040. Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.
Bước 2: Gộp An và Bình thành một khối: có 6 đối tượng, xếp được 6×5×4×3×2×1=720 cách; trong khối có 2 thứ tự nên có 1 440 cách đứng cạnh nhau. Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.
Đáp số: Số cách không đứng cạnh nhau là 5 040−1 440=3 600.
Kiểm tra: Đối chiếu trường hợp vừa tìm với từng điều kiện của đề. Nếu không có điều kiện nào bị vi phạm và các trường hợp đã được xét không trùng nhau, kết quả được chấp nhận.
Bài 10: Có 9 bạn đứng thành một hàng. Tính số cách xếp sao cho An và Bình không đứng cạnh nhau. Trình bày bằng cách lấy tổng số cách xếp trừ số cách hai bạn đứng cạnh nhau. (Bộ dữ liệu 18)
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Tổng số cách xếp là 9×8×7×6×5×4×3×2×1=362 880. Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.
Bước 2: Gộp An và Bình thành một khối: có 8 đối tượng, xếp được 8×7×6×5×4×3×2×1=40 320 cách; trong khối có 2 thứ tự nên có 80 640 cách đứng cạnh nhau. Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.
Đáp số: Số cách không đứng cạnh nhau là 362 880−80 640=282 240.
Kiểm tra: Đối chiếu trường hợp vừa tìm với từng điều kiện của đề. Nếu không có điều kiện nào bị vi phạm và các trường hợp đã được xét không trùng nhau, kết quả được chấp nhận.
Bài 11: Có 6 bạn đứng thành một hàng. Tính số cách xếp sao cho An và Bình không đứng cạnh nhau. Trình bày bằng cách lấy tổng số cách xếp trừ số cách hai bạn đứng cạnh nhau. (Bộ dữ liệu 19)
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Tổng số cách xếp là 6×5×4×3×2×1=720. Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.
Bước 2: Gộp An và Bình thành một khối: có 5 đối tượng, xếp được 5×4×3×2×1=120 cách; trong khối có 2 thứ tự nên có 240 cách đứng cạnh nhau. Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.
Đáp số: Số cách không đứng cạnh nhau là 720−240=480.
Kiểm tra: Đối chiếu trường hợp vừa tìm với từng điều kiện của đề. Nếu không có điều kiện nào bị vi phạm và các trường hợp đã được xét không trùng nhau, kết quả được chấp nhận.
Bài 12: Có 9 bạn đứng thành một hàng. Tính số cách xếp sao cho An và Bình không đứng cạnh nhau. Trình bày bằng cách lấy tổng số cách xếp trừ số cách hai bạn đứng cạnh nhau. (Bộ dữ liệu 20)
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Tổng số cách xếp là 9×8×7×6×5×4×3×2×1=362 880. Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.
Bước 2: Gộp An và Bình thành một khối: có 8 đối tượng, xếp được 8×7×6×5×4×3×2×1=40 320 cách; trong khối có 2 thứ tự nên có 80 640 cách đứng cạnh nhau. Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.
Đáp số: Số cách không đứng cạnh nhau là 362 880−80 640=282 240.
Kiểm tra: Đối chiếu trường hợp vừa tìm với từng điều kiện của đề. Nếu không có điều kiện nào bị vi phạm và các trường hợp đã được xét không trùng nhau, kết quả được chấp nhận.
Ghi nhớ và tự kiểm tra
- Trọng tâm của bài là nhận ra cấu trúc ẩn trong dạng Đếm cách sắp xếp.
- Không làm theo phép tính máy móc; cần giải thích vì sao chọn cách làm.
- Mọi đáp số phải được kiểm tra lại với toàn bộ dữ kiện của đề.
Câu hỏi tự kiểm tra
- Em có tách được từng điều kiện và xác định thứ tự xử lí không?
- Em có trình bày đủ các kết quả trung gian không?
- Em có kiểm tra lại đáp số bằng điều kiện ban đầu hoặc một cách khác không?