Mục tiêu bài học
- Nhận biết cách đếm phù hợp trong chuyên đề “Đếm đường đi trên lưới ô vuông”.
- Đếm có hệ thống, tránh trùng và tránh bỏ sót.
- Giải được bài nhiều bước bằng quy tắc cộng, quy tắc nhân hoặc chia trường hợp ở mức tiểu học.
Kiến thức cần nhớ
- Quy tắc cộng dùng khi chọn đúng một trong các trường hợp không trùng nhau.
- Quy tắc nhân dùng khi một kết quả được tạo qua nhiều bước liên tiếp.
- Cần xác định rõ có phân biệt thứ tự hay không và có cho phép lặp hay không.
- Nếu phải chia trường hợp, các trường hợp cần không trùng nhau và bao quát hết mọi khả năng.
Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Trên lưới, từ A đến B phải đi 3 bước sang phải và 8 bước lên trên, không đi lùi. Có bao nhiêu đường đi ngắn nhất?
Hướng dẫn giải chi tiết:
Bước 1: Mỗi đường ngắn nhất gồm 11 bước, trong đó chọn vị trí cho 3 bước sang phải (các bước còn lại là đi lên).
Bước 2: Số cách chọn là 11×10×…×9: (3×…×1).
Kết luận: Có 165 đường đi.
Ví dụ 2: Trên lưới, từ A đến B phải đi 6 bước sang phải và 8 bước lên trên, không đi lùi. Có bao nhiêu đường đi ngắn nhất?
Hướng dẫn giải chi tiết:
Bước 1: Mỗi đường ngắn nhất gồm 14 bước, trong đó chọn vị trí cho 6 bước sang phải (các bước còn lại là đi lên).
Bước 2: Số cách chọn là 14×13×…×9: (6×…×1).
Kết luận: Có 3003 đường đi.
Ví dụ 3: Trên lưới, từ A đến B phải đi 5 bước sang phải và 4 bước lên trên, không đi lùi. Có bao nhiêu đường đi ngắn nhất?
Hướng dẫn giải chi tiết:
Bước 1: Mỗi đường ngắn nhất gồm 9 bước, trong đó chọn vị trí cho 5 bước sang phải (các bước còn lại là đi lên).
Bước 2: Số cách chọn là 9×8×…×5: (5×…×1).
Kết luận: Có 126 đường đi.
Bài tập áp dụng
Bài 1: Trên lưới, từ A đến B phải đi 7 bước sang phải và 5 bước lên trên, không đi lùi. Có bao nhiêu đường đi ngắn nhất?
Bài 2: Trên lưới, từ A đến B phải đi 4 bước sang phải và 6 bước lên trên, không đi lùi. Có bao nhiêu đường đi ngắn nhất?
Bài 3: Trên lưới, từ A đến B phải đi 7 bước sang phải và 7 bước lên trên, không đi lùi. Có bao nhiêu đường đi ngắn nhất?
Bài 4: Trên lưới, từ A đến B phải đi 8 bước sang phải và 6 bước lên trên, không đi lùi. Có bao nhiêu đường đi ngắn nhất?
Bài 5: Trên lưới, từ A đến B phải đi 5 bước sang phải và 7 bước lên trên, không đi lùi. Có bao nhiêu đường đi ngắn nhất?
Xem lời giải
Bài 1: Trên lưới, từ A đến B phải đi 7 bước sang phải và 5 bước lên trên, không đi lùi. Có bao nhiêu đường đi ngắn nhất?
Lời giải:
Mỗi đường ngắn nhất gồm 12 bước, trong đó chọn vị trí cho 7 bước sang phải (các bước còn lại là đi lên).
Số cách chọn là 12×11×…×6: (7×…×1).
Đáp số: Có 792 đường đi.
Bài 2: Trên lưới, từ A đến B phải đi 4 bước sang phải và 6 bước lên trên, không đi lùi. Có bao nhiêu đường đi ngắn nhất?
Lời giải:
Mỗi đường ngắn nhất gồm 10 bước, trong đó chọn vị trí cho 4 bước sang phải (các bước còn lại là đi lên).
Số cách chọn là 10×9×…×7: (4×…×1).
Đáp số: Có 210 đường đi.
Bài 3: Trên lưới, từ A đến B phải đi 7 bước sang phải và 7 bước lên trên, không đi lùi. Có bao nhiêu đường đi ngắn nhất?
Lời giải:
Mỗi đường ngắn nhất gồm 14 bước, trong đó chọn vị trí cho 7 bước sang phải (các bước còn lại là đi lên).
Số cách chọn là 14×13×…×8: (7×…×1).
Đáp số: Có 3432 đường đi.
Bài 4: Trên lưới, từ A đến B phải đi 8 bước sang phải và 6 bước lên trên, không đi lùi. Có bao nhiêu đường đi ngắn nhất?
Lời giải:
Mỗi đường ngắn nhất gồm 14 bước, trong đó chọn vị trí cho 8 bước sang phải (các bước còn lại là đi lên).
Số cách chọn là 14×13×…×7: (8×…×1).
Đáp số: Có 3003 đường đi.
Bài 5: Trên lưới, từ A đến B phải đi 5 bước sang phải và 7 bước lên trên, không đi lùi. Có bao nhiêu đường đi ngắn nhất?
Lời giải:
Mỗi đường ngắn nhất gồm 12 bước, trong đó chọn vị trí cho 5 bước sang phải (các bước còn lại là đi lên).
Số cách chọn là 12×11×…×8: (5×…×1).
Đáp số: Có 792 đường đi.
Bài tập tự luyện
Bài 1: Trên lưới, từ A đến B phải đi 6 bước sang phải và 7 bước lên trên, không đi lùi. Có bao nhiêu đường đi ngắn nhất?
Bài 2: Trên lưới, từ A đến B phải đi 6 bước sang phải và 5 bước lên trên, không đi lùi. Có bao nhiêu đường đi ngắn nhất?
Bài 3: Trên lưới, từ A đến B phải đi 7 bước sang phải và 8 bước lên trên, không đi lùi. Có bao nhiêu đường đi ngắn nhất?
Bài 4: Trên lưới, từ A đến B phải đi 4 bước sang phải và 8 bước lên trên, không đi lùi. Có bao nhiêu đường đi ngắn nhất?
Bài 5: Trên lưới, từ A đến B phải đi 7 bước sang phải và 6 bước lên trên, không đi lùi. Có bao nhiêu đường đi ngắn nhất?
Bài 6: Trên lưới, từ A đến B phải đi 3 bước sang phải và 3 bước lên trên, không đi lùi. Có bao nhiêu đường đi ngắn nhất?
Bài 7: Trên lưới, từ A đến B phải đi 4 bước sang phải và 3 bước lên trên, không đi lùi. Có bao nhiêu đường đi ngắn nhất?
Bài 8: Trên lưới, từ A đến B phải đi 3 bước sang phải và 7 bước lên trên, không đi lùi. Có bao nhiêu đường đi ngắn nhất?
Bài 9: Trên lưới, từ A đến B phải đi 6 bước sang phải và 4 bước lên trên, không đi lùi. Có bao nhiêu đường đi ngắn nhất?
Bài 10: Trên lưới, từ A đến B phải đi 7 bước sang phải và 4 bước lên trên, không đi lùi. Có bao nhiêu đường đi ngắn nhất?
Bài 11: Trên lưới, từ A đến B phải đi 5 bước sang phải và 6 bước lên trên, không đi lùi. Có bao nhiêu đường đi ngắn nhất?
Bài 12: Trên lưới, từ A đến B phải đi 3 bước sang phải và 4 bước lên trên, không đi lùi. Có bao nhiêu đường đi ngắn nhất?
Xem lời giải bài tập tự luyện
Bài 1: Trên lưới, từ A đến B phải đi 6 bước sang phải và 7 bước lên trên, không đi lùi. Có bao nhiêu đường đi ngắn nhất?
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Mỗi đường ngắn nhất gồm 13 bước, trong đó chọn vị trí cho 6 bước sang phải (các bước còn lại là đi lên).
Bước 2: Số cách chọn là 13×12×…×8 : (6×…×1).
Đáp số: Có 1716 đường đi.
Bài 2: Trên lưới, từ A đến B phải đi 6 bước sang phải và 5 bước lên trên, không đi lùi. Có bao nhiêu đường đi ngắn nhất?
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Mỗi đường ngắn nhất gồm 11 bước, trong đó chọn vị trí cho 6 bước sang phải (các bước còn lại là đi lên).
Bước 2: Số cách chọn là 11×10×…×6 : (6×…×1).
Đáp số: Có 462 đường đi.
Bài 3: Trên lưới, từ A đến B phải đi 7 bước sang phải và 8 bước lên trên, không đi lùi. Có bao nhiêu đường đi ngắn nhất?
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Mỗi đường ngắn nhất gồm 15 bước, trong đó chọn vị trí cho 7 bước sang phải (các bước còn lại là đi lên).
Bước 2: Số cách chọn là 15×14×…×9 : (7×…×1).
Đáp số: Có 6435 đường đi.
Bài 4: Trên lưới, từ A đến B phải đi 4 bước sang phải và 8 bước lên trên, không đi lùi. Có bao nhiêu đường đi ngắn nhất?
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Mỗi đường ngắn nhất gồm 12 bước, trong đó chọn vị trí cho 4 bước sang phải (các bước còn lại là đi lên).
Bước 2: Số cách chọn là 12×11×…×9 : (4×…×1).
Đáp số: Có 495 đường đi.
Bài 5: Trên lưới, từ A đến B phải đi 7 bước sang phải và 6 bước lên trên, không đi lùi. Có bao nhiêu đường đi ngắn nhất?
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Mỗi đường ngắn nhất gồm 13 bước, trong đó chọn vị trí cho 7 bước sang phải (các bước còn lại là đi lên).
Bước 2: Số cách chọn là 13×12×…×7 : (7×…×1).
Đáp số: Có 1716 đường đi.
Bài 6: Trên lưới, từ A đến B phải đi 3 bước sang phải và 3 bước lên trên, không đi lùi. Có bao nhiêu đường đi ngắn nhất?
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Mỗi đường ngắn nhất gồm 6 bước, trong đó chọn vị trí cho 3 bước sang phải (các bước còn lại là đi lên).
Bước 2: Số cách chọn là 6×5×…×4 : (3×…×1).
Đáp số: Có 20 đường đi.
Bài 7: Trên lưới, từ A đến B phải đi 4 bước sang phải và 3 bước lên trên, không đi lùi. Có bao nhiêu đường đi ngắn nhất?
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Mỗi đường ngắn nhất gồm 7 bước, trong đó chọn vị trí cho 4 bước sang phải (các bước còn lại là đi lên).
Bước 2: Số cách chọn là 7×6×…×4 : (4×…×1).
Đáp số: Có 35 đường đi.
Bài 8: Trên lưới, từ A đến B phải đi 3 bước sang phải và 7 bước lên trên, không đi lùi. Có bao nhiêu đường đi ngắn nhất?
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Mỗi đường ngắn nhất gồm 10 bước, trong đó chọn vị trí cho 3 bước sang phải (các bước còn lại là đi lên).
Bước 2: Số cách chọn là 10×9×…×8 : (3×…×1).
Đáp số: Có 120 đường đi.
Bài 9: Trên lưới, từ A đến B phải đi 6 bước sang phải và 4 bước lên trên, không đi lùi. Có bao nhiêu đường đi ngắn nhất?
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Mỗi đường ngắn nhất gồm 10 bước, trong đó chọn vị trí cho 6 bước sang phải (các bước còn lại là đi lên).
Bước 2: Số cách chọn là 10×9×…×5 : (6×…×1).
Đáp số: Có 210 đường đi.
Bài 10: Trên lưới, từ A đến B phải đi 7 bước sang phải và 4 bước lên trên, không đi lùi. Có bao nhiêu đường đi ngắn nhất?
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Mỗi đường ngắn nhất gồm 11 bước, trong đó chọn vị trí cho 7 bước sang phải (các bước còn lại là đi lên).
Bước 2: Số cách chọn là 11×10×…×5 : (7×…×1).
Đáp số: Có 330 đường đi.
Bài 11: Trên lưới, từ A đến B phải đi 5 bước sang phải và 6 bước lên trên, không đi lùi. Có bao nhiêu đường đi ngắn nhất?
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Mỗi đường ngắn nhất gồm 11 bước, trong đó chọn vị trí cho 5 bước sang phải (các bước còn lại là đi lên).
Bước 2: Số cách chọn là 11×10×…×7 : (5×…×1).
Đáp số: Có 462 đường đi.
Bài 12: Trên lưới, từ A đến B phải đi 3 bước sang phải và 4 bước lên trên, không đi lùi. Có bao nhiêu đường đi ngắn nhất?
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Mỗi đường ngắn nhất gồm 7 bước, trong đó chọn vị trí cho 3 bước sang phải (các bước còn lại là đi lên).
Bước 2: Số cách chọn là 7×6×…×5 : (3×…×1).
Đáp số: Có 35 đường đi.
Bài 13: Một đường đi ngắn nhất gồm 2 bước sang phải và 6 bước lên. Có bao nhiêu cách sắp thứ tự các bước?
Lời giải
Có 28 cách sắp xếp các bước để tạo đường đi ngắn nhất.
Bài 14: Một đường đi ngắn nhất gồm 3 bước sang phải và 3 bước lên. Có bao nhiêu cách sắp thứ tự các bước?
Lời giải
Có 20 cách sắp xếp các bước để tạo đường đi ngắn nhất.
Bài 15: Một đường đi ngắn nhất gồm 4 bước sang phải và 4 bước lên. Có bao nhiêu cách sắp thứ tự các bước?
Lời giải
Có 70 cách sắp xếp các bước để tạo đường đi ngắn nhất.
Ghi nhớ
- Quy tắc cộng dùng khi chọn đúng một trong các trường hợp không trùng nhau.
- Quy tắc nhân dùng khi một kết quả được tạo qua nhiều bước liên tiếp.
- Cần xác định rõ có phân biệt thứ tự hay không và có cho phép lặp hay không.