Bài 188 Tổ hợp và phương pháp đếm Nâng cao CLC

Đếm đường đi trên lưới ô vuông

Chuyên đề nâng cao đếm đường đi trên lưới ô vuông với phương pháp chọn lọc, 20 bài toán phân loại và lời giải đầy đủ từng bước dành cho học sinh ôn thi vào lớp 6 CLC.

Học xong bài này

Mục tiêu bài học

Nhận biết và xử lí các biến đổi nâng cao của dạng Đếm đường đi trên lưới ô vuông.
Biết phân tích dữ kiện ẩn, lựa chọn phương pháp ngắn gọn và kiểm tra kết quả.
Trình bày lời giải đầy đủ từng bước theo ngôn ngữ Toán tiểu học, không dùng kiến thức thuần THCS.

Ghi nhớ kiến thức nền

Kiến thức cần nhớ

Phạm vi: Bài học chỉ tập trung vào câu hỏi nâng cao, dữ kiện ẩn, bài toán ngược và bài toán có nhiều điều kiện. Các thao tác cơ bản được coi là kiến thức nền.

Quy tắc cộng dùng cho các trường hợp loại trừ nhau; quy tắc nhân dùng cho các bước liên tiếp.
Cần xác định rõ có phân biệt thứ tự hay không và có cho phép lặp hay không.
Chia trường hợp sao cho các trường hợp không trùng và bao quát hết khả năng.
Mã hóa đường đi bằng thứ tự các bước sang phải và đi lên.

Quan sát cách làm

Ví dụ minh họa

Phương pháp chung

Đọc kĩ đề, gạch dưới dữ kiện và xác định chính xác yêu cầu cuối cùng.
Ta chia quá trình lựa chọn thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Cần bảo đảm mỗi kết quả được đếm đúng một lần.
Trình bày từng kết quả trung gian, giải thích ý nghĩa của phép tính và kiểm tra lại kết luận.

Ví dụ 1: Trên lưới, từ A đến B phải đi 3 bước sang phải và 8 bước lên trên, không đi lùi. Có bao nhiêu đường đi ngắn nhất?

Hướng dẫn giải chi tiết:

Phân tích đề: Ta chia quá trình lựa chọn thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Cần bảo đảm mỗi kết quả được đếm đúng một lần.

Bước 1: Mỗi đường ngắn nhất gồm 11 bước, trong đó chọn vị trí cho 3 bước sang phải (các bước còn lại là đi lên). Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.

Vì sao làm như vậy: Khi mỗi lựa chọn ở bước trước ghép được với tất cả lựa chọn ở bước sau, số cách được tính bằng phép nhân.

Bước 2: Số cách chọn là 11×10×...×9: (3×...×1). Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.

Vì sao làm như vậy: Khi chia thành các trường hợp riêng biệt, ta tính từng trường hợp rồi cộng, đồng thời loại những cách vi phạm điều kiện.

Ý nghĩa của kết quả: Kết quả phải là số tự nhiên và phản ánh đúng các điều kiện không lặp, không trùng hoặc không được phép.

Kết luận: Có 165 đường đi.

Kiểm tra: Liệt kê thử một trường hợp nhỏ hoặc đếm theo cách khác để phát hiện đếm thiếu, đếm thừa.

Ví dụ 2: Trên lưới, từ A đến B phải đi 6 bước sang phải và 8 bước lên trên, không đi lùi. Có bao nhiêu đường đi ngắn nhất?

Hướng dẫn giải chi tiết:

Phân tích đề: Ta chia quá trình lựa chọn thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Cần bảo đảm mỗi kết quả được đếm đúng một lần.

Bước 1: Mỗi đường ngắn nhất gồm 14 bước, trong đó chọn vị trí cho 6 bước sang phải (các bước còn lại là đi lên). Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.

Vì sao làm như vậy: Khi mỗi lựa chọn ở bước trước ghép được với tất cả lựa chọn ở bước sau, số cách được tính bằng phép nhân.

Bước 2: Số cách chọn là 14×13×...×9: (6×...×1). Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.

Vì sao làm như vậy: Khi chia thành các trường hợp riêng biệt, ta tính từng trường hợp rồi cộng, đồng thời loại những cách vi phạm điều kiện.

Ý nghĩa của kết quả: Kết quả phải là số tự nhiên và phản ánh đúng các điều kiện không lặp, không trùng hoặc không được phép.

Kết luận: Có 3003 đường đi.

Kiểm tra: Liệt kê thử một trường hợp nhỏ hoặc đếm theo cách khác để phát hiện đếm thiếu, đếm thừa.

Ví dụ 3: Trên lưới, từ A đến B phải đi 5 bước sang phải và 4 bước lên trên, không đi lùi. Có bao nhiêu đường đi ngắn nhất?

Hướng dẫn giải chi tiết:

Phân tích đề: Ta chia quá trình lựa chọn thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Cần bảo đảm mỗi kết quả được đếm đúng một lần.

Bước 1: Mỗi đường ngắn nhất gồm 9 bước, trong đó chọn vị trí cho 5 bước sang phải (các bước còn lại là đi lên). Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.

Vì sao làm như vậy: Khi mỗi lựa chọn ở bước trước ghép được với tất cả lựa chọn ở bước sau, số cách được tính bằng phép nhân.

Bước 2: Số cách chọn là 9×8×...×5: (5×...×1). Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.

Vì sao làm như vậy: Khi chia thành các trường hợp riêng biệt, ta tính từng trường hợp rồi cộng, đồng thời loại những cách vi phạm điều kiện.

Ý nghĩa của kết quả: Kết quả phải là số tự nhiên và phản ánh đúng các điều kiện không lặp, không trùng hoặc không được phép.

Kết luận: Có 126 đường đi.

Kiểm tra: Liệt kê thử một trường hợp nhỏ hoặc đếm theo cách khác để phát hiện đếm thiếu, đếm thừa.

Làm theo kiến thức vừa học

Bài tập áp dụng

Gồm 5 bài tập nâng cao. Em hãy tự trình bày bài giải đầy đủ vào vở trước khi mở lời giải.

Bài 1: Trên lưới, từ A đến B phải đi 7 bước sang phải và 5 bước lên trên, không đi lùi. Có bao nhiêu đường đi ngắn nhất?

Bài 2: Trên lưới, từ A đến B phải đi 4 bước sang phải và 6 bước lên trên, không đi lùi. Có bao nhiêu đường đi ngắn nhất?

Bài 3: Trên lưới, từ A đến B phải đi 7 bước sang phải và 7 bước lên trên, không đi lùi. Có bao nhiêu đường đi ngắn nhất?

Bài 4: Trên lưới, từ A đến B phải đi 8 bước sang phải và 6 bước lên trên, không đi lùi. Có bao nhiêu đường đi ngắn nhất?

Bài 5: Trên lưới, từ A đến B phải đi 5 bước sang phải và 7 bước lên trên, không đi lùi. Có bao nhiêu đường đi ngắn nhất?

Xem lời giải

Bài 1: Trên lưới, từ A đến B phải đi 7 bước sang phải và 5 bước lên trên, không đi lùi. Có bao nhiêu đường đi ngắn nhất?

Lời giải:

Trước hết, ta chia việc chọn thành từng bước hoặc từng trường hợp, xác định số lựa chọn ở mỗi phần và tránh đếm trùng.

Mỗi đường ngắn nhất gồm 12 bước, trong đó chọn vị trí cho 7 bước sang phải (các bước còn lại là đi lên).

Mỗi lựa chọn của phần này ghép được với các lựa chọn phù hợp của phần sau, nên ta nhân số cách tương ứng.

Số cách chọn là 12×11×...×6: (7×...×1).

Nếu có điều kiện cấm hoặc lặp, ta loại các cách không hợp lệ trước khi cộng các trường hợp.

Từ các kết quả trên, ta trả lời đầy đủ yêu cầu của bài toán và ghi đáp số kèm đơn vị (nếu có).

Đáp số: Có 792 đường đi.

Bài 2: Trên lưới, từ A đến B phải đi 4 bước sang phải và 6 bước lên trên, không đi lùi. Có bao nhiêu đường đi ngắn nhất?

Lời giải:

Trước hết, ta chia việc chọn thành từng bước hoặc từng trường hợp, xác định số lựa chọn ở mỗi phần và tránh đếm trùng.

Mỗi đường ngắn nhất gồm 10 bước, trong đó chọn vị trí cho 4 bước sang phải (các bước còn lại là đi lên).

Mỗi lựa chọn của phần này ghép được với các lựa chọn phù hợp của phần sau, nên ta nhân số cách tương ứng.

Số cách chọn là 10×9×...×7: (4×...×1).

Nếu có điều kiện cấm hoặc lặp, ta loại các cách không hợp lệ trước khi cộng các trường hợp.

Từ các kết quả trên, ta trả lời đầy đủ yêu cầu của bài toán và ghi đáp số kèm đơn vị (nếu có).

Đáp số: Có 210 đường đi.

Bài 3: Trên lưới, từ A đến B phải đi 7 bước sang phải và 7 bước lên trên, không đi lùi. Có bao nhiêu đường đi ngắn nhất?

Lời giải:

Trước hết, ta chia việc chọn thành từng bước hoặc từng trường hợp, xác định số lựa chọn ở mỗi phần và tránh đếm trùng.

Mỗi đường ngắn nhất gồm 14 bước, trong đó chọn vị trí cho 7 bước sang phải (các bước còn lại là đi lên).

Mỗi lựa chọn của phần này ghép được với các lựa chọn phù hợp của phần sau, nên ta nhân số cách tương ứng.

Số cách chọn là 14×13×...×8: (7×...×1).

Nếu có điều kiện cấm hoặc lặp, ta loại các cách không hợp lệ trước khi cộng các trường hợp.

Từ các kết quả trên, ta trả lời đầy đủ yêu cầu của bài toán và ghi đáp số kèm đơn vị (nếu có).

Đáp số: Có 3432 đường đi.

Bài 4: Trên lưới, từ A đến B phải đi 8 bước sang phải và 6 bước lên trên, không đi lùi. Có bao nhiêu đường đi ngắn nhất?

Lời giải:

Trước hết, ta chia việc chọn thành từng bước hoặc từng trường hợp, xác định số lựa chọn ở mỗi phần và tránh đếm trùng.

Mỗi đường ngắn nhất gồm 14 bước, trong đó chọn vị trí cho 8 bước sang phải (các bước còn lại là đi lên).

Mỗi lựa chọn của phần này ghép được với các lựa chọn phù hợp của phần sau, nên ta nhân số cách tương ứng.

Số cách chọn là 14×13×...×7: (8×...×1).

Nếu có điều kiện cấm hoặc lặp, ta loại các cách không hợp lệ trước khi cộng các trường hợp.

Từ các kết quả trên, ta trả lời đầy đủ yêu cầu của bài toán và ghi đáp số kèm đơn vị (nếu có).

Đáp số: Có 3003 đường đi.

Bài 5: Trên lưới, từ A đến B phải đi 5 bước sang phải và 7 bước lên trên, không đi lùi. Có bao nhiêu đường đi ngắn nhất?

Lời giải:

Trước hết, ta chia việc chọn thành từng bước hoặc từng trường hợp, xác định số lựa chọn ở mỗi phần và tránh đếm trùng.

Mỗi đường ngắn nhất gồm 12 bước, trong đó chọn vị trí cho 5 bước sang phải (các bước còn lại là đi lên).

Mỗi lựa chọn của phần này ghép được với các lựa chọn phù hợp của phần sau, nên ta nhân số cách tương ứng.

Số cách chọn là 12×11×...×8: (5×...×1).

Nếu có điều kiện cấm hoặc lặp, ta loại các cách không hợp lệ trước khi cộng các trường hợp.

Từ các kết quả trên, ta trả lời đầy đủ yêu cầu của bài toán và ghi đáp số kèm đơn vị (nếu có).

Đáp số: Có 792 đường đi.

Tự kiểm tra mức độ thành thạo

Bài tập tự luyện

Em hãy tự làm trước. Các bài tập đều ở mức nâng cao hoặc nâng cao CLC.

Bài 1: Trên lưới, từ A đến B phải đi 6 bước sang phải và 7 bước lên trên, không đi lùi. Có bao nhiêu đường đi ngắn nhất?

Bài 2: Trên lưới, từ A đến B phải đi 6 bước sang phải và 5 bước lên trên, không đi lùi. Có bao nhiêu đường đi ngắn nhất?

Bài 3: Trên lưới, từ A đến B phải đi 7 bước sang phải và 8 bước lên trên, không đi lùi. Có bao nhiêu đường đi ngắn nhất?

Bài 4: Trên lưới, từ A đến B phải đi 4 bước sang phải và 8 bước lên trên, không đi lùi. Có bao nhiêu đường đi ngắn nhất?

Bài 5: Trên lưới, từ A đến B phải đi 7 bước sang phải và 6 bước lên trên, không đi lùi. Có bao nhiêu đường đi ngắn nhất?

Bài 6: Trên lưới, từ A đến B phải đi 3 bước sang phải và 3 bước lên trên, không đi lùi. Có bao nhiêu đường đi ngắn nhất?

Bài 7: Trên lưới, từ A đến B phải đi 4 bước sang phải và 3 bước lên trên, không đi lùi. Có bao nhiêu đường đi ngắn nhất?

Bài 8: Trên lưới, từ A đến B phải đi 3 bước sang phải và 7 bước lên trên, không đi lùi. Có bao nhiêu đường đi ngắn nhất?

Bài 9: Trên lưới, từ A đến B phải đi 6 bước sang phải và 4 bước lên trên, không đi lùi. Có bao nhiêu đường đi ngắn nhất?

Bài 10: Trên lưới, từ A đến B phải đi 7 bước sang phải và 4 bước lên trên, không đi lùi. Có bao nhiêu đường đi ngắn nhất?

Bài 11: Trên lưới, từ A đến B phải đi 5 bước sang phải và 6 bước lên trên, không đi lùi. Có bao nhiêu đường đi ngắn nhất?

Bài 12: Trên lưới, từ A đến B phải đi 3 bước sang phải và 4 bước lên trên, không đi lùi. Có bao nhiêu đường đi ngắn nhất?

Xem lời giải bài tập tự luyện

Bài 1: Trên lưới, từ A đến B phải đi 6 bước sang phải và 7 bước lên trên, không đi lùi. Có bao nhiêu đường đi ngắn nhất?

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Mỗi đường ngắn nhất gồm 13 bước, trong đó chọn vị trí cho 6 bước sang phải (các bước còn lại là đi lên). Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.

Bước 2: Số cách chọn là 13×12×...×8 : (6×...×1). Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.

Đáp số: Có 1716 đường đi.

Kiểm tra: Đối chiếu trường hợp vừa tìm với từng điều kiện của đề. Nếu không có điều kiện nào bị vi phạm và các trường hợp đã được xét không trùng nhau, kết quả được chấp nhận.

Bài 2: Trên lưới, từ A đến B phải đi 6 bước sang phải và 5 bước lên trên, không đi lùi. Có bao nhiêu đường đi ngắn nhất?

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Mỗi đường ngắn nhất gồm 11 bước, trong đó chọn vị trí cho 6 bước sang phải (các bước còn lại là đi lên). Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.

Bước 2: Số cách chọn là 11×10×...×6 : (6×...×1). Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.

Đáp số: Có 462 đường đi.

Bài 3: Trên lưới, từ A đến B phải đi 7 bước sang phải và 8 bước lên trên, không đi lùi. Có bao nhiêu đường đi ngắn nhất?

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Mỗi đường ngắn nhất gồm 15 bước, trong đó chọn vị trí cho 7 bước sang phải (các bước còn lại là đi lên). Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.

Bước 2: Số cách chọn là 15×14×...×9 : (7×...×1). Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.

Đáp số: Có 6435 đường đi.

Bài 4: Trên lưới, từ A đến B phải đi 4 bước sang phải và 8 bước lên trên, không đi lùi. Có bao nhiêu đường đi ngắn nhất?

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Mỗi đường ngắn nhất gồm 12 bước, trong đó chọn vị trí cho 4 bước sang phải (các bước còn lại là đi lên). Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.

Bước 2: Số cách chọn là 12×11×...×9 : (4×...×1). Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.

Đáp số: Có 495 đường đi.

Bài 5: Trên lưới, từ A đến B phải đi 7 bước sang phải và 6 bước lên trên, không đi lùi. Có bao nhiêu đường đi ngắn nhất?

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Mỗi đường ngắn nhất gồm 13 bước, trong đó chọn vị trí cho 7 bước sang phải (các bước còn lại là đi lên). Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.

Bước 2: Số cách chọn là 13×12×...×7 : (7×...×1). Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.

Đáp số: Có 1716 đường đi.

Bài 6: Trên lưới, từ A đến B phải đi 3 bước sang phải và 3 bước lên trên, không đi lùi. Có bao nhiêu đường đi ngắn nhất?

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Mỗi đường ngắn nhất gồm 6 bước, trong đó chọn vị trí cho 3 bước sang phải (các bước còn lại là đi lên). Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.

Bước 2: Số cách chọn là 6×5×...×4 : (3×...×1). Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.

Đáp số: Có 20 đường đi.

Bài 7: Trên lưới, từ A đến B phải đi 4 bước sang phải và 3 bước lên trên, không đi lùi. Có bao nhiêu đường đi ngắn nhất?

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Mỗi đường ngắn nhất gồm 7 bước, trong đó chọn vị trí cho 4 bước sang phải (các bước còn lại là đi lên). Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.

Bước 2: Số cách chọn là 7×6×...×4 : (4×...×1). Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.

Đáp số: Có 35 đường đi.

Bài 8: Trên lưới, từ A đến B phải đi 3 bước sang phải và 7 bước lên trên, không đi lùi. Có bao nhiêu đường đi ngắn nhất?

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Mỗi đường ngắn nhất gồm 10 bước, trong đó chọn vị trí cho 3 bước sang phải (các bước còn lại là đi lên). Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.

Bước 2: Số cách chọn là 10×9×...×8 : (3×...×1). Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.

Đáp số: Có 120 đường đi.

Bài 9: Trên lưới, từ A đến B phải đi 6 bước sang phải và 4 bước lên trên, không đi lùi. Có bao nhiêu đường đi ngắn nhất?

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Mỗi đường ngắn nhất gồm 10 bước, trong đó chọn vị trí cho 6 bước sang phải (các bước còn lại là đi lên). Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.

Bước 2: Số cách chọn là 10×9×...×5 : (6×...×1). Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.

Đáp số: Có 210 đường đi.

Bài 10: Trên lưới, từ A đến B phải đi 7 bước sang phải và 4 bước lên trên, không đi lùi. Có bao nhiêu đường đi ngắn nhất?

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Mỗi đường ngắn nhất gồm 11 bước, trong đó chọn vị trí cho 7 bước sang phải (các bước còn lại là đi lên). Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.

Bước 2: Số cách chọn là 11×10×...×5 : (7×...×1). Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.

Đáp số: Có 330 đường đi.

Bài 11: Trên lưới, từ A đến B phải đi 5 bước sang phải và 6 bước lên trên, không đi lùi. Có bao nhiêu đường đi ngắn nhất?

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Mỗi đường ngắn nhất gồm 11 bước, trong đó chọn vị trí cho 5 bước sang phải (các bước còn lại là đi lên). Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.

Bước 2: Số cách chọn là 11×10×...×7 : (5×...×1). Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.

Đáp số: Có 462 đường đi.

Bài 12: Trên lưới, từ A đến B phải đi 3 bước sang phải và 4 bước lên trên, không đi lùi. Có bao nhiêu đường đi ngắn nhất?

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Mỗi đường ngắn nhất gồm 7 bước, trong đó chọn vị trí cho 3 bước sang phải (các bước còn lại là đi lên). Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.

Bước 2: Số cách chọn là 7×6×...×5 : (3×...×1). Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.

Đáp số: Có 35 đường đi.

Tổng kết bài học

Ghi nhớ và tự kiểm tra

Trọng tâm của bài là nhận ra cấu trúc ẩn trong dạng Đếm đường đi trên lưới ô vuông.
Không làm theo phép tính máy móc; cần giải thích vì sao chọn cách làm.
Mọi đáp số phải được kiểm tra lại với toàn bộ dữ kiện của đề.

Câu hỏi tự kiểm tra

Em có tách được từng điều kiện và xác định thứ tự xử lí không?
Em có trình bày đủ các kết quả trung gian không?
Em có kiểm tra lại đáp số bằng điều kiện ban đầu hoặc một cách khác không?