Tô màu theo điều kiện
Chuyên đề nâng cao tô màu theo điều kiện với phương pháp chọn lọc, 20 bài toán phân loại và lời giải đầy đủ từng bước dành cho học sinh ôn thi vào lớp 6 CLC.
Mục tiêu bài học
- Nhận biết và xử lí các biến đổi nâng cao của dạng Tô màu theo điều kiện.
- Biết phân tích dữ kiện ẩn, lựa chọn phương pháp ngắn gọn và kiểm tra kết quả.
- Trình bày lời giải đầy đủ từng bước theo ngôn ngữ Toán tiểu học, không dùng kiến thức thuần THCS.
Kiến thức cần nhớ
- Quy tắc cộng dùng cho các trường hợp loại trừ nhau; quy tắc nhân dùng cho các bước liên tiếp.
- Cần xác định rõ có phân biệt thứ tự hay không và có cho phép lặp hay không.
- Chia trường hợp sao cho các trường hợp không trùng và bao quát hết khả năng.
- Trọng tâm là nhận đúng dữ kiện đặc trưng của dạng “Tô màu đơn giản” và chọn phép tính phù hợp.
- Nên trình bày theo thứ tự: tóm tắt, lập luận, phép tính, kết luận.
Ví dụ minh họa
Phương pháp chung
- Đọc kĩ đề, gạch dưới dữ kiện và xác định chính xác yêu cầu cuối cùng.
- Ta chia quá trình lựa chọn thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Cần bảo đảm mỗi kết quả được đếm đúng một lần.
- Trình bày từng kết quả trung gian, giải thích ý nghĩa của phép tính và kiểm tra lại kết luận.
Ví dụ 1: Tô 9 ô liên tiếp bằng 4 màu, hai ô kề nhau không cùng màu. Có bao nhiêu cách tô tất cả? Nếu màu của ô đầu đã được ấn định thì còn bao nhiêu cách?
Hướng dẫn giải chi tiết:
Phân tích đề: Ta chia quá trình lựa chọn thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Cần bảo đảm mỗi kết quả được đếm đúng một lần.
Bước 1: Ô đầu có 4 cách; mỗi ô tiếp theo có 3 cách vì phải khác ô ngay trước. Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.
Vì sao làm như vậy: Khi mỗi lựa chọn ở bước trước ghép được với tất cả lựa chọn ở bước sau, số cách được tính bằng phép nhân.
Bước 2: Tổng số cách là 4×3×3×3×3×3×3×3×3=26 244. Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.
Vì sao làm như vậy: Khi chia thành các trường hợp riêng biệt, ta tính từng trường hợp rồi cộng, đồng thời loại những cách vi phạm điều kiện.
Ý nghĩa của kết quả: Kết quả phải là số tự nhiên và phản ánh đúng các điều kiện không lặp, không trùng hoặc không được phép.
Kết luận: Khi màu ô đầu đã ấn định, chỉ còn 8 ô cần chọn: 3×3×3×3×3×3×3×3=6 561 cách.
Kiểm tra: Liệt kê thử một trường hợp nhỏ hoặc đếm theo cách khác để phát hiện đếm thiếu, đếm thừa.
Ví dụ 2: Tô 7 ô liên tiếp bằng 4 màu, hai ô kề nhau không cùng màu. Có bao nhiêu cách tô tất cả? Nếu màu của ô đầu đã được ấn định thì còn bao nhiêu cách?
Hướng dẫn giải chi tiết:
Phân tích đề: Ta chia quá trình lựa chọn thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Cần bảo đảm mỗi kết quả được đếm đúng một lần.
Bước 1: Ô đầu có 4 cách; mỗi ô tiếp theo có 3 cách vì phải khác ô ngay trước. Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.
Vì sao làm như vậy: Khi mỗi lựa chọn ở bước trước ghép được với tất cả lựa chọn ở bước sau, số cách được tính bằng phép nhân.
Bước 2: Tổng số cách là 4×3×3×3×3×3×3=2 916. Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.
Vì sao làm như vậy: Khi chia thành các trường hợp riêng biệt, ta tính từng trường hợp rồi cộng, đồng thời loại những cách vi phạm điều kiện.
Ý nghĩa của kết quả: Kết quả phải là số tự nhiên và phản ánh đúng các điều kiện không lặp, không trùng hoặc không được phép.
Kết luận: Khi màu ô đầu đã ấn định, chỉ còn 6 ô cần chọn: 3×3×3×3×3×3=729 cách.
Kiểm tra: Liệt kê thử một trường hợp nhỏ hoặc đếm theo cách khác để phát hiện đếm thiếu, đếm thừa.
Ví dụ 3: Tô 5 ô liên tiếp bằng 5 màu, hai ô kề nhau không cùng màu. Có bao nhiêu cách tô tất cả? Nếu màu của ô đầu đã được ấn định thì còn bao nhiêu cách?
Hướng dẫn giải chi tiết:
Phân tích đề: Ta chia quá trình lựa chọn thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Cần bảo đảm mỗi kết quả được đếm đúng một lần.
Bước 1: Ô đầu có 5 cách; mỗi ô tiếp theo có 4 cách vì phải khác ô ngay trước. Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.
Vì sao làm như vậy: Khi mỗi lựa chọn ở bước trước ghép được với tất cả lựa chọn ở bước sau, số cách được tính bằng phép nhân.
Bước 2: Tổng số cách là 5×4×4×4×4=1 280. Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.
Vì sao làm như vậy: Khi chia thành các trường hợp riêng biệt, ta tính từng trường hợp rồi cộng, đồng thời loại những cách vi phạm điều kiện.
Ý nghĩa của kết quả: Kết quả phải là số tự nhiên và phản ánh đúng các điều kiện không lặp, không trùng hoặc không được phép.
Kết luận: Khi màu ô đầu đã ấn định, chỉ còn 4 ô cần chọn: 4×4×4×4=256 cách.
Kiểm tra: Liệt kê thử một trường hợp nhỏ hoặc đếm theo cách khác để phát hiện đếm thiếu, đếm thừa.
Bài tập áp dụng
Bài 1: Tô 7 ô liên tiếp bằng 3 màu, hai ô kề nhau không cùng màu. Có bao nhiêu cách tô tất cả? Nếu màu của ô đầu đã được ấn định thì còn bao nhiêu cách?
Bài 2: Tô 6 ô liên tiếp bằng 4 màu, hai ô kề nhau không cùng màu. Có bao nhiêu cách tô tất cả? Nếu màu của ô đầu đã được ấn định thì còn bao nhiêu cách?
Bài 3: Tô 5 ô liên tiếp bằng 3 màu, hai ô kề nhau không cùng màu. Có bao nhiêu cách tô tất cả? Nếu màu của ô đầu đã được ấn định thì còn bao nhiêu cách?
Bài 4: Tô 6 ô liên tiếp bằng 3 màu, hai ô kề nhau không cùng màu. Có bao nhiêu cách tô tất cả? Nếu màu của ô đầu đã được ấn định thì còn bao nhiêu cách?
Bài 5: Tô 9 ô liên tiếp bằng 3 màu, hai ô kề nhau không cùng màu. Có bao nhiêu cách tô tất cả? Nếu màu của ô đầu đã được ấn định thì còn bao nhiêu cách?
Xem lời giải
Bài 1: Tô 7 ô liên tiếp bằng 3 màu, hai ô kề nhau không cùng màu. Có bao nhiêu cách tô tất cả? Nếu màu của ô đầu đã được ấn định thì còn bao nhiêu cách?
Lời giải:
Trước hết, ta chia việc chọn thành từng bước hoặc từng trường hợp, xác định số lựa chọn ở mỗi phần và tránh đếm trùng.
Ô đầu có 3 cách; mỗi ô tiếp theo có 2 cách vì phải khác ô ngay trước.
Mỗi lựa chọn của phần này ghép được với các lựa chọn phù hợp của phần sau, nên ta nhân số cách tương ứng.
Tổng số cách là 3×2×2×2×2×2×2=192.
Nếu có điều kiện cấm hoặc lặp, ta loại các cách không hợp lệ trước khi cộng các trường hợp.
Từ các kết quả trên, ta trả lời đầy đủ yêu cầu của bài toán và ghi đáp số kèm đơn vị (nếu có).
Đáp số: Khi màu ô đầu đã ấn định, chỉ còn 6 ô cần chọn: 2×2×2×2×2×2=64 cách.
Bài 2: Tô 6 ô liên tiếp bằng 4 màu, hai ô kề nhau không cùng màu. Có bao nhiêu cách tô tất cả? Nếu màu của ô đầu đã được ấn định thì còn bao nhiêu cách?
Lời giải:
Trước hết, ta chia việc chọn thành từng bước hoặc từng trường hợp, xác định số lựa chọn ở mỗi phần và tránh đếm trùng.
Ô đầu có 4 cách; mỗi ô tiếp theo có 3 cách vì phải khác ô ngay trước.
Mỗi lựa chọn của phần này ghép được với các lựa chọn phù hợp của phần sau, nên ta nhân số cách tương ứng.
Tổng số cách là 4×3×3×3×3×3=972.
Nếu có điều kiện cấm hoặc lặp, ta loại các cách không hợp lệ trước khi cộng các trường hợp.
Từ các kết quả trên, ta trả lời đầy đủ yêu cầu của bài toán và ghi đáp số kèm đơn vị (nếu có).
Đáp số: Khi màu ô đầu đã ấn định, chỉ còn 5 ô cần chọn: 3×3×3×3×3=243 cách.
Bài 3: Tô 5 ô liên tiếp bằng 3 màu, hai ô kề nhau không cùng màu. Có bao nhiêu cách tô tất cả? Nếu màu của ô đầu đã được ấn định thì còn bao nhiêu cách?
Lời giải:
Trước hết, ta chia việc chọn thành từng bước hoặc từng trường hợp, xác định số lựa chọn ở mỗi phần và tránh đếm trùng.
Ô đầu có 3 cách; mỗi ô tiếp theo có 2 cách vì phải khác ô ngay trước.
Mỗi lựa chọn của phần này ghép được với các lựa chọn phù hợp của phần sau, nên ta nhân số cách tương ứng.
Tổng số cách là 3×2×2×2×2=48.
Nếu có điều kiện cấm hoặc lặp, ta loại các cách không hợp lệ trước khi cộng các trường hợp.
Từ các kết quả trên, ta trả lời đầy đủ yêu cầu của bài toán và ghi đáp số kèm đơn vị (nếu có).
Đáp số: Khi màu ô đầu đã ấn định, chỉ còn 4 ô cần chọn: 2×2×2×2=16 cách.
Bài 4: Tô 6 ô liên tiếp bằng 3 màu, hai ô kề nhau không cùng màu. Có bao nhiêu cách tô tất cả? Nếu màu của ô đầu đã được ấn định thì còn bao nhiêu cách?
Lời giải:
Trước hết, ta chia việc chọn thành từng bước hoặc từng trường hợp, xác định số lựa chọn ở mỗi phần và tránh đếm trùng.
Ô đầu có 3 cách; mỗi ô tiếp theo có 2 cách vì phải khác ô ngay trước.
Mỗi lựa chọn của phần này ghép được với các lựa chọn phù hợp của phần sau, nên ta nhân số cách tương ứng.
Tổng số cách là 3×2×2×2×2×2=96.
Nếu có điều kiện cấm hoặc lặp, ta loại các cách không hợp lệ trước khi cộng các trường hợp.
Từ các kết quả trên, ta trả lời đầy đủ yêu cầu của bài toán và ghi đáp số kèm đơn vị (nếu có).
Đáp số: Khi màu ô đầu đã ấn định, chỉ còn 5 ô cần chọn: 2×2×2×2×2=32 cách.
Bài 5: Tô 9 ô liên tiếp bằng 3 màu, hai ô kề nhau không cùng màu. Có bao nhiêu cách tô tất cả? Nếu màu của ô đầu đã được ấn định thì còn bao nhiêu cách?
Lời giải:
Trước hết, ta chia việc chọn thành từng bước hoặc từng trường hợp, xác định số lựa chọn ở mỗi phần và tránh đếm trùng.
Ô đầu có 3 cách; mỗi ô tiếp theo có 2 cách vì phải khác ô ngay trước.
Mỗi lựa chọn của phần này ghép được với các lựa chọn phù hợp của phần sau, nên ta nhân số cách tương ứng.
Tổng số cách là 3×2×2×2×2×2×2×2×2=768.
Nếu có điều kiện cấm hoặc lặp, ta loại các cách không hợp lệ trước khi cộng các trường hợp.
Từ các kết quả trên, ta trả lời đầy đủ yêu cầu của bài toán và ghi đáp số kèm đơn vị (nếu có).
Đáp số: Khi màu ô đầu đã ấn định, chỉ còn 8 ô cần chọn: 2×2×2×2×2×2×2×2=256 cách.
Bài tập tự luyện
Bài 1: Tô 6 ô liên tiếp bằng 5 màu, hai ô kề nhau không cùng màu. Có bao nhiêu cách tô tất cả? Nếu màu của ô đầu đã được ấn định thì còn bao nhiêu cách?
Bài 2: Tô 7 ô liên tiếp bằng 3 màu, hai ô kề nhau không cùng màu. Có bao nhiêu cách tô tất cả? Nếu màu của ô đầu đã được ấn định thì còn bao nhiêu cách? (Bộ dữ liệu 10)
Bài 3: Tô 6 ô liên tiếp bằng 4 màu, hai ô kề nhau không cùng màu. Có bao nhiêu cách tô tất cả? Nếu màu của ô đầu đã được ấn định thì còn bao nhiêu cách? (Bộ dữ liệu 11)
Bài 4: Tô 8 ô liên tiếp bằng 3 màu, hai ô kề nhau không cùng màu. Có bao nhiêu cách tô tất cả? Nếu màu của ô đầu đã được ấn định thì còn bao nhiêu cách?
Bài 5: Tô 8 ô liên tiếp bằng 3 màu, hai ô kề nhau không cùng màu. Có bao nhiêu cách tô tất cả? Nếu màu của ô đầu đã được ấn định thì còn bao nhiêu cách? (Bộ dữ liệu 13)
Bài 6: Tô 9 ô liên tiếp bằng 3 màu, hai ô kề nhau không cùng màu. Có bao nhiêu cách tô tất cả? Nếu màu của ô đầu đã được ấn định thì còn bao nhiêu cách? (Bộ dữ liệu 14)
Bài 7: Tô 9 ô liên tiếp bằng 4 màu, hai ô kề nhau không cùng màu. Có bao nhiêu cách tô tất cả? Nếu màu của ô đầu đã được ấn định thì còn bao nhiêu cách? (Bộ dữ liệu 15)
Bài 8: Tô 7 ô liên tiếp bằng 4 màu, hai ô kề nhau không cùng màu. Có bao nhiêu cách tô tất cả? Nếu màu của ô đầu đã được ấn định thì còn bao nhiêu cách? (Bộ dữ liệu 16)
Bài 9: Tô 7 ô liên tiếp bằng 3 màu, hai ô kề nhau không cùng màu. Có bao nhiêu cách tô tất cả? Nếu màu của ô đầu đã được ấn định thì còn bao nhiêu cách? (Bộ dữ liệu 17)
Bài 10: Tô 7 ô liên tiếp bằng 5 màu, hai ô kề nhau không cùng màu. Có bao nhiêu cách tô tất cả? Nếu màu của ô đầu đã được ấn định thì còn bao nhiêu cách?
Bài 11: Tô 8 ô liên tiếp bằng 3 màu, hai ô kề nhau không cùng màu. Có bao nhiêu cách tô tất cả? Nếu màu của ô đầu đã được ấn định thì còn bao nhiêu cách? (Bộ dữ liệu 19)
Bài 12: Tô 8 ô liên tiếp bằng 5 màu, hai ô kề nhau không cùng màu. Có bao nhiêu cách tô tất cả? Nếu màu của ô đầu đã được ấn định thì còn bao nhiêu cách?
Xem lời giải bài tập tự luyện
Bài 1: Tô 6 ô liên tiếp bằng 5 màu, hai ô kề nhau không cùng màu. Có bao nhiêu cách tô tất cả? Nếu màu của ô đầu đã được ấn định thì còn bao nhiêu cách?
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Ô đầu có 5 cách; mỗi ô tiếp theo có 4 cách vì phải khác ô ngay trước. Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.
Bước 2: Tổng số cách là 5×4×4×4×4×4=5 120. Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.
Đáp số: Khi màu ô đầu đã ấn định, chỉ còn 5 ô cần chọn: 4×4×4×4×4=1 024 cách.
Kiểm tra: Đối chiếu trường hợp vừa tìm với từng điều kiện của đề. Nếu không có điều kiện nào bị vi phạm và các trường hợp đã được xét không trùng nhau, kết quả được chấp nhận.
Bài 2: Tô 7 ô liên tiếp bằng 3 màu, hai ô kề nhau không cùng màu. Có bao nhiêu cách tô tất cả? Nếu màu của ô đầu đã được ấn định thì còn bao nhiêu cách? (Bộ dữ liệu 10)
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Ô đầu có 3 cách; mỗi ô tiếp theo có 2 cách vì phải khác ô ngay trước. Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.
Bước 2: Tổng số cách là 3×2×2×2×2×2×2=192. Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.
Đáp số: Khi màu ô đầu đã ấn định, chỉ còn 6 ô cần chọn: 2×2×2×2×2×2=64 cách.
Kiểm tra: Đối chiếu trường hợp vừa tìm với từng điều kiện của đề. Nếu không có điều kiện nào bị vi phạm và các trường hợp đã được xét không trùng nhau, kết quả được chấp nhận.
Bài 3: Tô 6 ô liên tiếp bằng 4 màu, hai ô kề nhau không cùng màu. Có bao nhiêu cách tô tất cả? Nếu màu của ô đầu đã được ấn định thì còn bao nhiêu cách? (Bộ dữ liệu 11)
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Ô đầu có 4 cách; mỗi ô tiếp theo có 3 cách vì phải khác ô ngay trước. Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.
Bước 2: Tổng số cách là 4×3×3×3×3×3=972. Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.
Đáp số: Khi màu ô đầu đã ấn định, chỉ còn 5 ô cần chọn: 3×3×3×3×3=243 cách.
Kiểm tra: Đối chiếu trường hợp vừa tìm với từng điều kiện của đề. Nếu không có điều kiện nào bị vi phạm và các trường hợp đã được xét không trùng nhau, kết quả được chấp nhận.
Bài 4: Tô 8 ô liên tiếp bằng 3 màu, hai ô kề nhau không cùng màu. Có bao nhiêu cách tô tất cả? Nếu màu của ô đầu đã được ấn định thì còn bao nhiêu cách?
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Ô đầu có 3 cách; mỗi ô tiếp theo có 2 cách vì phải khác ô ngay trước. Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.
Bước 2: Tổng số cách là 3×2×2×2×2×2×2×2=384. Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.
Đáp số: Khi màu ô đầu đã ấn định, chỉ còn 7 ô cần chọn: 2×2×2×2×2×2×2=128 cách.
Kiểm tra: Đối chiếu trường hợp vừa tìm với từng điều kiện của đề. Nếu không có điều kiện nào bị vi phạm và các trường hợp đã được xét không trùng nhau, kết quả được chấp nhận.
Bài 5: Tô 8 ô liên tiếp bằng 3 màu, hai ô kề nhau không cùng màu. Có bao nhiêu cách tô tất cả? Nếu màu của ô đầu đã được ấn định thì còn bao nhiêu cách? (Bộ dữ liệu 13)
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Ô đầu có 3 cách; mỗi ô tiếp theo có 2 cách vì phải khác ô ngay trước. Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.
Bước 2: Tổng số cách là 3×2×2×2×2×2×2×2=384. Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.
Đáp số: Khi màu ô đầu đã ấn định, chỉ còn 7 ô cần chọn: 2×2×2×2×2×2×2=128 cách.
Kiểm tra: Đối chiếu trường hợp vừa tìm với từng điều kiện của đề. Nếu không có điều kiện nào bị vi phạm và các trường hợp đã được xét không trùng nhau, kết quả được chấp nhận.
Bài 6: Tô 9 ô liên tiếp bằng 3 màu, hai ô kề nhau không cùng màu. Có bao nhiêu cách tô tất cả? Nếu màu của ô đầu đã được ấn định thì còn bao nhiêu cách? (Bộ dữ liệu 14)
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Ô đầu có 3 cách; mỗi ô tiếp theo có 2 cách vì phải khác ô ngay trước. Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.
Bước 2: Tổng số cách là 3×2×2×2×2×2×2×2×2=768. Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.
Đáp số: Khi màu ô đầu đã ấn định, chỉ còn 8 ô cần chọn: 2×2×2×2×2×2×2×2=256 cách.
Kiểm tra: Đối chiếu trường hợp vừa tìm với từng điều kiện của đề. Nếu không có điều kiện nào bị vi phạm và các trường hợp đã được xét không trùng nhau, kết quả được chấp nhận.
Bài 7: Tô 9 ô liên tiếp bằng 4 màu, hai ô kề nhau không cùng màu. Có bao nhiêu cách tô tất cả? Nếu màu của ô đầu đã được ấn định thì còn bao nhiêu cách? (Bộ dữ liệu 15)
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Ô đầu có 4 cách; mỗi ô tiếp theo có 3 cách vì phải khác ô ngay trước. Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.
Bước 2: Tổng số cách là 4×3×3×3×3×3×3×3×3=26 244. Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.
Đáp số: Khi màu ô đầu đã ấn định, chỉ còn 8 ô cần chọn: 3×3×3×3×3×3×3×3=6 561 cách.
Kiểm tra: Đối chiếu trường hợp vừa tìm với từng điều kiện của đề. Nếu không có điều kiện nào bị vi phạm và các trường hợp đã được xét không trùng nhau, kết quả được chấp nhận.
Bài 8: Tô 7 ô liên tiếp bằng 4 màu, hai ô kề nhau không cùng màu. Có bao nhiêu cách tô tất cả? Nếu màu của ô đầu đã được ấn định thì còn bao nhiêu cách? (Bộ dữ liệu 16)
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Ô đầu có 4 cách; mỗi ô tiếp theo có 3 cách vì phải khác ô ngay trước. Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.
Bước 2: Tổng số cách là 4×3×3×3×3×3×3=2 916. Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.
Đáp số: Khi màu ô đầu đã ấn định, chỉ còn 6 ô cần chọn: 3×3×3×3×3×3=729 cách.
Kiểm tra: Đối chiếu trường hợp vừa tìm với từng điều kiện của đề. Nếu không có điều kiện nào bị vi phạm và các trường hợp đã được xét không trùng nhau, kết quả được chấp nhận.
Bài 9: Tô 7 ô liên tiếp bằng 3 màu, hai ô kề nhau không cùng màu. Có bao nhiêu cách tô tất cả? Nếu màu của ô đầu đã được ấn định thì còn bao nhiêu cách? (Bộ dữ liệu 17)
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Ô đầu có 3 cách; mỗi ô tiếp theo có 2 cách vì phải khác ô ngay trước. Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.
Bước 2: Tổng số cách là 3×2×2×2×2×2×2=192. Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.
Đáp số: Khi màu ô đầu đã ấn định, chỉ còn 6 ô cần chọn: 2×2×2×2×2×2=64 cách.
Kiểm tra: Đối chiếu trường hợp vừa tìm với từng điều kiện của đề. Nếu không có điều kiện nào bị vi phạm và các trường hợp đã được xét không trùng nhau, kết quả được chấp nhận.
Bài 10: Tô 7 ô liên tiếp bằng 5 màu, hai ô kề nhau không cùng màu. Có bao nhiêu cách tô tất cả? Nếu màu của ô đầu đã được ấn định thì còn bao nhiêu cách?
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Ô đầu có 5 cách; mỗi ô tiếp theo có 4 cách vì phải khác ô ngay trước. Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.
Bước 2: Tổng số cách là 5×4×4×4×4×4×4=20 480. Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.
Đáp số: Khi màu ô đầu đã ấn định, chỉ còn 6 ô cần chọn: 4×4×4×4×4×4=4 096 cách.
Kiểm tra: Đối chiếu trường hợp vừa tìm với từng điều kiện của đề. Nếu không có điều kiện nào bị vi phạm và các trường hợp đã được xét không trùng nhau, kết quả được chấp nhận.
Bài 11: Tô 8 ô liên tiếp bằng 3 màu, hai ô kề nhau không cùng màu. Có bao nhiêu cách tô tất cả? Nếu màu của ô đầu đã được ấn định thì còn bao nhiêu cách? (Bộ dữ liệu 19)
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Ô đầu có 3 cách; mỗi ô tiếp theo có 2 cách vì phải khác ô ngay trước. Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.
Bước 2: Tổng số cách là 3×2×2×2×2×2×2×2=384. Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.
Đáp số: Khi màu ô đầu đã ấn định, chỉ còn 7 ô cần chọn: 2×2×2×2×2×2×2=128 cách.
Kiểm tra: Đối chiếu trường hợp vừa tìm với từng điều kiện của đề. Nếu không có điều kiện nào bị vi phạm và các trường hợp đã được xét không trùng nhau, kết quả được chấp nhận.
Bài 12: Tô 8 ô liên tiếp bằng 5 màu, hai ô kề nhau không cùng màu. Có bao nhiêu cách tô tất cả? Nếu màu của ô đầu đã được ấn định thì còn bao nhiêu cách?
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Ô đầu có 5 cách; mỗi ô tiếp theo có 4 cách vì phải khác ô ngay trước. Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.
Bước 2: Tổng số cách là 5×4×4×4×4×4×4×4=81 920. Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.
Đáp số: Khi màu ô đầu đã ấn định, chỉ còn 7 ô cần chọn: 4×4×4×4×4×4×4=16 384 cách.
Kiểm tra: Đối chiếu trường hợp vừa tìm với từng điều kiện của đề. Nếu không có điều kiện nào bị vi phạm và các trường hợp đã được xét không trùng nhau, kết quả được chấp nhận.
Ghi nhớ và tự kiểm tra
- Trọng tâm của bài là nhận ra cấu trúc ẩn trong dạng Tô màu theo điều kiện.
- Không làm theo phép tính máy móc; cần giải thích vì sao chọn cách làm.
- Mọi đáp số phải được kiểm tra lại với toàn bộ dữ kiện của đề.
Câu hỏi tự kiểm tra
- Em có tách được từng điều kiện và xác định thứ tự xử lí không?
- Em có trình bày đủ các kết quả trung gian không?
- Em có kiểm tra lại đáp số bằng điều kiện ban đầu hoặc một cách khác không?