Đề bài
Phần II. Tự luận
Trình bày đầy đủ cách làm và nêu rõ lập luận ở các bài phân loại.
Bài 1: Trên lưới 5 cột, 5 hàng, đi từ góc dưới trái đến góc trên phải chỉ bằng bước sang phải hoặc đi lên. Có bao nhiêu đường đi ngắn nhất đi qua điểm lưới cách góc xuất phát 4 bước sang phải và 1 bước đi lên?
Bài 2: Có bao nhiêu số tự nhiên từ 117 đến 549 vừa chia cho 5 dư 1, vừa chia cho 7 dư 3?
Bài 3: Viết liên tiếp dãy chữ số 761237612376123… theo chu kì. Chữ số ở vị trí thứ 2 297 là chữ số nào?
Bài 4: Viết liên tiếp các số tự nhiên từ 1 đến 139. Chữ số 3 xuất hiện bao nhiêu lần?
Bài 5: (Phân loại) Hai hộp có số bi theo tỉ số 4:7. Chuyển 8 viên từ hộp thứ nhất sang hộp thứ hai thì tỉ số mới là 4:9. Hỏi ban đầu hộp thứ nhất có bao nhiêu viên bi?
Bài 6: (Phân loại) Tính tổng 32 số hạng đầu của dãy 22, 26, 30, 34, …
Bài 7: (Phân loại) Một bạn dùng 25 số tiền để mua sách, sau đó dùng 13 số tiền còn lại để mua đồ dùng học tập. Cuối cùng còn 192 nghìn đồng. Hỏi lúc đầu bạn có bao nhiêu nghìn đồng?
Bài 8: (Phân loại) Từ các số tự nhiên 1, 2, 3, …, 43, có bao nhiêu cặp số khác nhau có tổng bằng 49?
Đáp án và lời giải chi tiết
Bài 1:
Từ điểm xuất phát đến điểm bắt buộc cần 4 bước sang phải và 1 bước đi lên; sắp xếp các bước đó có 5 cách. Từ điểm bắt buộc đến đích có 1 bước sang phải và 4 bước đi lên; sắp xếp có 5 cách. Mỗi cách ở đoạn đầu ghép với mỗi cách ở đoạn sau, nên có 5 × 5 = 25 đường đi.
Đáp số: 25
Bài 2:
Xét lần lượt các số chia cho 5 dư 1, số đầu tiên trong khoảng đồng thời chia cho 7 dư 3 là 136. Nếu cộng thêm 5 × 7 = 35, cả hai số dư đều được giữ nguyên. Vì vậy các số cần tìm tạo thành dãy cách nhau 35 đơn vị. Số lượng là (549 − 136) : 35 lấy phần nguyên rồi cộng 1, được 12 số.
Đáp số: 12
Bài 3:
Mỗi chu kì có 5 chữ số. Chia 2 297 cho 5 được số dư 2. Vì dư 2 nên vị trí cần tìm là chữ số thứ 2 trong chu kì. Chữ số đó là 6.
Đáp số: 6
Bài 4:
Đếm theo vị trí: ở hàng đơn vị, chữ số 3 xuất hiện 14 lần; ở hàng chục xuất hiện 20 lần; ở hàng trăm xuất hiện 0 lần. Tổng cộng 14 + 20 + 0 = 34 lần.
Đáp số: 34
Bài 5:
Tổng số bi không đổi. Quy hai tỉ số về cùng một tổng số phần: trước khi chuyển, hộp thứ nhất ứng với 4 × 13 = 52 phần; sau khi chuyển ứng với 4 × 11 = 44 phần. 8 viên tương ứng 52 − 44 = 8 phần theo cách quy đổi này. Tổng số bi ứng với 11 × 13 = 143 phần nên tổng số bi là 8 × 143 : 8 = 143. Hộp thứ nhất ban đầu có 143 × 4 : 11 = 52 viên.
Đáp số: 52
Bài 6:
Số hạng thứ 32 là 22 + 4 × 31 = 146. Ghép số đầu với số cuối, số thứ hai với số áp cuối,… mỗi cặp đều có tổng 22 + 146 = 168. Có 16 cặp nên tổng là 168 × 16 = 2 688.
Đáp số: 2 688
Bài 7:
Sau lần mua thứ hai, số tiền còn lại chiếm 23 số tiền trước lần mua đó. Vì vậy trước lần mua thứ hai có 192 : 23 = 288 nghìn đồng. Sau lần mua sách còn 35 số tiền ban đầu, nên số tiền ban đầu là 288 : 35 = 480 nghìn đồng.
Đáp số: 480
Bài 8:
Số bé trong cặp phải nhỏ hơn 49:2 và số lớn không vượt quá 43. Liệt kê theo thứ tự từ cặp đầu 6 + 43 đến cặp cuối 24 + 25, mỗi lần số bé tăng 1 thì số lớn giảm 1. Có tất cả 19 cặp.
Đáp số: 19