Đề bài
Phần II. Tự luận
Trình bày đầy đủ cách làm và nêu rõ lập luận ở các bài phân loại.
Bài 1: Viết liên tiếp dãy chữ số 763912763912763912… theo chu kì. Chữ số ở vị trí thứ 1 611 là chữ số nào?
Bài 2: Có bao nhiêu số tự nhiên từ 171 đến 564 vừa chia cho 5 dư 2, vừa chia cho 7 dư 6?
Bài 3: Trên lưới 5 cột, 5 hàng, đi từ góc dưới trái đến góc trên phải chỉ bằng bước sang phải hoặc đi lên. Có bao nhiêu đường đi ngắn nhất đi qua điểm lưới cách góc xuất phát 3 bước sang phải và 3 bước đi lên?
Bài 4: Từ các chữ số 0, 3, 4, 7, 1, lập các số chẵn có bốn chữ số, các chữ số không lặp. Có bao nhiêu số như vậy?
Bài 5: (Phân loại) Viết liên tiếp các số tự nhiên từ 1 đến 189. Chữ số 5 xuất hiện bao nhiêu lần?
Bài 6: (Phân loại) Một hình chữ nhật có chiều dài lớn hơn chiều rộng. Cắt ở một đầu một hình vuông có cạnh bằng chiều rộng của hình chữ nhật thì phần còn lại là hình chữ nhật có chu vi 40 cm và chiều dài phần còn lại ngắn hơn chiều rộng ban đầu 4 cm. Tính diện tích hình chữ nhật ban đầu.
Bài 7: (Phân loại) Một bạn dùng 25 số tiền để mua sách, sau đó dùng 25 số tiền còn lại để mua đồ dùng học tập. Cuối cùng còn 216 nghìn đồng. Hỏi lúc đầu bạn có bao nhiêu nghìn đồng?
Bài 8: (Phân loại) Hai hộp có số bi theo tỉ số 3:5. Chuyển 13 viên từ hộp thứ nhất sang hộp thứ hai thì tỉ số mới là 5:11. Hỏi ban đầu hộp thứ nhất có bao nhiêu viên bi?
Đáp án và lời giải chi tiết
Bài 1:
Mỗi chu kì có 6 chữ số. Chia 1 611 cho 6 được số dư 3. Vì dư 3 nên vị trí cần tìm là chữ số thứ 3 trong chu kì. Chữ số đó là 3.
Đáp số: 3
Bài 2:
Xét lần lượt các số chia cho 5 dư 2, số đầu tiên trong khoảng đồng thời chia cho 7 dư 6 là 202. Nếu cộng thêm 5 × 7 = 35, cả hai số dư đều được giữ nguyên. Vì vậy các số cần tìm tạo thành dãy cách nhau 35 đơn vị. Số lượng là (564 − 202) : 35 lấy phần nguyên rồi cộng 1, được 11 số.
Đáp số: 11
Bài 3:
Từ điểm xuất phát đến điểm bắt buộc cần 3 bước sang phải và 3 bước đi lên; sắp xếp các bước đó có 20 cách. Từ điểm bắt buộc đến đích có 2 bước sang phải và 2 bước đi lên; sắp xếp có 6 cách. Mỗi cách ở đoạn đầu ghép với mỗi cách ở đoạn sau, nên có 20 × 6 = 120 đường đi.
Đáp số: 120
Bài 4:
Xét chữ số hàng đơn vị. Nếu hàng đơn vị là 0 thì hàng nghìn có 4 cách chọn, hàng trăm có 3 cách, hàng chục có 2 cách: có 4 × 3 × 2 = 24 số. Có 1 chữ số chẵn khác 0 có thể đứng ở hàng đơn vị; với mỗi chữ số như vậy, hàng nghìn có 3 cách chọn (không chọn 0), hàng trăm có 3 cách và hàng chục có 2 cách, được 3 × 3 × 2 = 18 số. Tổng cộng 24 + 1 × 18 = 42 số.
Đáp số: 42
Bài 5:
Đếm theo vị trí: ở hàng đơn vị, chữ số 5 xuất hiện 19 lần; ở hàng chục xuất hiện 20 lần; ở hàng trăm xuất hiện 0 lần. Tổng cộng 19 + 20 + 0 = 39 lần.
Đáp số: 39
Bài 6:
Phần còn lại có hai kích thước là chiều rộng ban đầu và phần chiều dài còn dư. Nửa chu vi phần còn lại là 40 : 2 = 20 cm, tức tổng hai kích thước bằng 20. Hiệu hai kích thước bằng 4. Suy ra chiều rộng ban đầu là (20 + 4) : 2 = 12 cm; phần dư dài 8 cm. Chiều dài ban đầu là 12 + 8 = 20 cm. Diện tích là 20 × 12 = 240 cm².
Đáp số: 240
Bài 7:
Sau lần mua thứ hai, số tiền còn lại chiếm 35 số tiền trước lần mua đó. Vì vậy trước lần mua thứ hai có 216 : 35 = 360 nghìn đồng. Sau lần mua sách còn 35 số tiền ban đầu, nên số tiền ban đầu là 360 : 35 = 600 nghìn đồng.
Đáp số: 600
Bài 8:
Tổng số bi không đổi. Quy hai tỉ số về cùng một tổng số phần: trước khi chuyển, hộp thứ nhất ứng với 3 × 16 = 48 phần; sau khi chuyển ứng với 5 × 8 = 40 phần. 13 viên tương ứng 48 − 40 = 8 phần theo cách quy đổi này. Tổng số bi ứng với 8 × 16 = 128 phần nên tổng số bi là 13 × 128 : 8 = 208. Hộp thứ nhất ban đầu có 208 × 3 : 8 = 78 viên.
Đáp số: 78