Đề bài
Phần I. Trắc nghiệm
Chọn đáp án đúng nhất cho mỗi câu.
Câu 1: Một lưới hình chữ nhật có 5 cột và 4 hàng ô vuông đơn vị. Có tất cả bao nhiêu hình chữ nhật có cạnh nằm trên các đường lưới?
Câu 2: Từ các số tự nhiên 1, 2, 3, …, 65, có bao nhiêu cặp số khác nhau có tổng bằng 60?
Câu 3: Từ các chữ số 0, 2, 7, 8, 3, lập các số chẵn có bốn chữ số, các chữ số không lặp. Có bao nhiêu số như vậy?
Câu 4: Trên lưới 3 cột, 3 hàng, đi từ góc dưới trái đến góc trên phải chỉ bằng bước sang phải hoặc đi lên. Có bao nhiêu đường đi ngắn nhất đi qua điểm lưới cách góc xuất phát 2 bước sang phải và 2 bước đi lên?
Câu 5: Một số có ba chữ số, chữ số hàng chục là 4, tổng ba chữ số bằng 9. Khi viết các chữ số theo thứ tự ngược lại, số ban đầu lớn hơn số mới 297. Tìm số ban đầu.
Câu 6: Một hộp có nhiều viên bi thuộc 5 màu, mỗi màu đều có đủ bi. Không nhìn vào hộp, cần lấy ít nhất bao nhiêu viên để chắc chắn có 3 viên cùng màu?
Câu 7: Một bạn dùng 38 số tiền để mua sách, sau đó dùng 13 số tiền còn lại để mua đồ dùng học tập. Cuối cùng còn 100 nghìn đồng. Hỏi lúc đầu bạn có bao nhiêu nghìn đồng?
Câu 8: Có 9 bạn tham gia một giải đấu, mỗi hai bạn gặp nhau đúng một lần. Có tất cả bao nhiêu trận đấu?
Phần II. Tự luận
Trình bày đầy đủ cách làm và nêu rõ lập luận ở các bài phân loại.
Bài 1: Nhóm A có 6 bạn, điểm trung bình là 8; nhóm B có 3 bạn, điểm trung bình là 5. Tính điểm trung bình của cả hai nhóm.
Bài 2: Tìm số tự nhiên cần cộng vào cả tử số và mẫu số của phân số 417 để được phân số 1023.
Bài 3: (Phân loại) Một hình chữ nhật có chiều dài lớn hơn chiều rộng. Cắt ở một đầu một hình vuông có cạnh bằng chiều rộng của hình chữ nhật thì phần còn lại là hình chữ nhật có chu vi 66 cm và chiều dài phần còn lại ngắn hơn chiều rộng ban đầu 3 cm. Tính diện tích hình chữ nhật ban đầu.
Bài 4: (Phân loại) Tính tổng 40 số hạng đầu của dãy 21, 28, 35, 42, …
Bài 5: (Phân loại) Viết liên tiếp các số tự nhiên từ 1 đến 129. Chữ số 7 xuất hiện bao nhiêu lần?
Đáp án và lời giải chi tiết
Câu 1: B
Có 6 đường thẳng đứng và 5 đường ngang. Chọn 2 đường đứng để làm hai cạnh bên: có 15 cách; chọn 2 đường ngang để làm cạnh trên và dưới: có 10 cách. Mỗi lựa chọn tạo đúng một hình chữ nhật, nên có 15 × 10 = 150 hình chữ nhật.
Đáp số: 150
Câu 2: C
Số bé trong cặp phải nhỏ hơn 60:2 và số lớn không vượt quá 65. Liệt kê theo thứ tự từ cặp đầu 1 + 59 đến cặp cuối 29 + 31, mỗi lần số bé tăng 1 thì số lớn giảm 1. Có tất cả 29 cặp.
Đáp số: 29
Câu 3: B
Xét chữ số hàng đơn vị. Nếu hàng đơn vị là 0 thì hàng nghìn có 4 cách chọn, hàng trăm có 3 cách, hàng chục có 2 cách: có 4 × 3 × 2 = 24 số. Có 2 chữ số chẵn khác 0 có thể đứng ở hàng đơn vị; với mỗi chữ số như vậy, hàng nghìn có 3 cách chọn (không chọn 0), hàng trăm có 3 cách và hàng chục có 2 cách, được 3 × 3 × 2 = 18 số. Tổng cộng 24 + 2 × 18 = 60 số.
Đáp số: 60
Câu 4: B
Từ điểm xuất phát đến điểm bắt buộc cần 2 bước sang phải và 2 bước đi lên; sắp xếp các bước đó có 6 cách. Từ điểm bắt buộc đến đích có 1 bước sang phải và 1 bước đi lên; sắp xếp có 2 cách. Mỗi cách ở đoạn đầu ghép với mỗi cách ở đoạn sau, nên có 6 × 2 = 12 đường đi.
Đáp số: 12
Câu 5: D
Độ chênh lệch giữa số ban đầu và số viết ngược bằng 99 lần độ chênh lệch giữa chữ số hàng trăm và hàng đơn vị. Vì 297 : 99 = 3, hàng trăm hơn hàng đơn vị 3. Hai chữ số này có tổng 9 − 4 = 5. Suy ra hàng trăm là (5 + 3) : 2 = 4, hàng đơn vị là 1. Số cần tìm là 441.
Đáp số: 441
Câu 6: A
Để vẫn chưa có 3 viên cùng màu, nhiều nhất mỗi màu chỉ lấy được 2 viên. Khi đó có thể lấy 5 × 2 = 10 viên. Lấy thêm 1 viên chắc chắn có 3 viên cùng màu. Vậy cần 11 viên.
Đáp số: 11
Câu 7: C
Sau lần mua thứ hai, số tiền còn lại chiếm 23 số tiền trước lần mua đó. Vì vậy trước lần mua thứ hai có 100 : 23 = 150 nghìn đồng. Sau lần mua sách còn 58 số tiền ban đầu, nên số tiền ban đầu là 150 : 58 = 240 nghìn đồng.
Đáp số: 240
Câu 8: B
Bạn thứ nhất có thể gặp 8 bạn, bạn thứ hai còn 7 trận chưa tính, tiếp tục như vậy. Tổng số trận là 8 + 7 + … + 1 = 36.
Đáp số: 36
Bài 1:
Tổng điểm nhóm A là 6 × 8 = 48; nhóm B là 3 × 5 = 15. Cả hai nhóm có 9 bạn và tổng điểm 63. Điểm trung bình chung là 63 : 9 = 7.
Đáp số: 7
Bài 2:
Hiệu giữa mẫu số và tử số ban đầu là 17 − 4 = 13; khi cộng cùng một số vào tử và mẫu thì hiệu này không đổi. Ở phân số mới, hiệu số phần là 23 − 10 = 13 phần, nên 1 phần ứng với 1. Tử số mới là 10 phần, bằng 10. Số cần cộng là 10 − 4 = 6.
Đáp số: 6
Bài 3:
Phần còn lại có hai kích thước là chiều rộng ban đầu và phần chiều dài còn dư. Nửa chu vi phần còn lại là 66 : 2 = 33 cm, tức tổng hai kích thước bằng 33. Hiệu hai kích thước bằng 3. Suy ra chiều rộng ban đầu là (33 + 3) : 2 = 18 cm; phần dư dài 15 cm. Chiều dài ban đầu là 18 + 15 = 33 cm. Diện tích là 33 × 18 = 594 cm².
Đáp số: 594
Bài 4:
Số hạng thứ 40 là 21 + 7 × 39 = 294. Ghép số đầu với số cuối, số thứ hai với số áp cuối,… mỗi cặp đều có tổng 21 + 294 = 315. Có 20 cặp nên tổng là 315 × 20 = 6 300.
Đáp số: 6 300
Bài 5:
Đếm theo vị trí: ở hàng đơn vị, chữ số 7 xuất hiện 13 lần; ở hàng chục xuất hiện 10 lần; ở hàng trăm xuất hiện 0 lần. Tổng cộng 13 + 10 + 0 = 23 lần.
Đáp số: 23