Đề bài
Phần I. Trắc nghiệm
Chọn đáp án đúng nhất cho mỗi câu.
Câu 1: Từ các chữ số 0, 4, 2, 6, 1, lập các số có ba chữ số chia hết cho 5, không lặp chữ số. Có bao nhiêu số?
Câu 2: Bốn bạn Minh, Hà, Bình, Chi đứng thành một hàng. Biết Bình đứng trước Chi; Chi đứng ngay trước Minh; và Hà đứng sau Minh. Ai đứng thứ ba?
Câu 3: Viết liên tiếp dãy chữ số 654165416541… theo chu kì. Chữ số ở vị trí thứ 1 100 là chữ số nào?
Câu 4: Một số được tăng 40% rồi giảm 25% trên giá trị mới thì được 840. Tìm số ban đầu.
Câu 5: Có bao nhiêu số tự nhiên từ 145 đến 509 vừa chia cho 7 dư 5, vừa chia cho 9 dư 3?
Câu 6: Một lưới hình chữ nhật có 4 cột và 2 hàng ô vuông đơn vị. Có tất cả bao nhiêu hình chữ nhật có cạnh nằm trên các đường lưới?
Câu 7: Từ các chữ số 0, 1, 6, 7, 9, lập các số chẵn có bốn chữ số, các chữ số không lặp. Có bao nhiêu số như vậy?
Câu 8: Một số có hai chữ số. Tổng hai chữ số bằng 14. Khi đổi chỗ hai chữ số, số mới lớn hơn số cũ 18. Tìm số ban đầu.
Phần II. Tự luận
Trình bày đầy đủ cách làm và nêu rõ lập luận ở các bài phân loại.
Bài 1: Từ các số tự nhiên 1, 2, 3, …, 37, có bao nhiêu cặp số khác nhau có tổng bằng 47?
Bài 2: Một hộp có nhiều viên bi thuộc 4 màu, mỗi màu đều có đủ bi. Không nhìn vào hộp, cần lấy ít nhất bao nhiêu viên để chắc chắn có 5 viên cùng màu?
Bài 3: (Phân loại) Trên lưới 3 cột, 5 hàng, đi từ góc dưới trái đến góc trên phải chỉ bằng bước sang phải hoặc đi lên. Có bao nhiêu đường đi ngắn nhất đi qua điểm lưới cách góc xuất phát 2 bước sang phải và 2 bước đi lên?
Bài 4: (Phân loại) Một xe đi nửa quãng đường đầu dài 180 km với vận tốc 30 km/giờ và nửa quãng đường sau cũng dài 180 km với vận tốc 45 km/giờ. Tính vận tốc trung bình của xe trên cả quãng đường.
Bài 5: (Phân loại) Hai hộp có số bi theo tỉ số 5:8. Chuyển 13 viên từ hộp thứ nhất sang hộp thứ hai thì tỉ số mới là 142:261. Hỏi ban đầu hộp thứ nhất có bao nhiêu viên bi?
Đáp án và lời giải chi tiết
Câu 1: C
Trong các chữ số đã cho không có 5 nên số cần lập phải tận cùng bằng 0. Hàng trăm có 4 cách chọn và hàng chục có 3 cách chọn, vì thế có 4 × 3 = 12 số.
Đáp số: 12
Câu 2: D
Vì Chi đứng ngay trước Minh và Hà đứng sau Minh, cặp Chi – Minh không thể ở hai vị trí cuối. Lại có Bình đứng trước Chi, nên thứ tự duy nhất là Bình, Chi, Minh, Hà. Người đứng thứ ba là Minh.
Đáp số: Minh
Câu 3: C
Mỗi chu kì có 4 chữ số. Chia 1 100 cho 4 được số dư 0. Vì chia hết nên vị trí cần tìm là chữ số cuối chu kì. Chữ số đó là 1.
Đáp số: 1
Câu 4: D
Sau khi giảm 25%, số còn lại bằng 75% giá trị trước khi giảm. Giá trị trước khi giảm là 840 × 100 : 75 = 1 120. Sau khi tăng 40%, giá trị này bằng 140% số ban đầu. Số ban đầu là 1 120 × 100 : 140 = 800.
Đáp số: 800
Câu 5: D
Xét lần lượt các số chia cho 7 dư 5, số đầu tiên trong khoảng đồng thời chia cho 9 dư 3 là 201. Nếu cộng thêm 7 × 9 = 63, cả hai số dư đều được giữ nguyên. Vì vậy các số cần tìm tạo thành dãy cách nhau 63 đơn vị. Số lượng là (509 − 201) : 63 lấy phần nguyên rồi cộng 1, được 5 số.
Đáp số: 5
Câu 6: D
Có 5 đường thẳng đứng và 3 đường ngang. Chọn 2 đường đứng để làm hai cạnh bên: có 10 cách; chọn 2 đường ngang để làm cạnh trên và dưới: có 3 cách. Mỗi lựa chọn tạo đúng một hình chữ nhật, nên có 10 × 3 = 30 hình chữ nhật.
Đáp số: 30
Câu 7: B
Xét chữ số hàng đơn vị. Nếu hàng đơn vị là 0 thì hàng nghìn có 4 cách chọn, hàng trăm có 3 cách, hàng chục có 2 cách: có 4 × 3 × 2 = 24 số. Có 1 chữ số chẵn khác 0 có thể đứng ở hàng đơn vị; với mỗi chữ số như vậy, hàng nghìn có 3 cách chọn (không chọn 0), hàng trăm có 3 cách và hàng chục có 2 cách, được 3 × 3 × 2 = 18 số. Tổng cộng 24 + 1 × 18 = 42 số.
Đáp số: 42
Câu 8: A
Khi đổi chỗ hai chữ số, độ chênh lệch bằng 9 lần độ chênh lệch giữa hai chữ số. Vì 18 : 9 = 2, chữ số hàng đơn vị hơn chữ số hàng chục 2. Hai chữ số có tổng 14; số bé là (14 − 2) : 2 = 6, số lớn là 8. Số ban đầu là 68.
Đáp số: 68
Bài 1:
Số bé trong cặp phải nhỏ hơn 47:2 và số lớn không vượt quá 37. Liệt kê theo thứ tự từ cặp đầu 10 + 37 đến cặp cuối 23 + 24, mỗi lần số bé tăng 1 thì số lớn giảm 1. Có tất cả 14 cặp.
Đáp số: 14
Bài 2:
Để vẫn chưa có 5 viên cùng màu, nhiều nhất mỗi màu chỉ lấy được 4 viên. Khi đó có thể lấy 4 × 4 = 16 viên. Lấy thêm 1 viên chắc chắn có 5 viên cùng màu. Vậy cần 17 viên.
Đáp số: 17
Bài 3:
Từ điểm xuất phát đến điểm bắt buộc cần 2 bước sang phải và 2 bước đi lên; sắp xếp các bước đó có 6 cách. Từ điểm bắt buộc đến đích có 1 bước sang phải và 3 bước đi lên; sắp xếp có 4 cách. Mỗi cách ở đoạn đầu ghép với mỗi cách ở đoạn sau, nên có 6 × 4 = 24 đường đi.
Đáp số: 24
Bài 4:
Thời gian đi nửa đầu là 180 : 30 = 6 giờ; nửa sau là 180 : 45 = 4 giờ. Tổng quãng đường là 360 km, tổng thời gian là 10 giờ. Vận tốc trung bình là 360 : 10 = 36 km/giờ.
Đáp số: 36
Bài 5:
Tổng số bi không đổi. Quy hai tỉ số về cùng một tổng số phần: trước khi chuyển, hộp thứ nhất ứng với 5 × 403 = 2015 phần; sau khi chuyển ứng với 142 × 13 = 1846 phần. 13 viên tương ứng 2015 − 1846 = 169 phần theo cách quy đổi này. Tổng số bi ứng với 13 × 403 = 5239 phần nên tổng số bi là 13 × 5239 : 169 = 403. Hộp thứ nhất ban đầu có 403 × 5 : 13 = 155 viên.
Đáp số: 155