Đề bài
Phần II. Tự luận
Trình bày đầy đủ cách làm và nêu rõ lập luận ở các bài phân loại.
Bài 1: Viết liên tiếp các số tự nhiên từ 1 đến 169. Chữ số 1 xuất hiện bao nhiêu lần?
Bài 2: Có bao nhiêu số tự nhiên từ 90 đến 658 vừa chia cho 8 dư 2, vừa chia cho 9 dư 0?
Bài 3: Một hình chữ nhật có chiều dài lớn hơn chiều rộng. Cắt ở một đầu một hình vuông có cạnh bằng chiều rộng của hình chữ nhật thì phần còn lại là hình chữ nhật có chu vi 52 cm và chiều dài phần còn lại ngắn hơn chiều rộng ban đầu 2 cm. Tính diện tích hình chữ nhật ban đầu.
Bài 4: Một số có ba chữ số, chữ số hàng chục là 9, tổng ba chữ số bằng 21. Khi viết các chữ số theo thứ tự ngược lại, số ban đầu lớn hơn số mới 198. Tìm số ban đầu.
Bài 5: (Phân loại) Từ các chữ số 0, 2, 9, 7, 6, lập các số chẵn có bốn chữ số, các chữ số không lặp. Có bao nhiêu số như vậy?
Bài 6: (Phân loại) Từ các số tự nhiên 1, 2, 3, …, 48, có bao nhiêu cặp số khác nhau có tổng bằng 46?
Bài 7: (Phân loại) Hai hộp có số bi theo tỉ số 5:8. Chuyển 6 viên từ hộp thứ nhất sang hộp thứ hai thì tỉ số mới là 109:190. Hỏi ban đầu hộp thứ nhất có bao nhiêu viên bi?
Bài 8: (Phân loại) Viết liên tiếp dãy chữ số 783978397839… theo chu kì. Chữ số ở vị trí thứ 2 308 là chữ số nào?
Đáp án và lời giải chi tiết
Bài 1:
Đếm theo vị trí: ở hàng đơn vị, chữ số 1 xuất hiện 17 lần; ở hàng chục xuất hiện 20 lần; ở hàng trăm xuất hiện 70 lần. Tổng cộng 17 + 20 + 70 = 107 lần.
Đáp số: 107
Bài 2:
Xét lần lượt các số chia cho 8 dư 2, số đầu tiên trong khoảng đồng thời chia cho 9 dư 0 là 90. Nếu cộng thêm 8 × 9 = 72, cả hai số dư đều được giữ nguyên. Vì vậy các số cần tìm tạo thành dãy cách nhau 72 đơn vị. Số lượng là (658 − 90) : 72 lấy phần nguyên rồi cộng 1, được 8 số.
Đáp số: 8
Bài 3:
Phần còn lại có hai kích thước là chiều rộng ban đầu và phần chiều dài còn dư. Nửa chu vi phần còn lại là 52 : 2 = 26 cm, tức tổng hai kích thước bằng 26. Hiệu hai kích thước bằng 2. Suy ra chiều rộng ban đầu là (26 + 2) : 2 = 14 cm; phần dư dài 12 cm. Chiều dài ban đầu là 14 + 12 = 26 cm. Diện tích là 26 × 14 = 364 cm².
Đáp số: 364
Bài 4:
Độ chênh lệch giữa số ban đầu và số viết ngược bằng 99 lần độ chênh lệch giữa chữ số hàng trăm và hàng đơn vị. Vì 198 : 99 = 2, hàng trăm hơn hàng đơn vị 2. Hai chữ số này có tổng 21 − 9 = 12. Suy ra hàng trăm là (12 + 2) : 2 = 7, hàng đơn vị là 5. Số cần tìm là 795.
Đáp số: 795
Bài 5:
Xét chữ số hàng đơn vị. Nếu hàng đơn vị là 0 thì hàng nghìn có 4 cách chọn, hàng trăm có 3 cách, hàng chục có 2 cách: có 4 × 3 × 2 = 24 số. Có 2 chữ số chẵn khác 0 có thể đứng ở hàng đơn vị; với mỗi chữ số như vậy, hàng nghìn có 3 cách chọn (không chọn 0), hàng trăm có 3 cách và hàng chục có 2 cách, được 3 × 3 × 2 = 18 số. Tổng cộng 24 + 2 × 18 = 60 số.
Đáp số: 60
Bài 6:
Số bé trong cặp phải nhỏ hơn 46:2 và số lớn không vượt quá 48. Liệt kê theo thứ tự từ cặp đầu 1 + 45 đến cặp cuối 22 + 24, mỗi lần số bé tăng 1 thì số lớn giảm 1. Có tất cả 22 cặp.
Đáp số: 22
Bài 7:
Tổng số bi không đổi. Quy hai tỉ số về cùng một tổng số phần: trước khi chuyển, hộp thứ nhất ứng với 5 × 299 = 1495 phần; sau khi chuyển ứng với 109 × 13 = 1417 phần. 6 viên tương ứng 1495 − 1417 = 78 phần theo cách quy đổi này. Tổng số bi ứng với 13 × 299 = 3887 phần nên tổng số bi là 6 × 3887 : 78 = 299. Hộp thứ nhất ban đầu có 299 × 5 : 13 = 115 viên.
Đáp số: 115
Bài 8:
Mỗi chu kì có 4 chữ số. Chia 2 308 cho 4 được số dư 0. Vì chia hết nên vị trí cần tìm là chữ số cuối chu kì. Chữ số đó là 9.
Đáp số: 9