Đề bài
Phần II. Tự luận
Trình bày đầy đủ cách làm và nêu rõ lập luận ở các bài phân loại.
Bài 1: Có bao nhiêu số tự nhiên từ 101 đến 795 vừa chia cho 5 dư 2, vừa chia cho 8 dư 6?
Bài 2: Trên lưới 4 cột, 5 hàng, đi từ góc dưới trái đến góc trên phải chỉ bằng bước sang phải hoặc đi lên. Có bao nhiêu đường đi ngắn nhất đi qua điểm lưới cách góc xuất phát 3 bước sang phải và 3 bước đi lên?
Bài 3: Một hình chữ nhật có chiều dài lớn hơn chiều rộng. Cắt ở một đầu một hình vuông có cạnh bằng chiều rộng của hình chữ nhật thì phần còn lại là hình chữ nhật có chu vi 64 cm và chiều dài phần còn lại ngắn hơn chiều rộng ban đầu 4 cm. Tính diện tích hình chữ nhật ban đầu.
Bài 4: Hai hộp có số bi theo tỉ số 7:11. Chuyển 7 viên từ hộp thứ nhất sang hộp thứ hai thì tỉ số mới là 17:28. Hỏi ban đầu hộp thứ nhất có bao nhiêu viên bi?
Bài 5: (Phân loại) Từ các chữ số 0, 9, 1, 6, 4, lập các số chẵn có bốn chữ số, các chữ số không lặp. Có bao nhiêu số như vậy?
Bài 6: (Phân loại) Từ các số tự nhiên 1, 2, 3, …, 59, có bao nhiêu cặp số khác nhau có tổng bằng 65?
Bài 7: (Phân loại) Viết liên tiếp dãy chữ số 368436843684… theo chu kì. Chữ số ở vị trí thứ 892 là chữ số nào?
Bài 8: (Phân loại) Tìm số tự nhiên cần cộng vào cả tử số và mẫu số của phân số 1115 để được phân số 1519.
Đáp án và lời giải chi tiết
Bài 1:
Xét lần lượt các số chia cho 5 dư 2, số đầu tiên trong khoảng đồng thời chia cho 8 dư 6 là 102. Nếu cộng thêm 5 × 8 = 40, cả hai số dư đều được giữ nguyên. Vì vậy các số cần tìm tạo thành dãy cách nhau 40 đơn vị. Số lượng là (795 − 102) : 40 lấy phần nguyên rồi cộng 1, được 18 số.
Đáp số: 18
Bài 2:
Từ điểm xuất phát đến điểm bắt buộc cần 3 bước sang phải và 3 bước đi lên; sắp xếp các bước đó có 20 cách. Từ điểm bắt buộc đến đích có 1 bước sang phải và 2 bước đi lên; sắp xếp có 3 cách. Mỗi cách ở đoạn đầu ghép với mỗi cách ở đoạn sau, nên có 20 × 3 = 60 đường đi.
Đáp số: 60
Bài 3:
Phần còn lại có hai kích thước là chiều rộng ban đầu và phần chiều dài còn dư. Nửa chu vi phần còn lại là 64 : 2 = 32 cm, tức tổng hai kích thước bằng 32. Hiệu hai kích thước bằng 4. Suy ra chiều rộng ban đầu là (32 + 4) : 2 = 18 cm; phần dư dài 14 cm. Chiều dài ban đầu là 18 + 14 = 32 cm. Diện tích là 32 × 18 = 576 cm².
Đáp số: 576
Bài 4:
Tổng số bi không đổi. Quy hai tỉ số về cùng một tổng số phần: trước khi chuyển, hộp thứ nhất ứng với 7 × 45 = 315 phần; sau khi chuyển ứng với 17 × 18 = 306 phần. 7 viên tương ứng 315 − 306 = 9 phần theo cách quy đổi này. Tổng số bi ứng với 18 × 45 = 810 phần nên tổng số bi là 7 × 810 : 9 = 630. Hộp thứ nhất ban đầu có 630 × 7 : 18 = 245 viên.
Đáp số: 245
Bài 5:
Xét chữ số hàng đơn vị. Nếu hàng đơn vị là 0 thì hàng nghìn có 4 cách chọn, hàng trăm có 3 cách, hàng chục có 2 cách: có 4 × 3 × 2 = 24 số. Có 2 chữ số chẵn khác 0 có thể đứng ở hàng đơn vị; với mỗi chữ số như vậy, hàng nghìn có 3 cách chọn (không chọn 0), hàng trăm có 3 cách và hàng chục có 2 cách, được 3 × 3 × 2 = 18 số. Tổng cộng 24 + 2 × 18 = 60 số.
Đáp số: 60
Bài 6:
Số bé trong cặp phải nhỏ hơn 65:2 và số lớn không vượt quá 59. Liệt kê theo thứ tự từ cặp đầu 6 + 59 đến cặp cuối 32 + 33, mỗi lần số bé tăng 1 thì số lớn giảm 1. Có tất cả 27 cặp.
Đáp số: 27
Bài 7:
Mỗi chu kì có 4 chữ số. Chia 892 cho 4 được số dư 0. Vì chia hết nên vị trí cần tìm là chữ số cuối chu kì. Chữ số đó là 4.
Đáp số: 4
Bài 8:
Hiệu giữa mẫu số và tử số ban đầu là 15 − 11 = 4; khi cộng cùng một số vào tử và mẫu thì hiệu này không đổi. Ở phân số mới, hiệu số phần là 19 − 15 = 4 phần, nên 1 phần ứng với 1. Tử số mới là 15 phần, bằng 15. Số cần cộng là 15 − 11 = 4.
Đáp số: 4