Bài toán tổng hợp nguyên lý chắc chắn
Chuyên đề nâng cao bài toán tổng hợp nguyên lý chắc chắn với phương pháp chọn lọc, 20 bài toán phân loại và lời giải đầy đủ từng bước dành cho học sinh ôn thi vào lớp 6 CLC.
Mục tiêu bài học
- Nhận biết và xử lí các biến đổi nâng cao của dạng Bài toán tổng hợp nguyên lý chắc chắn.
- Biết phân tích dữ kiện ẩn, lựa chọn phương pháp ngắn gọn và kiểm tra kết quả.
- Trình bày lời giải đầy đủ từng bước theo ngôn ngữ Toán tiểu học, không dùng kiến thức thuần THCS.
Kiến thức cần nhớ
- Bài “chắc chắn” phải xét trường hợp xấu nhất trước khi thêm một đối tượng.
- Khi tối ưu, cần nêu rõ đại lượng cần lớn nhất hoặc nhỏ nhất và các điều kiện ràng buộc.
- Một phương án chỉ được coi là tối ưu khi vừa đạt mục tiêu vừa thỏa mãn mọi điều kiện.
- Trọng tâm là nhận đúng dữ kiện đặc trưng của dạng “Bài toán tổng hợp nguyên lý chắc chắn” và chọn phép tính phù hợp.
- Nên trình bày theo thứ tự: tóm tắt, lập luận, phép tính, kết luận.
Ví dụ minh họa
Phương pháp chung
- Đọc kĩ đề, gạch dưới dữ kiện và xác định chính xác yêu cầu cuối cùng.
- Ta xét trường hợp bất lợi nhất hoặc cấu hình tạo ra giá trị lớn nhất, nhỏ nhất. Mục tiêu là chứng minh kết quả luôn đúng, không chỉ tìm một ví dụ đúng.
- Trình bày từng kết quả trung gian, giải thích ý nghĩa của phép tính và kiểm tra lại kết luận.
Ví dụ 1: Một túi có bi thuộc 6 màu, mỗi màu có ít nhất 2 viên. Không nhìn, cần lấy ít nhất bao nhiêu viên để chắc chắn có 2 viên cùng màu?
Hướng dẫn giải chi tiết:
Phân tích đề: Ta xét trường hợp bất lợi nhất hoặc cấu hình tạo ra giá trị lớn nhất, nhỏ nhất. Mục tiêu là chứng minh kết quả luôn đúng, không chỉ tìm một ví dụ đúng.
Bước 1: Trường hợp xấu nhất, lấy 1 viên ở mỗi màu mà vẫn chưa có 2 viên cùng màu. Ta xét trường hợp bất lợi nhất mà yêu cầu vẫn chưa được bảo đảm. Lấy thêm một phần tử sau trường hợp đó sẽ cho số nhỏ nhất để chắc chắn đạt điều kiện.
Vì sao làm như vậy: Trường hợp bất lợi nhất cho biết có thể trì hoãn điều kiện cần đạt đến mức nào.
Bước 2: Khi đó đã lấy (2−1)×6=6 viên. Ta xét trường hợp bất lợi nhất mà yêu cầu vẫn chưa được bảo đảm. Lấy thêm một phần tử sau trường hợp đó sẽ cho số nhỏ nhất để chắc chắn đạt điều kiện.
Vì sao làm như vậy: Sau khi tính số lượng tối đa vẫn chưa bảo đảm, ta thêm một đơn vị để điều kiện chắc chắn xảy ra; với bài tối ưu cần chứng minh không thể tốt hơn.
Ý nghĩa của kết quả: Kết quả cần kèm lập luận “vì sao chắc chắn” hoặc “vì sao lớn nhất, nhỏ nhất”.
Kết luận: Lấy thêm 1 viên chắc chắn tạo đủ 2 viên của một màu; cần 7 viên.
Kiểm tra: Dựng một cách sắp xếp đạt sát giới hạn và kiểm tra khi thêm một đơn vị thì điều kiện bắt buộc xảy ra.
Ví dụ 2: Một túi có bi thuộc 4 màu, mỗi màu có ít nhất 5 viên. Không nhìn, cần lấy ít nhất bao nhiêu viên để chắc chắn có 5 viên cùng màu?
Hướng dẫn giải chi tiết:
Phân tích đề: Ta xét trường hợp bất lợi nhất hoặc cấu hình tạo ra giá trị lớn nhất, nhỏ nhất. Mục tiêu là chứng minh kết quả luôn đúng, không chỉ tìm một ví dụ đúng.
Bước 1: Trường hợp xấu nhất, lấy 4 viên ở mỗi màu mà vẫn chưa có 5 viên cùng màu. Ta xét trường hợp bất lợi nhất mà yêu cầu vẫn chưa được bảo đảm. Lấy thêm một phần tử sau trường hợp đó sẽ cho số nhỏ nhất để chắc chắn đạt điều kiện.
Vì sao làm như vậy: Trường hợp bất lợi nhất cho biết có thể trì hoãn điều kiện cần đạt đến mức nào.
Bước 2: Khi đó đã lấy (5−1)×4=16 viên. Ta xét trường hợp bất lợi nhất mà yêu cầu vẫn chưa được bảo đảm. Lấy thêm một phần tử sau trường hợp đó sẽ cho số nhỏ nhất để chắc chắn đạt điều kiện.
Vì sao làm như vậy: Sau khi tính số lượng tối đa vẫn chưa bảo đảm, ta thêm một đơn vị để điều kiện chắc chắn xảy ra; với bài tối ưu cần chứng minh không thể tốt hơn.
Ý nghĩa của kết quả: Kết quả cần kèm lập luận “vì sao chắc chắn” hoặc “vì sao lớn nhất, nhỏ nhất”.
Kết luận: Lấy thêm 1 viên chắc chắn tạo đủ 5 viên của một màu; cần 17 viên.
Kiểm tra: Dựng một cách sắp xếp đạt sát giới hạn và kiểm tra khi thêm một đơn vị thì điều kiện bắt buộc xảy ra.
Ví dụ 3: Một túi có bi thuộc 7 màu, mỗi màu có ít nhất 4 viên. Không nhìn, cần lấy ít nhất bao nhiêu viên để chắc chắn có 4 viên cùng màu?
Hướng dẫn giải chi tiết:
Phân tích đề: Ta xét trường hợp bất lợi nhất hoặc cấu hình tạo ra giá trị lớn nhất, nhỏ nhất. Mục tiêu là chứng minh kết quả luôn đúng, không chỉ tìm một ví dụ đúng.
Bước 1: Trường hợp xấu nhất, lấy 3 viên ở mỗi màu mà vẫn chưa có 4 viên cùng màu. Ta xét trường hợp bất lợi nhất mà yêu cầu vẫn chưa được bảo đảm. Lấy thêm một phần tử sau trường hợp đó sẽ cho số nhỏ nhất để chắc chắn đạt điều kiện.
Vì sao làm như vậy: Trường hợp bất lợi nhất cho biết có thể trì hoãn điều kiện cần đạt đến mức nào.
Bước 2: Khi đó đã lấy (4−1)×7=21 viên. Ta xét trường hợp bất lợi nhất mà yêu cầu vẫn chưa được bảo đảm. Lấy thêm một phần tử sau trường hợp đó sẽ cho số nhỏ nhất để chắc chắn đạt điều kiện.
Vì sao làm như vậy: Sau khi tính số lượng tối đa vẫn chưa bảo đảm, ta thêm một đơn vị để điều kiện chắc chắn xảy ra; với bài tối ưu cần chứng minh không thể tốt hơn.
Ý nghĩa của kết quả: Kết quả cần kèm lập luận “vì sao chắc chắn” hoặc “vì sao lớn nhất, nhỏ nhất”.
Kết luận: Lấy thêm 1 viên chắc chắn tạo đủ 4 viên của một màu; cần 22 viên.
Kiểm tra: Dựng một cách sắp xếp đạt sát giới hạn và kiểm tra khi thêm một đơn vị thì điều kiện bắt buộc xảy ra.
Bài tập áp dụng
Bài 1: Phân 15 đồ vật vào 4 hộp. Chứng minh có ít nhất một hộp chứa từ 4 đồ vật trở lên.
Bài 2: Phân 55 đồ vật vào 11 hộp. Chứng minh có ít nhất một hộp chứa từ 5 đồ vật trở lên.
Bài 3: Phân 17 đồ vật vào 9 hộp. Chứng minh có ít nhất một hộp chứa từ 2 đồ vật trở lên.
Bài 4: Chọn 18 số tự nhiên bất kì. Chứng minh luôn có hai số cho cùng số dư khi chia cho 17.
Bài 5: Chọn 31 số tự nhiên bất kì. Chứng minh luôn có hai số cho cùng số dư khi chia cho 30.
Xem lời giải
Bài 1: Phân 15 đồ vật vào 4 hộp. Chứng minh có ít nhất một hộp chứa từ 4 đồ vật trở lên.
Lời giải:
Trước hết, ta xét cách phân bố bất lợi nhất hoặc phương án sát giới hạn nhất, rồi thêm điều kiện cần thiết để có kết luận chắc chắn.
Giả sử mỗi hộp nhiều nhất 3 đồ vật thì tổng nhiều nhất 4×3=12.
Cấu hình này cho thấy số lượng lớn nhất có thể lấy hoặc sắp xếp mà điều kiện vẫn chưa bắt buộc xảy ra.
Nhưng 15>12, mâu thuẫn với số đồ vật đã cho.
Thêm một đơn vị hoặc so sánh các phương án để chứng minh giới hạn cần tìm.
Từ các kết quả trên, ta trả lời đầy đủ yêu cầu của bài toán và ghi đáp số kèm đơn vị (nếu có).
Đáp số: Vì vậy có ít nhất một hộp chứa từ 4 đồ vật trở lên.
Bài 2: Phân 55 đồ vật vào 11 hộp. Chứng minh có ít nhất một hộp chứa từ 5 đồ vật trở lên.
Lời giải:
Trước hết, ta xét cách phân bố bất lợi nhất hoặc phương án sát giới hạn nhất, rồi thêm điều kiện cần thiết để có kết luận chắc chắn.
Giả sử mỗi hộp nhiều nhất 4 đồ vật thì tổng nhiều nhất 11×4=44.
Cấu hình này cho thấy số lượng lớn nhất có thể lấy hoặc sắp xếp mà điều kiện vẫn chưa bắt buộc xảy ra.
Nhưng 55>44, mâu thuẫn với số đồ vật đã cho.
Thêm một đơn vị hoặc so sánh các phương án để chứng minh giới hạn cần tìm.
Từ các kết quả trên, ta trả lời đầy đủ yêu cầu của bài toán và ghi đáp số kèm đơn vị (nếu có).
Đáp số: Vì vậy có ít nhất một hộp chứa từ 5 đồ vật trở lên.
Bài 3: Phân 17 đồ vật vào 9 hộp. Chứng minh có ít nhất một hộp chứa từ 2 đồ vật trở lên.
Lời giải:
Trước hết, ta xét cách phân bố bất lợi nhất hoặc phương án sát giới hạn nhất, rồi thêm điều kiện cần thiết để có kết luận chắc chắn.
Giả sử mỗi hộp nhiều nhất 1 đồ vật thì tổng nhiều nhất 9×1=9.
Cấu hình này cho thấy số lượng lớn nhất có thể lấy hoặc sắp xếp mà điều kiện vẫn chưa bắt buộc xảy ra.
Nhưng 17>9, mâu thuẫn với số đồ vật đã cho.
Thêm một đơn vị hoặc so sánh các phương án để chứng minh giới hạn cần tìm.
Từ các kết quả trên, ta trả lời đầy đủ yêu cầu của bài toán và ghi đáp số kèm đơn vị (nếu có).
Đáp số: Vì vậy có ít nhất một hộp chứa từ 2 đồ vật trở lên.
Bài 4: Chọn 18 số tự nhiên bất kì. Chứng minh luôn có hai số cho cùng số dư khi chia cho 17.
Lời giải:
Trước hết, ta xét cách phân bố bất lợi nhất hoặc phương án sát giới hạn nhất, rồi thêm điều kiện cần thiết để có kết luận chắc chắn.
Khi chia cho 17, số dư chỉ có thể là 0, 1,..., 16: tổng cộng 17 loại.
Cấu hình này cho thấy số lượng lớn nhất có thể lấy hoặc sắp xếp mà điều kiện vẫn chưa bắt buộc xảy ra.
Có 18 số được xếp vào 17 nhóm theo số dư.
Thêm một đơn vị hoặc so sánh các phương án để chứng minh giới hạn cần tìm.
Từ các kết quả trên, ta trả lời đầy đủ yêu cầu của bài toán và ghi đáp số kèm đơn vị (nếu có).
Đáp số: Vì số được chọn nhiều hơn số nhóm, ít nhất một nhóm có hai số; hai số đó có cùng số dư.
Bài 5: Chọn 31 số tự nhiên bất kì. Chứng minh luôn có hai số cho cùng số dư khi chia cho 30.
Lời giải:
Trước hết, ta xét cách phân bố bất lợi nhất hoặc phương án sát giới hạn nhất, rồi thêm điều kiện cần thiết để có kết luận chắc chắn.
Khi chia cho 30, số dư chỉ có thể là 0, 1,..., 29: tổng cộng 30 loại.
Cấu hình này cho thấy số lượng lớn nhất có thể lấy hoặc sắp xếp mà điều kiện vẫn chưa bắt buộc xảy ra.
Có 31 số được xếp vào 30 nhóm theo số dư.
Thêm một đơn vị hoặc so sánh các phương án để chứng minh giới hạn cần tìm.
Từ các kết quả trên, ta trả lời đầy đủ yêu cầu của bài toán và ghi đáp số kèm đơn vị (nếu có).
Đáp số: Vì số được chọn nhiều hơn số nhóm, ít nhất một nhóm có hai số; hai số đó có cùng số dư.
Bài tập tự luyện
Bài 1: Chọn 24 số tự nhiên bất kì. Chứng minh luôn có hai số cho cùng số dư khi chia cho 23.
Bài 2: Hai số tự nhiên có tổng 69. Tìm tích lớn nhất và giải thích vì sao hai số phải gần nhau nhất.
Bài 3: Hai số tự nhiên có tổng 90. Tìm tích lớn nhất và giải thích vì sao hai số phải gần nhau nhất.
Bài 4: Hai số tự nhiên có tổng 45. Tìm tích lớn nhất và giải thích vì sao hai số phải gần nhau nhất.
Bài 5: Hai số tự nhiên dương có tổng 109, mỗi số không nhỏ hơn 33. Tìm tích nhỏ nhất.
Bài 6: Hai số tự nhiên dương có tổng 59, mỗi số không nhỏ hơn 5. Tìm tích nhỏ nhất.
Bài 7: Hai số tự nhiên dương có tổng 72, mỗi số không nhỏ hơn 21. Tìm tích nhỏ nhất.
Bài 8: Chia 62 phần quà vào 3 nhóm sao cho số quà giữa hai nhóm bất kì chênh nhau không quá 1. Mỗi nhóm nhận bao nhiêu và có bao nhiêu nhóm nhận nhiều hơn?
Bài 9: Chia 81 phần quà vào 9 nhóm sao cho số quà giữa hai nhóm bất kì chênh nhau không quá 1. Mỗi nhóm nhận bao nhiêu và có bao nhiêu nhóm nhận nhiều hơn?
Bài 10: Chia 82 phần quà vào 6 nhóm sao cho số quà giữa hai nhóm bất kì chênh nhau không quá 1. Mỗi nhóm nhận bao nhiêu và có bao nhiêu nhóm nhận nhiều hơn?
Bài 11: Cần ít nhất 93 sản phẩm. Ba gói lần lượt chứa 28, 24, 24 sản phẩm, giá 58, 62, 112 nghìn đồng. Nếu chỉ mua một loại gói, chọn loại nào rẻ nhất?
Bài 12: Cần ít nhất 105 sản phẩm. Ba gói lần lượt chứa 26, 16, 20 sản phẩm, giá 126, 110, 120 nghìn đồng. Nếu chỉ mua một loại gói, chọn loại nào rẻ nhất?
Xem lời giải bài tập tự luyện
Bài 1: Chọn 24 số tự nhiên bất kì. Chứng minh luôn có hai số cho cùng số dư khi chia cho 23.
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Khi chia cho 23, số dư chỉ có thể là 0, 1, ..., 22: tổng cộng 23 loại. Ta xét trường hợp bất lợi nhất mà yêu cầu vẫn chưa được bảo đảm. Lấy thêm một phần tử sau trường hợp đó sẽ cho số nhỏ nhất để chắc chắn đạt điều kiện.
Bước 2: Có 24 số được xếp vào 23 nhóm theo số dư. Ta xét trường hợp bất lợi nhất mà yêu cầu vẫn chưa được bảo đảm. Lấy thêm một phần tử sau trường hợp đó sẽ cho số nhỏ nhất để chắc chắn đạt điều kiện.
Đáp số: Vì số được chọn nhiều hơn số nhóm, ít nhất một nhóm có hai số; hai số đó có cùng số dư.
Kiểm tra: Đối chiếu trường hợp vừa tìm với từng điều kiện của đề. Nếu không có điều kiện nào bị vi phạm và các trường hợp đã được xét không trùng nhau, kết quả được chấp nhận.
Bài 2: Hai số tự nhiên có tổng 69. Tìm tích lớn nhất và giải thích vì sao hai số phải gần nhau nhất.
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Xét hai số lệch nhau từ 2 trở lên; chuyển 1 đơn vị từ số lớn sang số bé làm tổng không đổi. Ta xét trường hợp bất lợi nhất mà yêu cầu vẫn chưa được bảo đảm. Lấy thêm một phần tử sau trường hợp đó sẽ cho số nhỏ nhất để chắc chắn đạt điều kiện.
Bước 2: Sau chuyển, tích tăng vì hai số gần nhau hơn; tiếp tục đến khi hai số bằng nhau hoặc hơn kém 1. Ta xét trường hợp bất lợi nhất mà yêu cầu vẫn chưa được bảo đảm. Lấy thêm một phần tử sau trường hợp đó sẽ cho số nhỏ nhất để chắc chắn đạt điều kiện.
Đáp số: Hai số tối ưu là 34 và 35; tích lớn nhất 34×35=1190.
Kiểm tra: Đối chiếu trường hợp vừa tìm với từng điều kiện của đề. Nếu không có điều kiện nào bị vi phạm và các trường hợp đã được xét không trùng nhau, kết quả được chấp nhận.
Bài 3: Hai số tự nhiên có tổng 90. Tìm tích lớn nhất và giải thích vì sao hai số phải gần nhau nhất.
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Xét hai số lệch nhau từ 2 trở lên; chuyển 1 đơn vị từ số lớn sang số bé làm tổng không đổi. Ta xét trường hợp bất lợi nhất mà yêu cầu vẫn chưa được bảo đảm. Lấy thêm một phần tử sau trường hợp đó sẽ cho số nhỏ nhất để chắc chắn đạt điều kiện.
Bước 2: Sau chuyển, tích tăng vì hai số gần nhau hơn; tiếp tục đến khi hai số bằng nhau hoặc hơn kém 1. Ta xét trường hợp bất lợi nhất mà yêu cầu vẫn chưa được bảo đảm. Lấy thêm một phần tử sau trường hợp đó sẽ cho số nhỏ nhất để chắc chắn đạt điều kiện.
Đáp số: Hai số tối ưu là 45 và 45; tích lớn nhất 45×45=2025.
Kiểm tra: Đối chiếu trường hợp vừa tìm với từng điều kiện của đề. Nếu không có điều kiện nào bị vi phạm và các trường hợp đã được xét không trùng nhau, kết quả được chấp nhận.
Bài 4: Hai số tự nhiên có tổng 45. Tìm tích lớn nhất và giải thích vì sao hai số phải gần nhau nhất.
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Xét hai số lệch nhau từ 2 trở lên; chuyển 1 đơn vị từ số lớn sang số bé làm tổng không đổi. Ta xét trường hợp bất lợi nhất mà yêu cầu vẫn chưa được bảo đảm. Lấy thêm một phần tử sau trường hợp đó sẽ cho số nhỏ nhất để chắc chắn đạt điều kiện.
Bước 2: Sau chuyển, tích tăng vì hai số gần nhau hơn; tiếp tục đến khi hai số bằng nhau hoặc hơn kém 1. Ta xét trường hợp bất lợi nhất mà yêu cầu vẫn chưa được bảo đảm. Lấy thêm một phần tử sau trường hợp đó sẽ cho số nhỏ nhất để chắc chắn đạt điều kiện.
Đáp số: Hai số tối ưu là 22 và 23; tích lớn nhất 22×23=506.
Kiểm tra: Đối chiếu trường hợp vừa tìm với từng điều kiện của đề. Nếu không có điều kiện nào bị vi phạm và các trường hợp đã được xét không trùng nhau, kết quả được chấp nhận.
Bài 5: Hai số tự nhiên dương có tổng 109, mỗi số không nhỏ hơn 33. Tìm tích nhỏ nhất.
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Để tích nhỏ nhất với tổng không đổi, hai số phải xa nhau nhất trong phạm vi cho phép. Ta xét trường hợp bất lợi nhất mà yêu cầu vẫn chưa được bảo đảm. Lấy thêm một phần tử sau trường hợp đó sẽ cho số nhỏ nhất để chắc chắn đạt điều kiện.
Bước 2: Số nhỏ nhất có thể là 33, số kia là 109−33=76. Ta xét trường hợp bất lợi nhất mà yêu cầu vẫn chưa được bảo đảm. Lấy thêm một phần tử sau trường hợp đó sẽ cho số nhỏ nhất để chắc chắn đạt điều kiện.
Đáp số: Tích nhỏ nhất là 33×76=2508.
Kiểm tra: Đối chiếu trường hợp vừa tìm với từng điều kiện của đề. Nếu không có điều kiện nào bị vi phạm và các trường hợp đã được xét không trùng nhau, kết quả được chấp nhận.
Bài 6: Hai số tự nhiên dương có tổng 59, mỗi số không nhỏ hơn 5. Tìm tích nhỏ nhất.
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Để tích nhỏ nhất với tổng không đổi, hai số phải xa nhau nhất trong phạm vi cho phép. Ta xét trường hợp bất lợi nhất mà yêu cầu vẫn chưa được bảo đảm. Lấy thêm một phần tử sau trường hợp đó sẽ cho số nhỏ nhất để chắc chắn đạt điều kiện.
Bước 2: Số nhỏ nhất có thể là 5, số kia là 59−5=54. Ta xét trường hợp bất lợi nhất mà yêu cầu vẫn chưa được bảo đảm. Lấy thêm một phần tử sau trường hợp đó sẽ cho số nhỏ nhất để chắc chắn đạt điều kiện.
Đáp số: Tích nhỏ nhất là 5×54=270.
Kiểm tra: Đối chiếu trường hợp vừa tìm với từng điều kiện của đề. Nếu không có điều kiện nào bị vi phạm và các trường hợp đã được xét không trùng nhau, kết quả được chấp nhận.
Bài 7: Hai số tự nhiên dương có tổng 72, mỗi số không nhỏ hơn 21. Tìm tích nhỏ nhất.
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Để tích nhỏ nhất với tổng không đổi, hai số phải xa nhau nhất trong phạm vi cho phép. Ta xét trường hợp bất lợi nhất mà yêu cầu vẫn chưa được bảo đảm. Lấy thêm một phần tử sau trường hợp đó sẽ cho số nhỏ nhất để chắc chắn đạt điều kiện.
Bước 2: Số nhỏ nhất có thể là 21, số kia là 72−21=51. Ta xét trường hợp bất lợi nhất mà yêu cầu vẫn chưa được bảo đảm. Lấy thêm một phần tử sau trường hợp đó sẽ cho số nhỏ nhất để chắc chắn đạt điều kiện.
Đáp số: Tích nhỏ nhất là 21×51=1071.
Kiểm tra: Đối chiếu trường hợp vừa tìm với từng điều kiện của đề. Nếu không có điều kiện nào bị vi phạm và các trường hợp đã được xét không trùng nhau, kết quả được chấp nhận.
Bài 8: Chia 62 phần quà vào 3 nhóm sao cho số quà giữa hai nhóm bất kì chênh nhau không quá 1. Mỗi nhóm nhận bao nhiêu và có bao nhiêu nhóm nhận nhiều hơn?
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Chia đều: 62:3=20 dư 2. Ta xét trường hợp bất lợi nhất mà yêu cầu vẫn chưa được bảo đảm. Lấy thêm một phần tử sau trường hợp đó sẽ cho số nhỏ nhất để chắc chắn đạt điều kiện.
Bước 2: Mỗi nhóm nhận ít nhất 20; phân thêm 1 phần cho 2 nhóm. Ta xét trường hợp bất lợi nhất mà yêu cầu vẫn chưa được bảo đảm. Lấy thêm một phần tử sau trường hợp đó sẽ cho số nhỏ nhất để chắc chắn đạt điều kiện.
Đáp số: Có 2 nhóm nhận 21 phần và 1 nhóm nhận 20 phần.
Kiểm tra: Đối chiếu trường hợp vừa tìm với từng điều kiện của đề. Nếu không có điều kiện nào bị vi phạm và các trường hợp đã được xét không trùng nhau, kết quả được chấp nhận.
Bài 9: Chia 81 phần quà vào 9 nhóm sao cho số quà giữa hai nhóm bất kì chênh nhau không quá 1. Mỗi nhóm nhận bao nhiêu và có bao nhiêu nhóm nhận nhiều hơn?
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Chia đều: 81:9=9 dư 0. Ta xét trường hợp bất lợi nhất mà yêu cầu vẫn chưa được bảo đảm. Lấy thêm một phần tử sau trường hợp đó sẽ cho số nhỏ nhất để chắc chắn đạt điều kiện.
Bước 2: Mỗi nhóm nhận ít nhất 9; phân thêm 1 phần cho 0 nhóm. Ta xét trường hợp bất lợi nhất mà yêu cầu vẫn chưa được bảo đảm. Lấy thêm một phần tử sau trường hợp đó sẽ cho số nhỏ nhất để chắc chắn đạt điều kiện.
Đáp số: Có 0 nhóm nhận 10 phần và 9 nhóm nhận 9 phần.
Kiểm tra: Đối chiếu trường hợp vừa tìm với từng điều kiện của đề. Nếu không có điều kiện nào bị vi phạm và các trường hợp đã được xét không trùng nhau, kết quả được chấp nhận.
Bài 10: Chia 82 phần quà vào 6 nhóm sao cho số quà giữa hai nhóm bất kì chênh nhau không quá 1. Mỗi nhóm nhận bao nhiêu và có bao nhiêu nhóm nhận nhiều hơn?
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Chia đều: 82:6=13 dư 4. Ta xét trường hợp bất lợi nhất mà yêu cầu vẫn chưa được bảo đảm. Lấy thêm một phần tử sau trường hợp đó sẽ cho số nhỏ nhất để chắc chắn đạt điều kiện.
Bước 2: Mỗi nhóm nhận ít nhất 13; phân thêm 1 phần cho 4 nhóm. Ta xét trường hợp bất lợi nhất mà yêu cầu vẫn chưa được bảo đảm. Lấy thêm một phần tử sau trường hợp đó sẽ cho số nhỏ nhất để chắc chắn đạt điều kiện.
Đáp số: Có 4 nhóm nhận 14 phần và 2 nhóm nhận 13 phần.
Kiểm tra: Đối chiếu trường hợp vừa tìm với từng điều kiện của đề. Nếu không có điều kiện nào bị vi phạm và các trường hợp đã được xét không trùng nhau, kết quả được chấp nhận.
Bài 11: Cần ít nhất 93 sản phẩm. Ba gói lần lượt chứa 28, 24, 24 sản phẩm, giá 58, 62, 112 nghìn đồng. Nếu chỉ mua một loại gói, chọn loại nào rẻ nhất?
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Tính số gói cần mua cho từng loại bằng cách chia 93 rồi làm tròn lên: 4, 4, 4 gói. Ta xét trường hợp bất lợi nhất mà yêu cầu vẫn chưa được bảo đảm. Lấy thêm một phần tử sau trường hợp đó sẽ cho số nhỏ nhất để chắc chắn đạt điều kiện.
Bước 2: Tổng tiền tương ứng: 232, 248, 448 nghìn đồng. Ta xét trường hợp bất lợi nhất mà yêu cầu vẫn chưa được bảo đảm. Lấy thêm một phần tử sau trường hợp đó sẽ cho số nhỏ nhất để chắc chắn đạt điều kiện.
Đáp số: Phương án rẻ nhất là loại 1, hết 232 nghìn đồng.
Kiểm tra: Đối chiếu trường hợp vừa tìm với từng điều kiện của đề. Nếu không có điều kiện nào bị vi phạm và các trường hợp đã được xét không trùng nhau, kết quả được chấp nhận.
Bài 12: Cần ít nhất 105 sản phẩm. Ba gói lần lượt chứa 26, 16, 20 sản phẩm, giá 126, 110, 120 nghìn đồng. Nếu chỉ mua một loại gói, chọn loại nào rẻ nhất?
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Tính số gói cần mua cho từng loại bằng cách chia 105 rồi làm tròn lên: 5, 7, 6 gói. Ta xét trường hợp bất lợi nhất mà yêu cầu vẫn chưa được bảo đảm. Lấy thêm một phần tử sau trường hợp đó sẽ cho số nhỏ nhất để chắc chắn đạt điều kiện.
Bước 2: Tổng tiền tương ứng: 630, 770, 720 nghìn đồng. Ta xét trường hợp bất lợi nhất mà yêu cầu vẫn chưa được bảo đảm. Lấy thêm một phần tử sau trường hợp đó sẽ cho số nhỏ nhất để chắc chắn đạt điều kiện.
Đáp số: Phương án rẻ nhất là loại 1, hết 630 nghìn đồng.
Kiểm tra: Đối chiếu trường hợp vừa tìm với từng điều kiện của đề. Nếu không có điều kiện nào bị vi phạm và các trường hợp đã được xét không trùng nhau, kết quả được chấp nhận.
Ghi nhớ và tự kiểm tra
- Trọng tâm của bài là nhận ra cấu trúc ẩn trong dạng Bài toán tổng hợp nguyên lý chắc chắn.
- Không làm theo phép tính máy móc; cần giải thích vì sao chọn cách làm.
- Mọi đáp số phải được kiểm tra lại với toàn bộ dữ kiện của đề.
Câu hỏi tự kiểm tra
- Em có tách được từng điều kiện và xác định thứ tự xử lí không?
- Em có trình bày đủ các kết quả trung gian không?
- Em có kiểm tra lại đáp số bằng điều kiện ban đầu hoặc một cách khác không?