Bài toán tổng hợp thống kê và xác suất

Bài 1: Một biểu đồ hình quạt biểu diễn bốn nhóm A, B, C, D. Ba nhóm đầu chiếm 25%, 15%, 30%; tổng cộng có 500 đối tượng. Tính tỉ lệ và số lượng nhóm D, rồi cho biết nhóm lớn nhất hơn nhóm nhỏ nhất bao nhiêu đối tượng. (Bộ số liệu 3)

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Nhóm D chiếm 100%−(25%+15%+30%)=30%. Bốn nhóm tạo thành toàn bộ biểu đồ nên tổng các tỉ lệ phải bằng 100%. Phần chưa biết được tìm bằng cách lấy 100% trừ tổng các phần đã biết.

Bước 2: Số lượng bốn nhóm lần lượt là 125, 75, 150, 150 đối tượng. Số lượng của mỗi nhóm bằng tổng số đối tượng nhân với tỉ lệ của nhóm đó rồi chia cho 100. Tính riêng từng nhóm giúp so sánh chính xác nhóm lớn nhất và nhóm nhỏ nhất.

Đáp số: Nhóm lớn nhất hơn nhóm nhỏ nhất 150−75=75 đối tượng.

Kiểm tra: Cuối cùng, thay kết quả vào các điều kiện ban đầu hoặc thực hiện phép tính ngược. Nếu tất cả dữ kiện đều được thỏa mãn thì lời giải và đáp số là hợp lí.

Bài 2: Trung bình của 5 số theo bảng ghi là 56,6. Sau đó phát hiện một giá trị 66 đã ghi thừa 5 đơn vị. Tính trung bình đúng mà không cần biết các số còn lại.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Tổng theo bảng ghi là 56,6×5=283. Vì số trung bình cộng bằng tổng chia cho số lượng số nên tổng phải bằng số trung bình cộng nhân với số lượng số. Đây là dữ kiện then chốt để tìm giá trị còn thiếu hoặc sửa lại số liệu đã ghi sai.

Bước 2: Giá trị bị ghi thừa 5, nên tổng đúng là 283−5=278. Vì số trung bình cộng bằng tổng chia cho số lượng số nên tổng phải bằng số trung bình cộng nhân với số lượng số. Đây là dữ kiện then chốt để tìm giá trị còn thiếu hoặc sửa lại số liệu đã ghi sai.

Đáp số: Trung bình đúng là 278:5=55,6.

Kiểm tra: Cuối cùng, thay kết quả vào các điều kiện ban đầu hoặc thực hiện phép tính ngược. Nếu tất cả dữ kiện đều được thỏa mãn thì lời giải và đáp số là hợp lí.

Bài 3: Trung bình của 7 số theo bảng ghi là 45. Sau đó phát hiện một giá trị 63 đã ghi thừa 5 đơn vị. Tính trung bình đúng mà không cần biết các số còn lại.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Tổng theo bảng ghi là 45×7=315. Vì số trung bình cộng bằng tổng chia cho số lượng số nên tổng phải bằng số trung bình cộng nhân với số lượng số. Đây là dữ kiện then chốt để tìm giá trị còn thiếu hoặc sửa lại số liệu đã ghi sai.

Bước 2: Giá trị bị ghi thừa 5, nên tổng đúng là 315−5=310. Vì số trung bình cộng bằng tổng chia cho số lượng số nên tổng phải bằng số trung bình cộng nhân với số lượng số. Đây là dữ kiện then chốt để tìm giá trị còn thiếu hoặc sửa lại số liệu đã ghi sai.

Đáp số: Trung bình đúng là 310:7=44,29.

Kiểm tra: Cuối cùng, thay kết quả vào các điều kiện ban đầu hoặc thực hiện phép tính ngược. Nếu tất cả dữ kiện đều được thỏa mãn thì lời giải và đáp số là hợp lí.

Bài 4: Trung bình của 6 số theo bảng ghi là 39,5. Sau đó phát hiện một giá trị 62 đã ghi thừa 5 đơn vị. Tính trung bình đúng mà không cần biết các số còn lại.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Tổng theo bảng ghi là 39,5×6=237. Vì số trung bình cộng bằng tổng chia cho số lượng số nên tổng phải bằng số trung bình cộng nhân với số lượng số. Đây là dữ kiện then chốt để tìm giá trị còn thiếu hoặc sửa lại số liệu đã ghi sai.

Bước 2: Giá trị bị ghi thừa 5, nên tổng đúng là 237−5=232. Vì số trung bình cộng bằng tổng chia cho số lượng số nên tổng phải bằng số trung bình cộng nhân với số lượng số. Đây là dữ kiện then chốt để tìm giá trị còn thiếu hoặc sửa lại số liệu đã ghi sai.

Đáp số: Trung bình đúng là 232:6=38,67.

Kiểm tra: Cuối cùng, thay kết quả vào các điều kiện ban đầu hoặc thực hiện phép tính ngược. Nếu tất cả dữ kiện đều được thỏa mãn thì lời giải và đáp số là hợp lí.

Bài 5: Một mã gồm ba phần: chọn một trong 5 chữ cái, một trong 5 chữ số và một trong 3 kí hiệu. Có bao nhiêu mã? Nếu không được dùng một chữ cái đã chỉ định thì còn bao nhiêu mã?

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Không có hạn chế: mỗi chữ cái ghép với 5 chữ số và 3 kí hiệu, nên có 5×5×3=75 mã. Mỗi lựa chọn ở phần đầu có thể ghép với tất cả lựa chọn của phần sau. Vì các bước chọn độc lập, số mã được tính bằng cách nhân số lựa chọn của từng phần.

Bước 2: Khi cấm một chữ cái, còn 4 lựa chọn ở phần đầu. Điều kiện cấm chỉ làm giảm số lựa chọn ở phần được nêu; các phần còn lại giữ nguyên. Ta thay số lựa chọn mới vào phép nhân để tìm số mã còn lại.

Đáp số: Số mã còn lại là 4×5×3=60.

Kiểm tra: Cuối cùng, thay kết quả vào các điều kiện ban đầu hoặc thực hiện phép tính ngược. Nếu tất cả dữ kiện đều được thỏa mãn thì lời giải và đáp số là hợp lí.

Bài 6: Một mã gồm ba phần: chọn một trong 6 chữ cái, một trong 7 chữ số và một trong 3 kí hiệu. Có bao nhiêu mã? Nếu không được dùng một chữ cái đã chỉ định thì còn bao nhiêu mã?

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Không có hạn chế: mỗi chữ cái ghép với 7 chữ số và 3 kí hiệu, nên có 6×7×3=126 mã. Mỗi lựa chọn ở phần đầu có thể ghép với tất cả lựa chọn của phần sau. Vì các bước chọn độc lập, số mã được tính bằng cách nhân số lựa chọn của từng phần.

Bước 2: Khi cấm một chữ cái, còn 5 lựa chọn ở phần đầu. Điều kiện cấm chỉ làm giảm số lựa chọn ở phần được nêu; các phần còn lại giữ nguyên. Ta thay số lựa chọn mới vào phép nhân để tìm số mã còn lại.

Đáp số: Số mã còn lại là 5×7×3=105.

Kiểm tra: Cuối cùng, thay kết quả vào các điều kiện ban đầu hoặc thực hiện phép tính ngược. Nếu tất cả dữ kiện đều được thỏa mãn thì lời giải và đáp số là hợp lí.

Bài 7: Một mã gồm ba phần: chọn một trong 3 chữ cái, một trong 5 chữ số và một trong 5 kí hiệu. Có bao nhiêu mã? Nếu không được dùng một chữ cái đã chỉ định thì còn bao nhiêu mã?

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Không có hạn chế: mỗi chữ cái ghép với 5 chữ số và 5 kí hiệu, nên có 3×5×5=75 mã. Mỗi lựa chọn ở phần đầu có thể ghép với tất cả lựa chọn của phần sau. Vì các bước chọn độc lập, số mã được tính bằng cách nhân số lựa chọn của từng phần.

Bước 2: Khi cấm một chữ cái, còn 2 lựa chọn ở phần đầu. Điều kiện cấm chỉ làm giảm số lựa chọn ở phần được nêu; các phần còn lại giữ nguyên. Ta thay số lựa chọn mới vào phép nhân để tìm số mã còn lại.

Đáp số: Số mã còn lại là 2×5×5=50.

Kiểm tra: Cuối cùng, thay kết quả vào các điều kiện ban đầu hoặc thực hiện phép tính ngược. Nếu tất cả dữ kiện đều được thỏa mãn thì lời giải và đáp số là hợp lí.

Bài 8: Hộp có 6 bi đỏ, 8 bi xanh, 2 bi lục. Rút một viên. Hãy phân loại và giải thích ba sự kiện: (1) lấy bi vàng; (2) lấy một viên thuộc các màu có trong hộp; (3) lấy bi đỏ. Sau đó tính tỉ lệ của sự kiện (3).

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Không có bi vàng, nên sự kiện (1) không thể. Mọi viên đều thuộc đỏ, xanh, lục, nên sự kiện (2) chắc chắn. Một sự kiện không thể xảy ra khi trong hộp không có đối tượng phù hợp; sự kiện chắc chắn xảy ra khi mọi kết quả đều phù hợp; còn sự kiện có thể xảy ra khi chỉ một phần các kết quả phù hợp.

Bước 2: Sự kiện (3) có thể xảy ra nhưng không chắc chắn vì hộp còn màu khác. Một sự kiện không thể xảy ra khi trong hộp không có đối tượng phù hợp; sự kiện chắc chắn xảy ra khi mọi kết quả đều phù hợp; còn sự kiện có thể xảy ra khi chỉ một phần các kết quả phù hợp.

Đáp số: Tỉ lệ lấy bi đỏ là 6:16=(dfrac{3}{8}).

Kiểm tra: Cuối cùng, thay kết quả vào các điều kiện ban đầu hoặc thực hiện phép tính ngược. Nếu tất cả dữ kiện đều được thỏa mãn thì lời giải và đáp số là hợp lí.

Bài 9: Hộp có 5 bi đỏ, 6 bi xanh, 1 bi lục. Rút một viên. Hãy phân loại và giải thích ba sự kiện: (1) lấy bi vàng; (2) lấy một viên thuộc các màu có trong hộp; (3) lấy bi đỏ. Sau đó tính tỉ lệ của sự kiện (3).

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Không có bi vàng, nên sự kiện (1) không thể. Mọi viên đều thuộc đỏ, xanh, lục, nên sự kiện (2) chắc chắn. Một sự kiện không thể xảy ra khi trong hộp không có đối tượng phù hợp; sự kiện chắc chắn xảy ra khi mọi kết quả đều phù hợp; còn sự kiện có thể xảy ra khi chỉ một phần các kết quả phù hợp.

Bước 2: Sự kiện (3) có thể xảy ra nhưng không chắc chắn vì hộp còn màu khác. Một sự kiện không thể xảy ra khi trong hộp không có đối tượng phù hợp; sự kiện chắc chắn xảy ra khi mọi kết quả đều phù hợp; còn sự kiện có thể xảy ra khi chỉ một phần các kết quả phù hợp.

Đáp số: Tỉ lệ lấy bi đỏ là 5:12=(dfrac{5}{12}).

Kiểm tra: Cuối cùng, thay kết quả vào các điều kiện ban đầu hoặc thực hiện phép tính ngược. Nếu tất cả dữ kiện đều được thỏa mãn thì lời giải và đáp số là hợp lí.

Bài 10: Hộp có 4 bi đỏ, 4 bi xanh, 1 bi lục. Rút một viên. Hãy phân loại và giải thích ba sự kiện: (1) lấy bi vàng; (2) lấy một viên thuộc các màu có trong hộp; (3) lấy bi đỏ. Sau đó tính tỉ lệ của sự kiện (3).

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Không có bi vàng, nên sự kiện (1) không thể. Mọi viên đều thuộc đỏ, xanh, lục, nên sự kiện (2) chắc chắn. Một sự kiện không thể xảy ra khi trong hộp không có đối tượng phù hợp; sự kiện chắc chắn xảy ra khi mọi kết quả đều phù hợp; còn sự kiện có thể xảy ra khi chỉ một phần các kết quả phù hợp.

Bước 2: Sự kiện (3) có thể xảy ra nhưng không chắc chắn vì hộp còn màu khác. Một sự kiện không thể xảy ra khi trong hộp không có đối tượng phù hợp; sự kiện chắc chắn xảy ra khi mọi kết quả đều phù hợp; còn sự kiện có thể xảy ra khi chỉ một phần các kết quả phù hợp.

Đáp số: Tỉ lệ lấy bi đỏ là 4:9=(dfrac{4}{9}).

Kiểm tra: Cuối cùng, thay kết quả vào các điều kiện ban đầu hoặc thực hiện phép tính ngược. Nếu tất cả dữ kiện đều được thỏa mãn thì lời giải và đáp số là hợp lí.

Bài 11: Trong 86 lần thử, sự kiện A xảy ra 70 lần. Làm thêm 20 lần và A xảy ra 15 lần. Tính tỉ lệ thực nghiệm trước và sau dưới dạng phân số, phần trăm (làm tròn đến hai chữ số thập phân), rồi cho biết tỉ lệ tăng hay giảm.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Ban đầu: 70:86=(dfrac{35}{43})≈81,4%. Các phân số phải được đưa về cùng đơn vị phần trước khi cộng, trừ hoặc so sánh. Ta rút gọn, quy đồng hoặc chọn phân số trung gian phù hợp, sau đó rút gọn kết quả cuối cùng nếu có thể.

Bước 2: Sau đó: tổng 106 lần, A xảy ra 85 lần; tỉ lệ là 85:106=(dfrac{85}{106})≈80,19%. Các phân số phải được đưa về cùng đơn vị phần trước khi cộng, trừ hoặc so sánh. Ta rút gọn, quy đồng hoặc chọn phân số trung gian phù hợp, sau đó rút gọn kết quả cuối cùng nếu có thể.

Đáp số: Tỉ lệ giảm khoảng 1,21 điểm phần trăm.

Kiểm tra: Cuối cùng, thay kết quả vào các điều kiện ban đầu hoặc thực hiện phép tính ngược. Nếu tất cả dữ kiện đều được thỏa mãn thì lời giải và đáp số là hợp lí.

Bài 12: Trong 76 lần thử, sự kiện A xảy ra 42 lần. Làm thêm 20 lần và A xảy ra 6 lần. Tính tỉ lệ thực nghiệm trước và sau dưới dạng phân số, phần trăm (làm tròn đến hai chữ số thập phân), rồi cho biết tỉ lệ tăng hay giảm.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Ban đầu: 42:76=(dfrac{21}{38})≈55,26%. Các phân số phải được đưa về cùng đơn vị phần trước khi cộng, trừ hoặc so sánh. Ta rút gọn, quy đồng hoặc chọn phân số trung gian phù hợp, sau đó rút gọn kết quả cuối cùng nếu có thể.

Bước 2: Sau đó: tổng 96 lần, A xảy ra 48 lần; tỉ lệ là 48:96=(dfrac{1}{2})≈50%. Các phân số phải được đưa về cùng đơn vị phần trước khi cộng, trừ hoặc so sánh. Ta rút gọn, quy đồng hoặc chọn phân số trung gian phù hợp, sau đó rút gọn kết quả cuối cùng nếu có thể.

Đáp số: Tỉ lệ giảm khoảng 5,26 điểm phần trăm.

Kiểm tra: Cuối cùng, thay kết quả vào các điều kiện ban đầu hoặc thực hiện phép tính ngược. Nếu tất cả dữ kiện đều được thỏa mãn thì lời giải và đáp số là hợp lí.