Chọn số để chắc chắn có hai số thỏa mãn
Chuyên đề nâng cao chọn số để chắc chắn có hai số thỏa mãn với phương pháp chọn lọc, 20 bài toán phân loại và lời giải đầy đủ từng bước dành cho học sinh ôn thi vào lớp 6 CLC.
Mục tiêu bài học
- Nhận biết và xử lí các biến đổi nâng cao của dạng Chọn số để chắc chắn có hai số thỏa mãn.
- Biết phân tích dữ kiện ẩn, lựa chọn phương pháp ngắn gọn và kiểm tra kết quả.
- Trình bày lời giải đầy đủ từng bước theo ngôn ngữ Toán tiểu học, không dùng kiến thức thuần THCS.
Kiến thức cần nhớ
- Bài “chắc chắn” phải xét trường hợp xấu nhất trước khi thêm một đối tượng.
- Khi tối ưu, cần nêu rõ đại lượng cần lớn nhất hoặc nhỏ nhất và các điều kiện ràng buộc.
- Một phương án chỉ được coi là tối ưu khi vừa đạt mục tiêu vừa thỏa mãn mọi điều kiện.
- Trọng tâm là nhận đúng dữ kiện đặc trưng của dạng “Chọn số để chắc chắn có hai số thỏa mãn” và chọn phép tính phù hợp.
- Nên trình bày theo thứ tự: tóm tắt, lập luận, phép tính, kết luận.
Ví dụ minh họa
Phương pháp chung
- Đọc kĩ đề, gạch dưới dữ kiện và xác định chính xác yêu cầu cuối cùng.
- Ta xét trường hợp bất lợi nhất hoặc cấu hình tạo ra giá trị lớn nhất, nhỏ nhất. Mục tiêu là chứng minh kết quả luôn đúng, không chỉ tìm một ví dụ đúng.
- Trình bày từng kết quả trung gian, giải thích ý nghĩa của phép tính và kiểm tra lại kết luận.
Ví dụ 1: Chọn 28 số tự nhiên bất kì. Chứng minh luôn có hai số cho cùng số dư khi chia cho 27.
Hướng dẫn giải chi tiết:
Phân tích đề: Ta xét trường hợp bất lợi nhất hoặc cấu hình tạo ra giá trị lớn nhất, nhỏ nhất. Mục tiêu là chứng minh kết quả luôn đúng, không chỉ tìm một ví dụ đúng.
Bước 1: Khi chia cho 27, số dư chỉ có thể là 0, 1,..., 26: tổng cộng 27 loại. Ta xét trường hợp bất lợi nhất mà yêu cầu vẫn chưa được bảo đảm. Lấy thêm một phần tử sau trường hợp đó sẽ cho số nhỏ nhất để chắc chắn đạt điều kiện.
Vì sao làm như vậy: Trường hợp bất lợi nhất cho biết có thể trì hoãn điều kiện cần đạt đến mức nào.
Bước 2: Có 28 số được xếp vào 27 nhóm theo số dư. Ta xét trường hợp bất lợi nhất mà yêu cầu vẫn chưa được bảo đảm. Lấy thêm một phần tử sau trường hợp đó sẽ cho số nhỏ nhất để chắc chắn đạt điều kiện.
Vì sao làm như vậy: Sau khi tính số lượng tối đa vẫn chưa bảo đảm, ta thêm một đơn vị để điều kiện chắc chắn xảy ra; với bài tối ưu cần chứng minh không thể tốt hơn.
Ý nghĩa của kết quả: Kết quả cần kèm lập luận “vì sao chắc chắn” hoặc “vì sao lớn nhất, nhỏ nhất”.
Kết luận: Vì số được chọn nhiều hơn số nhóm, ít nhất một nhóm có hai số; hai số đó có cùng số dư.
Kiểm tra: Dựng một cách sắp xếp đạt sát giới hạn và kiểm tra khi thêm một đơn vị thì điều kiện bắt buộc xảy ra.
Ví dụ 2: Chọn 23 số tự nhiên bất kì. Chứng minh luôn có hai số cho cùng số dư khi chia cho 22.
Hướng dẫn giải chi tiết:
Phân tích đề: Ta xét trường hợp bất lợi nhất hoặc cấu hình tạo ra giá trị lớn nhất, nhỏ nhất. Mục tiêu là chứng minh kết quả luôn đúng, không chỉ tìm một ví dụ đúng.
Bước 1: Khi chia cho 22, số dư chỉ có thể là 0, 1,..., 21: tổng cộng 22 loại. Ta xét trường hợp bất lợi nhất mà yêu cầu vẫn chưa được bảo đảm. Lấy thêm một phần tử sau trường hợp đó sẽ cho số nhỏ nhất để chắc chắn đạt điều kiện.
Vì sao làm như vậy: Trường hợp bất lợi nhất cho biết có thể trì hoãn điều kiện cần đạt đến mức nào.
Bước 2: Có 23 số được xếp vào 22 nhóm theo số dư. Ta xét trường hợp bất lợi nhất mà yêu cầu vẫn chưa được bảo đảm. Lấy thêm một phần tử sau trường hợp đó sẽ cho số nhỏ nhất để chắc chắn đạt điều kiện.
Vì sao làm như vậy: Sau khi tính số lượng tối đa vẫn chưa bảo đảm, ta thêm một đơn vị để điều kiện chắc chắn xảy ra; với bài tối ưu cần chứng minh không thể tốt hơn.
Ý nghĩa của kết quả: Kết quả cần kèm lập luận “vì sao chắc chắn” hoặc “vì sao lớn nhất, nhỏ nhất”.
Kết luận: Vì số được chọn nhiều hơn số nhóm, ít nhất một nhóm có hai số; hai số đó có cùng số dư.
Kiểm tra: Dựng một cách sắp xếp đạt sát giới hạn và kiểm tra khi thêm một đơn vị thì điều kiện bắt buộc xảy ra.
Ví dụ 3: Chọn 15 số tự nhiên bất kì. Chứng minh luôn có hai số cho cùng số dư khi chia cho 14.
Hướng dẫn giải chi tiết:
Phân tích đề: Ta xét trường hợp bất lợi nhất hoặc cấu hình tạo ra giá trị lớn nhất, nhỏ nhất. Mục tiêu là chứng minh kết quả luôn đúng, không chỉ tìm một ví dụ đúng.
Bước 1: Khi chia cho 14, số dư chỉ có thể là 0, 1,..., 13: tổng cộng 14 loại. Ta xét trường hợp bất lợi nhất mà yêu cầu vẫn chưa được bảo đảm. Lấy thêm một phần tử sau trường hợp đó sẽ cho số nhỏ nhất để chắc chắn đạt điều kiện.
Vì sao làm như vậy: Trường hợp bất lợi nhất cho biết có thể trì hoãn điều kiện cần đạt đến mức nào.
Bước 2: Có 15 số được xếp vào 14 nhóm theo số dư. Ta xét trường hợp bất lợi nhất mà yêu cầu vẫn chưa được bảo đảm. Lấy thêm một phần tử sau trường hợp đó sẽ cho số nhỏ nhất để chắc chắn đạt điều kiện.
Vì sao làm như vậy: Sau khi tính số lượng tối đa vẫn chưa bảo đảm, ta thêm một đơn vị để điều kiện chắc chắn xảy ra; với bài tối ưu cần chứng minh không thể tốt hơn.
Ý nghĩa của kết quả: Kết quả cần kèm lập luận “vì sao chắc chắn” hoặc “vì sao lớn nhất, nhỏ nhất”.
Kết luận: Vì số được chọn nhiều hơn số nhóm, ít nhất một nhóm có hai số; hai số đó có cùng số dư.
Kiểm tra: Dựng một cách sắp xếp đạt sát giới hạn và kiểm tra khi thêm một đơn vị thì điều kiện bắt buộc xảy ra.
Bài tập áp dụng
Bài 1: Chọn 14 số tự nhiên bất kì. Chứng minh luôn có hai số cho cùng số dư khi chia cho 13.
Bài 2: Chọn 17 số tự nhiên bất kì. Chứng minh luôn có hai số cho cùng số dư khi chia cho 16.
Bài 3: Chọn 29 số tự nhiên bất kì. Chứng minh luôn có hai số cho cùng số dư khi chia cho 28.
Bài 4: Chọn 16 số tự nhiên bất kì. Chứng minh luôn có hai số cho cùng số dư khi chia cho 15.
Bài 5: Chọn 30 số tự nhiên bất kì. Chứng minh luôn có hai số cho cùng số dư khi chia cho 29.
Xem lời giải
Bài 1: Chọn 14 số tự nhiên bất kì. Chứng minh luôn có hai số cho cùng số dư khi chia cho 13.
Lời giải:
Trước hết, ta xét cách phân bố bất lợi nhất hoặc phương án sát giới hạn nhất, rồi thêm điều kiện cần thiết để có kết luận chắc chắn.
Khi chia cho 13, số dư chỉ có thể là 0, 1,..., 12: tổng cộng 13 loại.
Cấu hình này cho thấy số lượng lớn nhất có thể lấy hoặc sắp xếp mà điều kiện vẫn chưa bắt buộc xảy ra.
Có 14 số được xếp vào 13 nhóm theo số dư.
Thêm một đơn vị hoặc so sánh các phương án để chứng minh giới hạn cần tìm.
Từ các kết quả trên, ta trả lời đầy đủ yêu cầu của bài toán và ghi đáp số kèm đơn vị (nếu có).
Đáp số: Vì số được chọn nhiều hơn số nhóm, ít nhất một nhóm có hai số; hai số đó có cùng số dư.
Bài 2: Chọn 17 số tự nhiên bất kì. Chứng minh luôn có hai số cho cùng số dư khi chia cho 16.
Lời giải:
Trước hết, ta xét cách phân bố bất lợi nhất hoặc phương án sát giới hạn nhất, rồi thêm điều kiện cần thiết để có kết luận chắc chắn.
Khi chia cho 16, số dư chỉ có thể là 0, 1,..., 15: tổng cộng 16 loại.
Cấu hình này cho thấy số lượng lớn nhất có thể lấy hoặc sắp xếp mà điều kiện vẫn chưa bắt buộc xảy ra.
Có 17 số được xếp vào 16 nhóm theo số dư.
Thêm một đơn vị hoặc so sánh các phương án để chứng minh giới hạn cần tìm.
Từ các kết quả trên, ta trả lời đầy đủ yêu cầu của bài toán và ghi đáp số kèm đơn vị (nếu có).
Đáp số: Vì số được chọn nhiều hơn số nhóm, ít nhất một nhóm có hai số; hai số đó có cùng số dư.
Bài 3: Chọn 29 số tự nhiên bất kì. Chứng minh luôn có hai số cho cùng số dư khi chia cho 28.
Lời giải:
Trước hết, ta xét cách phân bố bất lợi nhất hoặc phương án sát giới hạn nhất, rồi thêm điều kiện cần thiết để có kết luận chắc chắn.
Khi chia cho 28, số dư chỉ có thể là 0, 1,..., 27: tổng cộng 28 loại.
Cấu hình này cho thấy số lượng lớn nhất có thể lấy hoặc sắp xếp mà điều kiện vẫn chưa bắt buộc xảy ra.
Có 29 số được xếp vào 28 nhóm theo số dư.
Thêm một đơn vị hoặc so sánh các phương án để chứng minh giới hạn cần tìm.
Từ các kết quả trên, ta trả lời đầy đủ yêu cầu của bài toán và ghi đáp số kèm đơn vị (nếu có).
Đáp số: Vì số được chọn nhiều hơn số nhóm, ít nhất một nhóm có hai số; hai số đó có cùng số dư.
Bài 4: Chọn 16 số tự nhiên bất kì. Chứng minh luôn có hai số cho cùng số dư khi chia cho 15.
Lời giải:
Trước hết, ta xét cách phân bố bất lợi nhất hoặc phương án sát giới hạn nhất, rồi thêm điều kiện cần thiết để có kết luận chắc chắn.
Khi chia cho 15, số dư chỉ có thể là 0, 1,..., 14: tổng cộng 15 loại.
Cấu hình này cho thấy số lượng lớn nhất có thể lấy hoặc sắp xếp mà điều kiện vẫn chưa bắt buộc xảy ra.
Có 16 số được xếp vào 15 nhóm theo số dư.
Thêm một đơn vị hoặc so sánh các phương án để chứng minh giới hạn cần tìm.
Từ các kết quả trên, ta trả lời đầy đủ yêu cầu của bài toán và ghi đáp số kèm đơn vị (nếu có).
Đáp số: Vì số được chọn nhiều hơn số nhóm, ít nhất một nhóm có hai số; hai số đó có cùng số dư.
Bài 5: Chọn 30 số tự nhiên bất kì. Chứng minh luôn có hai số cho cùng số dư khi chia cho 29.
Lời giải:
Trước hết, ta xét cách phân bố bất lợi nhất hoặc phương án sát giới hạn nhất, rồi thêm điều kiện cần thiết để có kết luận chắc chắn.
Khi chia cho 29, số dư chỉ có thể là 0, 1,..., 28: tổng cộng 29 loại.
Cấu hình này cho thấy số lượng lớn nhất có thể lấy hoặc sắp xếp mà điều kiện vẫn chưa bắt buộc xảy ra.
Có 30 số được xếp vào 29 nhóm theo số dư.
Thêm một đơn vị hoặc so sánh các phương án để chứng minh giới hạn cần tìm.
Từ các kết quả trên, ta trả lời đầy đủ yêu cầu của bài toán và ghi đáp số kèm đơn vị (nếu có).
Đáp số: Vì số được chọn nhiều hơn số nhóm, ít nhất một nhóm có hai số; hai số đó có cùng số dư.
Bài tập tự luyện
Bài 1: Chọn 20 số tự nhiên bất kì. Chứng minh luôn có hai số cho cùng số dư khi chia cho 19.
Bài 2: Chọn 13 số tự nhiên bất kì. Chứng minh luôn có hai số cho cùng số dư khi chia cho 12.
Bài 3: Chọn 25 số tự nhiên bất kì. Chứng minh luôn có hai số cho cùng số dư khi chia cho 24.
Bài 4: Chọn 26 số tự nhiên bất kì. Chứng minh luôn có hai số cho cùng số dư khi chia cho 25.
Bài 5: Chọn 27 số tự nhiên bất kì. Chứng minh luôn có hai số cho cùng số dư khi chia cho 26.
Bài 6: Chọn 19 số tự nhiên bất kì. Chứng minh luôn có hai số cho cùng số dư khi chia cho 18.
Bài 7: Chọn 12 số tự nhiên bất kì. Chứng minh luôn có hai số cho cùng số dư khi chia cho 11.
Bài 8: Chọn 22 số tự nhiên bất kì. Chứng minh luôn có hai số cho cùng số dư khi chia cho 21.
Bài 9: Chọn 31 số tự nhiên bất kì. Chứng minh luôn có hai số cho cùng số dư khi chia cho 30.
Bài 10: Chọn 21 số tự nhiên bất kì. Chứng minh luôn có hai số cho cùng số dư khi chia cho 20.
Bài 11: Chọn 18 số tự nhiên bất kì. Chứng minh luôn có hai số cho cùng số dư khi chia cho 17.
Bài 12: Chọn 24 số tự nhiên bất kì. Chứng minh luôn có hai số cho cùng số dư khi chia cho 23.
Xem lời giải bài tập tự luyện
Bài 1: Chọn 20 số tự nhiên bất kì. Chứng minh luôn có hai số cho cùng số dư khi chia cho 19.
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Khi chia cho 19, số dư chỉ có thể là 0, 1, ..., 18: tổng cộng 19 loại. Ta xét trường hợp bất lợi nhất mà yêu cầu vẫn chưa được bảo đảm. Lấy thêm một phần tử sau trường hợp đó sẽ cho số nhỏ nhất để chắc chắn đạt điều kiện.
Bước 2: Có 20 số được xếp vào 19 nhóm theo số dư. Ta xét trường hợp bất lợi nhất mà yêu cầu vẫn chưa được bảo đảm. Lấy thêm một phần tử sau trường hợp đó sẽ cho số nhỏ nhất để chắc chắn đạt điều kiện.
Đáp số: Vì số được chọn nhiều hơn số nhóm, ít nhất một nhóm có hai số; hai số đó có cùng số dư.
Kiểm tra: Đối chiếu trường hợp vừa tìm với từng điều kiện của đề. Nếu không có điều kiện nào bị vi phạm và các trường hợp đã được xét không trùng nhau, kết quả được chấp nhận.
Bài 2: Chọn 13 số tự nhiên bất kì. Chứng minh luôn có hai số cho cùng số dư khi chia cho 12.
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Khi chia cho 12, số dư chỉ có thể là 0, 1, ..., 11: tổng cộng 12 loại. Ta xét trường hợp bất lợi nhất mà yêu cầu vẫn chưa được bảo đảm. Lấy thêm một phần tử sau trường hợp đó sẽ cho số nhỏ nhất để chắc chắn đạt điều kiện.
Bước 2: Có 13 số được xếp vào 12 nhóm theo số dư. Ta xét trường hợp bất lợi nhất mà yêu cầu vẫn chưa được bảo đảm. Lấy thêm một phần tử sau trường hợp đó sẽ cho số nhỏ nhất để chắc chắn đạt điều kiện.
Đáp số: Vì số được chọn nhiều hơn số nhóm, ít nhất một nhóm có hai số; hai số đó có cùng số dư.
Kiểm tra: Đối chiếu trường hợp vừa tìm với từng điều kiện của đề. Nếu không có điều kiện nào bị vi phạm và các trường hợp đã được xét không trùng nhau, kết quả được chấp nhận.
Bài 3: Chọn 25 số tự nhiên bất kì. Chứng minh luôn có hai số cho cùng số dư khi chia cho 24.
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Khi chia cho 24, số dư chỉ có thể là 0, 1, ..., 23: tổng cộng 24 loại. Ta xét trường hợp bất lợi nhất mà yêu cầu vẫn chưa được bảo đảm. Lấy thêm một phần tử sau trường hợp đó sẽ cho số nhỏ nhất để chắc chắn đạt điều kiện.
Bước 2: Có 25 số được xếp vào 24 nhóm theo số dư. Ta xét trường hợp bất lợi nhất mà yêu cầu vẫn chưa được bảo đảm. Lấy thêm một phần tử sau trường hợp đó sẽ cho số nhỏ nhất để chắc chắn đạt điều kiện.
Đáp số: Vì số được chọn nhiều hơn số nhóm, ít nhất một nhóm có hai số; hai số đó có cùng số dư.
Kiểm tra: Đối chiếu trường hợp vừa tìm với từng điều kiện của đề. Nếu không có điều kiện nào bị vi phạm và các trường hợp đã được xét không trùng nhau, kết quả được chấp nhận.
Bài 4: Chọn 26 số tự nhiên bất kì. Chứng minh luôn có hai số cho cùng số dư khi chia cho 25.
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Khi chia cho 25, số dư chỉ có thể là 0, 1, ..., 24: tổng cộng 25 loại. Ta xét trường hợp bất lợi nhất mà yêu cầu vẫn chưa được bảo đảm. Lấy thêm một phần tử sau trường hợp đó sẽ cho số nhỏ nhất để chắc chắn đạt điều kiện.
Bước 2: Có 26 số được xếp vào 25 nhóm theo số dư. Ta xét trường hợp bất lợi nhất mà yêu cầu vẫn chưa được bảo đảm. Lấy thêm một phần tử sau trường hợp đó sẽ cho số nhỏ nhất để chắc chắn đạt điều kiện.
Đáp số: Vì số được chọn nhiều hơn số nhóm, ít nhất một nhóm có hai số; hai số đó có cùng số dư.
Kiểm tra: Đối chiếu trường hợp vừa tìm với từng điều kiện của đề. Nếu không có điều kiện nào bị vi phạm và các trường hợp đã được xét không trùng nhau, kết quả được chấp nhận.
Bài 5: Chọn 27 số tự nhiên bất kì. Chứng minh luôn có hai số cho cùng số dư khi chia cho 26.
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Khi chia cho 26, số dư chỉ có thể là 0, 1, ..., 25: tổng cộng 26 loại. Ta xét trường hợp bất lợi nhất mà yêu cầu vẫn chưa được bảo đảm. Lấy thêm một phần tử sau trường hợp đó sẽ cho số nhỏ nhất để chắc chắn đạt điều kiện.
Bước 2: Có 27 số được xếp vào 26 nhóm theo số dư. Ta xét trường hợp bất lợi nhất mà yêu cầu vẫn chưa được bảo đảm. Lấy thêm một phần tử sau trường hợp đó sẽ cho số nhỏ nhất để chắc chắn đạt điều kiện.
Đáp số: Vì số được chọn nhiều hơn số nhóm, ít nhất một nhóm có hai số; hai số đó có cùng số dư.
Kiểm tra: Đối chiếu trường hợp vừa tìm với từng điều kiện của đề. Nếu không có điều kiện nào bị vi phạm và các trường hợp đã được xét không trùng nhau, kết quả được chấp nhận.
Bài 6: Chọn 19 số tự nhiên bất kì. Chứng minh luôn có hai số cho cùng số dư khi chia cho 18.
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Khi chia cho 18, số dư chỉ có thể là 0, 1, ..., 17: tổng cộng 18 loại. Ta xét trường hợp bất lợi nhất mà yêu cầu vẫn chưa được bảo đảm. Lấy thêm một phần tử sau trường hợp đó sẽ cho số nhỏ nhất để chắc chắn đạt điều kiện.
Bước 2: Có 19 số được xếp vào 18 nhóm theo số dư. Ta xét trường hợp bất lợi nhất mà yêu cầu vẫn chưa được bảo đảm. Lấy thêm một phần tử sau trường hợp đó sẽ cho số nhỏ nhất để chắc chắn đạt điều kiện.
Đáp số: Vì số được chọn nhiều hơn số nhóm, ít nhất một nhóm có hai số; hai số đó có cùng số dư.
Kiểm tra: Đối chiếu trường hợp vừa tìm với từng điều kiện của đề. Nếu không có điều kiện nào bị vi phạm và các trường hợp đã được xét không trùng nhau, kết quả được chấp nhận.
Bài 7: Chọn 12 số tự nhiên bất kì. Chứng minh luôn có hai số cho cùng số dư khi chia cho 11.
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Khi chia cho 11, số dư chỉ có thể là 0, 1, ..., 10: tổng cộng 11 loại. Ta xét trường hợp bất lợi nhất mà yêu cầu vẫn chưa được bảo đảm. Lấy thêm một phần tử sau trường hợp đó sẽ cho số nhỏ nhất để chắc chắn đạt điều kiện.
Bước 2: Có 12 số được xếp vào 11 nhóm theo số dư. Ta xét trường hợp bất lợi nhất mà yêu cầu vẫn chưa được bảo đảm. Lấy thêm một phần tử sau trường hợp đó sẽ cho số nhỏ nhất để chắc chắn đạt điều kiện.
Đáp số: Vì số được chọn nhiều hơn số nhóm, ít nhất một nhóm có hai số; hai số đó có cùng số dư.
Kiểm tra: Đối chiếu trường hợp vừa tìm với từng điều kiện của đề. Nếu không có điều kiện nào bị vi phạm và các trường hợp đã được xét không trùng nhau, kết quả được chấp nhận.
Bài 8: Chọn 22 số tự nhiên bất kì. Chứng minh luôn có hai số cho cùng số dư khi chia cho 21.
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Khi chia cho 21, số dư chỉ có thể là 0, 1, ..., 20: tổng cộng 21 loại. Ta xét trường hợp bất lợi nhất mà yêu cầu vẫn chưa được bảo đảm. Lấy thêm một phần tử sau trường hợp đó sẽ cho số nhỏ nhất để chắc chắn đạt điều kiện.
Bước 2: Có 22 số được xếp vào 21 nhóm theo số dư. Ta xét trường hợp bất lợi nhất mà yêu cầu vẫn chưa được bảo đảm. Lấy thêm một phần tử sau trường hợp đó sẽ cho số nhỏ nhất để chắc chắn đạt điều kiện.
Đáp số: Vì số được chọn nhiều hơn số nhóm, ít nhất một nhóm có hai số; hai số đó có cùng số dư.
Kiểm tra: Đối chiếu trường hợp vừa tìm với từng điều kiện của đề. Nếu không có điều kiện nào bị vi phạm và các trường hợp đã được xét không trùng nhau, kết quả được chấp nhận.
Bài 9: Chọn 31 số tự nhiên bất kì. Chứng minh luôn có hai số cho cùng số dư khi chia cho 30.
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Khi chia cho 30, số dư chỉ có thể là 0, 1, ..., 29: tổng cộng 30 loại. Ta xét trường hợp bất lợi nhất mà yêu cầu vẫn chưa được bảo đảm. Lấy thêm một phần tử sau trường hợp đó sẽ cho số nhỏ nhất để chắc chắn đạt điều kiện.
Bước 2: Có 31 số được xếp vào 30 nhóm theo số dư. Ta xét trường hợp bất lợi nhất mà yêu cầu vẫn chưa được bảo đảm. Lấy thêm một phần tử sau trường hợp đó sẽ cho số nhỏ nhất để chắc chắn đạt điều kiện.
Đáp số: Vì số được chọn nhiều hơn số nhóm, ít nhất một nhóm có hai số; hai số đó có cùng số dư.
Kiểm tra: Đối chiếu trường hợp vừa tìm với từng điều kiện của đề. Nếu không có điều kiện nào bị vi phạm và các trường hợp đã được xét không trùng nhau, kết quả được chấp nhận.
Bài 10: Chọn 21 số tự nhiên bất kì. Chứng minh luôn có hai số cho cùng số dư khi chia cho 20.
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Khi chia cho 20, số dư chỉ có thể là 0, 1, ..., 19: tổng cộng 20 loại. Ta xét trường hợp bất lợi nhất mà yêu cầu vẫn chưa được bảo đảm. Lấy thêm một phần tử sau trường hợp đó sẽ cho số nhỏ nhất để chắc chắn đạt điều kiện.
Bước 2: Có 21 số được xếp vào 20 nhóm theo số dư. Ta xét trường hợp bất lợi nhất mà yêu cầu vẫn chưa được bảo đảm. Lấy thêm một phần tử sau trường hợp đó sẽ cho số nhỏ nhất để chắc chắn đạt điều kiện.
Đáp số: Vì số được chọn nhiều hơn số nhóm, ít nhất một nhóm có hai số; hai số đó có cùng số dư.
Kiểm tra: Đối chiếu trường hợp vừa tìm với từng điều kiện của đề. Nếu không có điều kiện nào bị vi phạm và các trường hợp đã được xét không trùng nhau, kết quả được chấp nhận.
Bài 11: Chọn 18 số tự nhiên bất kì. Chứng minh luôn có hai số cho cùng số dư khi chia cho 17.
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Khi chia cho 17, số dư chỉ có thể là 0, 1, ..., 16: tổng cộng 17 loại. Ta xét trường hợp bất lợi nhất mà yêu cầu vẫn chưa được bảo đảm. Lấy thêm một phần tử sau trường hợp đó sẽ cho số nhỏ nhất để chắc chắn đạt điều kiện.
Bước 2: Có 18 số được xếp vào 17 nhóm theo số dư. Ta xét trường hợp bất lợi nhất mà yêu cầu vẫn chưa được bảo đảm. Lấy thêm một phần tử sau trường hợp đó sẽ cho số nhỏ nhất để chắc chắn đạt điều kiện.
Đáp số: Vì số được chọn nhiều hơn số nhóm, ít nhất một nhóm có hai số; hai số đó có cùng số dư.
Kiểm tra: Đối chiếu trường hợp vừa tìm với từng điều kiện của đề. Nếu không có điều kiện nào bị vi phạm và các trường hợp đã được xét không trùng nhau, kết quả được chấp nhận.
Bài 12: Chọn 24 số tự nhiên bất kì. Chứng minh luôn có hai số cho cùng số dư khi chia cho 23.
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Khi chia cho 23, số dư chỉ có thể là 0, 1, ..., 22: tổng cộng 23 loại. Ta xét trường hợp bất lợi nhất mà yêu cầu vẫn chưa được bảo đảm. Lấy thêm một phần tử sau trường hợp đó sẽ cho số nhỏ nhất để chắc chắn đạt điều kiện.
Bước 2: Có 24 số được xếp vào 23 nhóm theo số dư. Ta xét trường hợp bất lợi nhất mà yêu cầu vẫn chưa được bảo đảm. Lấy thêm một phần tử sau trường hợp đó sẽ cho số nhỏ nhất để chắc chắn đạt điều kiện.
Đáp số: Vì số được chọn nhiều hơn số nhóm, ít nhất một nhóm có hai số; hai số đó có cùng số dư.
Kiểm tra: Đối chiếu trường hợp vừa tìm với từng điều kiện của đề. Nếu không có điều kiện nào bị vi phạm và các trường hợp đã được xét không trùng nhau, kết quả được chấp nhận.
Ghi nhớ và tự kiểm tra
- Trọng tâm của bài là nhận ra cấu trúc ẩn trong dạng Chọn số để chắc chắn có hai số thỏa mãn.
- Không làm theo phép tính máy móc; cần giải thích vì sao chọn cách làm.
- Mọi đáp số phải được kiểm tra lại với toàn bộ dữ kiện của đề.
Câu hỏi tự kiểm tra
- Em có tách được từng điều kiện và xác định thứ tự xử lí không?
- Em có trình bày đủ các kết quả trung gian không?
- Em có kiểm tra lại đáp số bằng điều kiện ban đầu hoặc một cách khác không?