Bài 39 Dãy số và quy luật Nâng cao

Đánh số trang sách

Chuyên đề nâng cao đánh số trang sách với phương pháp chọn lọc, 20 bài toán phân loại và lời giải đầy đủ từng bước dành cho học sinh ôn thi vào lớp 6 CLC.

Học xong bài này

Mục tiêu bài học

Nhận biết và xử lí các biến đổi nâng cao của dạng Đánh số trang sách.
Biết phân tích dữ kiện ẩn, lựa chọn phương pháp ngắn gọn và kiểm tra kết quả.
Trình bày lời giải đầy đủ từng bước theo ngôn ngữ Toán tiểu học, không dùng kiến thức thuần THCS.

Ghi nhớ kiến thức nền

Kiến thức cần nhớ

Phạm vi: Bài học chỉ tập trung vào câu hỏi nâng cao, dữ kiện ẩn, bài toán ngược và bài toán có nhiều điều kiện. Các thao tác cơ bản được coi là kiến thức nền.

Hãy xét hiệu, thương hoặc hai dãy con xen kẽ trước khi kết luận quy luật.
Dãy cách đều có hiệu giữa hai số hạng liên tiếp không đổi.
Với bài đếm số hạng, luôn cộng thêm 1 sau khi chia khoảng cách.
Chia các trang thành nhóm 1 chữ số, 2 chữ số, 3 chữ số trước khi tính.

Quan sát cách làm

Ví dụ minh họa

Phương pháp chung

Đọc kĩ đề, gạch dưới dữ kiện và xác định chính xác yêu cầu cuối cùng.
Ta quan sát sự thay đổi giữa các số hạng, vị trí của số hạng và cách quy luật lặp lại. Không nên chỉ nhìn một cặp số liên tiếp rồi kết luận vội.
Trình bày từng kết quả trung gian, giải thích ý nghĩa của phép tính và kiểm tra lại kết luận.

Ví dụ 1: Đánh số các trang của một cuốn sách từ trang 1 đến trang 488 cần 1 356 chữ số. Nếu chỉ biết tổng số chữ số là 1 356, hãy trình bày cách tìm trang cuối cùng.

Hướng dẫn giải chi tiết:

Phân tích đề: Ta quan sát sự thay đổi giữa các số hạng, vị trí của số hạng và cách quy luật lặp lại. Không nên chỉ nhìn một cặp số liên tiếp rồi kết luận vội.

Bước 1: Trừ lần lượt số chữ số dùng cho từng nhóm trang: trang 1 đến 9: 9 chữ số; trang 10 đến 99: 180 chữ số. Trong dãy cách đều, số khoảng bằng số số hạng trừ 1. Ta tìm đúng khoảng cách, số khoảng và số số hạng trước khi xác định một số hạng hoặc tính tổng dãy.

Vì sao làm như vậy: Việc viết ra vài số hạng đầu hoặc hiệu giữa các số hạng giúp nhận ra quy luật thật sự của dãy.

Bước 2: Còn 1167 chữ số dành cho các trang có 3 chữ số, nên có 1167:3=389 trang trong nhóm cuối. Trong dãy cách đều, số khoảng bằng số số hạng trừ 1. Ta tìm đúng khoảng cách, số khoảng và số số hạng trước khi xác định một số hạng hoặc tính tổng dãy.

Vì sao làm như vậy: Sau khi xác định quy luật, ta liên hệ số thứ tự với giá trị của số hạng hoặc số khoảng cách để tính đúng đại lượng cần tìm.

Ý nghĩa của kết quả: Kết quả phải phù hợp với cả quy luật của dãy và vị trí được nêu trong đề.

Kết luận: Trang cuối là 100 + 389 − 1 = 488.

Kiểm tra: Thay vị trí vừa tìm vào quy luật và kiểm tra một vài số hạng lân cận.

Ví dụ 2: Đánh số các trang của một cuốn sách từ trang 1 đến trang 733 cần 2 091 chữ số. Nếu chỉ biết tổng số chữ số là 2 091, hãy trình bày cách tìm trang cuối cùng.

Hướng dẫn giải chi tiết:

Vì sao làm như vậy: Việc viết ra vài số hạng đầu hoặc hiệu giữa các số hạng giúp nhận ra quy luật thật sự của dãy.

Bước 2: Còn 1902 chữ số dành cho các trang có 3 chữ số, nên có 1902:3=634 trang trong nhóm cuối. Trong dãy cách đều, số khoảng bằng số số hạng trừ 1. Ta tìm đúng khoảng cách, số khoảng và số số hạng trước khi xác định một số hạng hoặc tính tổng dãy.

Vì sao làm như vậy: Sau khi xác định quy luật, ta liên hệ số thứ tự với giá trị của số hạng hoặc số khoảng cách để tính đúng đại lượng cần tìm.

Ý nghĩa của kết quả: Kết quả phải phù hợp với cả quy luật của dãy và vị trí được nêu trong đề.

Kết luận: Trang cuối là 100 + 634 − 1 = 733.

Kiểm tra: Thay vị trí vừa tìm vào quy luật và kiểm tra một vài số hạng lân cận.

Ví dụ 3: Đánh số các trang của một cuốn sách từ trang 1 đến trang 246 cần 630 chữ số. Nếu chỉ biết tổng số chữ số là 630, hãy trình bày cách tìm trang cuối cùng.

Hướng dẫn giải chi tiết:

Vì sao làm như vậy: Việc viết ra vài số hạng đầu hoặc hiệu giữa các số hạng giúp nhận ra quy luật thật sự của dãy.

Bước 2: Còn 441 chữ số dành cho các trang có 3 chữ số, nên có 441:3=147 trang trong nhóm cuối. Trong dãy cách đều, số khoảng bằng số số hạng trừ 1. Ta tìm đúng khoảng cách, số khoảng và số số hạng trước khi xác định một số hạng hoặc tính tổng dãy.

Vì sao làm như vậy: Sau khi xác định quy luật, ta liên hệ số thứ tự với giá trị của số hạng hoặc số khoảng cách để tính đúng đại lượng cần tìm.

Ý nghĩa của kết quả: Kết quả phải phù hợp với cả quy luật của dãy và vị trí được nêu trong đề.

Kết luận: Trang cuối là 100 + 147 − 1 = 246.

Kiểm tra: Thay vị trí vừa tìm vào quy luật và kiểm tra một vài số hạng lân cận.

Làm theo kiến thức vừa học

Bài tập áp dụng

Gồm 5 bài tập nâng cao. Em hãy tự trình bày bài giải đầy đủ vào vở trước khi mở lời giải.

Bài 1: Đánh số các trang của một cuốn sách từ trang 1 đến trang 873 cần 2 511 chữ số. Nếu chỉ biết tổng số chữ số là 2 511, hãy trình bày cách tìm trang cuối cùng.

Bài 2: Đánh số các trang của một cuốn sách từ trang 1 đến trang 530 cần 1 482 chữ số. Nếu chỉ biết tổng số chữ số là 1 482, hãy trình bày cách tìm trang cuối cùng.

Bài 3: Đánh số các trang của một cuốn sách từ trang 1 đến trang 683 cần 1 941 chữ số. Nếu chỉ biết tổng số chữ số là 1 941, hãy trình bày cách tìm trang cuối cùng.

Bài 4: Đánh số các trang của một cuốn sách từ trang 1 đến trang 1139 cần 3 449 chữ số. Nếu chỉ biết tổng số chữ số là 3 449, hãy trình bày cách tìm trang cuối cùng.

Bài 5: Đánh số các trang của một cuốn sách từ trang 1 đến trang 339 cần 909 chữ số. Nếu chỉ biết tổng số chữ số là 909, hãy trình bày cách tìm trang cuối cùng.

Xem lời giải

Lời giải:

Trước hết, ta viết rõ quy luật của dãy, xác định số khoảng cách hoặc chu kì, rồi mới tính số hạng hay tổng cần tìm.

Trừ lần lượt số chữ số dùng cho từng nhóm trang: trang 1 đến 9: 9 chữ số; trang 10 đến 99: 180 chữ số.

Số khoảng cách thường ít hơn số số hạng một đơn vị; đây là điểm dễ nhầm khi giải bài dãy số.

Còn 2322 chữ số dành cho các trang có 3 chữ số, nên có 2322:3=774 trang trong nhóm cuối.

Dùng quy luật đã xác định để tính kết quả, sau đó đối chiếu với các số hạng đầu và cuối của dãy.

Từ các kết quả trên, ta trả lời đầy đủ yêu cầu của bài toán và ghi đáp số kèm đơn vị (nếu có).

Đáp số: Trang cuối là 100 + 774 − 1 = 873.

Lời giải:

Trước hết, ta viết rõ quy luật của dãy, xác định số khoảng cách hoặc chu kì, rồi mới tính số hạng hay tổng cần tìm.

Trừ lần lượt số chữ số dùng cho từng nhóm trang: trang 1 đến 9: 9 chữ số; trang 10 đến 99: 180 chữ số.

Số khoảng cách thường ít hơn số số hạng một đơn vị; đây là điểm dễ nhầm khi giải bài dãy số.

Còn 1293 chữ số dành cho các trang có 3 chữ số, nên có 1293:3=431 trang trong nhóm cuối.

Dùng quy luật đã xác định để tính kết quả, sau đó đối chiếu với các số hạng đầu và cuối của dãy.

Từ các kết quả trên, ta trả lời đầy đủ yêu cầu của bài toán và ghi đáp số kèm đơn vị (nếu có).

Đáp số: Trang cuối là 100 + 431 − 1 = 530.

Lời giải:

Trước hết, ta viết rõ quy luật của dãy, xác định số khoảng cách hoặc chu kì, rồi mới tính số hạng hay tổng cần tìm.

Trừ lần lượt số chữ số dùng cho từng nhóm trang: trang 1 đến 9: 9 chữ số; trang 10 đến 99: 180 chữ số.

Số khoảng cách thường ít hơn số số hạng một đơn vị; đây là điểm dễ nhầm khi giải bài dãy số.

Còn 1752 chữ số dành cho các trang có 3 chữ số, nên có 1752:3=584 trang trong nhóm cuối.

Dùng quy luật đã xác định để tính kết quả, sau đó đối chiếu với các số hạng đầu và cuối của dãy.

Từ các kết quả trên, ta trả lời đầy đủ yêu cầu của bài toán và ghi đáp số kèm đơn vị (nếu có).

Đáp số: Trang cuối là 100 + 584 − 1 = 683.

Lời giải:

Trước hết, ta viết rõ quy luật của dãy, xác định số khoảng cách hoặc chu kì, rồi mới tính số hạng hay tổng cần tìm.

Trừ lần lượt số chữ số dùng cho từng nhóm trang: trang 1 đến 9: 9 chữ số; trang 10 đến 99: 180 chữ số; trang 100 đến 999: 2700 chữ số.

Số khoảng cách thường ít hơn số số hạng một đơn vị; đây là điểm dễ nhầm khi giải bài dãy số.

Còn 560 chữ số dành cho các trang có 4 chữ số, nên có 560:4=140 trang trong nhóm cuối.

Dùng quy luật đã xác định để tính kết quả, sau đó đối chiếu với các số hạng đầu và cuối của dãy.

Từ các kết quả trên, ta trả lời đầy đủ yêu cầu của bài toán và ghi đáp số kèm đơn vị (nếu có).

Đáp số: Trang cuối là 1000 + 140 − 1 = 1139.

Lời giải:

Trước hết, ta viết rõ quy luật của dãy, xác định số khoảng cách hoặc chu kì, rồi mới tính số hạng hay tổng cần tìm.

Trừ lần lượt số chữ số dùng cho từng nhóm trang: trang 1 đến 9: 9 chữ số; trang 10 đến 99: 180 chữ số.

Số khoảng cách thường ít hơn số số hạng một đơn vị; đây là điểm dễ nhầm khi giải bài dãy số.

Còn 720 chữ số dành cho các trang có 3 chữ số, nên có 720:3=240 trang trong nhóm cuối.

Dùng quy luật đã xác định để tính kết quả, sau đó đối chiếu với các số hạng đầu và cuối của dãy.

Từ các kết quả trên, ta trả lời đầy đủ yêu cầu của bài toán và ghi đáp số kèm đơn vị (nếu có).

Đáp số: Trang cuối là 100 + 240 − 1 = 339.

Tự kiểm tra mức độ thành thạo

Bài tập tự luyện

Em hãy tự làm trước. Các bài tập đều ở mức nâng cao hoặc nâng cao CLC.

Bài 1: Đánh số các trang của một cuốn sách từ trang 1 đến trang 1112 cần 3 341 chữ số. Nếu chỉ biết tổng số chữ số là 3 341, hãy trình bày cách tìm trang cuối cùng.

Bài 2: Đánh số các trang của một cuốn sách từ trang 1 đến trang 437 cần 1 203 chữ số. Nếu chỉ biết tổng số chữ số là 1 203, hãy trình bày cách tìm trang cuối cùng.

Bài 3: Đánh số các trang của một cuốn sách từ trang 1 đến trang 633 cần 1 791 chữ số. Nếu chỉ biết tổng số chữ số là 1 791, hãy trình bày cách tìm trang cuối cùng.

Bài 4: Đánh số các trang của một cuốn sách từ trang 1 đến trang 907 cần 2 613 chữ số. Nếu chỉ biết tổng số chữ số là 2 613, hãy trình bày cách tìm trang cuối cùng.

Bài 5: Đánh số các trang của một cuốn sách từ trang 1 đến trang 1176 cần 3 597 chữ số. Nếu chỉ biết tổng số chữ số là 3 597, hãy trình bày cách tìm trang cuối cùng.

Bài 6: Đánh số các trang của một cuốn sách từ trang 1 đến trang 1019 cần 2 969 chữ số. Nếu chỉ biết tổng số chữ số là 2 969, hãy trình bày cách tìm trang cuối cùng.

Bài 7: Đánh số các trang của một cuốn sách từ trang 1 đến trang 766 cần 2 190 chữ số. Nếu chỉ biết tổng số chữ số là 2 190, hãy trình bày cách tìm trang cuối cùng.

Bài 8: Đánh số các trang của một cuốn sách từ trang 1 đến trang 603 cần 1 701 chữ số. Nếu chỉ biết tổng số chữ số là 1 701, hãy trình bày cách tìm trang cuối cùng.

Bài 9: Đánh số các trang của một cuốn sách từ trang 1 đến trang 940 cần 2 712 chữ số. Nếu chỉ biết tổng số chữ số là 2 712, hãy trình bày cách tìm trang cuối cùng.

Bài 10: Đánh số các trang của một cuốn sách từ trang 1 đến trang 855 cần 2 457 chữ số. Nếu chỉ biết tổng số chữ số là 2 457, hãy trình bày cách tìm trang cuối cùng.

Bài 11: Đánh số các trang của một cuốn sách từ trang 1 đến trang 298 cần 786 chữ số. Nếu chỉ biết tổng số chữ số là 786, hãy trình bày cách tìm trang cuối cùng.

Bài 12: Đánh số các trang của một cuốn sách từ trang 1 đến trang 1010 cần 2 933 chữ số. Nếu chỉ biết tổng số chữ số là 2 933, hãy trình bày cách tìm trang cuối cùng.

Xem lời giải bài tập tự luyện

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Trừ lần lượt số chữ số dùng cho từng nhóm trang: trang 1 đến 9: 9 chữ số; trang 10 đến 99: 180 chữ số; trang 100 đến 999: 2700 chữ số. Trong dãy cách đều, số khoảng bằng số số hạng trừ 1. Ta tìm đúng khoảng cách, số khoảng và số số hạng trước khi xác định một số hạng hoặc tính tổng dãy.

Bước 2: Còn 452 chữ số dành cho các trang có 4 chữ số, nên có 452:4=113 trang trong nhóm cuối. Trong dãy cách đều, số khoảng bằng số số hạng trừ 1. Ta tìm đúng khoảng cách, số khoảng và số số hạng trước khi xác định một số hạng hoặc tính tổng dãy.

Đáp số: Trang cuối là 1000 + 113 − 1 = 1112.

Kiểm tra: Cuối cùng, thay kết quả vào các điều kiện ban đầu hoặc thực hiện phép tính ngược. Nếu tất cả dữ kiện đều được thỏa mãn thì lời giải và đáp số là hợp lí.

Lời giải chi tiết:

Bước 2: Còn 1014 chữ số dành cho các trang có 3 chữ số, nên có 1014:3=338 trang trong nhóm cuối. Trong dãy cách đều, số khoảng bằng số số hạng trừ 1. Ta tìm đúng khoảng cách, số khoảng và số số hạng trước khi xác định một số hạng hoặc tính tổng dãy.

Đáp số: Trang cuối là 100 + 338 − 1 = 437.

Lời giải chi tiết:

Bước 2: Còn 1602 chữ số dành cho các trang có 3 chữ số, nên có 1602:3=534 trang trong nhóm cuối. Trong dãy cách đều, số khoảng bằng số số hạng trừ 1. Ta tìm đúng khoảng cách, số khoảng và số số hạng trước khi xác định một số hạng hoặc tính tổng dãy.

Đáp số: Trang cuối là 100 + 534 − 1 = 633.

Lời giải chi tiết:

Bước 2: Còn 2424 chữ số dành cho các trang có 3 chữ số, nên có 2424:3=808 trang trong nhóm cuối. Trong dãy cách đều, số khoảng bằng số số hạng trừ 1. Ta tìm đúng khoảng cách, số khoảng và số số hạng trước khi xác định một số hạng hoặc tính tổng dãy.

Đáp số: Trang cuối là 100 + 808 − 1 = 907.

Lời giải chi tiết:

Bước 2: Còn 708 chữ số dành cho các trang có 4 chữ số, nên có 708:4=177 trang trong nhóm cuối. Trong dãy cách đều, số khoảng bằng số số hạng trừ 1. Ta tìm đúng khoảng cách, số khoảng và số số hạng trước khi xác định một số hạng hoặc tính tổng dãy.

Đáp số: Trang cuối là 1000 + 177 − 1 = 1176.

Lời giải chi tiết:

Bước 2: Còn 80 chữ số dành cho các trang có 4 chữ số, nên có 80:4=20 trang trong nhóm cuối. Trong dãy cách đều, số khoảng bằng số số hạng trừ 1. Ta tìm đúng khoảng cách, số khoảng và số số hạng trước khi xác định một số hạng hoặc tính tổng dãy.

Đáp số: Trang cuối là 1000 + 20 − 1 = 1019.

Lời giải chi tiết:

Bước 2: Còn 2001 chữ số dành cho các trang có 3 chữ số, nên có 2001:3=667 trang trong nhóm cuối. Trong dãy cách đều, số khoảng bằng số số hạng trừ 1. Ta tìm đúng khoảng cách, số khoảng và số số hạng trước khi xác định một số hạng hoặc tính tổng dãy.

Đáp số: Trang cuối là 100 + 667 − 1 = 766.

Lời giải chi tiết:

Bước 2: Còn 1512 chữ số dành cho các trang có 3 chữ số, nên có 1512:3=504 trang trong nhóm cuối. Trong dãy cách đều, số khoảng bằng số số hạng trừ 1. Ta tìm đúng khoảng cách, số khoảng và số số hạng trước khi xác định một số hạng hoặc tính tổng dãy.

Đáp số: Trang cuối là 100 + 504 − 1 = 603.

Lời giải chi tiết:

Bước 2: Còn 2523 chữ số dành cho các trang có 3 chữ số, nên có 2523:3=841 trang trong nhóm cuối. Trong dãy cách đều, số khoảng bằng số số hạng trừ 1. Ta tìm đúng khoảng cách, số khoảng và số số hạng trước khi xác định một số hạng hoặc tính tổng dãy.

Đáp số: Trang cuối là 100 + 841 − 1 = 940.

Lời giải chi tiết:

Bước 2: Còn 2268 chữ số dành cho các trang có 3 chữ số, nên có 2268:3=756 trang trong nhóm cuối. Trong dãy cách đều, số khoảng bằng số số hạng trừ 1. Ta tìm đúng khoảng cách, số khoảng và số số hạng trước khi xác định một số hạng hoặc tính tổng dãy.

Đáp số: Trang cuối là 100 + 756 − 1 = 855.

Lời giải chi tiết:

Bước 2: Còn 597 chữ số dành cho các trang có 3 chữ số, nên có 597:3=199 trang trong nhóm cuối. Trong dãy cách đều, số khoảng bằng số số hạng trừ 1. Ta tìm đúng khoảng cách, số khoảng và số số hạng trước khi xác định một số hạng hoặc tính tổng dãy.

Đáp số: Trang cuối là 100 + 199 − 1 = 298.

Lời giải chi tiết:

Bước 2: Còn 44 chữ số dành cho các trang có 4 chữ số, nên có 44:4=11 trang trong nhóm cuối. Trong dãy cách đều, số khoảng bằng số số hạng trừ 1. Ta tìm đúng khoảng cách, số khoảng và số số hạng trước khi xác định một số hạng hoặc tính tổng dãy.

Đáp số: Trang cuối là 1000 + 11 − 1 = 1010.

Tổng kết bài học

Ghi nhớ và tự kiểm tra

Trọng tâm của bài là nhận ra cấu trúc ẩn trong dạng Đánh số trang sách.
Không làm theo phép tính máy móc; cần giải thích vì sao chọn cách làm.
Mọi đáp số phải được kiểm tra lại với toàn bộ dữ kiện của đề.

Câu hỏi tự kiểm tra

Em có tách được từng điều kiện và xác định thứ tự xử lí không?
Em có trình bày đủ các kết quả trung gian không?
Em có kiểm tra lại đáp số bằng điều kiện ban đầu hoặc một cách khác không?