Bài 36 Dãy số và quy luật Nâng cao CLC

Dãy số có quy luật nhân và chia

Chuyên đề nâng cao dãy số có quy luật nhân và chia với phương pháp chọn lọc, 20 bài toán phân loại và lời giải đầy đủ từng bước dành cho học sinh ôn thi vào lớp 6 CLC.

Học xong bài này

Mục tiêu bài học

Nhận biết và xử lí các biến đổi nâng cao của dạng Dãy số có quy luật nhân và chia.
Biết phân tích dữ kiện ẩn, lựa chọn phương pháp ngắn gọn và kiểm tra kết quả.
Trình bày lời giải đầy đủ từng bước theo ngôn ngữ Toán tiểu học, không dùng kiến thức thuần THCS.

Ghi nhớ kiến thức nền

Kiến thức cần nhớ

Phạm vi: Bài học chỉ tập trung vào câu hỏi nâng cao, dữ kiện ẩn, bài toán ngược và bài toán có nhiều điều kiện. Các thao tác cơ bản được coi là kiến thức nền.

Hãy xét hiệu, thương hoặc hai dãy con xen kẽ trước khi kết luận quy luật.
Dãy cách đều có hiệu giữa hai số hạng liên tiếp không đổi.
Với bài đếm số hạng, luôn cộng thêm 1 sau khi chia khoảng cách.
Trọng tâm là nhận đúng dữ kiện đặc trưng của dạng “Dãy số có quy luật nhân và chia” và chọn phép tính phù hợp.
Nên trình bày theo thứ tự: tóm tắt, lập luận, phép tính, kết luận.

Quan sát cách làm

Ví dụ minh họa

Phương pháp chung

Đọc kĩ đề, gạch dưới dữ kiện và xác định chính xác yêu cầu cuối cùng.
Ta quan sát sự thay đổi giữa các số hạng, vị trí của số hạng và cách quy luật lặp lại. Không nên chỉ nhìn một cặp số liên tiếp rồi kết luận vội.
Trình bày từng kết quả trung gian, giải thích ý nghĩa của phép tính và kiểm tra lại kết luận.

Ví dụ 1: Cho dãy 2, 9, 23, 51, ... Mỗi số sau được tạo từ số trước bằng cùng một phép nhân rồi cộng. Tìm quy luật, số hạng thứ 7 và số đứng ngay trước 891.

Hướng dẫn giải chi tiết:

Phân tích đề: Ta quan sát sự thay đổi giữa các số hạng, vị trí của số hạng và cách quy luật lặp lại. Không nên chỉ nhìn một cặp số liên tiếp rồi kết luận vội.

Bước 1: Thử quan hệ giữa hai số liên tiếp thấy: số sau = số trước × 2 + 5. Trong dãy cách đều, số khoảng bằng số số hạng trừ 1. Ta tìm đúng khoảng cách, số khoảng và số số hạng trước khi xác định một số hạng hoặc tính tổng dãy.

Vì sao làm như vậy: Việc viết ra vài số hạng đầu hoặc hiệu giữa các số hạng giúp nhận ra quy luật thật sự của dãy.

Bước 2: Tiếp tục quy luật: số hạng thứ 5, 6, 7 lần lượt là 107, 219, 443. Trong dãy cách đều, số khoảng bằng số số hạng trừ 1. Ta tìm đúng khoảng cách, số khoảng và số số hạng trước khi xác định một số hạng hoặc tính tổng dãy.

Vì sao làm như vậy: Sau khi xác định quy luật, ta liên hệ số thứ tự với giá trị của số hạng hoặc số khoảng cách để tính đúng đại lượng cần tìm.

Ý nghĩa của kết quả: Kết quả phải phù hợp với cả quy luật của dãy và vị trí được nêu trong đề.

Kết luận: Số đứng ngay trước 891 là (891−5):2=443.

Kiểm tra: Thay vị trí vừa tìm vào quy luật và kiểm tra một vài số hạng lân cận.

Ví dụ 2: Cho dãy 6, 22, 70, 214, ... Mỗi số sau được tạo từ số trước bằng cùng một phép nhân rồi cộng. Tìm quy luật, số hạng thứ 7 và số đứng ngay trước 17494.

Hướng dẫn giải chi tiết:

Bước 1: Thử quan hệ giữa hai số liên tiếp thấy: số sau = số trước × 3 + 4. Trong dãy cách đều, số khoảng bằng số số hạng trừ 1. Ta tìm đúng khoảng cách, số khoảng và số số hạng trước khi xác định một số hạng hoặc tính tổng dãy.

Vì sao làm như vậy: Việc viết ra vài số hạng đầu hoặc hiệu giữa các số hạng giúp nhận ra quy luật thật sự của dãy.

Bước 2: Tiếp tục quy luật: số hạng thứ 5, 6, 7 lần lượt là 646, 1942, 5830. Trong dãy cách đều, số khoảng bằng số số hạng trừ 1. Ta tìm đúng khoảng cách, số khoảng và số số hạng trước khi xác định một số hạng hoặc tính tổng dãy.

Vì sao làm như vậy: Sau khi xác định quy luật, ta liên hệ số thứ tự với giá trị của số hạng hoặc số khoảng cách để tính đúng đại lượng cần tìm.

Ý nghĩa của kết quả: Kết quả phải phù hợp với cả quy luật của dãy và vị trí được nêu trong đề.

Kết luận: Số đứng ngay trước 17494 là (17494−4):3=5830.

Kiểm tra: Thay vị trí vừa tìm vào quy luật và kiểm tra một vài số hạng lân cận.

Ví dụ 3: Cho dãy 1, 9, 25, 57, ... Mỗi số sau được tạo từ số trước bằng cùng một phép nhân rồi cộng. Tìm quy luật, số hạng thứ 7 và số đứng ngay trước 1017.

Hướng dẫn giải chi tiết:

Bước 1: Thử quan hệ giữa hai số liên tiếp thấy: số sau = số trước × 2 + 7. Trong dãy cách đều, số khoảng bằng số số hạng trừ 1. Ta tìm đúng khoảng cách, số khoảng và số số hạng trước khi xác định một số hạng hoặc tính tổng dãy.

Vì sao làm như vậy: Việc viết ra vài số hạng đầu hoặc hiệu giữa các số hạng giúp nhận ra quy luật thật sự của dãy.

Bước 2: Tiếp tục quy luật: số hạng thứ 5, 6, 7 lần lượt là 121, 249, 505. Trong dãy cách đều, số khoảng bằng số số hạng trừ 1. Ta tìm đúng khoảng cách, số khoảng và số số hạng trước khi xác định một số hạng hoặc tính tổng dãy.

Vì sao làm như vậy: Sau khi xác định quy luật, ta liên hệ số thứ tự với giá trị của số hạng hoặc số khoảng cách để tính đúng đại lượng cần tìm.

Ý nghĩa của kết quả: Kết quả phải phù hợp với cả quy luật của dãy và vị trí được nêu trong đề.

Kết luận: Số đứng ngay trước 1017 là (1017−7):2=505.

Kiểm tra: Thay vị trí vừa tìm vào quy luật và kiểm tra một vài số hạng lân cận.

Làm theo kiến thức vừa học

Bài tập áp dụng

Gồm 5 bài tập nâng cao. Em hãy tự trình bày bài giải đầy đủ vào vở trước khi mở lời giải.

Bài 1: Cho dãy 4, 15, 37, 81, ... Mỗi số sau được tạo từ số trước bằng cùng một phép nhân rồi cộng. Tìm quy luật, số hạng thứ 7 và số đứng ngay trước 1401.

Bài 2: Cho dãy 2, 10, 42, 170, ... Mỗi số sau được tạo từ số trước bằng cùng một phép nhân rồi cộng. Tìm quy luật, số hạng thứ 7 và số đứng ngay trước 43690.

Bài 3: Cho dãy 5, 21, 69, 213, ... Mỗi số sau được tạo từ số trước bằng cùng một phép nhân rồi cộng. Tìm quy luật, số hạng thứ 7 và số đứng ngay trước 17493.

Bài 4: Cho dãy 2, 11, 29, 65, ... Mỗi số sau được tạo từ số trước bằng cùng một phép nhân rồi cộng. Tìm quy luật, số hạng thứ 7 và số đứng ngay trước 1145.

Bài 5: Cho dãy 6, 25, 101, 405, ... Mỗi số sau được tạo từ số trước bằng cùng một phép nhân rồi cộng. Tìm quy luật, số hạng thứ 7 và số đứng ngay trước 103765.

Xem lời giải

Lời giải:

Trước hết, ta viết rõ quy luật của dãy, xác định số khoảng cách hoặc chu kì, rồi mới tính số hạng hay tổng cần tìm.

Thử quan hệ giữa hai số liên tiếp thấy: số sau = số trước × 2 + 7.

Số khoảng cách thường ít hơn số số hạng một đơn vị; đây là điểm dễ nhầm khi giải bài dãy số.

Tiếp tục quy luật: số hạng thứ 5, 6, 7 lần lượt là 169, 345, 697.

Dùng quy luật đã xác định để tính kết quả, sau đó đối chiếu với các số hạng đầu và cuối của dãy.

Từ các kết quả trên, ta trả lời đầy đủ yêu cầu của bài toán và ghi đáp số kèm đơn vị (nếu có).

Đáp số: Số đứng ngay trước 1401 là (1401−7):2=697.

Lời giải:

Trước hết, ta viết rõ quy luật của dãy, xác định số khoảng cách hoặc chu kì, rồi mới tính số hạng hay tổng cần tìm.

Thử quan hệ giữa hai số liên tiếp thấy: số sau = số trước × 4 + 2.

Số khoảng cách thường ít hơn số số hạng một đơn vị; đây là điểm dễ nhầm khi giải bài dãy số.

Tiếp tục quy luật: số hạng thứ 5, 6, 7 lần lượt là 682, 2730, 10922.

Dùng quy luật đã xác định để tính kết quả, sau đó đối chiếu với các số hạng đầu và cuối của dãy.

Từ các kết quả trên, ta trả lời đầy đủ yêu cầu của bài toán và ghi đáp số kèm đơn vị (nếu có).

Đáp số: Số đứng ngay trước 43690 là (43690−2):4=10922.

Lời giải:

Trước hết, ta viết rõ quy luật của dãy, xác định số khoảng cách hoặc chu kì, rồi mới tính số hạng hay tổng cần tìm.

Thử quan hệ giữa hai số liên tiếp thấy: số sau = số trước × 3 + 6.

Số khoảng cách thường ít hơn số số hạng một đơn vị; đây là điểm dễ nhầm khi giải bài dãy số.

Tiếp tục quy luật: số hạng thứ 5, 6, 7 lần lượt là 645, 1941, 5829.

Dùng quy luật đã xác định để tính kết quả, sau đó đối chiếu với các số hạng đầu và cuối của dãy.

Từ các kết quả trên, ta trả lời đầy đủ yêu cầu của bài toán và ghi đáp số kèm đơn vị (nếu có).

Đáp số: Số đứng ngay trước 17493 là (17493−6):3=5829.

Lời giải:

Trước hết, ta viết rõ quy luật của dãy, xác định số khoảng cách hoặc chu kì, rồi mới tính số hạng hay tổng cần tìm.

Thử quan hệ giữa hai số liên tiếp thấy: số sau = số trước × 2 + 7.

Số khoảng cách thường ít hơn số số hạng một đơn vị; đây là điểm dễ nhầm khi giải bài dãy số.

Tiếp tục quy luật: số hạng thứ 5, 6, 7 lần lượt là 137, 281, 569.

Dùng quy luật đã xác định để tính kết quả, sau đó đối chiếu với các số hạng đầu và cuối của dãy.

Từ các kết quả trên, ta trả lời đầy đủ yêu cầu của bài toán và ghi đáp số kèm đơn vị (nếu có).

Đáp số: Số đứng ngay trước 1145 là (1145−7):2=569.

Lời giải:

Trước hết, ta viết rõ quy luật của dãy, xác định số khoảng cách hoặc chu kì, rồi mới tính số hạng hay tổng cần tìm.

Thử quan hệ giữa hai số liên tiếp thấy: số sau = số trước × 4 + 1.

Số khoảng cách thường ít hơn số số hạng một đơn vị; đây là điểm dễ nhầm khi giải bài dãy số.

Tiếp tục quy luật: số hạng thứ 5, 6, 7 lần lượt là 1621, 6485, 25941.

Dùng quy luật đã xác định để tính kết quả, sau đó đối chiếu với các số hạng đầu và cuối của dãy.

Từ các kết quả trên, ta trả lời đầy đủ yêu cầu của bài toán và ghi đáp số kèm đơn vị (nếu có).

Đáp số: Số đứng ngay trước 103765 là (103765−1):4=25941.

Tự kiểm tra mức độ thành thạo

Bài tập tự luyện

Em hãy tự làm trước. Các bài tập đều ở mức nâng cao hoặc nâng cao CLC.

Bài 1: Cho dãy 4, 16, 52, 160, ... Mỗi số sau được tạo từ số trước bằng cùng một phép nhân rồi cộng. Tìm quy luật, số hạng thứ 7 và số đứng ngay trước 13120.

Bài 2: Cho dãy 1, 9, 33, 105, ... Mỗi số sau được tạo từ số trước bằng cùng một phép nhân rồi cộng. Tìm quy luật, số hạng thứ 7 và số đứng ngay trước 8745.

Bài 3: Cho dãy 6, 24, 78, 240, ... Mỗi số sau được tạo từ số trước bằng cùng một phép nhân rồi cộng. Tìm quy luật, số hạng thứ 7 và số đứng ngay trước 19680.

Bài 4: Cho dãy 3, 8, 18, 38, ... Mỗi số sau được tạo từ số trước bằng cùng một phép nhân rồi cộng. Tìm quy luật, số hạng thứ 7 và số đứng ngay trước 638.

Bài 5: Cho dãy 4, 11, 25, 53, ... Mỗi số sau được tạo từ số trước bằng cùng một phép nhân rồi cộng. Tìm quy luật, số hạng thứ 7 và số đứng ngay trước 893.

Bài 6: Cho dãy 4, 18, 60, 186, ... Mỗi số sau được tạo từ số trước bằng cùng một phép nhân rồi cộng. Tìm quy luật, số hạng thứ 7 và số đứng ngay trước 15306.

Bài 7: Cho dãy 4, 23, 99, 403, ... Mỗi số sau được tạo từ số trước bằng cùng một phép nhân rồi cộng. Tìm quy luật, số hạng thứ 7 và số đứng ngay trước 103763.

Bài 8: Cho dãy 2, 8, 20, 44, ... Mỗi số sau được tạo từ số trước bằng cùng một phép nhân rồi cộng. Tìm quy luật, số hạng thứ 7 và số đứng ngay trước 764.

Bài 9: Cho dãy 1, 8, 22, 50, ... Mỗi số sau được tạo từ số trước bằng cùng một phép nhân rồi cộng. Tìm quy luật, số hạng thứ 7 và số đứng ngay trước 890.

Bài 10: Cho dãy 5, 27, 115, 467, ... Mỗi số sau được tạo từ số trước bằng cùng một phép nhân rồi cộng. Tìm quy luật, số hạng thứ 7 và số đứng ngay trước 120147.

Bài 11: Cho dãy 4, 17, 69, 277, ... Mỗi số sau được tạo từ số trước bằng cùng một phép nhân rồi cộng. Tìm quy luật, số hạng thứ 7 và số đứng ngay trước 70997.

Bài 12: Cho dãy 6, 20, 62, 188, ... Mỗi số sau được tạo từ số trước bằng cùng một phép nhân rồi cộng. Tìm quy luật, số hạng thứ 7 và số đứng ngay trước 15308.

Xem lời giải bài tập tự luyện

Lời giải chi tiết:

Bước 2: Tiếp tục quy luật: số hạng thứ 5, 6, 7 lần lượt là 484, 1456, 4372. Trong dãy cách đều, số khoảng bằng số số hạng trừ 1. Ta tìm đúng khoảng cách, số khoảng và số số hạng trước khi xác định một số hạng hoặc tính tổng dãy.

Đáp số: Số đứng ngay trước 13120 là (13120−4):3=4372.

Kiểm tra: Cuối cùng, thay kết quả vào các điều kiện ban đầu hoặc thực hiện phép tính ngược. Nếu tất cả dữ kiện đều được thỏa mãn thì lời giải và đáp số là hợp lí.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Thử quan hệ giữa hai số liên tiếp thấy: số sau = số trước × 3 + 6. Trong dãy cách đều, số khoảng bằng số số hạng trừ 1. Ta tìm đúng khoảng cách, số khoảng và số số hạng trước khi xác định một số hạng hoặc tính tổng dãy.

Bước 2: Tiếp tục quy luật: số hạng thứ 5, 6, 7 lần lượt là 321, 969, 2913. Trong dãy cách đều, số khoảng bằng số số hạng trừ 1. Ta tìm đúng khoảng cách, số khoảng và số số hạng trước khi xác định một số hạng hoặc tính tổng dãy.

Đáp số: Số đứng ngay trước 8745 là (8745−6):3=2913.

Lời giải chi tiết:

Bước 2: Tiếp tục quy luật: số hạng thứ 5, 6, 7 lần lượt là 726, 2184, 6558. Trong dãy cách đều, số khoảng bằng số số hạng trừ 1. Ta tìm đúng khoảng cách, số khoảng và số số hạng trước khi xác định một số hạng hoặc tính tổng dãy.

Đáp số: Số đứng ngay trước 19680 là (19680−6):3=6558.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Thử quan hệ giữa hai số liên tiếp thấy: số sau = số trước × 2 + 2. Trong dãy cách đều, số khoảng bằng số số hạng trừ 1. Ta tìm đúng khoảng cách, số khoảng và số số hạng trước khi xác định một số hạng hoặc tính tổng dãy.

Bước 2: Tiếp tục quy luật: số hạng thứ 5, 6, 7 lần lượt là 78, 158, 318. Trong dãy cách đều, số khoảng bằng số số hạng trừ 1. Ta tìm đúng khoảng cách, số khoảng và số số hạng trước khi xác định một số hạng hoặc tính tổng dãy.

Đáp số: Số đứng ngay trước 638 là (638−2):2=318.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Thử quan hệ giữa hai số liên tiếp thấy: số sau = số trước × 2 + 3. Trong dãy cách đều, số khoảng bằng số số hạng trừ 1. Ta tìm đúng khoảng cách, số khoảng và số số hạng trước khi xác định một số hạng hoặc tính tổng dãy.

Bước 2: Tiếp tục quy luật: số hạng thứ 5, 6, 7 lần lượt là 109, 221, 445. Trong dãy cách đều, số khoảng bằng số số hạng trừ 1. Ta tìm đúng khoảng cách, số khoảng và số số hạng trước khi xác định một số hạng hoặc tính tổng dãy.

Đáp số: Số đứng ngay trước 893 là (893−3):2=445.

Lời giải chi tiết:

Bước 2: Tiếp tục quy luật: số hạng thứ 5, 6, 7 lần lượt là 564, 1698, 5100. Trong dãy cách đều, số khoảng bằng số số hạng trừ 1. Ta tìm đúng khoảng cách, số khoảng và số số hạng trước khi xác định một số hạng hoặc tính tổng dãy.

Đáp số: Số đứng ngay trước 15306 là (15306−6):3=5100.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Thử quan hệ giữa hai số liên tiếp thấy: số sau = số trước × 4 + 7. Trong dãy cách đều, số khoảng bằng số số hạng trừ 1. Ta tìm đúng khoảng cách, số khoảng và số số hạng trước khi xác định một số hạng hoặc tính tổng dãy.

Bước 2: Tiếp tục quy luật: số hạng thứ 5, 6, 7 lần lượt là 1619, 6483, 25939. Trong dãy cách đều, số khoảng bằng số số hạng trừ 1. Ta tìm đúng khoảng cách, số khoảng và số số hạng trước khi xác định một số hạng hoặc tính tổng dãy.

Đáp số: Số đứng ngay trước 103763 là (103763−7):4=25939.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Thử quan hệ giữa hai số liên tiếp thấy: số sau = số trước × 2 + 4. Trong dãy cách đều, số khoảng bằng số số hạng trừ 1. Ta tìm đúng khoảng cách, số khoảng và số số hạng trước khi xác định một số hạng hoặc tính tổng dãy.

Bước 2: Tiếp tục quy luật: số hạng thứ 5, 6, 7 lần lượt là 92, 188, 380. Trong dãy cách đều, số khoảng bằng số số hạng trừ 1. Ta tìm đúng khoảng cách, số khoảng và số số hạng trước khi xác định một số hạng hoặc tính tổng dãy.

Đáp số: Số đứng ngay trước 764 là (764−4):2=380.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Thử quan hệ giữa hai số liên tiếp thấy: số sau = số trước × 2 + 6. Trong dãy cách đều, số khoảng bằng số số hạng trừ 1. Ta tìm đúng khoảng cách, số khoảng và số số hạng trước khi xác định một số hạng hoặc tính tổng dãy.

Bước 2: Tiếp tục quy luật: số hạng thứ 5, 6, 7 lần lượt là 106, 218, 442. Trong dãy cách đều, số khoảng bằng số số hạng trừ 1. Ta tìm đúng khoảng cách, số khoảng và số số hạng trước khi xác định một số hạng hoặc tính tổng dãy.

Đáp số: Số đứng ngay trước 890 là (890−6):2=442.

Lời giải chi tiết:

Bước 2: Tiếp tục quy luật: số hạng thứ 5, 6, 7 lần lượt là 1875, 7507, 30035. Trong dãy cách đều, số khoảng bằng số số hạng trừ 1. Ta tìm đúng khoảng cách, số khoảng và số số hạng trước khi xác định một số hạng hoặc tính tổng dãy.

Đáp số: Số đứng ngay trước 120147 là (120147−7):4=30035.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Thử quan hệ giữa hai số liên tiếp thấy: số sau = số trước × 4 + 1. Trong dãy cách đều, số khoảng bằng số số hạng trừ 1. Ta tìm đúng khoảng cách, số khoảng và số số hạng trước khi xác định một số hạng hoặc tính tổng dãy.

Bước 2: Tiếp tục quy luật: số hạng thứ 5, 6, 7 lần lượt là 1109, 4437, 17749. Trong dãy cách đều, số khoảng bằng số số hạng trừ 1. Ta tìm đúng khoảng cách, số khoảng và số số hạng trước khi xác định một số hạng hoặc tính tổng dãy.

Đáp số: Số đứng ngay trước 70997 là (70997−1):4=17749.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Thử quan hệ giữa hai số liên tiếp thấy: số sau = số trước × 3 + 2. Trong dãy cách đều, số khoảng bằng số số hạng trừ 1. Ta tìm đúng khoảng cách, số khoảng và số số hạng trước khi xác định một số hạng hoặc tính tổng dãy.

Bước 2: Tiếp tục quy luật: số hạng thứ 5, 6, 7 lần lượt là 566, 1700, 5102. Trong dãy cách đều, số khoảng bằng số số hạng trừ 1. Ta tìm đúng khoảng cách, số khoảng và số số hạng trước khi xác định một số hạng hoặc tính tổng dãy.

Đáp số: Số đứng ngay trước 15308 là (15308−2):3=5102.

Tổng kết bài học

Ghi nhớ và tự kiểm tra

Trọng tâm của bài là nhận ra cấu trúc ẩn trong dạng Dãy số có quy luật nhân và chia.
Không làm theo phép tính máy móc; cần giải thích vì sao chọn cách làm.
Mọi đáp số phải được kiểm tra lại với toàn bộ dữ kiện của đề.

Câu hỏi tự kiểm tra

Em có tách được từng điều kiện và xác định thứ tự xử lí không?
Em có trình bày đủ các kết quả trung gian không?
Em có kiểm tra lại đáp số bằng điều kiện ban đầu hoặc một cách khác không?