Khối lập phương được sơn mặt

Học xong bài này

Mục tiêu bài học

Nhận dạng đúng dữ kiện và phương pháp của chuyên đề “Khối lập phương được sơn mặt”.
Đọc đúng các kích thước của hình hộp, hình lập phương hoặc khối ghép; phân biệt diện tích với thể tích.
Biết tách khối theo mặt, theo lớp hoặc theo các khối nhỏ để kiểm soát từng bước tính.

Nắm chắc trước khi làm bài

Kiến thức cần nhớ

Hình lập phương có 6 mặt vuông bằng nhau, 12 cạnh bằng nhau và 8 đỉnh.
Diện tích một mặt bằng cạnh nhân cạnh; diện tích toàn phần bằng diện tích một mặt nhân 6.
Thể tích bằng cạnh nhân cạnh nhân cạnh.
Khi ghép từ khối nhỏ, cần xét cả những khối bị che khuất.

Quan sát cách làm

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Một khối hộp 5×7×3 khối lập phương nhỏ được sơn cả sáu mặt ngoài rồi tách ra. Có bao nhiêu khối nhỏ được sơn 3 mặt, 2 mặt, 1 mặt và không được sơn mặt nào?

Hướng dẫn giải chi tiết:

Bước 1: 8 khối ở các đỉnh được sơn 3 mặt; các khối trên cạnh nhưng không ở đỉnh được sơn 2 mặt: 4×[(5−2)+(7−2)+(3−2)]=36. Cần phân biệt độ dài, diện tích mặt và thể tích.

Bước 2: Các khối trong lòng mỗi mặt được sơn 1 mặt: 2×[(5−2)(7−2)+(5−2)(3−2)+(7−2)(3−2)]=46. Cần phân biệt độ dài, diện tích mặt và thể tích.

Kết luận: Khối không sơn = (5−2)(7−2)(3−2)=15. Kiểm tra tổng: 8+36+46+15=105.

Ví dụ 2: Một khối hộp 8×4×5 khối lập phương nhỏ được sơn cả sáu mặt ngoài rồi tách ra. Có bao nhiêu khối nhỏ được sơn 3 mặt, 2 mặt, 1 mặt và không được sơn mặt nào?

Hướng dẫn giải chi tiết:

Bước 1: 8 khối ở các đỉnh được sơn 3 mặt; các khối trên cạnh nhưng không ở đỉnh được sơn 2 mặt: 4×[(8−2)+(4−2)+(5−2)]=44. Cần phân biệt độ dài, diện tích mặt và thể tích.

Bước 2: Các khối trong lòng mỗi mặt được sơn 1 mặt: 2×[(8−2)(4−2)+(8−2)(5−2)+(4−2)(5−2)]=72. Cần phân biệt độ dài, diện tích mặt và thể tích.

Kết luận: Khối không sơn = (8−2)(4−2)(5−2)=36. Kiểm tra tổng: 8+44+72+36=160.

Ví dụ 3: Một khối hộp 5×4×6 khối lập phương nhỏ được sơn cả sáu mặt ngoài rồi tách ra. Có bao nhiêu khối nhỏ được sơn 3 mặt, 2 mặt, 1 mặt và không được sơn mặt nào?

Hướng dẫn giải chi tiết:

Bước 1: 8 khối ở các đỉnh được sơn 3 mặt; các khối trên cạnh nhưng không ở đỉnh được sơn 2 mặt: 4×[(5−2)+(4−2)+(6−2)]=36. Cần phân biệt độ dài, diện tích mặt và thể tích.

Bước 2: Các khối trong lòng mỗi mặt được sơn 1 mặt: 2×[(5−2)(4−2)+(5−2)(6−2)+(4−2)(6−2)]=52. Cần phân biệt độ dài, diện tích mặt và thể tích.

Kết luận: Khối không sơn = (5−2)(4−2)(6−2)=24. Kiểm tra tổng: 8+36+52+24=120.

Luyện ngay sau ví dụ

Bài tập áp dụng

Bài 1: Một khối hộp 4×6×4 khối lập phương nhỏ được sơn cả sáu mặt ngoài rồi tách ra. Có bao nhiêu khối nhỏ được sơn 3 mặt, 2 mặt, 1 mặt và không được sơn mặt nào?

Bài 2: Một khối hộp 5×3×3 khối lập phương nhỏ được sơn cả sáu mặt ngoài rồi tách ra. Có bao nhiêu khối nhỏ được sơn 3 mặt, 2 mặt, 1 mặt và không được sơn mặt nào?

Bài 3: Một khối hộp 5×4×5 khối lập phương nhỏ được sơn cả sáu mặt ngoài rồi tách ra. Có bao nhiêu khối nhỏ được sơn 3 mặt, 2 mặt, 1 mặt và không được sơn mặt nào?

Bài 4: Một khối hộp 6×6×4 khối lập phương nhỏ được sơn cả sáu mặt ngoài rồi tách ra. Có bao nhiêu khối nhỏ được sơn 3 mặt, 2 mặt, 1 mặt và không được sơn mặt nào?

Bài 5: Một khối hộp 5×6×6 khối lập phương nhỏ được sơn cả sáu mặt ngoài rồi tách ra. Có bao nhiêu khối nhỏ được sơn 3 mặt, 2 mặt, 1 mặt và không được sơn mặt nào?

Xem lời giải

Lời giải:

8 khối ở các đỉnh được sơn 3 mặt; các khối trên cạnh nhưng không ở đỉnh được sơn 2 mặt: 4×[(4−2)+(6−2)+(4−2)]=32.

Các khối trong lòng mỗi mặt được sơn 1 mặt: 2×[(4−2)(6−2)+(4−2)(4−2)+(6−2)(4−2)]=40.

Đáp số: Khối không sơn = (4−2)(6−2)(4−2)=16. Kiểm tra tổng: 8+32+40+16=96.

Lời giải:

8 khối ở các đỉnh được sơn 3 mặt; các khối trên cạnh nhưng không ở đỉnh được sơn 2 mặt: 4×[(5−2)+(3−2)+(3−2)]=20.

Các khối trong lòng mỗi mặt được sơn 1 mặt: 2×[(5−2)(3−2)+(5−2)(3−2)+(3−2)(3−2)]=14.

Đáp số: Khối không sơn = (5−2)(3−2)(3−2)=3. Kiểm tra tổng: 8+20+14+3=45.

Lời giải:

8 khối ở các đỉnh được sơn 3 mặt; các khối trên cạnh nhưng không ở đỉnh được sơn 2 mặt: 4×[(5−2)+(4−2)+(5−2)]=32.

Các khối trong lòng mỗi mặt được sơn 1 mặt: 2×[(5−2)(4−2)+(5−2)(5−2)+(4−2)(5−2)]=42.

Đáp số: Khối không sơn = (5−2)(4−2)(5−2)=18. Kiểm tra tổng: 8+32+42+18=100.

Lời giải:

8 khối ở các đỉnh được sơn 3 mặt; các khối trên cạnh nhưng không ở đỉnh được sơn 2 mặt: 4×[(6−2)+(6−2)+(4−2)]=40.

Các khối trong lòng mỗi mặt được sơn 1 mặt: 2×[(6−2)(6−2)+(6−2)(4−2)+(6−2)(4−2)]=64.

Đáp số: Khối không sơn = (6−2)(6−2)(4−2)=32. Kiểm tra tổng: 8+40+64+32=144.

Lời giải:

8 khối ở các đỉnh được sơn 3 mặt; các khối trên cạnh nhưng không ở đỉnh được sơn 2 mặt: 4×[(5−2)+(6−2)+(6−2)]=44.

Các khối trong lòng mỗi mặt được sơn 1 mặt: 2×[(5−2)(6−2)+(5−2)(6−2)+(6−2)(6−2)]=80.

Đáp số: Khối không sơn = (5−2)(6−2)(6−2)=48. Kiểm tra tổng: 8+44+80+48=180.

Tự kiểm tra mức độ thành thạo

Bài tập tự luyện

Bài 1: Một khối hộp 8×5×6 khối lập phương nhỏ được sơn cả sáu mặt ngoài rồi tách ra. Có bao nhiêu khối nhỏ được sơn 3 mặt, 2 mặt, 1 mặt và không được sơn mặt nào?

Bài 2: Một khối hộp 3×7×4 khối lập phương nhỏ được sơn cả sáu mặt ngoài rồi tách ra. Có bao nhiêu khối nhỏ được sơn 3 mặt, 2 mặt, 1 mặt và không được sơn mặt nào?

Bài 3: Một khối hộp 7×8×7 khối lập phương nhỏ được sơn cả sáu mặt ngoài rồi tách ra. Có bao nhiêu khối nhỏ được sơn 3 mặt, 2 mặt, 1 mặt và không được sơn mặt nào?

Bài 4: Một khối hộp 4×5×5 khối lập phương nhỏ được sơn cả sáu mặt ngoài rồi tách ra. Có bao nhiêu khối nhỏ được sơn 3 mặt, 2 mặt, 1 mặt và không được sơn mặt nào?

Bài 5: Một khối hộp 5×4×4 khối lập phương nhỏ được sơn cả sáu mặt ngoài rồi tách ra. Có bao nhiêu khối nhỏ được sơn 3 mặt, 2 mặt, 1 mặt và không được sơn mặt nào?

Bài 6: Một khối hộp 6×6×3 khối lập phương nhỏ được sơn cả sáu mặt ngoài rồi tách ra. Có bao nhiêu khối nhỏ được sơn 3 mặt, 2 mặt, 1 mặt và không được sơn mặt nào?

Bài 7: Một khối hộp 6×7×5 khối lập phương nhỏ được sơn cả sáu mặt ngoài rồi tách ra. Có bao nhiêu khối nhỏ được sơn 3 mặt, 2 mặt, 1 mặt và không được sơn mặt nào?

Bài 8: Một khối hộp 7×8×8 khối lập phương nhỏ được sơn cả sáu mặt ngoài rồi tách ra. Có bao nhiêu khối nhỏ được sơn 3 mặt, 2 mặt, 1 mặt và không được sơn mặt nào?

Bài 9: Một khối hộp 6×5×7 khối lập phương nhỏ được sơn cả sáu mặt ngoài rồi tách ra. Có bao nhiêu khối nhỏ được sơn 3 mặt, 2 mặt, 1 mặt và không được sơn mặt nào?

Bài 10: Một khối hộp 3×3×8 khối lập phương nhỏ được sơn cả sáu mặt ngoài rồi tách ra. Có bao nhiêu khối nhỏ được sơn 3 mặt, 2 mặt, 1 mặt và không được sơn mặt nào?

Bài 11: Một khối hộp 7×5×3 khối lập phương nhỏ được sơn cả sáu mặt ngoài rồi tách ra. Có bao nhiêu khối nhỏ được sơn 3 mặt, 2 mặt, 1 mặt và không được sơn mặt nào?

Bài 12: Một khối hộp 3×7×3 khối lập phương nhỏ được sơn cả sáu mặt ngoài rồi tách ra. Có bao nhiêu khối nhỏ được sơn 3 mặt, 2 mặt, 1 mặt và không được sơn mặt nào?

Xem lời giải bài tập tự luyện

Lời giải chi tiết:

Bước 1: 8 khối ở các đỉnh được sơn 3 mặt; các khối trên cạnh nhưng không ở đỉnh được sơn 2 mặt: 4×[(8−2)+(5−2)+(6−2)]=52. Cần phân biệt độ dài, diện tích mặt và thể tích.

Bước 2: Các khối trong lòng mỗi mặt được sơn 1 mặt: 2×[(8−2)(5−2)+(8−2)(6−2)+(5−2)(6−2)]=108. Cần phân biệt độ dài, diện tích mặt và thể tích.

Đáp số: Khối không sơn = (8−2)(5−2)(6−2)=72. Kiểm tra tổng: 8+52+108+72=240.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: 8 khối ở các đỉnh được sơn 3 mặt; các khối trên cạnh nhưng không ở đỉnh được sơn 2 mặt: 4×[(3−2)+(7−2)+(4−2)]=32. Cần phân biệt độ dài, diện tích mặt và thể tích.

Bước 2: Các khối trong lòng mỗi mặt được sơn 1 mặt: 2×[(3−2)(7−2)+(3−2)(4−2)+(7−2)(4−2)]=34. Cần phân biệt độ dài, diện tích mặt và thể tích.

Đáp số: Khối không sơn = (3−2)(7−2)(4−2)=10. Kiểm tra tổng: 8+32+34+10=84.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: 8 khối ở các đỉnh được sơn 3 mặt; các khối trên cạnh nhưng không ở đỉnh được sơn 2 mặt: 4×[(7−2)+(8−2)+(7−2)]=64. Cần phân biệt độ dài, diện tích mặt và thể tích.

Bước 2: Các khối trong lòng mỗi mặt được sơn 1 mặt: 2×[(7−2)(8−2)+(7−2)(7−2)+(8−2)(7−2)]=170. Cần phân biệt độ dài, diện tích mặt và thể tích.

Đáp số: Khối không sơn = (7−2)(8−2)(7−2)=150. Kiểm tra tổng: 8+64+170+150=392.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: 8 khối ở các đỉnh được sơn 3 mặt; các khối trên cạnh nhưng không ở đỉnh được sơn 2 mặt: 4×[(4−2)+(5−2)+(5−2)]=32. Cần phân biệt độ dài, diện tích mặt và thể tích.

Bước 2: Các khối trong lòng mỗi mặt được sơn 1 mặt: 2×[(4−2)(5−2)+(4−2)(5−2)+(5−2)(5−2)]=42. Cần phân biệt độ dài, diện tích mặt và thể tích.

Đáp số: Khối không sơn = (4−2)(5−2)(5−2)=18. Kiểm tra tổng: 8+32+42+18=100.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: 8 khối ở các đỉnh được sơn 3 mặt; các khối trên cạnh nhưng không ở đỉnh được sơn 2 mặt: 4×[(5−2)+(4−2)+(4−2)]=28. Cần phân biệt độ dài, diện tích mặt và thể tích.

Bước 2: Các khối trong lòng mỗi mặt được sơn 1 mặt: 2×[(5−2)(4−2)+(5−2)(4−2)+(4−2)(4−2)]=32. Cần phân biệt độ dài, diện tích mặt và thể tích.

Đáp số: Khối không sơn = (5−2)(4−2)(4−2)=12. Kiểm tra tổng: 8+28+32+12=80.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: 8 khối ở các đỉnh được sơn 3 mặt; các khối trên cạnh nhưng không ở đỉnh được sơn 2 mặt: 4×[(6−2)+(6−2)+(3−2)]=36. Cần phân biệt độ dài, diện tích mặt và thể tích.

Bước 2: Các khối trong lòng mỗi mặt được sơn 1 mặt: 2×[(6−2)(6−2)+(6−2)(3−2)+(6−2)(3−2)]=48. Cần phân biệt độ dài, diện tích mặt và thể tích.

Đáp số: Khối không sơn = (6−2)(6−2)(3−2)=16. Kiểm tra tổng: 8+36+48+16=108.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: 8 khối ở các đỉnh được sơn 3 mặt; các khối trên cạnh nhưng không ở đỉnh được sơn 2 mặt: 4×[(6−2)+(7−2)+(5−2)]=48. Cần phân biệt độ dài, diện tích mặt và thể tích.

Bước 2: Các khối trong lòng mỗi mặt được sơn 1 mặt: 2×[(6−2)(7−2)+(6−2)(5−2)+(7−2)(5−2)]=94. Cần phân biệt độ dài, diện tích mặt và thể tích.

Đáp số: Khối không sơn = (6−2)(7−2)(5−2)=60. Kiểm tra tổng: 8+48+94+60=210.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: 8 khối ở các đỉnh được sơn 3 mặt; các khối trên cạnh nhưng không ở đỉnh được sơn 2 mặt: 4×[(7−2)+(8−2)+(8−2)]=68. Cần phân biệt độ dài, diện tích mặt và thể tích.

Bước 2: Các khối trong lòng mỗi mặt được sơn 1 mặt: 2×[(7−2)(8−2)+(7−2)(8−2)+(8−2)(8−2)]=192. Cần phân biệt độ dài, diện tích mặt và thể tích.

Đáp số: Khối không sơn = (7−2)(8−2)(8−2)=180. Kiểm tra tổng: 8+68+192+180=448.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: 8 khối ở các đỉnh được sơn 3 mặt; các khối trên cạnh nhưng không ở đỉnh được sơn 2 mặt: 4×[(6−2)+(5−2)+(7−2)]=48. Cần phân biệt độ dài, diện tích mặt và thể tích.

Bước 2: Các khối trong lòng mỗi mặt được sơn 1 mặt: 2×[(6−2)(5−2)+(6−2)(7−2)+(5−2)(7−2)]=94. Cần phân biệt độ dài, diện tích mặt và thể tích.

Đáp số: Khối không sơn = (6−2)(5−2)(7−2)=60. Kiểm tra tổng: 8+48+94+60=210.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: 8 khối ở các đỉnh được sơn 3 mặt; các khối trên cạnh nhưng không ở đỉnh được sơn 2 mặt: 4×[(3−2)+(3−2)+(8−2)]=32. Cần phân biệt độ dài, diện tích mặt và thể tích.

Bước 2: Các khối trong lòng mỗi mặt được sơn 1 mặt: 2×[(3−2)(3−2)+(3−2)(8−2)+(3−2)(8−2)]=26. Cần phân biệt độ dài, diện tích mặt và thể tích.

Đáp số: Khối không sơn = (3−2)(3−2)(8−2)=6. Kiểm tra tổng: 8+32+26+6=72.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: 8 khối ở các đỉnh được sơn 3 mặt; các khối trên cạnh nhưng không ở đỉnh được sơn 2 mặt: 4×[(7−2)+(5−2)+(3−2)]=36. Cần phân biệt độ dài, diện tích mặt và thể tích.

Bước 2: Các khối trong lòng mỗi mặt được sơn 1 mặt: 2×[(7−2)(5−2)+(7−2)(3−2)+(5−2)(3−2)]=46. Cần phân biệt độ dài, diện tích mặt và thể tích.

Đáp số: Khối không sơn = (7−2)(5−2)(3−2)=15. Kiểm tra tổng: 8+36+46+15=105.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: 8 khối ở các đỉnh được sơn 3 mặt; các khối trên cạnh nhưng không ở đỉnh được sơn 2 mặt: 4×[(3−2)+(7−2)+(3−2)]=28. Cần phân biệt độ dài, diện tích mặt và thể tích.

Bước 2: Các khối trong lòng mỗi mặt được sơn 1 mặt: 2×[(3−2)(7−2)+(3−2)(3−2)+(7−2)(3−2)]=22. Cần phân biệt độ dài, diện tích mặt và thể tích.

Đáp số: Khối không sơn = (3−2)(7−2)(3−2)=5. Kiểm tra tổng: 8+28+22+5=63.

Bài 13: Khối lập phương 4 × 4 × 4 khối nhỏ được sơn 6 mặt ngoài. Có bao nhiêu khối nhỏ có ít nhất một mặt sơn?

Lời giải

Tổng 64 khối; bên trong không sơn 8 khối. Có 56 khối có ít nhất một mặt sơn.

Bài 14: Khối lập phương 5 × 5 × 5 khối nhỏ được sơn 6 mặt ngoài. Có bao nhiêu khối nhỏ có ít nhất một mặt sơn?

Lời giải

Tổng 125 khối; bên trong không sơn 27 khối. Có 98 khối có ít nhất một mặt sơn.

Bài 15: Khối lập phương 6 × 6 × 6 khối nhỏ được sơn 6 mặt ngoài. Có bao nhiêu khối nhỏ có ít nhất một mặt sơn?

Lời giải

Tổng 216 khối; bên trong không sơn 64 khối. Có 152 khối có ít nhất một mặt sơn.

Chốt lại kiến thức

Ghi nhớ

Hình lập phương có 6 mặt vuông bằng nhau, 12 cạnh bằng nhau và 8 đỉnh.
Diện tích một mặt bằng cạnh nhân cạnh; diện tích toàn phần bằng diện tích một mặt nhân 6.
Thể tích bằng cạnh nhân cạnh nhân cạnh.