Mục tiêu bài học
- Nhận biết và xử lí các biến đổi nâng cao của dạng Nhiều người cùng làm một công việc.
- Biết phân tích dữ kiện ẩn, lựa chọn phương pháp ngắn gọn và kiểm tra kết quả.
Kiến thức cần nhớ
- Công việc = năng suất × thời gian.
- Nếu coi toàn bộ công việc là 1 thì năng suất một giờ là một phân số của công việc.
- Năng suất làm chung bằng tổng năng suất của các người hoặc máy đang cùng hoạt động.
- Năng suất làm chung bằng tổng các phân số công việc mỗi giờ.
Ví dụ minh họa
Phương pháp chung
- Đọc kĩ đề, gạch dưới dữ kiện và xác định chính xác yêu cầu cuối cùng.
- Ta coi toàn bộ công việc là một đơn vị hoặc một số phần bằng nhau, rồi xác định phần công việc mỗi người hay mỗi vòi hoàn thành trong một đơn vị thời gian.
- Trình bày từng kết quả trung gian, giải thích ý nghĩa của phép tính và kiểm tra lại kết luận.
Ví dụ 1: Ba người nếu làm riêng lần lượt cần 12, 10, 8 giờ. Cùng làm thì sau 2 giờ hoàn thành bao nhiêu phần công việc và cần thêm bao lâu để xong?
Hướng dẫn giải chi tiết:
Phân tích đề: Ta coi toàn bộ công việc là một đơn vị hoặc một số phần bằng nhau, rồi xác định phần công việc mỗi người hay mỗi vòi hoàn thành trong một đơn vị thời gian.
Bước 1: Năng suất chung mỗi giờ là 112+110+18=37120. Coi toàn bộ công việc hoặc cả bể là một đơn vị. Phần làm được trong một giờ là năng suất; khi cùng làm thì cộng các phần công việc, còn có vòi tháo ra thì phải trừ phần bị tháo.
Vì sao làm như vậy: Năng suất cho biết trong một đơn vị thời gian hoàn thành được bao nhiêu phần công việc.
Bước 2: Sau 2 giờ hoàn thành 3760, còn 2360. Coi toàn bộ công việc hoặc cả bể là một đơn vị. Phần làm được trong một giờ là năng suất; khi cùng làm thì cộng các phần công việc, còn có vòi tháo ra thì phải trừ phần bị tháo.
Vì sao làm như vậy: Khi cùng làm, các phần công việc hoàn thành trong cùng một thời gian được cộng lại; khi có vòi tháo hoặc phần việc bị giảm thì phải trừ.
Ý nghĩa của kết quả: Thời gian tìm được phải dương và hợp lí so với thời gian làm riêng của từng người hoặc từng máy.
Kết luận: Thời gian làm thêm là 2360:37120=4637 giờ.
Kiểm tra: Nhân năng suất chung với thời gian vừa tìm để xem có hoàn thành đúng toàn bộ công việc hay không.
Ví dụ 2: Ba người nếu làm riêng lần lượt cần 10, 20, 18 giờ. Cùng làm thì sau 2 giờ hoàn thành bao nhiêu phần công việc và cần thêm bao lâu để xong?
Hướng dẫn giải chi tiết:
Bước 1: Năng suất chung mỗi giờ là 110+120+118=37180. Coi toàn bộ công việc hoặc cả bể là một đơn vị. Phần làm được trong một giờ là năng suất; khi cùng làm thì cộng các phần công việc, còn có vòi tháo ra thì phải trừ phần bị tháo.
Bước 2: Sau 2 giờ hoàn thành 3790, còn 5390. Coi toàn bộ công việc hoặc cả bể là một đơn vị. Phần làm được trong một giờ là năng suất; khi cùng làm thì cộng các phần công việc, còn có vòi tháo ra thì phải trừ phần bị tháo.
Kết luận: Thời gian làm thêm là 5390:37180=10637 giờ.
Ví dụ 3: Ba người nếu làm riêng lần lượt cần 20, 12, 24 giờ. Cùng làm thì sau 2 giờ hoàn thành bao nhiêu phần công việc và cần thêm bao lâu để xong?
Hướng dẫn giải chi tiết:
Bước 1: Năng suất chung mỗi giờ là 120+112+124=740. Coi toàn bộ công việc hoặc cả bể là một đơn vị. Phần làm được trong một giờ là năng suất; khi cùng làm thì cộng các phần công việc, còn có vòi tháo ra thì phải trừ phần bị tháo.
Bước 2: Sau 2 giờ hoàn thành 720, còn 1320. Coi toàn bộ công việc hoặc cả bể là một đơn vị. Phần làm được trong một giờ là năng suất; khi cùng làm thì cộng các phần công việc, còn có vòi tháo ra thì phải trừ phần bị tháo.
Kết luận: Thời gian làm thêm là 1320:740=267 giờ.
Bài tập áp dụng
Bài 1: Ba người nếu làm riêng lần lượt cần 18, 20, 6 giờ. Cùng làm thì sau 2 giờ hoàn thành bao nhiêu phần công việc và cần thêm bao lâu để xong?
Bài 2: Ba người nếu làm riêng lần lượt cần 6, 12, 30 giờ. Cùng làm thì sau 2 giờ hoàn thành bao nhiêu phần công việc và cần thêm bao lâu để xong?
Bài 3: Ba người nếu làm riêng lần lượt cần 18, 8, 20 giờ. Cùng làm thì sau 2 giờ hoàn thành bao nhiêu phần công việc và cần thêm bao lâu để xong?
Bài 4: Ba người nếu làm riêng lần lượt cần 10, 18, 15 giờ. Cùng làm thì sau 2 giờ hoàn thành bao nhiêu phần công việc và cần thêm bao lâu để xong?
Bài 5: Ba người nếu làm riêng lần lượt cần 20, 30, 18 giờ. Cùng làm thì sau 2 giờ hoàn thành bao nhiêu phần công việc và cần thêm bao lâu để xong?
Xem lời giải
Bài 1: Ba người nếu làm riêng lần lượt cần 18, 20, 6 giờ. Cùng làm thì sau 2 giờ hoàn thành bao nhiêu phần công việc và cần thêm bao lâu để xong?
Lời giải:
Trước hết, ta xác định năng suất trong một đơn vị thời gian của từng đối tượng, rồi cộng hoặc trừ để tìm năng suất chung.
Năng suất chung mỗi giờ là 118+120+16=49180.
Kết quả này cho biết trong một giờ hoặc một ngày, nhóm hoàn thành được bao nhiêu phần công việc.
Sau 2 giờ hoàn thành 4990, còn 4190.
Lấy toàn bộ công việc chia cho năng suất chung để tìm thời gian, sau đó kiểm tra lại phần công việc đã hoàn thành.
Từ các kết quả trên, ta trả lời đầy đủ yêu cầu của bài toán và ghi đáp số kèm đơn vị (nếu có).
Đáp số: Thời gian làm thêm là 4190:49180=8249 giờ.
Bài 2: Ba người nếu làm riêng lần lượt cần 6, 12, 30 giờ. Cùng làm thì sau 2 giờ hoàn thành bao nhiêu phần công việc và cần thêm bao lâu để xong?
Lời giải:
Năng suất chung mỗi giờ là 16+112+130=1760.
Kết quả này cho biết trong một giờ hoặc một ngày, nhóm hoàn thành được bao nhiêu phần công việc.
Sau 2 giờ hoàn thành 1730, còn 1330.
Từ các kết quả trên, ta trả lời đầy đủ yêu cầu của bài toán và ghi đáp số kèm đơn vị (nếu có).
Đáp số: Thời gian làm thêm là 1330:1760=2617 giờ.
Bài 3: Ba người nếu làm riêng lần lượt cần 18, 8, 20 giờ. Cùng làm thì sau 2 giờ hoàn thành bao nhiêu phần công việc và cần thêm bao lâu để xong?
Lời giải:
Năng suất chung mỗi giờ là 118+18+120=83360.
Kết quả này cho biết trong một giờ hoặc một ngày, nhóm hoàn thành được bao nhiêu phần công việc.
Sau 2 giờ hoàn thành 83180, còn 97180.
Từ các kết quả trên, ta trả lời đầy đủ yêu cầu của bài toán và ghi đáp số kèm đơn vị (nếu có).
Đáp số: Thời gian làm thêm là 97180:83360=19483 giờ.
Bài 4: Ba người nếu làm riêng lần lượt cần 10, 18, 15 giờ. Cùng làm thì sau 2 giờ hoàn thành bao nhiêu phần công việc và cần thêm bao lâu để xong?
Lời giải:
Năng suất chung mỗi giờ là 110+118+115=29.
Kết quả này cho biết trong một giờ hoặc một ngày, nhóm hoàn thành được bao nhiêu phần công việc.
Sau 2 giờ hoàn thành 49, còn 59.
Từ các kết quả trên, ta trả lời đầy đủ yêu cầu của bài toán và ghi đáp số kèm đơn vị (nếu có).
Đáp số: Thời gian làm thêm là 59:29=52 giờ.
Bài 5: Ba người nếu làm riêng lần lượt cần 20, 30, 18 giờ. Cùng làm thì sau 2 giờ hoàn thành bao nhiêu phần công việc và cần thêm bao lâu để xong?
Lời giải:
Năng suất chung mỗi giờ là 120+130+118=536.
Kết quả này cho biết trong một giờ hoặc một ngày, nhóm hoàn thành được bao nhiêu phần công việc.
Sau 2 giờ hoàn thành 518, còn 1318.
Từ các kết quả trên, ta trả lời đầy đủ yêu cầu của bài toán và ghi đáp số kèm đơn vị (nếu có).
Đáp số: Thời gian làm thêm là 1318:536=265 giờ.
Bài tập tự luyện
Bài 1: Ba người nếu làm riêng lần lượt cần 15, 10, 20 giờ. Cùng làm thì sau 2 giờ hoàn thành bao nhiêu phần công việc và cần thêm bao lâu để xong?
Bài 2: Ba người nếu làm riêng lần lượt cần 20, 24, 10 giờ. Cùng làm thì sau 2 giờ hoàn thành bao nhiêu phần công việc và cần thêm bao lâu để xong?
Bài 3: Ba người nếu làm riêng lần lượt cần 6, 20, 24 giờ. Cùng làm thì sau 2 giờ hoàn thành bao nhiêu phần công việc và cần thêm bao lâu để xong?
Bài 4: Ba người nếu làm riêng lần lượt cần 20, 30, 24 giờ. Cùng làm thì sau 2 giờ hoàn thành bao nhiêu phần công việc và cần thêm bao lâu để xong?
Bài 5: Ba người nếu làm riêng lần lượt cần 30, 12, 10 giờ. Cùng làm thì sau 2 giờ hoàn thành bao nhiêu phần công việc và cần thêm bao lâu để xong?
Bài 6: Ba người nếu làm riêng lần lượt cần 10, 18, 12 giờ. Cùng làm thì sau 2 giờ hoàn thành bao nhiêu phần công việc và cần thêm bao lâu để xong?
Bài 7: Ba người nếu làm riêng lần lượt cần 8, 18, 30 giờ. Cùng làm thì sau 2 giờ hoàn thành bao nhiêu phần công việc và cần thêm bao lâu để xong?
Bài 8: Ba người nếu làm riêng lần lượt cần 8, 18, 10 giờ. Cùng làm thì sau 2 giờ hoàn thành bao nhiêu phần công việc và cần thêm bao lâu để xong?
Bài 9: Ba người nếu làm riêng lần lượt cần 8, 18, 12 giờ. Cùng làm thì sau 2 giờ hoàn thành bao nhiêu phần công việc và cần thêm bao lâu để xong?
Bài 10: Ba người nếu làm riêng lần lượt cần 20, 8, 10 giờ. Cùng làm thì sau 2 giờ hoàn thành bao nhiêu phần công việc và cần thêm bao lâu để xong?
Bài 11: Ba người nếu làm riêng lần lượt cần 24, 20, 30 giờ. Cùng làm thì sau 2 giờ hoàn thành bao nhiêu phần công việc và cần thêm bao lâu để xong?
Bài 12: Ba người nếu làm riêng lần lượt cần 6, 15, 10 giờ. Cùng làm thì sau 2 giờ hoàn thành bao nhiêu phần công việc và cần thêm bao lâu để xong?
Bài 13: Ba người nếu làm riêng lần lượt cần 12 giờ, 18 giờ và 36 giờ. Cả ba cùng làm thì bao lâu xong?
Bài 14: Ba người nếu làm riêng lần lượt cần 8 giờ, 12 giờ và 24 giờ. Cùng làm 1 giờ được bao nhiêu phần công việc?
Bài 15: Ba người nếu làm riêng lần lượt cần 10 giờ, 15 giờ và 30 giờ. Cùng làm 2 giờ rồi tiếp tục cùng làm. Cần thêm bao lâu để xong?
Xem lời giải bài tập tự luyện
Bài 1: Ba người nếu làm riêng lần lượt cần 15, 10, 20 giờ. Cùng làm thì sau 2 giờ hoàn thành bao nhiêu phần công việc và cần thêm bao lâu để xong?
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Năng suất chung mỗi giờ là 115+110+120=1360. Coi toàn bộ công việc hoặc cả bể là một đơn vị. Phần làm được trong một giờ là năng suất; khi cùng làm thì cộng các phần công việc, còn có vòi tháo ra thì phải trừ phần bị tháo.
Bước 2: Sau 2 giờ hoàn thành 1330, còn 1730. Coi toàn bộ công việc hoặc cả bể là một đơn vị. Phần làm được trong một giờ là năng suất; khi cùng làm thì cộng các phần công việc, còn có vòi tháo ra thì phải trừ phần bị tháo.
Đáp số: Thời gian làm thêm là 1730:1360=3413 giờ.
Kiểm tra: Thay kết quả vừa tìm vào quan hệ ban đầu để kiểm tra quãng đường, thời gian hoặc phần công việc có khớp với đề bài hay không.
Bài 2: Ba người nếu làm riêng lần lượt cần 20, 24, 10 giờ. Cùng làm thì sau 2 giờ hoàn thành bao nhiêu phần công việc và cần thêm bao lâu để xong?
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Năng suất chung mỗi giờ là 120+124+110=23120. Coi toàn bộ công việc hoặc cả bể là một đơn vị. Phần làm được trong một giờ là năng suất; khi cùng làm thì cộng các phần công việc, còn có vòi tháo ra thì phải trừ phần bị tháo.
Bước 2: Sau 2 giờ hoàn thành 2360, còn 3760. Coi toàn bộ công việc hoặc cả bể là một đơn vị. Phần làm được trong một giờ là năng suất; khi cùng làm thì cộng các phần công việc, còn có vòi tháo ra thì phải trừ phần bị tháo.
Đáp số: Thời gian làm thêm là 3760:23120=7423 giờ.
Bài 3: Ba người nếu làm riêng lần lượt cần 6, 20, 24 giờ. Cùng làm thì sau 2 giờ hoàn thành bao nhiêu phần công việc và cần thêm bao lâu để xong?
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Năng suất chung mỗi giờ là 16+120+124=31120. Coi toàn bộ công việc hoặc cả bể là một đơn vị. Phần làm được trong một giờ là năng suất; khi cùng làm thì cộng các phần công việc, còn có vòi tháo ra thì phải trừ phần bị tháo.
Bước 2: Sau 2 giờ hoàn thành 3160, còn 2960. Coi toàn bộ công việc hoặc cả bể là một đơn vị. Phần làm được trong một giờ là năng suất; khi cùng làm thì cộng các phần công việc, còn có vòi tháo ra thì phải trừ phần bị tháo.
Đáp số: Thời gian làm thêm là 2960:31120=5831 giờ.
Bài 4: Ba người nếu làm riêng lần lượt cần 20, 30, 24 giờ. Cùng làm thì sau 2 giờ hoàn thành bao nhiêu phần công việc và cần thêm bao lâu để xong?
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Năng suất chung mỗi giờ là 120+130+124=18. Coi toàn bộ công việc hoặc cả bể là một đơn vị. Phần làm được trong một giờ là năng suất; khi cùng làm thì cộng các phần công việc, còn có vòi tháo ra thì phải trừ phần bị tháo.
Bước 2: Sau 2 giờ hoàn thành 14, còn 34. Coi toàn bộ công việc hoặc cả bể là một đơn vị. Phần làm được trong một giờ là năng suất; khi cùng làm thì cộng các phần công việc, còn có vòi tháo ra thì phải trừ phần bị tháo.
Đáp số: Thời gian làm thêm là 34:18=6 giờ.
Bài 5: Ba người nếu làm riêng lần lượt cần 30, 12, 10 giờ. Cùng làm thì sau 2 giờ hoàn thành bao nhiêu phần công việc và cần thêm bao lâu để xong?
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Năng suất chung mỗi giờ là 130+112+110=1360. Coi toàn bộ công việc hoặc cả bể là một đơn vị. Phần làm được trong một giờ là năng suất; khi cùng làm thì cộng các phần công việc, còn có vòi tháo ra thì phải trừ phần bị tháo.
Bước 2: Sau 2 giờ hoàn thành 1330, còn 1730. Coi toàn bộ công việc hoặc cả bể là một đơn vị. Phần làm được trong một giờ là năng suất; khi cùng làm thì cộng các phần công việc, còn có vòi tháo ra thì phải trừ phần bị tháo.
Đáp số: Thời gian làm thêm là 1730:1360=3413 giờ.
Bài 6: Ba người nếu làm riêng lần lượt cần 10, 18, 12 giờ. Cùng làm thì sau 2 giờ hoàn thành bao nhiêu phần công việc và cần thêm bao lâu để xong?
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Năng suất chung mỗi giờ là 110+118+112=43180. Coi toàn bộ công việc hoặc cả bể là một đơn vị. Phần làm được trong một giờ là năng suất; khi cùng làm thì cộng các phần công việc, còn có vòi tháo ra thì phải trừ phần bị tháo.
Bước 2: Sau 2 giờ hoàn thành 4390, còn 4790. Coi toàn bộ công việc hoặc cả bể là một đơn vị. Phần làm được trong một giờ là năng suất; khi cùng làm thì cộng các phần công việc, còn có vòi tháo ra thì phải trừ phần bị tháo.
Đáp số: Thời gian làm thêm là 4790:43180=9443 giờ.
Bài 7: Ba người nếu làm riêng lần lượt cần 8, 18, 30 giờ. Cùng làm thì sau 2 giờ hoàn thành bao nhiêu phần công việc và cần thêm bao lâu để xong?
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Năng suất chung mỗi giờ là 18+118+130=77360. Coi toàn bộ công việc hoặc cả bể là một đơn vị. Phần làm được trong một giờ là năng suất; khi cùng làm thì cộng các phần công việc, còn có vòi tháo ra thì phải trừ phần bị tháo.
Bước 2: Sau 2 giờ hoàn thành 77180, còn 103180. Coi toàn bộ công việc hoặc cả bể là một đơn vị. Phần làm được trong một giờ là năng suất; khi cùng làm thì cộng các phần công việc, còn có vòi tháo ra thì phải trừ phần bị tháo.
Đáp số: Thời gian làm thêm là 103180:77360=20677 giờ.
Bài 8: Ba người nếu làm riêng lần lượt cần 8, 18, 10 giờ. Cùng làm thì sau 2 giờ hoàn thành bao nhiêu phần công việc và cần thêm bao lâu để xong?
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Năng suất chung mỗi giờ là 18+118+110=101360. Coi toàn bộ công việc hoặc cả bể là một đơn vị. Phần làm được trong một giờ là năng suất; khi cùng làm thì cộng các phần công việc, còn có vòi tháo ra thì phải trừ phần bị tháo.
Bước 2: Sau 2 giờ hoàn thành 101180, còn 79180. Coi toàn bộ công việc hoặc cả bể là một đơn vị. Phần làm được trong một giờ là năng suất; khi cùng làm thì cộng các phần công việc, còn có vòi tháo ra thì phải trừ phần bị tháo.
Đáp số: Thời gian làm thêm là 79180:101360=158101 giờ.
Bài 9: Ba người nếu làm riêng lần lượt cần 8, 18, 12 giờ. Cùng làm thì sau 2 giờ hoàn thành bao nhiêu phần công việc và cần thêm bao lâu để xong?
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Năng suất chung mỗi giờ là 18+118+112=1972. Coi toàn bộ công việc hoặc cả bể là một đơn vị. Phần làm được trong một giờ là năng suất; khi cùng làm thì cộng các phần công việc, còn có vòi tháo ra thì phải trừ phần bị tháo.
Bước 2: Sau 2 giờ hoàn thành 1936, còn 1736. Coi toàn bộ công việc hoặc cả bể là một đơn vị. Phần làm được trong một giờ là năng suất; khi cùng làm thì cộng các phần công việc, còn có vòi tháo ra thì phải trừ phần bị tháo.
Đáp số: Thời gian làm thêm là 1736:1972=3419 giờ.
Bài 10: Ba người nếu làm riêng lần lượt cần 20, 8, 10 giờ. Cùng làm thì sau 2 giờ hoàn thành bao nhiêu phần công việc và cần thêm bao lâu để xong?
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Năng suất chung mỗi giờ là 120+18+110=1140. Coi toàn bộ công việc hoặc cả bể là một đơn vị. Phần làm được trong một giờ là năng suất; khi cùng làm thì cộng các phần công việc, còn có vòi tháo ra thì phải trừ phần bị tháo.
Bước 2: Sau 2 giờ hoàn thành 1120, còn 920. Coi toàn bộ công việc hoặc cả bể là một đơn vị. Phần làm được trong một giờ là năng suất; khi cùng làm thì cộng các phần công việc, còn có vòi tháo ra thì phải trừ phần bị tháo.
Đáp số: Thời gian làm thêm là 920:1140=1811 giờ.
Bài 11: Ba người nếu làm riêng lần lượt cần 24, 20, 30 giờ. Cùng làm thì sau 2 giờ hoàn thành bao nhiêu phần công việc và cần thêm bao lâu để xong?
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Năng suất chung mỗi giờ là 124+120+130=18. Coi toàn bộ công việc hoặc cả bể là một đơn vị. Phần làm được trong một giờ là năng suất; khi cùng làm thì cộng các phần công việc, còn có vòi tháo ra thì phải trừ phần bị tháo.
Bước 2: Sau 2 giờ hoàn thành 14, còn 34. Coi toàn bộ công việc hoặc cả bể là một đơn vị. Phần làm được trong một giờ là năng suất; khi cùng làm thì cộng các phần công việc, còn có vòi tháo ra thì phải trừ phần bị tháo.
Đáp số: Thời gian làm thêm là 34:18=6 giờ.
Bài 12: Ba người nếu làm riêng lần lượt cần 6, 15, 10 giờ. Cùng làm thì sau 2 giờ hoàn thành bao nhiêu phần công việc và cần thêm bao lâu để xong?
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Năng suất chung mỗi giờ là 16+115+110=13. Coi toàn bộ công việc hoặc cả bể là một đơn vị. Phần làm được trong một giờ là năng suất; khi cùng làm thì cộng các phần công việc, còn có vòi tháo ra thì phải trừ phần bị tháo.
Bước 2: Sau 2 giờ hoàn thành 23, còn 13. Coi toàn bộ công việc hoặc cả bể là một đơn vị. Phần làm được trong một giờ là năng suất; khi cùng làm thì cộng các phần công việc, còn có vòi tháo ra thì phải trừ phần bị tháo.
Đáp số: Thời gian làm thêm là 13:13=1 giờ.
Bài 13: Năng suất chung là 112+118+136=16. Cả ba cần 6 giờ.
Bài 14: Năng suất chung là 18+112+124=14. Trong 1 giờ làm được 14 công việc.
Bài 15: Năng suất chung là 110+115+130=15. Hai giờ làm 25, còn 35. Cần thêm 35:15=3 giờ.
Ghi nhớ và tự kiểm tra
- Trọng tâm của bài là nhận ra cấu trúc ẩn trong dạng Nhiều người cùng làm một công việc.
- Không làm theo phép tính máy móc; cần giải thích vì sao chọn cách làm.
- Mọi đáp số phải được kiểm tra lại với toàn bộ dữ kiện của đề.
Câu hỏi tự kiểm tra
- Em có tách được từng điều kiện và xác định thứ tự xử lí không?
- Em có trình bày đủ các kết quả trung gian không?
- Em có kiểm tra lại đáp số bằng điều kiện ban đầu hoặc một cách khác không?