Chuyên đề cấu tạo số và chữ số thường xuất hiện trong đề khảo sát năng lực và đề tuyển sinh vào lớp 6 các trường chất lượng cao. Bài toán không chỉ yêu cầu học sinh đọc, viết hoặc phân tích số mà còn đòi hỏi khả năng lập luận, đếm số, tìm chữ số chưa biết và xử lý sự thay đổi của một số khi thêm, xóa hoặc đổi vị trí các chữ số.
Để làm tốt chuyên đề này, học sinh cần nắm chắc cấu tạo thập phân của số tự nhiên, giá trị theo hàng của mỗi chữ số và biết biểu diễn số bằng chữ để chuyển bài toán thành phép tính.
I. Kiến thức cần ghi nhớ
1. Giá trị của chữ số trong một số
Giá trị của một chữ số phụ thuộc vào vị trí của chữ số đó trong số.
Ví dụ, trong số 364 728:
- Chữ số 3 thuộc hàng trăm nghìn, có giá trị là 300 000.
- Chữ số 6 thuộc hàng chục nghìn, có giá trị là 60 000.
- Chữ số 4 thuộc hàng nghìn, có giá trị là 4 000.
- Chữ số 7 thuộc hàng trăm, có giá trị là 700.
- Chữ số 2 thuộc hàng chục, có giá trị là 20.
- Chữ số 8 thuộc hàng đơn vị, có giá trị là 8.
Do đó:
364,728=300,000+60,000+4,000+700+20+8.
Cần phân biệt:
- Chữ số 6 là chữ số chỉ hàng chục nghìn.
- Giá trị của chữ số 6 trong số trên là 60 000.
2. Cấu tạo của số có hai chữ số
Gọi a là chữ số hàng chục và b là chữ số hàng đơn vị.
Số có hai chữ số được viết là ab và có cấu tạo:
ab=10× a+b.
Điều kiện:
- a\ne0.
- 0≤ a≤9.
- 0≤ b≤9.
Ví dụ:
7b=70+b.
a5=10× a+5.
38=10×3+8=38.
3. Cấu tạo của số có ba chữ số
Gọi a, b, c lần lượt là chữ số hàng trăm, hàng chục và hàng đơn vị.
Ta có:
abc=100× a+10× b+c.
Trong đó a\ne0.
Ví dụ:
4b7=400+10× b+7.
a05=100× a+5.
abc=100× a+10× b+c.
4. Cấu tạo của số có bốn chữ số
Gọi a, b, c, d lần lượt là các chữ số hàng nghìn, hàng trăm, hàng chục và hàng đơn vị.
Ta có:
abcd=1000× a+100× b+10× c+d.
Trong đó a\ne0.
Ví dụ:
5ab2=5000+100× a+10× b+2.
5. Số lượng các số có một số chữ số nhất định
- Các số có một chữ số là từ 1 đến 9, có 9 số.
- Các số có hai chữ số là từ 10 đến 99, có 90 số.
- Các số có ba chữ số là từ 100 đến 999, có 900 số.
- Các số có bốn chữ số là từ 1 000 đến 9 999, có 9 000 số.
Số lượng các số tự nhiên có n chữ số là:
9×10n-1.
Ví dụ, số lượng các số có năm chữ số là:
9×104=90,000 số.
6. Số lớn nhất và số nhỏ nhất
Số lớn nhất có n chữ số gồm n chữ số 9.
Ví dụ, số lớn nhất có năm chữ số là 99 999.
Số nhỏ nhất có n chữ số là số 1 đứng trước n-1 chữ số 0.
Ví dụ, số nhỏ nhất có năm chữ số là 10 000.
Khi lập số từ các chữ số cho trước:
- Muốn được số lớn nhất, sắp xếp các chữ số theo thứ tự giảm dần.
- Muốn được số nhỏ nhất, đặt chữ số nhỏ nhất khác 0 ở hàng cao nhất, sau đó đặt chữ số 0 rồi đến các chữ số còn lại theo thứ tự tăng dần.
7. Số viết theo thứ tự ngược lại
Số có hai chữ số ab viết theo thứ tự ngược lại là ba.
Ta có:
ab-ba=9×(a-b).
Do đó, hiệu của một số có hai chữ số và số viết ngược lại luôn chia hết cho 9.
Tổng của hai số là:
ab+ba=11×(a+b).
Số có ba chữ số abc viết theo thứ tự ngược lại là cba.
Ta có:
abc-cba=99×(a-c).
Như vậy, chữ số hàng chục không ảnh hưởng đến hiệu của số có ba chữ số và số viết ngược lại.
8. Viết thêm một chữ số vào bên phải
Khi viết thêm chữ số b vào bên phải số tự nhiên A, số mới là:
A×10+b.
Ví dụ, viết thêm chữ số 7 vào bên phải số 35, ta được:
35×10+7=357.
9. Viết thêm một chữ số vào bên trái
Nếu A là số có hai chữ số, viết thêm chữ số b vào bên trái A, số mới là:
b×100+A.
Nếu A là số có ba chữ số, viết thêm chữ số b vào bên trái A, số mới là:
b×1000+A.
Ví dụ, viết thêm chữ số 4 vào bên trái số 75, ta được:
4×100+75=475.
10. Xóa chữ số hàng đơn vị
Nếu số ban đầu có dạng 10× A+b, trong đó b là chữ số hàng đơn vị, thì sau khi xóa chữ số b, số còn lại là A.
Hiệu giữa số ban đầu và số sau khi xóa là:
10× A+b-A=9× A+b.
11. Chèn chữ số 0 vào giữa các chữ số
Với số có hai chữ số ab, khi chèn chữ số 0 vào giữa hai chữ số, ta được số a0b.
Ta có:
a0b=100× a+b.
Trong khi đó:
ab=10× a+b.
12. Điều kiện của chữ số tận cùng
- Số chẵn có chữ số tận cùng là 0, 2, 4, 6 hoặc 8.
- Số lẻ có chữ số tận cùng là 1, 3, 5, 7 hoặc 9.
- Số chia hết cho 5 có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5.
- Số chia hết cho 10 có chữ số tận cùng là 0.
II. Các dạng toán thường gặp
Dạng 1. Phân tích cấu tạo và xác định giá trị của chữ số
Phương pháp
Muốn phân tích một số thành tổng, ta viết số đó thành tổng giá trị của các chữ số theo từng hàng.
Ví dụ 1
Phân tích số 508 074 thành tổng theo giá trị của từng chữ số.
Lời giải
Trong số 508 074:
- Chữ số 5 có giá trị là 500 000.
- Chữ số 0 ở hàng chục nghìn có giá trị bằng 0.
- Chữ số 8 có giá trị là 8 000.
- Chữ số 0 ở hàng trăm có giá trị bằng 0.
- Chữ số 7 có giá trị là 70.
- Chữ số 4 có giá trị là 4.
Vậy:
508,074=500,000+8,000+70+4.
Có thể viết đầy đủ hơn:
508,074=5×100,000+0×10,000+8×1000+0×100+7×10+4.
Ví dụ 2
Một số gồm 7 chục nghìn, 4 nghìn, 12 chục và 6 đơn vị. Tìm số đó.
Lời giải
Giá trị của 7 chục nghìn là:
7×10,000=70,000.
Giá trị của 4 nghìn là:
4×1000=4000.
Giá trị của 12 chục là:
12×10=120.
Số cần tìm là:
70,000+4000+120+6=74,126.
Vậy số cần tìm là 74 126.
Dạng 2. Lập số lớn nhất hoặc nhỏ nhất
Phương pháp
Muốn lập số lớn nhất, ta đặt chữ số lớn nhất ở hàng cao nhất rồi sắp xếp các chữ số còn lại theo thứ tự giảm dần.
Muốn lập số nhỏ nhất:
- Chọn chữ số nhỏ nhất khác 0 đặt ở hàng cao nhất.
- Nếu có chữ số 0 thì đặt 0 ngay sau chữ số đầu tiên.
- Sắp xếp các chữ số còn lại theo thứ tự tăng dần.
Ví dụ
Từ các chữ số 0, 2, 4, 7, 9, dùng mỗi chữ số đúng một lần, hãy lập:
a) Số lớn nhất.
b) Số nhỏ nhất.
c) Số chẵn lớn nhất.
d) Số lẻ nhỏ nhất.
Lời giải
a) Muốn lập số lớn nhất, ta xếp các chữ số theo thứ tự giảm dần:
9>7>4>2>0.
Số lớn nhất là 97 420.
b) Chữ số nhỏ nhất khác 0 là 2 nên đặt 2 ở hàng chục nghìn. Sau đó đặt chữ số 0 rồi đến 4, 7, 9.
Số nhỏ nhất là 20 479.
c) Số chẵn phải có chữ số tận cùng là 0, 2 hoặc 4.
Để số nhận được lớn nhất, ta nên dành chữ số chẵn nhỏ nhất là 0 cho hàng đơn vị và xếp các chữ số còn lại theo thứ tự giảm dần.
Số chẵn lớn nhất là 97 420.
d) Số lẻ phải có chữ số tận cùng là 7 hoặc 9.
Để lập số lẻ nhỏ nhất, chữ số đầu tiên phải là 2, chữ số thứ hai là 0. Ta cần chọn chữ số lẻ thích hợp cho hàng đơn vị.
- Nếu hàng đơn vị là 7, số nhỏ nhất có thể lập là 20 497.
- Nếu hàng đơn vị là 9, số nhỏ nhất có thể lập là 20 479.
Vì 20,479<20,497 nên số lẻ nhỏ nhất là 20 479.
Dạng 3. Đếm số có thể lập từ các chữ số cho trước
Phương pháp
Cần chú ý:
- Chữ số đầu tiên không được bằng 0.
- Nếu các chữ số phải khác nhau thì sau mỗi lần chọn, số cách chọn ở vị trí tiếp theo giảm đi.
- Nên đếm số cách chọn lần lượt từ hàng cao nhất đến hàng thấp nhất.
Ví dụ
Từ các chữ số 0, 1, 2, 5, lập được bao nhiêu số có ba chữ số khác nhau?
Lời giải
Chữ số hàng trăm không thể bằng 0 nên có 3 cách chọn: 1, 2 hoặc 5.
Sau khi chọn chữ số hàng trăm:
- Hàng chục có 3 cách chọn trong các chữ số còn lại.
- Hàng đơn vị có 2 cách chọn.
Số các số lập được là:
3×3×2=18 số.
Vậy lập được 18 số có ba chữ số khác nhau.
Dạng 4. Đếm số chẵn, số lẻ hoặc số chia hết cho 5
Ví dụ 1
Từ các chữ số 0, 1, 2, 5, lập được bao nhiêu số chẵn có ba chữ số khác nhau?
Lời giải
Số chẵn phải có chữ số hàng đơn vị là 0 hoặc 2.
Trường hợp 1: Chữ số hàng đơn vị là 0.
- Hàng trăm có 3 cách chọn: 1, 2 hoặc 5.
- Hàng chục có 2 cách chọn.
Số các số lập được là:
3×2=6 số.
Trường hợp 2: Chữ số hàng đơn vị là 2.
- Hàng trăm không thể là 0 hoặc 2 nên có 2 cách chọn: 1 hoặc 5.
- Hàng chục có 2 cách chọn.
Số các số lập được là:
2×2=4 số.
Tổng số các số chẵn là:
6+4=10 số.
Vậy lập được 10 số chẵn có ba chữ số khác nhau.
Ví dụ 2
Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 5, lập được bao nhiêu số có bốn chữ số khác nhau và chia hết cho 5?
Lời giải
Số chia hết cho 5 phải có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5.
Trường hợp 1: Chữ số hàng đơn vị là 0.
- Hàng nghìn có 4 cách chọn: 1, 2, 3 hoặc 5.
- Hàng trăm có 3 cách chọn.
- Hàng chục có 2 cách chọn.
Số các số lập được là:
4×3×2=24 số.
Trường hợp 2: Chữ số hàng đơn vị là 5.
- Hàng nghìn không được bằng 0 nên có 3 cách chọn: 1, 2 hoặc 3.
- Hàng trăm có 3 cách chọn.
- Hàng chục có 2 cách chọn.
Số các số lập được là:
3×3×2=18 số.
Tổng số các số cần tìm là:
24+18=42 số.
Dạng 5. Tìm số có hai chữ số khi biết tổng hoặc hiệu các chữ số
Ví dụ
Tìm số có hai chữ số, biết tổng hai chữ số bằng 13 và chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị 5 đơn vị.
Lời giải
Gọi chữ số hàng chục là a, chữ số hàng đơn vị là b.
Theo đề bài:
a+b=13.
a-b=5.
Cộng hai biểu thức, ta có:
2× a=13+5=18.
Suy ra:
a=18:2=9.
Chữ số hàng đơn vị là:
b=13-9=4.
Vậy số cần tìm là 94.
Kiểm tra:
9+4=13 và 9-4=5.
Dạng 6. Tìm số có hai chữ số liên quan đến số viết ngược lại
Ví dụ
Tìm số có hai chữ số, biết tổng hai chữ số bằng 11 và số đó lớn hơn số viết theo thứ tự ngược lại 27 đơn vị.
Lời giải
Gọi số cần tìm là ab, trong đó a là chữ số hàng chục và b là chữ số hàng đơn vị.
Số viết theo thứ tự ngược lại là ba.
Theo đề bài:
a+b=11.
Ta có:
ab-ba=27.
Mà:
ab-ba=9×(a-b).
Do đó:
9×(a-b)=27.
Suy ra:
a-b=3.
Ta có:
a+b=11.
a-b=3.
Chữ số hàng chục là:
a=(11+3):2=7.
Chữ số hàng đơn vị là:
b=11-7=4.
Vậy số cần tìm là 74.
Kiểm tra:
74-47=27.
Dạng 7. Tìm số có ba chữ số liên quan đến số viết ngược lại
Ví dụ
Tìm số có ba chữ số, biết:
- Tổng ba chữ số bằng 12.
- Chữ số hàng trăm gấp đôi chữ số hàng đơn vị.
- Số đó lớn hơn số viết theo thứ tự ngược lại 198 đơn vị.
Lời giải
Gọi số cần tìm là abc.
Số viết theo thứ tự ngược lại là cba.
Ta có:
abc-cba=99×(a-c).
Theo đề bài:
99×(a-c)=198.
Suy ra:
a-c=198:99=2.
Mặt khác, chữ số hàng trăm gấp đôi chữ số hàng đơn vị nên:
a=2× c.
Thay vào a-c=2, ta có:
2× c-c=2.
c=2.
Do đó:
a=2×2=4.
Tổng ba chữ số bằng 12 nên:
b=12-4-2=6.
Vậy số cần tìm là 462.
Kiểm tra:
462-264=198.
Dạng 8. Viết thêm một chữ số vào bên phải hoặc bên trái
Ví dụ 1
Tìm một số tự nhiên, biết khi viết thêm chữ số 5 vào bên phải số đó thì số mới lớn hơn số ban đầu 410 đơn vị.
Lời giải
Gọi số cần tìm là A.
Khi viết thêm chữ số 5 vào bên phải, số mới là:
10× A+5.
Theo đề bài:
10× A+5-A=410.
9× A+5=410.
9× A=405.
A=405:9=45.
Vậy số cần tìm là 45.
Kiểm tra:
Viết thêm chữ số 5 vào bên phải 45 được 455.
455-45=410.
Ví dụ 2
Tìm số có hai chữ số, biết khi viết thêm chữ số 3 vào bên trái số đó thì số mới gấp 5 lần số ban đầu.
Lời giải
Gọi số cần tìm là A.
Vì A có hai chữ số nên khi viết thêm chữ số 3 vào bên trái, số mới là:
300+A.
Theo đề bài:
300+A=5× A.
300=4× A.
A=300:4=75.
Vậy số cần tìm là 75.
Kiểm tra:
Viết thêm chữ số 3 vào bên trái 75 được 375.
375=75×5.
Dạng 9. Xóa hoặc chèn một chữ số
Ví dụ 1
Một số có chữ số hàng đơn vị là 4. Nếu xóa chữ số 4 ở hàng đơn vị thì số đó giảm 454 đơn vị. Tìm số ban đầu.
Lời giải
Gọi số còn lại sau khi xóa chữ số 4 là A.
Số ban đầu là:
10× A+4.
Theo đề bài:
10× A+4-A=454.
9× A+4=454.
9× A=450.
A=450:9=50.
Số ban đầu là:
50×10+4=504.
Vậy số cần tìm là 504.
Ví dụ 2
Tìm số có hai chữ số, biết tổng hai chữ số bằng 6. Nếu chèn chữ số 0 vào giữa hai chữ số thì số mới gấp 7 lần số ban đầu.
Lời giải
Gọi số cần tìm là ab.
Ta có:
a+b=6.
Khi chèn chữ số 0 vào giữa, ta được số a0b.
Theo đề bài:
a0b=7×ab.
Viết theo cấu tạo số:
100× a+b=7×(10× a+b).
100× a+b=70× a+7× b.
30× a=6× b.
b=5× a.
Kết hợp với a+b=6, ta có:
a+5× a=6.
6× a=6.
a=1.
Suy ra:
b=5.
Vậy số cần tìm là 15.
Kiểm tra:
Chèn chữ số 0 vào giữa 15 được 105.
105=15×7.
Dạng 10. Chuyển hoặc đổi vị trí các chữ số
Ví dụ
Một số có ba chữ số khác 0. Khi chuyển chữ số hàng trăm xuống hàng đơn vị thì số mới nhỏ hơn số ban đầu 324 đơn vị. Biết tổng ba chữ số bằng 12. Tìm số ban đầu.
Lời giải
Gọi số ban đầu là abc.
Khi chuyển chữ số hàng trăm xuống hàng đơn vị, số mới là bca.
Theo đề bài:
abc-bca=324.
Viết theo cấu tạo số:
100a+10b+c-(100b+10c+a)=324.
99a-90b-9c=324.
Chia cả hai vế cho 9:
11a-10b-c=36.
Mặt khác:
a+b+c=12.
Suy ra:
c=12-a-b.
Thay vào biểu thức trên:
11a-10b-(12-a-b)=36.
12a-9b=48.
Chia cả hai vế cho 3:
4a-3b=16.
Do a, b là các chữ số khác 0 nên ta thử các giá trị phù hợp.
- Nếu a=4 thì b=0, không thỏa mãn điều kiện các chữ số khác 0.
- Nếu a=7 thì b=4.
Khi đó:
c=12-7-4=1.
Vậy số cần tìm là 741.
Kiểm tra:
Chuyển chữ số 7 xuống cuối, ta được 417.
741-417=324.
Dạng 11. Đếm số chữ số dùng để viết một dãy số
Ví dụ 1
Cần dùng bao nhiêu chữ số để viết các số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến 150?
Lời giải
Từ 1 đến 9 có 9 số có một chữ số nên cần:
9×1=9 chữ số.
Từ 10 đến 99 có 90 số có hai chữ số nên cần:
90×2=180 chữ số.
Từ 100 đến 150 có số lượng số là:
150-100+1=51 số.
Số chữ số cần dùng là:
51×3=153 chữ số.
Tổng số chữ số cần dùng là:
9+180+153=342 chữ số.
Ví dụ 2
Để đánh số trang một quyển sách từ trang 1, người ta dùng hết 642 chữ số. Hỏi quyển sách có bao nhiêu trang?
Lời giải
Từ trang 1 đến trang 9 cần:
9×1=9 chữ số.
Từ trang 10 đến trang 99 cần:
90×2=180 chữ số.
Tổng số chữ số dùng đến trang 99 là:
9+180=189 chữ số.
Số chữ số còn lại là:
642-189=453 chữ số.
Các trang còn lại đều có ba chữ số nên số trang có ba chữ số là:
453:3=151 trang.
Trang đầu tiên có ba chữ số là trang 100. Vì có 151 trang nên trang cuối là:
100+151-1=250.
Vậy quyển sách có 250 trang.
Dạng 12. Tìm chữ số ở một vị trí và tính tổng các số được lập
Ví dụ 1
Người ta viết liên tiếp các số tự nhiên:
12345678910111213\ldots
Hỏi chữ số thứ 1000 là chữ số nào?
Lời giải
Các số từ 1 đến 9 dùng:
9×1=9 chữ số.
Các số từ 10 đến 99 dùng:
90×2=180 chữ số.
Tổng số chữ số từ 1 đến 99 là:
9+180=189 chữ số.
Số chữ số còn lại để đến vị trí thứ 1000 là:
1000-189=811 chữ số.
Ta có:
811=270×3+1.
Điều này có nghĩa là:
- 270 số có ba chữ số đã dùng hết 270×3=810 chữ số.
- Chữ số thứ 811 trong nhóm số có ba chữ số là chữ số đầu tiên của số tiếp theo.
Số thứ 270 kể từ 100 là:
100+270-1=369.
Số tiếp theo là 370.
Chữ số đầu tiên của 370 là 3.
Vậy chữ số thứ 1000 là chữ số 3.
Ví dụ 2
Tính tổng tất cả các số có ba chữ số khác nhau được lập từ các chữ số 1, 2, 3, dùng mỗi chữ số đúng một lần.
Lời giải
Các số lập được là:
123, 132, 213, 231, 312, 321.
Mỗi chữ số 1, 2, 3 xuất hiện:
- 2 lần ở hàng trăm.
- 2 lần ở hàng chục.
- 2 lần ở hàng đơn vị.
Tổng các chữ số là:
1+2+3=6.
Tổng giá trị ở hàng trăm là:
6×2×100=1200.
Tổng giá trị ở hàng chục là:
6×2×10=120.
Tổng giá trị ở hàng đơn vị là:
6×2=12.
Tổng tất cả các số là:
1200+120+12=1332.
III. Bài tập luyện tập
Mức 1. Cơ bản
- Phân tích số 70 508 thành tổng theo giá trị của từng chữ số.
- Trong số 364 215, chữ số 6 có giá trị bằng bao nhiêu?
- Viết số gồm 8 chục nghìn, 3 trăm, 6 chục và 2 đơn vị.
- Viết số nhỏ nhất có năm chữ số khác nhau.
- Viết số chẵn lớn nhất có bốn chữ số khác nhau.
- Viết số lẻ lớn nhất có bốn chữ số khác nhau.
- Có bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số?
- Từ các chữ số 1, 4, 7, dùng mỗi chữ số đúng một lần, lập được bao nhiêu số có ba chữ số?
- Từ các chữ số 0, 2, 5, 8, dùng mỗi chữ số đúng một lần, hãy lập số nhỏ nhất.
- Tính tổng các chữ số của số 203 507.
- Một số gồm 5 trăm, 14 chục và 9 đơn vị. Tìm số đó.
- Cho số 7ab. Tìm số đó biết a=3 và b=8.
Mức 2. Vận dụng
- Tìm số có hai chữ số, biết tổng hai chữ số bằng 13 và chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị 5 đơn vị.
- Tìm số có hai chữ số, biết tổng hai chữ số bằng 11 và số đó lớn hơn số viết theo thứ tự ngược lại 27 đơn vị.
- Tìm số có hai chữ số, biết tổng của số đó và số viết theo thứ tự ngược lại bằng 143; số ban đầu lớn hơn số viết ngược lại 27 đơn vị.
- Tìm một số tự nhiên, biết khi viết thêm chữ số 5 vào bên phải số đó thì số mới lớn hơn số ban đầu 410 đơn vị.
- Tìm một số tự nhiên, biết khi viết thêm chữ số 6 vào bên phải số đó thì số mới gấp 12 lần số ban đầu.
- Tìm số có hai chữ số, biết khi viết thêm chữ số 3 vào bên trái số đó thì số mới gấp 5 lần số ban đầu.
- Một số có chữ số hàng đơn vị là 4. Nếu xóa chữ số 4 ở hàng đơn vị thì số đó giảm 454 đơn vị. Tìm số ban đầu.
- Tìm số có hai chữ số, biết tổng hai chữ số bằng 6. Nếu chèn chữ số 0 vào giữa hai chữ số thì số mới gấp 7 lần số ban đầu.
- Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, lập được bao nhiêu số có ba chữ số khác nhau?
- Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, lập được bao nhiêu số chẵn có ba chữ số khác nhau?
- Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, lập được bao nhiêu số có bốn chữ số khác nhau và chia hết cho 5?
- Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, lập được bao nhiêu số lẻ có bốn chữ số khác nhau?
Mức 3. Nâng cao
- Cần dùng bao nhiêu chữ số để viết các số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến 150?
- Để đánh số trang một quyển sách từ trang 1, người ta dùng hết 489 chữ số. Hỏi quyển sách có bao nhiêu trang?
- Người ta viết liên tiếp các số tự nhiên từ 1 đến N và dùng hết 789 chữ số. Tìm N.
- Một quyển sách được đánh số từ trang 35 đến trang 250. Hỏi cần dùng bao nhiêu chữ số để viết các số trang đó?
- Tìm số có ba chữ số, biết tổng ba chữ số bằng 12, chữ số hàng trăm gấp đôi chữ số hàng đơn vị và số đó lớn hơn số viết theo thứ tự ngược lại 198 đơn vị.
- Một số có ba chữ số khác 0. Khi chuyển chữ số hàng trăm xuống hàng đơn vị thì số mới nhỏ hơn số ban đầu 324 đơn vị. Biết tổng ba chữ số bằng 12. Tìm số ban đầu.
- Một số có ba chữ số. Nếu đổi chỗ chữ số hàng trăm và hàng chục thì số đó giảm 270 đơn vị. Nếu đổi chỗ chữ số hàng chục và hàng đơn vị thì số mới tăng 36 đơn vị. Biết tổng ba chữ số bằng 16. Tìm số ban đầu.
- Một số có ba chữ số. Khi chuyển chữ số hàng đơn vị lên đầu thì số mới lớn hơn số ban đầu 297 đơn vị. Biết tổng ba chữ số bằng 15. Tìm số ban đầu.
- Một số có ba chữ số. Nếu xóa chữ số hàng chục thì số đó giảm 370 đơn vị. Biết tổng ba chữ số bằng 12. Tìm số ban đầu.
- Một số có ba chữ số. Nếu chèn chữ số 0 vào giữa chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị thì số mới lớn hơn số ban đầu 3 780 đơn vị. Biết tổng ba chữ số bằng 9. Tìm số ban đầu.
- Tính tổng tất cả các số có ba chữ số khác nhau được lập từ các chữ số 1, 2, 3, dùng mỗi chữ số đúng một lần.
- Người ta viết liên tiếp các số tự nhiên:
1234567891011121314\ldots
Hỏi chữ số thứ 1000 là chữ số nào?
IV. Lời giải chi tiết
Bài 1
Ta phân tích số 70 508 theo giá trị của từng chữ số:
70,508=70,000+500+8.
Đáp số: 70,000+500+8.
Bài 2
Chữ số 6 trong số 364 215 thuộc hàng chục nghìn.
Giá trị của chữ số 6 là:
6×10,000=60,000.
Đáp số: 60 000.
Bài 3
Giá trị của 8 chục nghìn là:
8×10,000=80,000.
Giá trị của 3 trăm là:
3×100=300.
Giá trị của 6 chục là:
6×10=60.
Số cần tìm là:
80,000+300+60+2=80,362.
Đáp số: 80 362.
Bài 4
Muốn lập số nhỏ nhất có năm chữ số khác nhau:
- Chữ số hàng chục nghìn nhỏ nhất có thể là 1.
- Chữ số tiếp theo nên là 0.
- Ba chữ số còn lại nhỏ nhất là 2, 3, 4.
Vậy số nhỏ nhất có năm chữ số khác nhau là 10 234.
Đáp số: 10 234.
Bài 5
Muốn lập số chẵn lớn nhất có bốn chữ số khác nhau, ta ưu tiên các chữ số lớn ở hàng nghìn, hàng trăm và hàng chục.
Ba chữ số đầu lớn nhất có thể là 9, 8, 7. Chữ số tận cùng phải chẵn và khác các chữ số đã dùng. Chữ số chẵn lớn nhất còn lại là 6.
Vậy số cần tìm là 9 876.
Đáp số: 9 876.
Bài 6
Muốn lập số lẻ lớn nhất có bốn chữ số khác nhau, chữ số hàng đơn vị phải là chữ số lẻ.
Ta chọn ba chữ số lớn nhất cho ba hàng đầu là 9, 8, 7. Tuy nhiên, nếu dùng 7 ở hàng chục thì chữ số lẻ lớn nhất còn lại cho hàng đơn vị là 5.
Số lập được là 9 875.
Đáp số: 9 875.
Bài 7
Các số có ba chữ số là các số từ 100 đến 999.
Số lượng các số có ba chữ số là:
999-100+1=900 số.
Đáp số: 900 số.
Bài 8
Có 3 cách chọn chữ số hàng trăm.
Sau khi chọn hàng trăm:
- Hàng chục có 2 cách chọn.
- Hàng đơn vị có 1 cách chọn.
Số các số lập được là:
3×2×1=6 số.
Đáp số: 6 số.
Bài 9
Chữ số đầu tiên không thể là 0 nên chọn chữ số nhỏ nhất khác 0 là 2.
Sau đó xếp các chữ số còn lại theo thứ tự tăng dần: 0, 5, 8.
Số nhỏ nhất là 2 058.
Đáp số: 2 058.
Bài 10
Tổng các chữ số của số 203 507 là:
2+0+3+5+0+7=17.
Đáp số: 17.
Bài 11
Giá trị của 5 trăm là:
5×100=500.
Giá trị của 14 chục là:
14×10=140.
Số cần tìm là:
500+140+9=649.
Đáp số: 649.
Bài 12
Thay a=3 và b=8 vào số 7ab, ta được:
7ab=738=738.
Đáp số: 738.
Bài 13
Gọi chữ số hàng chục là a, chữ số hàng đơn vị là b.
Ta có:
a+b=13.
a-b=5.
Chữ số hàng chục là:
a=(13+5):2=9.
Chữ số hàng đơn vị là:
b=13-9=4.
Vậy số cần tìm là 94.
Đáp số: 94.
Bài 14
Gọi số cần tìm là ab.
Theo đề bài:
a+b=11.
Ta có:
ab-ba=27.
Suy ra:
9×(a-b)=27.
a-b=3.
Chữ số hàng chục là:
a=(11+3):2=7.
Chữ số hàng đơn vị là:
b=11-7=4.
Vậy số cần tìm là 74.
Đáp số: 74.
Bài 15
Gọi số cần tìm là ab, số viết ngược lại là ba.
Theo đề bài:
ab+ba=143.
Mà:
ab+ba=11×(a+b).
Do đó:
11×(a+b)=143.
a+b=13.
Mặt khác:
ab-ba=27.
9×(a-b)=27.
a-b=3.
Chữ số hàng chục là:
a=(13+3):2=8.
Chữ số hàng đơn vị là:
b=13-8=5.
Vậy số cần tìm là 85.
Kiểm tra:
85+58=143 và 85-58=27.
Đáp số: 85.
Bài 16
Gọi số cần tìm là A.
Khi viết thêm chữ số 5 vào bên phải, số mới là:
10A+5.
Theo đề bài:
10A+5-A=410.
9A+5=410.
9A=405.
A=45.
Đáp số: 45.
Bài 17
Gọi số cần tìm là A.
Khi viết thêm chữ số 6 vào bên phải, số mới là:
10A+6.
Theo đề bài:
10A+6=12A.
6=2A.
A=3.
Kiểm tra:
Viết thêm chữ số 6 vào bên phải 3 được 36 và 36=3×12.
Đáp số: 3.
Bài 18
Gọi số cần tìm là A.
Vì A có hai chữ số nên khi viết thêm chữ số 3 vào bên trái, số mới là:
300+A.
Ta có:
300+A=5A.
300=4A.
A=75.
Đáp số: 75.
Bài 19
Gọi số còn lại sau khi xóa chữ số 4 là A.
Số ban đầu là:
10A+4.
Theo đề bài:
10A+4-A=454.
9A+4=454.
9A=450.
A=50.
Số ban đầu là:
10×50+4=504.
Đáp số: 504.
Bài 20
Gọi số cần tìm là ab.
Ta có:
a+b=6.
Khi chèn chữ số 0 vào giữa, ta được số a0b.
Theo đề bài:
100a+b=7×(10a+b).
100a+b=70a+7b.
30a=6b.
b=5a.
Thay vào a+b=6, ta có:
a+5a=6.
6a=6.
a=1.
b=5.
Vậy số cần tìm là 15.
Đáp số: 15.
Bài 21
Chữ số hàng trăm không thể là 0 nên có 3 cách chọn: 1, 2 hoặc 3.
Sau đó:
- Hàng chục có 3 cách chọn.
- Hàng đơn vị có 2 cách chọn.
Số các số lập được là:
3×3×2=18 số.
Đáp số: 18 số.
Bài 22
Số chẵn phải có chữ số hàng đơn vị là 0 hoặc 2.
Trường hợp 1: Hàng đơn vị là 0.
- Hàng trăm có 3 cách chọn.
- Hàng chục có 2 cách chọn.
Có:
3×2=6 số.
Trường hợp 2: Hàng đơn vị là 2.
- Hàng trăm có 2 cách chọn: 1 hoặc 3.
- Hàng chục có 2 cách chọn.
Có:
2×2=4 số.
Tổng cộng:
6+4=10 số.
Đáp số: 10 số.
Bài 23
Vì trong các chữ số đã cho không có chữ số 5 nên số chia hết cho 5 phải có chữ số hàng đơn vị là 0.
- Hàng nghìn có 4 cách chọn: 1, 2, 3 hoặc 4.
- Hàng trăm có 3 cách chọn.
- Hàng chục có 2 cách chọn.
Số các số lập được là:
4×3×2=24 số.
Đáp số: 24 số.
Bài 24
Số lẻ phải có chữ số hàng đơn vị là 1 hoặc 3.
Với mỗi cách chọn chữ số hàng đơn vị:
- Hàng nghìn có 3 cách chọn trong các chữ số khác 0 còn lại.
- Hàng trăm có 3 cách chọn.
- Hàng chục có 2 cách chọn.
Số các số lập được với mỗi chữ số tận cùng là:
3×3×2=18 số.
Có 2 cách chọn chữ số tận cùng nên tổng số là:
18×2=36 số.
Đáp số: 36 số.
Bài 25
Từ 1 đến 9 cần:
9×1=9 chữ số.
Từ 10 đến 99 cần:
90×2=180 chữ số.
Từ 100 đến 150 có:
150-100+1=51 số.
Số chữ số cần dùng là:
51×3=153 chữ số.
Tổng số chữ số là:
9+180+153=342 chữ số.
Đáp số: 342 chữ số.
Bài 26
Từ trang 1 đến trang 9 cần 9 chữ số.
Từ trang 10 đến trang 99 cần:
90×2=180 chữ số.
Tổng số chữ số dùng đến trang 99 là:
9+180=189 chữ số.
Số chữ số còn lại là:
489-189=300 chữ số.
Số trang có ba chữ số là:
300:3=100 trang.
Trang cuối là:
100+100-1=199.
Đáp số: 199 trang.
Bài 27
Từ 1 đến 99 cần:
9+90×2=189 chữ số.
Số chữ số còn lại là:
789-189=600 chữ số.
Số các số có ba chữ số được viết là:
600:3=200 số.
Số đầu tiên có ba chữ số là 100 nên số cuối cùng là:
100+200-1=299.
Vậy N=299.
Đáp số: N=299.
Bài 28
Từ trang 35 đến trang 99 có:
99-35+1=65 trang.
Các số trang này có hai chữ số nên cần:
65×2=130 chữ số.
Từ trang 100 đến trang 250 có:
250-100+1=151 trang.
Các số trang này có ba chữ số nên cần:
151×3=453 chữ số.
Tổng số chữ số cần dùng là:
130+453=583 chữ số.
Đáp số: 583 chữ số.
Bài 29
Gọi số cần tìm là abc.
Ta có:
a+b+c=12.
a=2c.
Mặt khác:
abc-cba=198.
99(a-c)=198.
a-c=2.
Thay a=2c vào, ta được:
2c-c=2.
c=2.
a=4.
b=12-4-2=6.
Vậy số cần tìm là 462.
Đáp số: 462.
Bài 30
Gọi số cần tìm là abc.
Sau khi chuyển chữ số hàng trăm xuống cuối, ta được bca.
Theo đề bài:
abc-bca=324.
100a+10b+c-(100b+10c+a)=324.
99a-90b-9c=324.
11a-10b-c=36.
Lại có:
a+b+c=12.
Suy ra:
c=12-a-b.
Thay vào, ta được:
11a-10b-(12-a-b)=36.
12a-9b=48.
4a-3b=16.
Vì các chữ số khác 0 nên xét các giá trị phù hợp:
- Với a=4 thì b=0, không thỏa mãn.
- Với a=7 thì b=4.
Khi đó:
c=12-7-4=1.
Vậy số cần tìm là 741.
Đáp số: 741.
Bài 31
Gọi số cần tìm là abc.
Đổi chỗ chữ số hàng trăm và hàng chục, ta được bac.
Theo đề bài:
abc-bac=270.
90(a-b)=270.
a-b=3.
Đổi chỗ chữ số hàng chục và hàng đơn vị, ta được acb.
Số mới tăng 36 đơn vị nên:
acb-abc=36.
9(c-b)=36.
c-b=4.
Ta có:
a=b+3.
c=b+4.
Mặt khác:
a+b+c=16.
Thay vào:
b+3+b+b+4=16.
3b+7=16.
3b=9.
b=3.
Do đó:
a=3+3=6.
c=3+4=7.
Vậy số cần tìm là 637.
Đáp số: 637.
Bài 32
Gọi số cần tìm là abc.
Khi chuyển chữ số hàng đơn vị lên đầu, ta được số cab.
Theo đề bài:
cab-abc=297.
100c+10a+b-(100a+10b+c)=297.
99c-90a-9b=297.
Chia cả hai vế cho 9:
11c-10a-b=33.
Mặt khác:
a+b+c=15.
Suy ra:
b=15-a-c.
Thay vào biểu thức trên:
11c-10a-(15-a-c)=33.
12c-9a=48.
4c-3a=16.
Suy ra:
4c=3a+16.
Để c là chữ số thì a phải chia hết cho 4.
Xét:
- Nếu a=4 thì c=7.
- Nếu a=8 thì c=10, không phải là chữ số.
Vậy a=4 và c=7.
Khi đó:
b=15-4-7=4.
Số cần tìm là 447.
Kiểm tra:
Chuyển chữ số 7 lên đầu, ta được 744.
744-447=297.
Đáp số: 447.
Bài 33
Gọi số cần tìm là abc.
Khi xóa chữ số hàng chục, ta được số ac.
Theo đề bài:
abc-ac=370.
100a+10b+c-(10a+c)=370.
90a+10b=370.
Chia cả hai vế cho 10:
9a+b=37.
Vì a và b là các chữ số nên chỉ có:
a=4 và b=1.
Mặt khác:
a+b+c=12.
c=12-4-1=7.
Vậy số cần tìm là 417.
Kiểm tra:
417-47=370.
Đáp số: 417.
Bài 34
Gọi số cần tìm là abc.
Khi chèn chữ số 0 giữa chữ số hàng chục và hàng đơn vị, ta được số ab0c.
Theo đề bài:
ab0c-abc=3780.
Ta có:
1000a+100b+c-(100a+10b+c)=3780.
900a+90b=3780.
90(10a+b)=3780.
10a+b=3780:90=42.
Suy ra:
a=4 và b=2.
Mặt khác:
a+b+c=9.
c=9-4-2=3.
Vậy số cần tìm là 423.
Kiểm tra:
Chèn chữ số 0 giữa 2 và 3, ta được 4 203.
4203-423=3780.
Đáp số: 423.
Bài 35
Các số có thể lập là:
123, 132, 213, 231, 312, 321.
Mỗi chữ số 1, 2, 3 xuất hiện 2 lần ở mỗi hàng.
Tổng các chữ số là:
1+2+3=6.
Tổng giá trị ở hàng trăm là:
6×2×100=1200.
Tổng giá trị ở hàng chục là:
6×2×10=120.
Tổng giá trị ở hàng đơn vị là:
6×2=12.
Tổng tất cả các số là:
1200+120+12=1332.
Đáp số: 1 332.
Bài 36
Từ 1 đến 9 có:
9×1=9 chữ số.
Từ 10 đến 99 có:
90×2=180 chữ số.
Tổng số chữ số từ 1 đến 99 là:
9+180=189 chữ số.
Số chữ số còn lại để đến vị trí thứ 1000 là:
1000-189=811 chữ số.
Ta có:
811=270×3+1.
Sau khi viết 270 số có ba chữ số, ta dùng:
270×3=810 chữ số.
Số thứ 270 tính từ 100 là:
100+270-1=369.
Chữ số tiếp theo là chữ số đầu tiên của số 370.
Chữ số đầu tiên của 370 là 3.
Đáp số: chữ số 3.
V. Kinh nghiệm làm bài
- Khi đề bài cho một số có các chữ số chưa biết, nên đặt số dưới dạng ab, abc hoặc abcd.
- Cần chuyển số có chữ số chưa biết về cấu tạo thập phân trước khi tính:
ab=10a+b.
abc=100a+10b+c.
- Với bài toán viết ngược số có hai chữ số, cần nhớ:
ab-ba=9(a-b).
ab+ba=11(a+b).
- Với số có ba chữ số và số viết ngược lại:
abc-cba=99(a-c).
- Khi lập số từ các chữ số có chữ số 0, phải chú ý chữ số đầu tiên không được bằng 0.
- Khi đếm số chẵn, số lẻ hoặc số chia hết cho 5, nên chọn chữ số hàng đơn vị trước.
- Với bài đếm chữ số, phải chia các số thành từng nhóm có một chữ số, hai chữ số, ba chữ số và bốn chữ số.
- Khi viết thêm một chữ số vào bên phải số A, số mới không phải là A+b mà là 10A+b.
- Sau khi tìm được số, cần thay lại vào tất cả các điều kiện để kiểm tra kết quả.
- Không nên thử lần lượt quá nhiều số khi có thể biểu diễn bằng chữ và lập phép tính.
Góc Hỏi Đáp (0 bình luận)