Bài 18 Chia hết và số dư Nâng cao

Tìm chữ số để một số chia hết

Chuyên đề nâng cao tìm chữ số để một số chia hết với phương pháp chọn lọc, 20 bài toán phân loại và lời giải đầy đủ từng bước dành cho học sinh ôn thi vào lớp 6 CLC.

Học xong bài này

Mục tiêu bài học

Nhận biết và xử lí các biến đổi nâng cao của dạng Tìm chữ số để một số chia hết.
Biết phân tích dữ kiện ẩn, lựa chọn phương pháp ngắn gọn và kiểm tra kết quả.
Trình bày lời giải đầy đủ từng bước theo ngôn ngữ Toán tiểu học, không dùng kiến thức thuần THCS.

Ghi nhớ kiến thức nền

Kiến thức cần nhớ

Phạm vi: Bài học chỉ tập trung vào câu hỏi nâng cao, dữ kiện ẩn, bài toán ngược và bài toán có nhiều điều kiện. Các thao tác cơ bản được coi là kiến thức nền.

Số dư luôn nhỏ hơn số chia.
Dấu hiệu chia hết giúp loại nhanh các trường hợp mà không phải thực hiện phép chia.
Khi tìm chữ số, phải thử đủ các chữ số từ 0 đến 9 và kiểm tra điều kiện chữ số đầu.
Trọng tâm là nhận đúng dữ kiện đặc trưng của dạng “Tìm chữ số để một số chia hết” và chọn phép tính phù hợp.
Nên trình bày theo thứ tự: tóm tắt, lập luận, phép tính, kết luận.

Quan sát cách làm

Ví dụ minh họa

Phương pháp chung

Đọc kĩ đề, gạch dưới dữ kiện và xác định chính xác yêu cầu cuối cùng.
Ta không thử chia một cách ngẫu nhiên. Trước hết cần nhận ra dấu hiệu chia hết, quy luật số dư hoặc chu kì phù hợp với dữ kiện của bài.
Trình bày từng kết quả trung gian, giải thích ý nghĩa của phép tính và kiểm tra lại kết luận.

Ví dụ 1: Tìm tất cả các cặp chữ số (x, y) để số 5x53y chia hết đồng thời cho 2 và 9. Không thử đủ 100 cặp; hãy dùng các dấu hiệu chia hết để rút gọn trường hợp.

Hướng dẫn giải chi tiết:

Phân tích đề: Ta không thử chia một cách ngẫu nhiên. Trước hết cần nhận ra dấu hiệu chia hết, quy luật số dư hoặc chu kì phù hợp với dữ kiện của bài.

Bước 1: Từ dấu hiệu chia hết cho 2 và 9, xác định điều kiện của chữ số tận cùng y và tổng các chữ số 5+x+5+3+y.

Vì sao làm như vậy: Bước này chuyển số lớn hoặc điều kiện phức tạp về một quy luật ngắn gọn hơn, nhờ đó ta không phải thực hiện phép tính quá dài.

Bước 2: Xét các giá trị y phù hợp, rồi tìm x trong phạm vi 0 đến 9 thỏa mãn điều kiện tổng chữ số.

Vì sao làm như vậy: Ta kết hợp quy luật vừa tìm với các điều kiện còn lại, xét đủ các trường hợp có thể và loại những trường hợp không thỏa mãn.

Ý nghĩa của kết quả: Kết quả chỉ được chấp nhận khi thỏa mãn đồng thời điều kiện chia hết, số dư và điều kiện về chữ số của đề.

Kết luận: Các cặp (x, y) là (1, 4), (3, 2), (5, 0), (6, 8), (8, 6); các số tương ứng: 51 534, 53 532, 55 530, 56 538, 58 536.

Kiểm tra: Thay trực tiếp kết quả vào dấu hiệu chia hết hoặc phép chia có dư để kiểm tra lại.

Ví dụ 2: Tìm tất cả các cặp chữ số (x, y) để số 9x77y chia hết đồng thời cho 5 và 9. Không thử đủ 100 cặp; hãy dùng các dấu hiệu chia hết để rút gọn trường hợp.

Hướng dẫn giải chi tiết:

Bước 1: Từ dấu hiệu chia hết cho 5 và 9, xác định điều kiện của chữ số tận cùng y và tổng các chữ số 9+x+7+7+y.

Bước 2: Xét các giá trị y phù hợp, rồi tìm x trong phạm vi 0 đến 9 thỏa mãn điều kiện tổng chữ số.

Ý nghĩa của kết quả: Kết quả chỉ được chấp nhận khi thỏa mãn đồng thời điều kiện chia hết, số dư và điều kiện về chữ số của đề.

Kết luận: Các cặp (x, y) là (4, 0), (8, 5); các số tương ứng: 94 770, 98 775.

Kiểm tra: Thay trực tiếp kết quả vào dấu hiệu chia hết hoặc phép chia có dư để kiểm tra lại.

Ví dụ 3: Tìm tất cả các cặp chữ số (x, y) để số 6x96y chia hết đồng thời cho 3 và 5. Không thử đủ 100 cặp; hãy dùng các dấu hiệu chia hết để rút gọn trường hợp.

Hướng dẫn giải chi tiết:

Bước 1: Từ dấu hiệu chia hết cho 3 và 5, xác định điều kiện của chữ số tận cùng y và tổng các chữ số 6+x+9+6+y.

Bước 2: Xét các giá trị y phù hợp, rồi tìm x trong phạm vi 0 đến 9 thỏa mãn điều kiện tổng chữ số.

Ý nghĩa của kết quả: Kết quả chỉ được chấp nhận khi thỏa mãn đồng thời điều kiện chia hết, số dư và điều kiện về chữ số của đề.

Kết luận: Các cặp (x, y) là (0, 0), (1, 5), (3, 0), (4, 5), (6, 0), (7, 5), (9, 0); các số tương ứng: 60 960, 61 965, 63 960, 64 965, 66 960, 67 965, 69 960.

Kiểm tra: Thay trực tiếp kết quả vào dấu hiệu chia hết hoặc phép chia có dư để kiểm tra lại.

Làm theo kiến thức vừa học

Bài tập áp dụng

Gồm 5 bài tập nâng cao. Em hãy tự trình bày bài giải đầy đủ vào vở trước khi mở lời giải.

Bài 1: Tìm tất cả các cặp chữ số (x, y) để số 7x68y chia hết đồng thời cho 2 và 9. Không thử đủ 100 cặp; hãy dùng các dấu hiệu chia hết để rút gọn trường hợp.

Bài 2: Tìm tất cả các cặp chữ số (x, y) để số 6x08y chia hết đồng thời cho 2 và 9. Không thử đủ 100 cặp; hãy dùng các dấu hiệu chia hết để rút gọn trường hợp.

Bài 3: Tìm tất cả các cặp chữ số (x, y) để số 7x85y chia hết đồng thời cho 5 và 9. Không thử đủ 100 cặp; hãy dùng các dấu hiệu chia hết để rút gọn trường hợp.

Bài 4: Tìm tất cả các cặp chữ số (x, y) để số 6x82y chia hết đồng thời cho 5 và 9. Không thử đủ 100 cặp; hãy dùng các dấu hiệu chia hết để rút gọn trường hợp.

Bài 5: Tìm tất cả các cặp chữ số (x, y) để số 6x66y chia hết đồng thời cho 3 và 5. Không thử đủ 100 cặp; hãy dùng các dấu hiệu chia hết để rút gọn trường hợp.

Xem lời giải

Lời giải:

Trước hết, ta dùng dấu hiệu chia hết hoặc quy luật số dư thích hợp, thay vì tính toàn bộ số hay thử lần lượt quá nhiều trường hợp.

Từ dấu hiệu chia hết cho 2 và 9, xác định điều kiện của chữ số tận cùng y và tổng các chữ số 7+x+6+8+y.

Từ quy luật trên, ta thu hẹp được các khả năng cần xét và xác định điều kiện bắt buộc của các chữ số hoặc số cần tìm.

Xét các giá trị y phù hợp, rồi tìm x trong phạm vi 0 đến 9 thỏa mãn điều kiện tổng chữ số.

Kết hợp điều kiện vừa có với dữ kiện còn lại của đề để tìm kết quả duy nhất, rồi thử lại bằng phép chia hoặc dấu hiệu chia hết.

Từ các kết quả trên, ta trả lời đầy đủ yêu cầu của bài toán và ghi đáp số kèm đơn vị (nếu có).

Đáp số: Các cặp (x, y) là (0, 6), (2, 4), (4, 2), (6, 0), (7, 8), (9, 6); các số tương ứng: 70 686, 72 684, 74 682, 76 680, 77 688, 79 686.

Lời giải:

Trước hết, ta dùng dấu hiệu chia hết hoặc quy luật số dư thích hợp, thay vì tính toàn bộ số hay thử lần lượt quá nhiều trường hợp.

Từ dấu hiệu chia hết cho 2 và 9, xác định điều kiện của chữ số tận cùng y và tổng các chữ số 6+x+0+8+y.

Từ quy luật trên, ta thu hẹp được các khả năng cần xét và xác định điều kiện bắt buộc của các chữ số hoặc số cần tìm.

Xét các giá trị y phù hợp, rồi tìm x trong phạm vi 0 đến 9 thỏa mãn điều kiện tổng chữ số.

Kết hợp điều kiện vừa có với dữ kiện còn lại của đề để tìm kết quả duy nhất, rồi thử lại bằng phép chia hoặc dấu hiệu chia hết.

Từ các kết quả trên, ta trả lời đầy đủ yêu cầu của bài toán và ghi đáp số kèm đơn vị (nếu có).

Đáp số: Các cặp (x, y) là (0, 4), (2, 2), (4, 0), (5, 8), (7, 6), (9, 4); các số tương ứng: 60 084, 62 082, 64 080, 65 088, 67 086, 69 084.

Lời giải:

Trước hết, ta dùng dấu hiệu chia hết hoặc quy luật số dư thích hợp, thay vì tính toàn bộ số hay thử lần lượt quá nhiều trường hợp.

Từ dấu hiệu chia hết cho 5 và 9, xác định điều kiện của chữ số tận cùng y và tổng các chữ số 7+x+8+5+y.

Từ quy luật trên, ta thu hẹp được các khả năng cần xét và xác định điều kiện bắt buộc của các chữ số hoặc số cần tìm.

Xét các giá trị y phù hợp, rồi tìm x trong phạm vi 0 đến 9 thỏa mãn điều kiện tổng chữ số.

Kết hợp điều kiện vừa có với dữ kiện còn lại của đề để tìm kết quả duy nhất, rồi thử lại bằng phép chia hoặc dấu hiệu chia hết.

Từ các kết quả trên, ta trả lời đầy đủ yêu cầu của bài toán và ghi đáp số kèm đơn vị (nếu có).

Đáp số: Các cặp (x, y) là (2, 5), (7, 0); các số tương ứng: 72 855, 77 850.

Lời giải:

Trước hết, ta dùng dấu hiệu chia hết hoặc quy luật số dư thích hợp, thay vì tính toàn bộ số hay thử lần lượt quá nhiều trường hợp.

Từ dấu hiệu chia hết cho 5 và 9, xác định điều kiện của chữ số tận cùng y và tổng các chữ số 6+x+8+2+y.

Từ quy luật trên, ta thu hẹp được các khả năng cần xét và xác định điều kiện bắt buộc của các chữ số hoặc số cần tìm.

Xét các giá trị y phù hợp, rồi tìm x trong phạm vi 0 đến 9 thỏa mãn điều kiện tổng chữ số.

Kết hợp điều kiện vừa có với dữ kiện còn lại của đề để tìm kết quả duy nhất, rồi thử lại bằng phép chia hoặc dấu hiệu chia hết.

Từ các kết quả trên, ta trả lời đầy đủ yêu cầu của bài toán và ghi đáp số kèm đơn vị (nếu có).

Đáp số: Các cặp (x, y) là (2, 0), (6, 5); các số tương ứng: 62 820, 66 825.

Lời giải:

Trước hết, ta dùng dấu hiệu chia hết hoặc quy luật số dư thích hợp, thay vì tính toàn bộ số hay thử lần lượt quá nhiều trường hợp.

Từ dấu hiệu chia hết cho 3 và 5, xác định điều kiện của chữ số tận cùng y và tổng các chữ số 6+x+6+6+y.

Từ quy luật trên, ta thu hẹp được các khả năng cần xét và xác định điều kiện bắt buộc của các chữ số hoặc số cần tìm.

Xét các giá trị y phù hợp, rồi tìm x trong phạm vi 0 đến 9 thỏa mãn điều kiện tổng chữ số.

Kết hợp điều kiện vừa có với dữ kiện còn lại của đề để tìm kết quả duy nhất, rồi thử lại bằng phép chia hoặc dấu hiệu chia hết.

Từ các kết quả trên, ta trả lời đầy đủ yêu cầu của bài toán và ghi đáp số kèm đơn vị (nếu có).

Đáp số: Các cặp (x, y) là (0, 0), (1, 5), (3, 0), (4, 5), (6, 0), (7, 5), (9, 0); các số tương ứng: 60 660, 61 665, 63 660, 64 665, 66 660, 67 665, 69 660.

Tự kiểm tra mức độ thành thạo

Bài tập tự luyện

Em hãy tự làm trước. Các bài tập đều ở mức nâng cao hoặc nâng cao CLC.

Bài 1: Tìm tất cả các cặp chữ số (x, y) để số 9x67y chia hết đồng thời cho 5 và 9. Không thử đủ 100 cặp; hãy dùng các dấu hiệu chia hết để rút gọn trường hợp.

Bài 2: Tìm tất cả các cặp chữ số (x, y) để số 9x30y chia hết đồng thời cho 5 và 9. Không thử đủ 100 cặp; hãy dùng các dấu hiệu chia hết để rút gọn trường hợp.

Bài 3: Tìm tất cả các cặp chữ số (x, y) để số 9x89y chia hết đồng thời cho 2 và 9. Không thử đủ 100 cặp; hãy dùng các dấu hiệu chia hết để rút gọn trường hợp.

Bài 4: Tìm tất cả các cặp chữ số (x, y) để số 6x47y chia hết đồng thời cho 5 và 9. Không thử đủ 100 cặp; hãy dùng các dấu hiệu chia hết để rút gọn trường hợp.

Bài 5: Tìm tất cả các cặp chữ số (x, y) để số 8x67y chia hết đồng thời cho 5 và 9. Không thử đủ 100 cặp; hãy dùng các dấu hiệu chia hết để rút gọn trường hợp.

Bài 6: Tìm tất cả các cặp chữ số (x, y) để số 1x79y chia hết đồng thời cho 3 và 5. Không thử đủ 100 cặp; hãy dùng các dấu hiệu chia hết để rút gọn trường hợp.

Bài 7: Tìm tất cả các cặp chữ số (x, y) để số 8x35y chia hết đồng thời cho 5 và 9. Không thử đủ 100 cặp; hãy dùng các dấu hiệu chia hết để rút gọn trường hợp.

Bài 8: Tìm tất cả các cặp chữ số (x, y) để số 1x54y chia hết đồng thời cho 2 và 9. Không thử đủ 100 cặp; hãy dùng các dấu hiệu chia hết để rút gọn trường hợp.

Bài 9: Tìm tất cả các cặp chữ số (x, y) để số 9x32y chia hết đồng thời cho 3 và 5. Không thử đủ 100 cặp; hãy dùng các dấu hiệu chia hết để rút gọn trường hợp.

Bài 10: Tìm tất cả các cặp chữ số (x, y) để số 8x66y chia hết đồng thời cho 2 và 9. Không thử đủ 100 cặp; hãy dùng các dấu hiệu chia hết để rút gọn trường hợp.

Bài 11: Tìm tất cả các cặp chữ số (x, y) để số 5x14y chia hết đồng thời cho 2 và 9. Không thử đủ 100 cặp; hãy dùng các dấu hiệu chia hết để rút gọn trường hợp.

Bài 12: Tìm tất cả các cặp chữ số (x, y) để số 6x77y chia hết đồng thời cho 2 và 9. Không thử đủ 100 cặp; hãy dùng các dấu hiệu chia hết để rút gọn trường hợp.

Xem lời giải bài tập tự luyện

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Từ dấu hiệu chia hết cho 5 và 9, xác định điều kiện của chữ số tận cùng y và tổng các chữ số 9+x+6+7+y. Ta giữ đúng quan hệ: số bị chia bằng số chia nhân thương cộng số dư, trong đó số dư nhỏ hơn số chia. Mỗi số tìm được phải được thử lại với tất cả điều kiện chia hết hoặc số dư của đề.

Bước 2: Xét các giá trị y phù hợp, rồi tìm x trong phạm vi 0 đến 9 thỏa mãn điều kiện tổng chữ số. Ta giữ đúng quan hệ: số bị chia bằng số chia nhân thương cộng số dư, trong đó số dư nhỏ hơn số chia. Mỗi số tìm được phải được thử lại với tất cả điều kiện chia hết hoặc số dư của đề.

Đáp số: Các cặp (x, y) là (0, 5), (5, 0), (9, 5); các số tương ứng: 90 675, 95 670, 99 675.

Kiểm tra: Cuối cùng, thay kết quả vào các điều kiện ban đầu hoặc thực hiện phép tính ngược. Nếu tất cả dữ kiện đều được thỏa mãn thì lời giải và đáp số là hợp lí.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Từ dấu hiệu chia hết cho 5 và 9, xác định điều kiện của chữ số tận cùng y và tổng các chữ số 9+x+3+0+y. Ta giữ đúng quan hệ: số bị chia bằng số chia nhân thương cộng số dư, trong đó số dư nhỏ hơn số chia. Mỗi số tìm được phải được thử lại với tất cả điều kiện chia hết hoặc số dư của đề.

Đáp số: Các cặp (x, y) là (1, 5), (6, 0); các số tương ứng: 91 305, 96 300.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Từ dấu hiệu chia hết cho 2 và 9, xác định điều kiện của chữ số tận cùng y và tổng các chữ số 9+x+8+9+y. Ta giữ đúng quan hệ: số bị chia bằng số chia nhân thương cộng số dư, trong đó số dư nhỏ hơn số chia. Mỗi số tìm được phải được thử lại với tất cả điều kiện chia hết hoặc số dư của đề.

Đáp số: Các cặp (x, y) là (1, 0), (2, 8), (4, 6), (6, 4), (8, 2); các số tương ứng: 91 890, 92 898, 94 896, 96 894, 98 892.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Từ dấu hiệu chia hết cho 5 và 9, xác định điều kiện của chữ số tận cùng y và tổng các chữ số 6+x+4+7+y. Ta giữ đúng quan hệ: số bị chia bằng số chia nhân thương cộng số dư, trong đó số dư nhỏ hơn số chia. Mỗi số tìm được phải được thử lại với tất cả điều kiện chia hết hoặc số dư của đề.

Đáp số: Các cặp (x, y) là (1, 0), (5, 5); các số tương ứng: 61 470, 65 475.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Từ dấu hiệu chia hết cho 5 và 9, xác định điều kiện của chữ số tận cùng y và tổng các chữ số 8+x+6+7+y. Ta giữ đúng quan hệ: số bị chia bằng số chia nhân thương cộng số dư, trong đó số dư nhỏ hơn số chia. Mỗi số tìm được phải được thử lại với tất cả điều kiện chia hết hoặc số dư của đề.

Đáp số: Các cặp (x, y) là (1, 5), (6, 0); các số tương ứng: 81 675, 86 670.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Từ dấu hiệu chia hết cho 3 và 5, xác định điều kiện của chữ số tận cùng y và tổng các chữ số 1+x+7+9+y. Ta giữ đúng quan hệ: số bị chia bằng số chia nhân thương cộng số dư, trong đó số dư nhỏ hơn số chia. Mỗi số tìm được phải được thử lại với tất cả điều kiện chia hết hoặc số dư của đề.

Đáp số: Các cặp (x, y) là (1, 0), (2, 5), (4, 0), (5, 5), (7, 0), (8, 5); các số tương ứng: 11 790, 12 795, 14 790, 15 795, 17 790, 18 795.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Từ dấu hiệu chia hết cho 5 và 9, xác định điều kiện của chữ số tận cùng y và tổng các chữ số 8+x+3+5+y. Ta giữ đúng quan hệ: số bị chia bằng số chia nhân thương cộng số dư, trong đó số dư nhỏ hơn số chia. Mỗi số tìm được phải được thử lại với tất cả điều kiện chia hết hoặc số dư của đề.

Đáp số: Các cặp (x, y) là (2, 0), (6, 5); các số tương ứng: 82 350, 86 355.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Từ dấu hiệu chia hết cho 2 và 9, xác định điều kiện của chữ số tận cùng y và tổng các chữ số 1+x+5+4+y. Ta giữ đúng quan hệ: số bị chia bằng số chia nhân thương cộng số dư, trong đó số dư nhỏ hơn số chia. Mỗi số tìm được phải được thử lại với tất cả điều kiện chia hết hoặc số dư của đề.

Đáp số: Các cặp (x, y) là (0, 8), (2, 6), (4, 4), (6, 2), (8, 0), (9, 8); các số tương ứng: 10 548, 12 546, 14 544, 16 542, 18 540, 19 548.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Từ dấu hiệu chia hết cho 3 và 5, xác định điều kiện của chữ số tận cùng y và tổng các chữ số 9+x+3+2+y. Ta giữ đúng quan hệ: số bị chia bằng số chia nhân thương cộng số dư, trong đó số dư nhỏ hơn số chia. Mỗi số tìm được phải được thử lại với tất cả điều kiện chia hết hoặc số dư của đề.

Đáp số: Các cặp (x, y) là (1, 0), (2, 5), (4, 0), (5, 5), (7, 0), (8, 5); các số tương ứng: 91 320, 92 325, 94 320, 95 325, 97 320, 98 325.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Từ dấu hiệu chia hết cho 2 và 9, xác định điều kiện của chữ số tận cùng y và tổng các chữ số 8+x+6+6+y. Ta giữ đúng quan hệ: số bị chia bằng số chia nhân thương cộng số dư, trong đó số dư nhỏ hơn số chia. Mỗi số tìm được phải được thử lại với tất cả điều kiện chia hết hoặc số dư của đề.

Đáp số: Các cặp (x, y) là (1, 6), (3, 4), (5, 2), (7, 0), (8, 8); các số tương ứng: 81 666, 83 664, 85 662, 87 660, 88 668.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Từ dấu hiệu chia hết cho 2 và 9, xác định điều kiện của chữ số tận cùng y và tổng các chữ số 5+x+1+4+y. Ta giữ đúng quan hệ: số bị chia bằng số chia nhân thương cộng số dư, trong đó số dư nhỏ hơn số chia. Mỗi số tìm được phải được thử lại với tất cả điều kiện chia hết hoặc số dư của đề.

Đáp số: Các cặp (x, y) là (0, 8), (2, 6), (4, 4), (6, 2), (8, 0), (9, 8); các số tương ứng: 50 148, 52 146, 54 144, 56 142, 58 140, 59 148.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Từ dấu hiệu chia hết cho 2 và 9, xác định điều kiện của chữ số tận cùng y và tổng các chữ số 6+x+7+7+y. Ta giữ đúng quan hệ: số bị chia bằng số chia nhân thương cộng số dư, trong đó số dư nhỏ hơn số chia. Mỗi số tìm được phải được thử lại với tất cả điều kiện chia hết hoặc số dư của đề.

Đáp số: Các cặp (x, y) là (1, 6), (3, 4), (5, 2), (7, 0), (8, 8); các số tương ứng: 61 776, 63 774, 65 772, 67 770, 68 778.

Tổng kết bài học

Ghi nhớ và tự kiểm tra

Trọng tâm của bài là nhận ra cấu trúc ẩn trong dạng Tìm chữ số để một số chia hết.
Không làm theo phép tính máy móc; cần giải thích vì sao chọn cách làm.
Mọi đáp số phải được kiểm tra lại với toàn bộ dữ kiện của đề.

Câu hỏi tự kiểm tra

Em có tách được từng điều kiện và xác định thứ tự xử lí không?
Em có trình bày đủ các kết quả trung gian không?
Em có kiểm tra lại đáp số bằng điều kiện ban đầu hoặc một cách khác không?