Bài toán tổng hợp chia hết và số dư
Chuyên đề nâng cao bài toán tổng hợp chia hết và số dư với phương pháp chọn lọc, 20 bài toán phân loại và lời giải đầy đủ từng bước dành cho học sinh ôn thi vào lớp 6 CLC.
Mục tiêu bài học
- Nhận biết và xử lí các biến đổi nâng cao của dạng Bài toán tổng hợp chia hết và số dư.
- Biết phân tích dữ kiện ẩn, lựa chọn phương pháp ngắn gọn và kiểm tra kết quả.
- Trình bày lời giải đầy đủ từng bước theo ngôn ngữ Toán tiểu học, không dùng kiến thức thuần THCS.
Kiến thức cần nhớ
- Số dư luôn nhỏ hơn số chia.
- Dấu hiệu chia hết giúp loại nhanh các trường hợp mà không phải thực hiện phép chia.
- Khi tìm chữ số, phải thử đủ các chữ số từ 0 đến 9 và kiểm tra điều kiện chữ số đầu.
- Viết phép chia theo dạng a=b×q+r với 0≤r<b.
Ví dụ minh họa
Phương pháp chung
- Đọc kĩ đề, gạch dưới dữ kiện và xác định chính xác yêu cầu cuối cùng.
- Ta không thử chia một cách ngẫu nhiên. Trước hết cần nhận ra dấu hiệu chia hết, quy luật số dư hoặc chu kì phù hợp với dữ kiện của bài.
- Trình bày từng kết quả trung gian, giải thích ý nghĩa của phép tính và kiểm tra lại kết luận.
Ví dụ 1: Tìm tất cả các cặp chữ số (x, y) để số 1x82y chia hết đồng thời cho 5 và 9. Không thử đủ 100 cặp; hãy dùng các dấu hiệu chia hết để rút gọn trường hợp.
Hướng dẫn giải chi tiết:
Phân tích đề: Ta không thử chia một cách ngẫu nhiên. Trước hết cần nhận ra dấu hiệu chia hết, quy luật số dư hoặc chu kì phù hợp với dữ kiện của bài.
Bước 1: Từ dấu hiệu chia hết cho 5 và 9, xác định điều kiện của chữ số tận cùng y và tổng các chữ số 1+x+8+2+y.
Vì sao làm như vậy: Bước này chuyển số lớn hoặc điều kiện phức tạp về một quy luật ngắn gọn hơn, nhờ đó ta không phải thực hiện phép tính quá dài.
Bước 2: Xét các giá trị y phù hợp, rồi tìm x trong phạm vi 0 đến 9 thỏa mãn điều kiện tổng chữ số.
Vì sao làm như vậy: Ta kết hợp quy luật vừa tìm với các điều kiện còn lại, xét đủ các trường hợp có thể và loại những trường hợp không thỏa mãn.
Ý nghĩa của kết quả: Kết quả chỉ được chấp nhận khi thỏa mãn đồng thời điều kiện chia hết, số dư và điều kiện về chữ số của đề.
Kết luận: Các cặp (x, y) là (2, 5), (7, 0); các số tương ứng: 12 825, 17 820.
Kiểm tra: Thay trực tiếp kết quả vào dấu hiệu chia hết hoặc phép chia có dư để kiểm tra lại.
Ví dụ 2: Tìm tất cả các cặp chữ số (x, y) để số 6x36y chia hết đồng thời cho 2 và 9. Không thử đủ 100 cặp; hãy dùng các dấu hiệu chia hết để rút gọn trường hợp.
Hướng dẫn giải chi tiết:
Phân tích đề: Ta không thử chia một cách ngẫu nhiên. Trước hết cần nhận ra dấu hiệu chia hết, quy luật số dư hoặc chu kì phù hợp với dữ kiện của bài.
Bước 1: Từ dấu hiệu chia hết cho 2 và 9, xác định điều kiện của chữ số tận cùng y và tổng các chữ số 6+x+3+6+y.
Vì sao làm như vậy: Bước này chuyển số lớn hoặc điều kiện phức tạp về một quy luật ngắn gọn hơn, nhờ đó ta không phải thực hiện phép tính quá dài.
Bước 2: Xét các giá trị y phù hợp, rồi tìm x trong phạm vi 0 đến 9 thỏa mãn điều kiện tổng chữ số.
Vì sao làm như vậy: Ta kết hợp quy luật vừa tìm với các điều kiện còn lại, xét đủ các trường hợp có thể và loại những trường hợp không thỏa mãn.
Ý nghĩa của kết quả: Kết quả chỉ được chấp nhận khi thỏa mãn đồng thời điều kiện chia hết, số dư và điều kiện về chữ số của đề.
Kết luận: Các cặp (x, y) là (1, 2), (3, 0), (4, 8), (6, 6), (8, 4); các số tương ứng: 61 362, 63 360, 64 368, 66 366, 68 364.
Kiểm tra: Thay trực tiếp kết quả vào dấu hiệu chia hết hoặc phép chia có dư để kiểm tra lại.
Ví dụ 3: Tìm tất cả các cặp chữ số (x, y) để số 7x29y chia hết đồng thời cho 2 và 9. Không thử đủ 100 cặp; hãy dùng các dấu hiệu chia hết để rút gọn trường hợp.
Hướng dẫn giải chi tiết:
Phân tích đề: Ta không thử chia một cách ngẫu nhiên. Trước hết cần nhận ra dấu hiệu chia hết, quy luật số dư hoặc chu kì phù hợp với dữ kiện của bài.
Bước 1: Từ dấu hiệu chia hết cho 2 và 9, xác định điều kiện của chữ số tận cùng y và tổng các chữ số 7+x+2+9+y.
Vì sao làm như vậy: Bước này chuyển số lớn hoặc điều kiện phức tạp về một quy luật ngắn gọn hơn, nhờ đó ta không phải thực hiện phép tính quá dài.
Bước 2: Xét các giá trị y phù hợp, rồi tìm x trong phạm vi 0 đến 9 thỏa mãn điều kiện tổng chữ số.
Vì sao làm như vậy: Ta kết hợp quy luật vừa tìm với các điều kiện còn lại, xét đủ các trường hợp có thể và loại những trường hợp không thỏa mãn.
Ý nghĩa của kết quả: Kết quả chỉ được chấp nhận khi thỏa mãn đồng thời điều kiện chia hết, số dư và điều kiện về chữ số của đề.
Kết luận: Các cặp (x, y) là (0, 0), (1, 8), (3, 6), (5, 4), (7, 2), (9, 0); các số tương ứng: 70 290, 71 298, 73 296, 75 294, 77 292, 79 290.
Kiểm tra: Thay trực tiếp kết quả vào dấu hiệu chia hết hoặc phép chia có dư để kiểm tra lại.
Bài tập áp dụng
Bài 1: Tìm các cặp chữ số (x, y) để số 27xy chia hết cho 4 và tổng các chữ số bằng 11.
Bài 2: Tìm các cặp chữ số (x, y) để số 93xy chia hết cho 8 và tổng các chữ số bằng 15.
Bài 3: Tìm các cặp chữ số (x, y) để số 33xy chia hết cho 8 và tổng các chữ số bằng 13.
Bài 4: Tìm các cặp chữ số (x, y) để số 5x22y chia hết cho 11 và x + y = 11.
Bài 5: Tìm các cặp chữ số (x, y) để số 9x18y chia hết cho 11 và x + y = 6.
Xem lời giải
Bài 1: Tìm các cặp chữ số (x, y) để số 27xy chia hết cho 4 và tổng các chữ số bằng 11.
Lời giải:
Trước hết, ta dùng dấu hiệu chia hết hoặc quy luật số dư thích hợp, thay vì tính toàn bộ số hay thử lần lượt quá nhiều trường hợp.
Điều kiện tổng chữ số cho x + y = 2.
Từ quy luật trên, ta thu hẹp được các khả năng cần xét và xác định điều kiện bắt buộc của các chữ số hoặc số cần tìm.
Vì số phải chia hết cho 4, xét hai chữ số tận cùng và kết hợp với x + y vừa tìm.
Kết hợp điều kiện vừa có với dữ kiện còn lại của đề để tìm kết quả duy nhất, rồi thử lại bằng phép chia hoặc dấu hiệu chia hết.
Từ các kết quả trên, ta trả lời đầy đủ yêu cầu của bài toán và ghi đáp số kèm đơn vị (nếu có).
Đáp số: Các cặp (x, y) thỏa mãn là (2, 0); số tương ứng: 2 720.
Bài 2: Tìm các cặp chữ số (x, y) để số 93xy chia hết cho 8 và tổng các chữ số bằng 15.
Lời giải:
Trước hết, ta dùng dấu hiệu chia hết hoặc quy luật số dư thích hợp, thay vì tính toàn bộ số hay thử lần lượt quá nhiều trường hợp.
Điều kiện tổng chữ số cho x + y = 3.
Từ quy luật trên, ta thu hẹp được các khả năng cần xét và xác định điều kiện bắt buộc của các chữ số hoặc số cần tìm.
Vì số phải chia hết cho 8, xét ba chữ số tận cùng và kết hợp với x + y vừa tìm.
Kết hợp điều kiện vừa có với dữ kiện còn lại của đề để tìm kết quả duy nhất, rồi thử lại bằng phép chia hoặc dấu hiệu chia hết.
Từ các kết quả trên, ta trả lời đầy đủ yêu cầu của bài toán và ghi đáp số kèm đơn vị (nếu có).
Đáp số: Các cặp (x, y) thỏa mãn là (1, 2); số tương ứng: 9 312.
Bài 3: Tìm các cặp chữ số (x, y) để số 33xy chia hết cho 8 và tổng các chữ số bằng 13.
Lời giải:
Trước hết, ta dùng dấu hiệu chia hết hoặc quy luật số dư thích hợp, thay vì tính toàn bộ số hay thử lần lượt quá nhiều trường hợp.
Điều kiện tổng chữ số cho x + y = 7.
Từ quy luật trên, ta thu hẹp được các khả năng cần xét và xác định điều kiện bắt buộc của các chữ số hoặc số cần tìm.
Vì số phải chia hết cho 8, xét ba chữ số tận cùng và kết hợp với x + y vừa tìm.
Kết hợp điều kiện vừa có với dữ kiện còn lại của đề để tìm kết quả duy nhất, rồi thử lại bằng phép chia hoặc dấu hiệu chia hết.
Từ các kết quả trên, ta trả lời đầy đủ yêu cầu của bài toán và ghi đáp số kèm đơn vị (nếu có).
Đáp số: Các cặp (x, y) thỏa mãn là (5, 2); số tương ứng: 3 352.
Bài 4: Tìm các cặp chữ số (x, y) để số 5x22y chia hết cho 11 và x + y = 11.
Lời giải:
Trước hết, ta dùng dấu hiệu chia hết hoặc quy luật số dư thích hợp, thay vì tính toàn bộ số hay thử lần lượt quá nhiều trường hợp.
Tổng các chữ số ở vị trí thứ nhất, ba, năm là 5+2+y = 7+y; tổng ở vị trí thứ hai, tư là x+2.
Từ quy luật trên, ta thu hẹp được các khả năng cần xét và xác định điều kiện bắt buộc của các chữ số hoặc số cần tìm.
Hai tổng phải bằng nhau hoặc chênh nhau 11; kết hợp với x+y=11 để xét các chữ số từ 0 đến 9.
Kết hợp điều kiện vừa có với dữ kiện còn lại của đề để tìm kết quả duy nhất, rồi thử lại bằng phép chia hoặc dấu hiệu chia hết.
Từ các kết quả trên, ta trả lời đầy đủ yêu cầu của bài toán và ghi đáp số kèm đơn vị (nếu có).
Đáp số: Các cặp (x, y) là (8, 3); các số tương ứng: 58 223.
Bài 5: Tìm các cặp chữ số (x, y) để số 9x18y chia hết cho 11 và x + y = 6.
Lời giải:
Trước hết, ta dùng dấu hiệu chia hết hoặc quy luật số dư thích hợp, thay vì tính toàn bộ số hay thử lần lượt quá nhiều trường hợp.
Tổng các chữ số ở vị trí thứ nhất, ba, năm là 9+1+y = 10+y; tổng ở vị trí thứ hai, tư là x+8.
Từ quy luật trên, ta thu hẹp được các khả năng cần xét và xác định điều kiện bắt buộc của các chữ số hoặc số cần tìm.
Hai tổng phải bằng nhau hoặc chênh nhau 11; kết hợp với x+y=6 để xét các chữ số từ 0 đến 9.
Kết hợp điều kiện vừa có với dữ kiện còn lại của đề để tìm kết quả duy nhất, rồi thử lại bằng phép chia hoặc dấu hiệu chia hết.
Từ các kết quả trên, ta trả lời đầy đủ yêu cầu của bài toán và ghi đáp số kèm đơn vị (nếu có).
Đáp số: Các cặp (x, y) là (4, 2); các số tương ứng: 94 182.
Bài tập tự luyện
Bài 1: Tìm các cặp chữ số (x, y) để số 7x52y chia hết cho 11 và x + y = 1.
Bài 2: Dùng các chữ số 7, 5, 0, 6, 9, mỗi chữ số đúng một lần, lập các số có năm chữ số chia hết đồng thời cho 8 và 3. Có bao nhiêu số? Tìm số lớn nhất và số nhỏ nhất.
Bài 3: Dùng các chữ số 0, 6, 8, 2, 5, mỗi chữ số đúng một lần, lập các số có năm chữ số chia hết đồng thời cho 8 và 3. Có bao nhiêu số? Tìm số lớn nhất và số nhỏ nhất.
Bài 4: Dùng các chữ số 1, 4, 2, 5, 6, mỗi chữ số đúng một lần, lập các số có năm chữ số chia hết đồng thời cho 5 và 3. Có bao nhiêu số? Tìm số lớn nhất và số nhỏ nhất.
Bài 5: Trong khoảng từ 371 đến 786, có bao nhiêu số khi chia cho 14 dư 3? Tìm số nhỏ nhất và số lớn nhất trong các số đó.
Bài 6: Trong khoảng từ 585 đến 1 288, có bao nhiêu số khi chia cho 8 dư 2? Tìm số nhỏ nhất và số lớn nhất trong các số đó.
Bài 7: Trong khoảng từ 381 đến 1 095, có bao nhiêu số khi chia cho 13 dư 5? Tìm số nhỏ nhất và số lớn nhất trong các số đó.
Bài 8: Tìm tất cả các số trong khoảng 220 đến 1036 sao cho chia cho 8 dư 6, đồng thời chia cho 5 dư 3.
Bài 9: Tìm tất cả các số trong khoảng 266 đến 645 sao cho chia cho 6 dư 5, đồng thời chia cho 7 dư 5.
Bài 10: Tìm tất cả các số trong khoảng 232 đến 1096 sao cho chia cho 8 dư 0, đồng thời chia cho 12 dư 8.
Bài 11: Một đội học sinh khi xếp hàng 7, hàng 9 hoặc hàng 5 đều vừa đủ. Biết số học sinh lớn hơn 945 nhưng không quá 1574. Hỏi đội có bao nhiêu học sinh?
Bài 12: Một đội học sinh khi xếp hàng 5, hàng 6 hoặc hàng 7 đều vừa đủ. Biết số học sinh lớn hơn 210 nhưng không quá 629. Hỏi đội có bao nhiêu học sinh?
Xem lời giải bài tập tự luyện
Bài 1: Tìm các cặp chữ số (x, y) để số 7x52y chia hết cho 11 và x + y = 1.
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Tổng các chữ số ở vị trí thứ nhất, ba, năm là 7+5+y = 12+y; tổng ở vị trí thứ hai, tư là x+2. Ta giữ đúng quan hệ: số bị chia bằng số chia nhân thương cộng số dư, trong đó số dư nhỏ hơn số chia. Mỗi số tìm được phải được thử lại với tất cả điều kiện chia hết hoặc số dư của đề.
Bước 2: Hai tổng phải bằng nhau hoặc chênh nhau 11; kết hợp với x+y=1 để xét các chữ số từ 0 đến 9. Ta giữ đúng quan hệ: số bị chia bằng số chia nhân thương cộng số dư, trong đó số dư nhỏ hơn số chia. Mỗi số tìm được phải được thử lại với tất cả điều kiện chia hết hoặc số dư của đề.
Đáp số: Các cặp (x, y) là (0, 1); các số tương ứng: 70 521.
Kiểm tra: Cuối cùng, thay kết quả vào các điều kiện ban đầu hoặc thực hiện phép tính ngược. Nếu tất cả dữ kiện đều được thỏa mãn thì lời giải và đáp số là hợp lí.
Bài 2: Dùng các chữ số 7, 5, 0, 6, 9, mỗi chữ số đúng một lần, lập các số có năm chữ số chia hết đồng thời cho 8 và 3. Có bao nhiêu số? Tìm số lớn nhất và số nhỏ nhất.
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Dùng dấu hiệu chia hết cho 8 và 3 để xác định chữ số cuối hoặc nhóm chữ số cuối, đồng thời kiểm tra tổng chữ số khi cần. Ta giữ đúng quan hệ: số bị chia bằng số chia nhân thương cộng số dư, trong đó số dư nhỏ hơn số chia. Mỗi số tìm được phải được thử lại với tất cả điều kiện chia hết hoặc số dư của đề.
Bước 2: Sắp xếp các chữ số còn lại theo mọi thứ tự phù hợp nhưng chữ số đầu không được là 0. Thu được 12 số. Ta giữ đúng quan hệ: số bị chia bằng số chia nhân thương cộng số dư, trong đó số dư nhỏ hơn số chia. Mỗi số tìm được phải được thử lại với tất cả điều kiện chia hết hoặc số dư của đề.
Đáp số: Số nhỏ nhất là 50 976, số lớn nhất là 97 560.
Kiểm tra: Cuối cùng, thay kết quả vào các điều kiện ban đầu hoặc thực hiện phép tính ngược. Nếu tất cả dữ kiện đều được thỏa mãn thì lời giải và đáp số là hợp lí.
Bài 3: Dùng các chữ số 0, 6, 8, 2, 5, mỗi chữ số đúng một lần, lập các số có năm chữ số chia hết đồng thời cho 8 và 3. Có bao nhiêu số? Tìm số lớn nhất và số nhỏ nhất.
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Dùng dấu hiệu chia hết cho 8 và 3 để xác định chữ số cuối hoặc nhóm chữ số cuối, đồng thời kiểm tra tổng chữ số khi cần. Ta giữ đúng quan hệ: số bị chia bằng số chia nhân thương cộng số dư, trong đó số dư nhỏ hơn số chia. Mỗi số tìm được phải được thử lại với tất cả điều kiện chia hết hoặc số dư của đề.
Bước 2: Sắp xếp các chữ số còn lại theo mọi thứ tự phù hợp nhưng chữ số đầu không được là 0. Thu được 18 số. Ta giữ đúng quan hệ: số bị chia bằng số chia nhân thương cộng số dư, trong đó số dư nhỏ hơn số chia. Mỗi số tìm được phải được thử lại với tất cả điều kiện chia hết hoặc số dư của đề.
Đáp số: Số nhỏ nhất là 20 568, số lớn nhất là 86 520.
Kiểm tra: Cuối cùng, thay kết quả vào các điều kiện ban đầu hoặc thực hiện phép tính ngược. Nếu tất cả dữ kiện đều được thỏa mãn thì lời giải và đáp số là hợp lí.
Bài 4: Dùng các chữ số 1, 4, 2, 5, 6, mỗi chữ số đúng một lần, lập các số có năm chữ số chia hết đồng thời cho 5 và 3. Có bao nhiêu số? Tìm số lớn nhất và số nhỏ nhất.
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Dùng dấu hiệu chia hết cho 5 và 3 để xác định chữ số cuối hoặc nhóm chữ số cuối, đồng thời kiểm tra tổng chữ số khi cần. Ta giữ đúng quan hệ: số bị chia bằng số chia nhân thương cộng số dư, trong đó số dư nhỏ hơn số chia. Mỗi số tìm được phải được thử lại với tất cả điều kiện chia hết hoặc số dư của đề.
Bước 2: Sắp xếp các chữ số còn lại theo mọi thứ tự phù hợp nhưng chữ số đầu không được là 0. Thu được 24 số. Ta giữ đúng quan hệ: số bị chia bằng số chia nhân thương cộng số dư, trong đó số dư nhỏ hơn số chia. Mỗi số tìm được phải được thử lại với tất cả điều kiện chia hết hoặc số dư của đề.
Đáp số: Số nhỏ nhất là 12 465, số lớn nhất là 64 215.
Kiểm tra: Cuối cùng, thay kết quả vào các điều kiện ban đầu hoặc thực hiện phép tính ngược. Nếu tất cả dữ kiện đều được thỏa mãn thì lời giải và đáp số là hợp lí.
Bài 5: Trong khoảng từ 371 đến 786, có bao nhiêu số khi chia cho 14 dư 3? Tìm số nhỏ nhất và số lớn nhất trong các số đó.
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Tìm số đầu tiên trong khoảng có dạng 14 × thương + 3: số nhỏ nhất là 381. Ta giữ đúng quan hệ: số bị chia bằng số chia nhân thương cộng số dư, trong đó số dư nhỏ hơn số chia. Mỗi số tìm được phải được thử lại với tất cả điều kiện chia hết hoặc số dư của đề.
Bước 2: Các số cần tìm tạo thành dãy cách đều 14: 381, 395, ..., 773. Ta giữ đúng quan hệ: số bị chia bằng số chia nhân thương cộng số dư, trong đó số dư nhỏ hơn số chia. Mỗi số tìm được phải được thử lại với tất cả điều kiện chia hết hoặc số dư của đề.
Đáp số: Số lượng là (773 − 381) : 14 + 1 = 29. Số nhỏ nhất 381, số lớn nhất 773.
Kiểm tra: Cuối cùng, thay kết quả vào các điều kiện ban đầu hoặc thực hiện phép tính ngược. Nếu tất cả dữ kiện đều được thỏa mãn thì lời giải và đáp số là hợp lí.
Bài 6: Trong khoảng từ 585 đến 1 288, có bao nhiêu số khi chia cho 8 dư 2? Tìm số nhỏ nhất và số lớn nhất trong các số đó.
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Tìm số đầu tiên trong khoảng có dạng 8 × thương + 2: số nhỏ nhất là 586. Ta giữ đúng quan hệ: số bị chia bằng số chia nhân thương cộng số dư, trong đó số dư nhỏ hơn số chia. Mỗi số tìm được phải được thử lại với tất cả điều kiện chia hết hoặc số dư của đề.
Bước 2: Các số cần tìm tạo thành dãy cách đều 8: 586, 594, ..., 1282. Ta giữ đúng quan hệ: số bị chia bằng số chia nhân thương cộng số dư, trong đó số dư nhỏ hơn số chia. Mỗi số tìm được phải được thử lại với tất cả điều kiện chia hết hoặc số dư của đề.
Đáp số: Số lượng là (1282 − 586) : 8 + 1 = 88. Số nhỏ nhất 586, số lớn nhất 1282.
Kiểm tra: Cuối cùng, thay kết quả vào các điều kiện ban đầu hoặc thực hiện phép tính ngược. Nếu tất cả dữ kiện đều được thỏa mãn thì lời giải và đáp số là hợp lí.
Bài 7: Trong khoảng từ 381 đến 1 095, có bao nhiêu số khi chia cho 13 dư 5? Tìm số nhỏ nhất và số lớn nhất trong các số đó.
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Tìm số đầu tiên trong khoảng có dạng 13 × thương + 5: số nhỏ nhất là 382. Ta giữ đúng quan hệ: số bị chia bằng số chia nhân thương cộng số dư, trong đó số dư nhỏ hơn số chia. Mỗi số tìm được phải được thử lại với tất cả điều kiện chia hết hoặc số dư của đề.
Bước 2: Các số cần tìm tạo thành dãy cách đều 13: 382, 395, ..., 1084. Ta giữ đúng quan hệ: số bị chia bằng số chia nhân thương cộng số dư, trong đó số dư nhỏ hơn số chia. Mỗi số tìm được phải được thử lại với tất cả điều kiện chia hết hoặc số dư của đề.
Đáp số: Số lượng là (1084 − 382) : 13 + 1 = 55. Số nhỏ nhất 382, số lớn nhất 1084.
Kiểm tra: Cuối cùng, thay kết quả vào các điều kiện ban đầu hoặc thực hiện phép tính ngược. Nếu tất cả dữ kiện đều được thỏa mãn thì lời giải và đáp số là hợp lí.
Bài 8: Tìm tất cả các số trong khoảng 220 đến 1036 sao cho chia cho 8 dư 6, đồng thời chia cho 5 dư 3.
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Liệt kê theo bước nhảy 8 các số trong khoảng chia cho 8 dư 6. Ta giữ đúng quan hệ: số bị chia bằng số chia nhân thương cộng số dư, trong đó số dư nhỏ hơn số chia. Mỗi số tìm được phải được thử lại với tất cả điều kiện chia hết hoặc số dư của đề.
Bước 2: Kiểm tra các số vừa liệt kê với điều kiện chia cho 5 dư 3; giữ lại những số thỏa mãn cả hai điều kiện. Ta giữ đúng quan hệ: số bị chia bằng số chia nhân thương cộng số dư, trong đó số dư nhỏ hơn số chia. Mỗi số tìm được phải được thử lại với tất cả điều kiện chia hết hoặc số dư của đề.
Đáp số: Các số cần tìm là: 238, 278, 318, 358, 398, 438, 478, 518, 558, 598, 638, 678, 718, 758, 798, 838, 878, 918, 958, 998.
Kiểm tra: Cuối cùng, thay kết quả vào các điều kiện ban đầu hoặc thực hiện phép tính ngược. Nếu tất cả dữ kiện đều được thỏa mãn thì lời giải và đáp số là hợp lí.
Bài 9: Tìm tất cả các số trong khoảng 266 đến 645 sao cho chia cho 6 dư 5, đồng thời chia cho 7 dư 5.
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Liệt kê theo bước nhảy 6 các số trong khoảng chia cho 6 dư 5. Ta giữ đúng quan hệ: số bị chia bằng số chia nhân thương cộng số dư, trong đó số dư nhỏ hơn số chia. Mỗi số tìm được phải được thử lại với tất cả điều kiện chia hết hoặc số dư của đề.
Bước 2: Kiểm tra các số vừa liệt kê với điều kiện chia cho 7 dư 5; giữ lại những số thỏa mãn cả hai điều kiện. Ta giữ đúng quan hệ: số bị chia bằng số chia nhân thương cộng số dư, trong đó số dư nhỏ hơn số chia. Mỗi số tìm được phải được thử lại với tất cả điều kiện chia hết hoặc số dư của đề.
Đáp số: Các số cần tìm là: 299, 341, 383, 425, 467, 509, 551, 593, 635.
Kiểm tra: Cuối cùng, thay kết quả vào các điều kiện ban đầu hoặc thực hiện phép tính ngược. Nếu tất cả dữ kiện đều được thỏa mãn thì lời giải và đáp số là hợp lí.
Bài 10: Tìm tất cả các số trong khoảng 232 đến 1096 sao cho chia cho 8 dư 0, đồng thời chia cho 12 dư 8.
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Liệt kê theo bước nhảy 8 các số trong khoảng chia cho 8 dư 0. Ta giữ đúng quan hệ: số bị chia bằng số chia nhân thương cộng số dư, trong đó số dư nhỏ hơn số chia. Mỗi số tìm được phải được thử lại với tất cả điều kiện chia hết hoặc số dư của đề.
Bước 2: Kiểm tra các số vừa liệt kê với điều kiện chia cho 12 dư 8; giữ lại những số thỏa mãn cả hai điều kiện. Ta giữ đúng quan hệ: số bị chia bằng số chia nhân thương cộng số dư, trong đó số dư nhỏ hơn số chia. Mỗi số tìm được phải được thử lại với tất cả điều kiện chia hết hoặc số dư của đề.
Đáp số: Các số cần tìm là: 248, 272, 296, 320, 344, 368, 392, 416, 440, 464, 488, 512, 536, 560, 584, 608, 632, 656, 680, 704, 728, 752, 776, 800, 824, 848, 872, 896, 920, 944, 968, 992, 1 016, 1 040, 1 064, 1 088.
Kiểm tra: Cuối cùng, thay kết quả vào các điều kiện ban đầu hoặc thực hiện phép tính ngược. Nếu tất cả dữ kiện đều được thỏa mãn thì lời giải và đáp số là hợp lí.
Bài 11: Một đội học sinh khi xếp hàng 7, hàng 9 hoặc hàng 5 đều vừa đủ. Biết số học sinh lớn hơn 945 nhưng không quá 1574. Hỏi đội có bao nhiêu học sinh?
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Tìm các số chia hết cho cả 7, 9 và 5 bằng cách liệt kê các số chia hết chung nhỏ nhất: 315, 630, 945, ... Ta giữ đúng quan hệ: số bị chia bằng số chia nhân thương cộng số dư, trong đó số dư nhỏ hơn số chia. Mỗi số tìm được phải được thử lại với tất cả điều kiện chia hết hoặc số dư của đề.
Bước 2: Trong khoảng lớn hơn 945 và không quá 1574, chỉ có 1260 chia hết cho cả ba số. Ta giữ đúng quan hệ: số bị chia bằng số chia nhân thương cộng số dư, trong đó số dư nhỏ hơn số chia. Mỗi số tìm được phải được thử lại với tất cả điều kiện chia hết hoặc số dư của đề.
Đáp số: Đội có 1260 học sinh.
Kiểm tra: Cuối cùng, thay kết quả vào các điều kiện ban đầu hoặc thực hiện phép tính ngược. Nếu tất cả dữ kiện đều được thỏa mãn thì lời giải và đáp số là hợp lí.
Bài 12: Một đội học sinh khi xếp hàng 5, hàng 6 hoặc hàng 7 đều vừa đủ. Biết số học sinh lớn hơn 210 nhưng không quá 629. Hỏi đội có bao nhiêu học sinh?
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Tìm các số chia hết cho cả 5, 6 và 7 bằng cách liệt kê các số chia hết chung nhỏ nhất: 210, 420, 630, ... Ta giữ đúng quan hệ: số bị chia bằng số chia nhân thương cộng số dư, trong đó số dư nhỏ hơn số chia. Mỗi số tìm được phải được thử lại với tất cả điều kiện chia hết hoặc số dư của đề.
Bước 2: Trong khoảng lớn hơn 210 và không quá 629, chỉ có 420 chia hết cho cả ba số. Ta giữ đúng quan hệ: số bị chia bằng số chia nhân thương cộng số dư, trong đó số dư nhỏ hơn số chia. Mỗi số tìm được phải được thử lại với tất cả điều kiện chia hết hoặc số dư của đề.
Đáp số: Đội có 420 học sinh.
Kiểm tra: Cuối cùng, thay kết quả vào các điều kiện ban đầu hoặc thực hiện phép tính ngược. Nếu tất cả dữ kiện đều được thỏa mãn thì lời giải và đáp số là hợp lí.
Ghi nhớ và tự kiểm tra
- Trọng tâm của bài là nhận ra cấu trúc ẩn trong dạng Bài toán tổng hợp chia hết và số dư.
- Không làm theo phép tính máy móc; cần giải thích vì sao chọn cách làm.
- Mọi đáp số phải được kiểm tra lại với toàn bộ dữ kiện của đề.
Câu hỏi tự kiểm tra
- Em có tách được từng điều kiện và xác định thứ tự xử lí không?
- Em có trình bày đủ các kết quả trung gian không?
- Em có kiểm tra lại đáp số bằng điều kiện ban đầu hoặc một cách khác không?