Bài 33 Dãy số và quy luật Nâng cao

Tính tổng dãy số cách đều

Chuyên đề nâng cao tính tổng dãy số cách đều với phương pháp chọn lọc, 20 bài toán phân loại và lời giải đầy đủ từng bước dành cho học sinh ôn thi vào lớp 6 CLC.

Học xong bài này

Mục tiêu bài học

Nhận biết và xử lí các biến đổi nâng cao của dạng Tính tổng dãy số cách đều.
Biết phân tích dữ kiện ẩn, lựa chọn phương pháp ngắn gọn và kiểm tra kết quả.
Trình bày lời giải đầy đủ từng bước theo ngôn ngữ Toán tiểu học, không dùng kiến thức thuần THCS.

Ghi nhớ kiến thức nền

Kiến thức cần nhớ

Phạm vi: Bài học chỉ tập trung vào câu hỏi nâng cao, dữ kiện ẩn, bài toán ngược và bài toán có nhiều điều kiện. Các thao tác cơ bản được coi là kiến thức nền.

Hãy xét hiệu, thương hoặc hai dãy con xen kẽ trước khi kết luận quy luật.
Dãy cách đều có hiệu giữa hai số hạng liên tiếp không đổi.
Với bài đếm số hạng, luôn cộng thêm 1 sau khi chia khoảng cách.
Tổng=(số đầu+số cuối)×số số hạng:2.

Quan sát cách làm

Ví dụ minh họa

Phương pháp chung

Đọc kĩ đề, gạch dưới dữ kiện và xác định chính xác yêu cầu cuối cùng.
Ta quan sát sự thay đổi giữa các số hạng, vị trí của số hạng và cách quy luật lặp lại. Không nên chỉ nhìn một cặp số liên tiếp rồi kết luận vội.
Trình bày từng kết quả trung gian, giải thích ý nghĩa của phép tính và kiểm tra lại kết luận.

Ví dụ 1: Một dãy số cách đều có số đầu 14, số hạng thứ 43 là 350. Hãy tìm khoảng cách giữa hai số liên tiếp, số hạng thứ 23, và tổng của 43 số hạng đầu.

Hướng dẫn giải chi tiết:

Phân tích đề: Ta quan sát sự thay đổi giữa các số hạng, vị trí của số hạng và cách quy luật lặp lại. Không nên chỉ nhìn một cặp số liên tiếp rồi kết luận vội.

Bước 1: Có 42 khoảng bằng nhau, nên khoảng cách là (350−14):(43−1)=8. Trong dãy cách đều, số khoảng bằng số số hạng trừ 1. Ta tìm đúng khoảng cách, số khoảng và số số hạng trước khi xác định một số hạng hoặc tính tổng dãy.

Vì sao làm như vậy: Việc viết ra vài số hạng đầu hoặc hiệu giữa các số hạng giúp nhận ra quy luật thật sự của dãy.

Bước 2: Số hạng thứ 23 là 14+(23−1)×8=190. Trong dãy cách đều, số khoảng bằng số số hạng trừ 1. Ta tìm đúng khoảng cách, số khoảng và số số hạng trước khi xác định một số hạng hoặc tính tổng dãy.

Vì sao làm như vậy: Sau khi xác định quy luật, ta liên hệ số thứ tự với giá trị của số hạng hoặc số khoảng cách để tính đúng đại lượng cần tìm.

Ý nghĩa của kết quả: Kết quả phải phù hợp với cả quy luật của dãy và vị trí được nêu trong đề.

Kết luận: Tổng 43 số hạng là (14+350)×43:2=7 826.

Kiểm tra: Thay vị trí vừa tìm vào quy luật và kiểm tra một vài số hạng lân cận.

Ví dụ 2: Một dãy số cách đều có số đầu 12, số hạng thứ 55 là 552. Hãy tìm khoảng cách giữa hai số liên tiếp, số hạng thứ 32, và tổng của 55 số hạng đầu.

Hướng dẫn giải chi tiết:

Bước 1: Có 54 khoảng bằng nhau, nên khoảng cách là (552−12):(55−1)=10. Trong dãy cách đều, số khoảng bằng số số hạng trừ 1. Ta tìm đúng khoảng cách, số khoảng và số số hạng trước khi xác định một số hạng hoặc tính tổng dãy.

Vì sao làm như vậy: Việc viết ra vài số hạng đầu hoặc hiệu giữa các số hạng giúp nhận ra quy luật thật sự của dãy.

Bước 2: Số hạng thứ 32 là 12+(32−1)×10=322. Trong dãy cách đều, số khoảng bằng số số hạng trừ 1. Ta tìm đúng khoảng cách, số khoảng và số số hạng trước khi xác định một số hạng hoặc tính tổng dãy.

Vì sao làm như vậy: Sau khi xác định quy luật, ta liên hệ số thứ tự với giá trị của số hạng hoặc số khoảng cách để tính đúng đại lượng cần tìm.

Ý nghĩa của kết quả: Kết quả phải phù hợp với cả quy luật của dãy và vị trí được nêu trong đề.

Kết luận: Tổng 55 số hạng là (12+552)×55:2=15 510.

Kiểm tra: Thay vị trí vừa tìm vào quy luật và kiểm tra một vài số hạng lân cận.

Ví dụ 3: Một dãy số cách đều có số đầu 13, số hạng thứ 27 là 351. Hãy tìm khoảng cách giữa hai số liên tiếp, số hạng thứ 21, và tổng của 27 số hạng đầu.

Hướng dẫn giải chi tiết:

Bước 1: Có 26 khoảng bằng nhau, nên khoảng cách là (351−13):(27−1)=13. Trong dãy cách đều, số khoảng bằng số số hạng trừ 1. Ta tìm đúng khoảng cách, số khoảng và số số hạng trước khi xác định một số hạng hoặc tính tổng dãy.

Vì sao làm như vậy: Việc viết ra vài số hạng đầu hoặc hiệu giữa các số hạng giúp nhận ra quy luật thật sự của dãy.

Bước 2: Số hạng thứ 21 là 13+(21−1)×13=273. Trong dãy cách đều, số khoảng bằng số số hạng trừ 1. Ta tìm đúng khoảng cách, số khoảng và số số hạng trước khi xác định một số hạng hoặc tính tổng dãy.

Vì sao làm như vậy: Sau khi xác định quy luật, ta liên hệ số thứ tự với giá trị của số hạng hoặc số khoảng cách để tính đúng đại lượng cần tìm.

Ý nghĩa của kết quả: Kết quả phải phù hợp với cả quy luật của dãy và vị trí được nêu trong đề.

Kết luận: Tổng 27 số hạng là (13+351)×27:2=4 914.

Kiểm tra: Thay vị trí vừa tìm vào quy luật và kiểm tra một vài số hạng lân cận.

Làm theo kiến thức vừa học

Bài tập áp dụng

Gồm 5 bài tập nâng cao. Em hãy tự trình bày bài giải đầy đủ vào vở trước khi mở lời giải.

Bài 1: Một dãy số cách đều có số đầu 8, số hạng thứ 50 là 645. Hãy tìm khoảng cách giữa hai số liên tiếp, số hạng thứ 8, và tổng của 50 số hạng đầu.

Bài 2: Một dãy số cách đều có số đầu 19, số hạng thứ 52 là 529. Hãy tìm khoảng cách giữa hai số liên tiếp, số hạng thứ 29, và tổng của 52 số hạng đầu.

Bài 3: Một dãy số cách đều có số đầu 33, số hạng thứ 47 là 401. Hãy tìm khoảng cách giữa hai số liên tiếp, số hạng thứ 24, và tổng của 47 số hạng đầu.

Bài 4: Một dãy số cách đều có số đầu 23, số hạng thứ 52 là 686. Hãy tìm khoảng cách giữa hai số liên tiếp, số hạng thứ 34, và tổng của 52 số hạng đầu.

Bài 5: Một dãy số cách đều có số đầu 23, số hạng thứ 54 là 500. Hãy tìm khoảng cách giữa hai số liên tiếp, số hạng thứ 32, và tổng của 54 số hạng đầu.

Xem lời giải

Lời giải:

Trước hết, ta viết rõ quy luật của dãy, xác định số khoảng cách hoặc chu kì, rồi mới tính số hạng hay tổng cần tìm.

Có 49 khoảng bằng nhau, nên khoảng cách là (645−8):(50−1)=13.

Số khoảng cách thường ít hơn số số hạng một đơn vị; đây là điểm dễ nhầm khi giải bài dãy số.

Số hạng thứ 8 là 8+(8−1)×13=99.

Dùng quy luật đã xác định để tính kết quả, sau đó đối chiếu với các số hạng đầu và cuối của dãy.

Từ các kết quả trên, ta trả lời đầy đủ yêu cầu của bài toán và ghi đáp số kèm đơn vị (nếu có).

Đáp số: Tổng 50 số hạng là (8+645)×50:2=16 325.

Lời giải:

Trước hết, ta viết rõ quy luật của dãy, xác định số khoảng cách hoặc chu kì, rồi mới tính số hạng hay tổng cần tìm.

Có 51 khoảng bằng nhau, nên khoảng cách là (529−19):(52−1)=10.

Số khoảng cách thường ít hơn số số hạng một đơn vị; đây là điểm dễ nhầm khi giải bài dãy số.

Số hạng thứ 29 là 19+(29−1)×10=299.

Dùng quy luật đã xác định để tính kết quả, sau đó đối chiếu với các số hạng đầu và cuối của dãy.

Từ các kết quả trên, ta trả lời đầy đủ yêu cầu của bài toán và ghi đáp số kèm đơn vị (nếu có).

Đáp số: Tổng 52 số hạng là (19+529)×52:2=14 248.

Lời giải:

Trước hết, ta viết rõ quy luật của dãy, xác định số khoảng cách hoặc chu kì, rồi mới tính số hạng hay tổng cần tìm.

Có 46 khoảng bằng nhau, nên khoảng cách là (401−33):(47−1)=8.

Số khoảng cách thường ít hơn số số hạng một đơn vị; đây là điểm dễ nhầm khi giải bài dãy số.

Số hạng thứ 24 là 33+(24−1)×8=217.

Dùng quy luật đã xác định để tính kết quả, sau đó đối chiếu với các số hạng đầu và cuối của dãy.

Từ các kết quả trên, ta trả lời đầy đủ yêu cầu của bài toán và ghi đáp số kèm đơn vị (nếu có).

Đáp số: Tổng 47 số hạng là (33+401)×47:2=10 199.

Lời giải:

Trước hết, ta viết rõ quy luật của dãy, xác định số khoảng cách hoặc chu kì, rồi mới tính số hạng hay tổng cần tìm.

Có 51 khoảng bằng nhau, nên khoảng cách là (686−23):(52−1)=13.

Số khoảng cách thường ít hơn số số hạng một đơn vị; đây là điểm dễ nhầm khi giải bài dãy số.

Số hạng thứ 34 là 23+(34−1)×13=452.

Dùng quy luật đã xác định để tính kết quả, sau đó đối chiếu với các số hạng đầu và cuối của dãy.

Từ các kết quả trên, ta trả lời đầy đủ yêu cầu của bài toán và ghi đáp số kèm đơn vị (nếu có).

Đáp số: Tổng 52 số hạng là (23+686)×52:2=18 434.

Lời giải:

Trước hết, ta viết rõ quy luật của dãy, xác định số khoảng cách hoặc chu kì, rồi mới tính số hạng hay tổng cần tìm.

Có 53 khoảng bằng nhau, nên khoảng cách là (500−23):(54−1)=9.

Số khoảng cách thường ít hơn số số hạng một đơn vị; đây là điểm dễ nhầm khi giải bài dãy số.

Số hạng thứ 32 là 23+(32−1)×9=302.

Dùng quy luật đã xác định để tính kết quả, sau đó đối chiếu với các số hạng đầu và cuối của dãy.

Từ các kết quả trên, ta trả lời đầy đủ yêu cầu của bài toán và ghi đáp số kèm đơn vị (nếu có).

Đáp số: Tổng 54 số hạng là (23+500)×54:2=14 121.

Tự kiểm tra mức độ thành thạo

Bài tập tự luyện

Em hãy tự làm trước. Các bài tập đều ở mức nâng cao hoặc nâng cao CLC.

Bài 1: Một dãy số cách đều có số đầu 6, số hạng thứ 51 là 606. Hãy tìm khoảng cách giữa hai số liên tiếp, số hạng thứ 15, và tổng của 51 số hạng đầu.

Bài 2: Một dãy số cách đều có số đầu 16, số hạng thứ 55 là 340. Hãy tìm khoảng cách giữa hai số liên tiếp, số hạng thứ 34, và tổng của 55 số hạng đầu.

Bài 3: Một dãy số cách đều có số đầu 32, số hạng thứ 43 là 494. Hãy tìm khoảng cách giữa hai số liên tiếp, số hạng thứ 33, và tổng của 43 số hạng đầu.

Bài 4: Một dãy số cách đều có số đầu 37, số hạng thứ 32 là 130. Hãy tìm khoảng cách giữa hai số liên tiếp, số hạng thứ 16, và tổng của 32 số hạng đầu.

Bài 5: Một dãy số cách đều có số đầu 27, số hạng thứ 21 là 87. Hãy tìm khoảng cách giữa hai số liên tiếp, số hạng thứ 12, và tổng của 21 số hạng đầu.

Bài 6: Một dãy số cách đều có số đầu 10, số hạng thứ 43 là 262. Hãy tìm khoảng cách giữa hai số liên tiếp, số hạng thứ 8, và tổng của 43 số hạng đầu.

Bài 7: Một dãy số cách đều có số đầu 36, số hạng thứ 42 là 241. Hãy tìm khoảng cách giữa hai số liên tiếp, số hạng thứ 29, và tổng của 42 số hạng đầu.

Bài 8: Một dãy số cách đều có số đầu 13, số hạng thứ 44 là 529. Hãy tìm khoảng cách giữa hai số liên tiếp, số hạng thứ 12, và tổng của 44 số hạng đầu.

Bài 9: Một dãy số cách đều có số đầu 28, số hạng thứ 37 là 316. Hãy tìm khoảng cách giữa hai số liên tiếp, số hạng thứ 18, và tổng của 37 số hạng đầu.

Bài 10: Một dãy số cách đều có số đầu 8, số hạng thứ 60 là 185. Hãy tìm khoảng cách giữa hai số liên tiếp, số hạng thứ 53, và tổng của 60 số hạng đầu.

Bài 11: Một dãy số cách đều có số đầu 18, số hạng thứ 39 là 170. Hãy tìm khoảng cách giữa hai số liên tiếp, số hạng thứ 18, và tổng của 39 số hạng đầu.

Bài 12: Một dãy số cách đều có số đầu 12, số hạng thứ 44 là 614. Hãy tìm khoảng cách giữa hai số liên tiếp, số hạng thứ 6, và tổng của 44 số hạng đầu.

Xem lời giải bài tập tự luyện

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Có 50 khoảng bằng nhau, nên khoảng cách là (606−6):(51−1)=12. Trong dãy cách đều, số khoảng bằng số số hạng trừ 1. Ta tìm đúng khoảng cách, số khoảng và số số hạng trước khi xác định một số hạng hoặc tính tổng dãy.

Bước 2: Số hạng thứ 15 là 6+(15−1)×12=174. Trong dãy cách đều, số khoảng bằng số số hạng trừ 1. Ta tìm đúng khoảng cách, số khoảng và số số hạng trước khi xác định một số hạng hoặc tính tổng dãy.

Đáp số: Tổng 51 số hạng là (6+606)×51:2=15 606.

Kiểm tra: Cuối cùng, thay kết quả vào các điều kiện ban đầu hoặc thực hiện phép tính ngược. Nếu tất cả dữ kiện đều được thỏa mãn thì lời giải và đáp số là hợp lí.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Có 54 khoảng bằng nhau, nên khoảng cách là (340−16):(55−1)=6. Trong dãy cách đều, số khoảng bằng số số hạng trừ 1. Ta tìm đúng khoảng cách, số khoảng và số số hạng trước khi xác định một số hạng hoặc tính tổng dãy.

Bước 2: Số hạng thứ 34 là 16+(34−1)×6=214. Trong dãy cách đều, số khoảng bằng số số hạng trừ 1. Ta tìm đúng khoảng cách, số khoảng và số số hạng trước khi xác định một số hạng hoặc tính tổng dãy.

Đáp số: Tổng 55 số hạng là (16+340)×55:2=9 790.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Có 42 khoảng bằng nhau, nên khoảng cách là (494−32):(43−1)=11. Trong dãy cách đều, số khoảng bằng số số hạng trừ 1. Ta tìm đúng khoảng cách, số khoảng và số số hạng trước khi xác định một số hạng hoặc tính tổng dãy.

Bước 2: Số hạng thứ 33 là 32+(33−1)×11=384. Trong dãy cách đều, số khoảng bằng số số hạng trừ 1. Ta tìm đúng khoảng cách, số khoảng và số số hạng trước khi xác định một số hạng hoặc tính tổng dãy.

Đáp số: Tổng 43 số hạng là (32+494)×43:2=11 309.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Có 31 khoảng bằng nhau, nên khoảng cách là (130−37):(32−1)=3. Trong dãy cách đều, số khoảng bằng số số hạng trừ 1. Ta tìm đúng khoảng cách, số khoảng và số số hạng trước khi xác định một số hạng hoặc tính tổng dãy.

Bước 2: Số hạng thứ 16 là 37+(16−1)×3=82. Trong dãy cách đều, số khoảng bằng số số hạng trừ 1. Ta tìm đúng khoảng cách, số khoảng và số số hạng trước khi xác định một số hạng hoặc tính tổng dãy.

Đáp số: Tổng 32 số hạng là (37+130)×32:2=2 672.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Có 20 khoảng bằng nhau, nên khoảng cách là (87−27):(21−1)=3. Trong dãy cách đều, số khoảng bằng số số hạng trừ 1. Ta tìm đúng khoảng cách, số khoảng và số số hạng trước khi xác định một số hạng hoặc tính tổng dãy.

Bước 2: Số hạng thứ 12 là 27+(12−1)×3=60. Trong dãy cách đều, số khoảng bằng số số hạng trừ 1. Ta tìm đúng khoảng cách, số khoảng và số số hạng trước khi xác định một số hạng hoặc tính tổng dãy.

Đáp số: Tổng 21 số hạng là (27+87)×21:2=1 197.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Có 42 khoảng bằng nhau, nên khoảng cách là (262−10):(43−1)=6. Trong dãy cách đều, số khoảng bằng số số hạng trừ 1. Ta tìm đúng khoảng cách, số khoảng và số số hạng trước khi xác định một số hạng hoặc tính tổng dãy.

Bước 2: Số hạng thứ 8 là 10+(8−1)×6=52. Trong dãy cách đều, số khoảng bằng số số hạng trừ 1. Ta tìm đúng khoảng cách, số khoảng và số số hạng trước khi xác định một số hạng hoặc tính tổng dãy.

Đáp số: Tổng 43 số hạng là (10+262)×43:2=5 848.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Có 41 khoảng bằng nhau, nên khoảng cách là (241−36):(42−1)=5. Trong dãy cách đều, số khoảng bằng số số hạng trừ 1. Ta tìm đúng khoảng cách, số khoảng và số số hạng trước khi xác định một số hạng hoặc tính tổng dãy.

Bước 2: Số hạng thứ 29 là 36+(29−1)×5=176. Trong dãy cách đều, số khoảng bằng số số hạng trừ 1. Ta tìm đúng khoảng cách, số khoảng và số số hạng trước khi xác định một số hạng hoặc tính tổng dãy.

Đáp số: Tổng 42 số hạng là (36+241)×42:2=5 817.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Có 43 khoảng bằng nhau, nên khoảng cách là (529−13):(44−1)=12. Trong dãy cách đều, số khoảng bằng số số hạng trừ 1. Ta tìm đúng khoảng cách, số khoảng và số số hạng trước khi xác định một số hạng hoặc tính tổng dãy.

Bước 2: Số hạng thứ 12 là 13+(12−1)×12=145. Trong dãy cách đều, số khoảng bằng số số hạng trừ 1. Ta tìm đúng khoảng cách, số khoảng và số số hạng trước khi xác định một số hạng hoặc tính tổng dãy.

Đáp số: Tổng 44 số hạng là (13+529)×44:2=11 924.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Có 36 khoảng bằng nhau, nên khoảng cách là (316−28):(37−1)=8. Trong dãy cách đều, số khoảng bằng số số hạng trừ 1. Ta tìm đúng khoảng cách, số khoảng và số số hạng trước khi xác định một số hạng hoặc tính tổng dãy.

Bước 2: Số hạng thứ 18 là 28+(18−1)×8=164. Trong dãy cách đều, số khoảng bằng số số hạng trừ 1. Ta tìm đúng khoảng cách, số khoảng và số số hạng trước khi xác định một số hạng hoặc tính tổng dãy.

Đáp số: Tổng 37 số hạng là (28+316)×37:2=6 364.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Có 59 khoảng bằng nhau, nên khoảng cách là (185−8):(60−1)=3. Trong dãy cách đều, số khoảng bằng số số hạng trừ 1. Ta tìm đúng khoảng cách, số khoảng và số số hạng trước khi xác định một số hạng hoặc tính tổng dãy.

Bước 2: Số hạng thứ 53 là 8+(53−1)×3=164. Trong dãy cách đều, số khoảng bằng số số hạng trừ 1. Ta tìm đúng khoảng cách, số khoảng và số số hạng trước khi xác định một số hạng hoặc tính tổng dãy.

Đáp số: Tổng 60 số hạng là (8+185)×60:2=5 790.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Có 38 khoảng bằng nhau, nên khoảng cách là (170−18):(39−1)=4. Trong dãy cách đều, số khoảng bằng số số hạng trừ 1. Ta tìm đúng khoảng cách, số khoảng và số số hạng trước khi xác định một số hạng hoặc tính tổng dãy.

Bước 2: Số hạng thứ 18 là 18+(18−1)×4=86. Trong dãy cách đều, số khoảng bằng số số hạng trừ 1. Ta tìm đúng khoảng cách, số khoảng và số số hạng trước khi xác định một số hạng hoặc tính tổng dãy.

Đáp số: Tổng 39 số hạng là (18+170)×39:2=3 666.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Có 43 khoảng bằng nhau, nên khoảng cách là (614−12):(44−1)=14. Trong dãy cách đều, số khoảng bằng số số hạng trừ 1. Ta tìm đúng khoảng cách, số khoảng và số số hạng trước khi xác định một số hạng hoặc tính tổng dãy.

Bước 2: Số hạng thứ 6 là 12+(6−1)×14=82. Trong dãy cách đều, số khoảng bằng số số hạng trừ 1. Ta tìm đúng khoảng cách, số khoảng và số số hạng trước khi xác định một số hạng hoặc tính tổng dãy.

Đáp số: Tổng 44 số hạng là (12+614)×44:2=13 772.

Tổng kết bài học

Ghi nhớ và tự kiểm tra

Trọng tâm của bài là nhận ra cấu trúc ẩn trong dạng Tính tổng dãy số cách đều.
Không làm theo phép tính máy móc; cần giải thích vì sao chọn cách làm.
Mọi đáp số phải được kiểm tra lại với toàn bộ dữ kiện của đề.

Câu hỏi tự kiểm tra

Em có tách được từng điều kiện và xác định thứ tự xử lí không?
Em có trình bày đủ các kết quả trung gian không?
Em có kiểm tra lại đáp số bằng điều kiện ban đầu hoặc một cách khác không?