Bài toán vòi chảy vào và vòi tháo ra

Học xong bài này

Mục tiêu bài học

Nhận biết và xử lí các biến đổi nâng cao của dạng Bài toán vòi chảy vào và vòi tháo ra.
Biết phân tích dữ kiện ẩn, lựa chọn phương pháp ngắn gọn và kiểm tra kết quả.

Ghi nhớ kiến thức nền

Kiến thức cần nhớ

Công việc = năng suất × thời gian.
Nếu coi toàn bộ công việc là 1 thì năng suất một giờ là một phân số của công việc.
Năng suất làm chung bằng tổng năng suất của các người hoặc máy đang cùng hoạt động.
Vòi vào mang năng suất dương; vòi tháo mang năng suất trừ.

Quan sát cách làm

Ví dụ minh họa

Phương pháp chung

Đọc kĩ đề, gạch dưới dữ kiện và xác định chính xác yêu cầu cuối cùng.
Ta coi toàn bộ công việc là một đơn vị hoặc một số phần bằng nhau, rồi xác định phần công việc mỗi người hay mỗi vòi hoàn thành trong một đơn vị thời gian.
Trình bày từng kết quả trung gian, giải thích ý nghĩa của phép tính và kiểm tra lại kết luận.

Ví dụ 1: Một vòi chảy đầy bể trong 8 giờ, một vòi tháo hết bể đầy trong 24 giờ. Bể đang rỗng, mở cả hai cùng lúc. Sau 2 giờ bể đầy bao nhiêu phần và cần thêm bao lâu để đầy?

Hướng dẫn giải chi tiết:

Phân tích đề: Ta coi toàn bộ công việc là một đơn vị hoặc một số phần bằng nhau, rồi xác định phần công việc mỗi người hay mỗi vòi hoàn thành trong một đơn vị thời gian.

Bước 1: Mỗi giờ lượng nước tăng 18−124=112 bể. Coi toàn bộ công việc hoặc cả bể là một đơn vị. Phần làm được trong một giờ là năng suất; khi cùng làm thì cộng các phần công việc, còn có vòi tháo ra thì phải trừ phần bị tháo.

Vì sao làm như vậy: Năng suất cho biết trong một đơn vị thời gian hoàn thành được bao nhiêu phần công việc.

Bước 2: Sau 2 giờ có 16 bể, còn thiếu 56. Coi toàn bộ công việc hoặc cả bể là một đơn vị. Phần làm được trong một giờ là năng suất; khi cùng làm thì cộng các phần công việc, còn có vòi tháo ra thì phải trừ phần bị tháo.

Vì sao làm như vậy: Khi cùng làm, các phần công việc hoàn thành trong cùng một thời gian được cộng lại; khi có vòi tháo hoặc phần việc bị giảm thì phải trừ.

Ý nghĩa của kết quả: Thời gian tìm được phải dương và hợp lí so với thời gian làm riêng của từng người hoặc từng máy.

Kết luận: Thời gian thêm là 56:112=10 giờ.

Kiểm tra: Nhân năng suất chung với thời gian vừa tìm để xem có hoàn thành đúng toàn bộ công việc hay không.

Ví dụ 2: Một vòi chảy đầy bể trong 4 giờ, một vòi tháo hết bể đầy trong 15 giờ. Bể đang rỗng, mở cả hai cùng lúc. Sau 2 giờ bể đầy bao nhiêu phần và cần thêm bao lâu để đầy?

Hướng dẫn giải chi tiết:

Bước 1: Mỗi giờ lượng nước tăng 14−115=1160 bể. Coi toàn bộ công việc hoặc cả bể là một đơn vị. Phần làm được trong một giờ là năng suất; khi cùng làm thì cộng các phần công việc, còn có vòi tháo ra thì phải trừ phần bị tháo.

Bước 2: Sau 2 giờ có 1130 bể, còn thiếu 1930. Coi toàn bộ công việc hoặc cả bể là một đơn vị. Phần làm được trong một giờ là năng suất; khi cùng làm thì cộng các phần công việc, còn có vòi tháo ra thì phải trừ phần bị tháo.

Kết luận: Thời gian thêm là 1930:1160=3811 giờ.

Ví dụ 3: Một vòi chảy đầy bể trong 6 giờ, một vòi tháo hết bể đầy trong 24 giờ. Bể đang rỗng, mở cả hai cùng lúc. Sau 2 giờ bể đầy bao nhiêu phần và cần thêm bao lâu để đầy?

Hướng dẫn giải chi tiết:

Bước 1: Mỗi giờ lượng nước tăng 16−124=18 bể. Coi toàn bộ công việc hoặc cả bể là một đơn vị. Phần làm được trong một giờ là năng suất; khi cùng làm thì cộng các phần công việc, còn có vòi tháo ra thì phải trừ phần bị tháo.

Bước 2: Sau 2 giờ có 14 bể, còn thiếu 34. Coi toàn bộ công việc hoặc cả bể là một đơn vị. Phần làm được trong một giờ là năng suất; khi cùng làm thì cộng các phần công việc, còn có vòi tháo ra thì phải trừ phần bị tháo.

Kết luận: Thời gian thêm là 34:18=6 giờ.

Làm theo kiến thức vừa học

Bài tập áp dụng

Gồm 5 bài tập nâng cao. Em hãy tự trình bày bài giải đầy đủ vào vở trước khi mở lời giải.

Bài 1: Một vòi chảy đầy bể trong 4 giờ, một vòi tháo hết bể đầy trong 12 giờ. Bể đang rỗng, mở cả hai cùng lúc. Sau 2 giờ bể đầy bao nhiêu phần và cần thêm bao lâu để đầy?

Bài 2: Một vòi chảy đầy bể trong 5 giờ, một vòi tháo hết bể đầy trong 10 giờ. Bể đang rỗng, mở cả hai cùng lúc. Sau 2 giờ bể đầy bao nhiêu phần và cần thêm bao lâu để đầy?

Bài 3: Một vòi chảy đầy bể trong 8 giờ, một vòi tháo hết bể đầy trong 12 giờ. Bể đang rỗng, mở cả hai cùng lúc. Sau 2 giờ bể đầy bao nhiêu phần và cần thêm bao lâu để đầy?

Bài 4: Một vòi chảy đầy bể trong 5 giờ, một vòi tháo hết bể đầy trong 24 giờ. Bể đang rỗng, mở cả hai cùng lúc. Sau 2 giờ bể đầy bao nhiêu phần và cần thêm bao lâu để đầy?

Bài 5: Một vòi chảy đầy bể trong 8 giờ, một vòi tháo hết bể đầy trong 20 giờ. Bể đang rỗng, mở cả hai cùng lúc. Sau 2 giờ bể đầy bao nhiêu phần và cần thêm bao lâu để đầy?

Xem lời giải

Lời giải:

Trước hết, ta xác định năng suất trong một đơn vị thời gian của từng đối tượng, rồi cộng hoặc trừ để tìm năng suất chung.

Mỗi giờ lượng nước tăng 14−112=16 bể.

Kết quả này cho biết trong một giờ hoặc một ngày, nhóm hoàn thành được bao nhiêu phần công việc.

Sau 2 giờ có 13 bể, còn thiếu 23.

Lấy toàn bộ công việc chia cho năng suất chung để tìm thời gian, sau đó kiểm tra lại phần công việc đã hoàn thành.

Từ các kết quả trên, ta trả lời đầy đủ yêu cầu của bài toán và ghi đáp số kèm đơn vị (nếu có).

Đáp số: Thời gian thêm là 23:16=4 giờ.

Lời giải:

Mỗi giờ lượng nước tăng 15−110=110 bể.

Kết quả này cho biết trong một giờ hoặc một ngày, nhóm hoàn thành được bao nhiêu phần công việc.

Sau 2 giờ có 15 bể, còn thiếu 45.

Từ các kết quả trên, ta trả lời đầy đủ yêu cầu của bài toán và ghi đáp số kèm đơn vị (nếu có).

Đáp số: Thời gian thêm là 45:110=8 giờ.

Lời giải:

Mỗi giờ lượng nước tăng 18−112=124 bể.

Kết quả này cho biết trong một giờ hoặc một ngày, nhóm hoàn thành được bao nhiêu phần công việc.

Sau 2 giờ có 112 bể, còn thiếu 1112.

Từ các kết quả trên, ta trả lời đầy đủ yêu cầu của bài toán và ghi đáp số kèm đơn vị (nếu có).

Đáp số: Thời gian thêm là 1112:124=22 giờ.

Lời giải:

Mỗi giờ lượng nước tăng 15−124=19120 bể.

Kết quả này cho biết trong một giờ hoặc một ngày, nhóm hoàn thành được bao nhiêu phần công việc.

Sau 2 giờ có 1960 bể, còn thiếu 4160.

Từ các kết quả trên, ta trả lời đầy đủ yêu cầu của bài toán và ghi đáp số kèm đơn vị (nếu có).

Đáp số: Thời gian thêm là 4160:19120=8219 giờ.

Lời giải:

Mỗi giờ lượng nước tăng 18−120=340 bể.

Kết quả này cho biết trong một giờ hoặc một ngày, nhóm hoàn thành được bao nhiêu phần công việc.

Sau 2 giờ có 320 bể, còn thiếu 1720.

Từ các kết quả trên, ta trả lời đầy đủ yêu cầu của bài toán và ghi đáp số kèm đơn vị (nếu có).

Đáp số: Thời gian thêm là 1720:340=343 giờ.

Tự kiểm tra mức độ thành thạo

Bài tập tự luyện

Em hãy tự làm trước. Các bài tập đều ở mức nâng cao hoặc nâng cao CLC.

Bài 1: Một vòi chảy đầy bể trong 6 giờ, một vòi tháo hết bể đầy trong 15 giờ. Bể đang rỗng, mở cả hai cùng lúc. Sau 2 giờ bể đầy bao nhiêu phần và cần thêm bao lâu để đầy?

Bài 2: Một vòi chảy đầy bể trong 4 giờ, một vòi tháo hết bể đầy trong 24 giờ. Bể đang rỗng, mở cả hai cùng lúc. Sau 2 giờ bể đầy bao nhiêu phần và cần thêm bao lâu để đầy?

Bài 3: Một vòi chảy đầy bể trong 4 giờ, một vòi tháo hết bể đầy trong 20 giờ. Bể đang rỗng, mở cả hai cùng lúc. Sau 2 giờ bể đầy bao nhiêu phần và cần thêm bao lâu để đầy?

Bài 4: Một vòi chảy đầy bể trong 8 giờ, một vòi tháo hết bể đầy trong 15 giờ. Bể đang rỗng, mở cả hai cùng lúc. Sau 2 giờ bể đầy bao nhiêu phần và cần thêm bao lâu để đầy?

Bài 5: Một vòi chảy đầy bể trong 5 giờ, một vòi tháo hết bể đầy trong 20 giờ. Bể đang rỗng, mở cả hai cùng lúc. Sau 2 giờ bể đầy bao nhiêu phần và cần thêm bao lâu để đầy?

Bài 6: Một vòi chảy đầy bể trong 6 giờ, một vòi tháo hết bể đầy trong 10 giờ. Bể đang rỗng, mở cả hai cùng lúc. Sau 2 giờ bể đầy bao nhiêu phần và cần thêm bao lâu để đầy?

Bài 7: Một vòi chảy đầy bể trong 6 giờ, một vòi tháo hết bể đầy trong 20 giờ. Bể đang rỗng, mở cả hai cùng lúc. Sau 2 giờ bể đầy bao nhiêu phần và cần thêm bao lâu để đầy?

Bài 8: Một vòi chảy đầy bể trong 5 giờ, một vòi tháo hết bể đầy trong 15 giờ. Bể đang rỗng, mở cả hai cùng lúc. Sau 2 giờ bể đầy bao nhiêu phần và cần thêm bao lâu để đầy?

Bài 9: Một vòi chảy đầy bể trong 5 giờ, một vòi tháo hết bể đầy trong 12 giờ. Bể đang rỗng, mở cả hai cùng lúc. Sau 2 giờ bể đầy bao nhiêu phần và cần thêm bao lâu để đầy?

Bài 10: Một vòi chảy đầy bể trong 4 giờ, một vòi tháo hết bể đầy trong 10 giờ. Bể đang rỗng, mở cả hai cùng lúc. Sau 2 giờ bể đầy bao nhiêu phần và cần thêm bao lâu để đầy?

Bài 11: Một vòi chảy đầy bể trong 8 giờ, một vòi tháo hết bể đầy trong 10 giờ. Bể đang rỗng, mở cả hai cùng lúc. Sau 2 giờ bể đầy bao nhiêu phần và cần thêm bao lâu để đầy?

Bài 12: Một vòi chảy đầy bể trong 6 giờ, một vòi tháo hết bể đầy trong 12 giờ. Bể đang rỗng, mở cả hai cùng lúc. Sau 2 giờ bể đầy bao nhiêu phần và cần thêm bao lâu để đầy?

Bài 13: Một vòi chảy đầy bể trong 6 giờ, một vòi tháo hết bể đầy trong 18 giờ. Bể rỗng, mở cả hai 3 giờ. Bể đầy bao nhiêu phần và cần thêm bao lâu để đầy?

Bài 14: Một vòi chảy đầy bể trong 5 giờ, một vòi tháo hết bể đầy trong 20 giờ. Mở cả hai 2 giờ. Cần thêm bao lâu để đầy?

Bài 15: Một vòi chảy đầy bể trong 8 giờ, một vòi tháo hết bể đầy trong 24 giờ. Mở cả hai 4 giờ. Cần thêm bao lâu để đầy?

Xem lời giải bài tập tự luyện

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Mỗi giờ lượng nước tăng 16−115=110 bể. Coi toàn bộ công việc hoặc cả bể là một đơn vị. Phần làm được trong một giờ là năng suất; khi cùng làm thì cộng các phần công việc, còn có vòi tháo ra thì phải trừ phần bị tháo.

Bước 2: Sau 2 giờ có 15 bể, còn thiếu 45. Coi toàn bộ công việc hoặc cả bể là một đơn vị. Phần làm được trong một giờ là năng suất; khi cùng làm thì cộng các phần công việc, còn có vòi tháo ra thì phải trừ phần bị tháo.

Đáp số: Thời gian thêm là 45:110=8 giờ.

Kiểm tra: Thay kết quả vừa tìm vào quan hệ ban đầu để kiểm tra quãng đường, thời gian hoặc phần công việc có khớp với đề bài hay không.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Mỗi giờ lượng nước tăng 14−124=524 bể. Coi toàn bộ công việc hoặc cả bể là một đơn vị. Phần làm được trong một giờ là năng suất; khi cùng làm thì cộng các phần công việc, còn có vòi tháo ra thì phải trừ phần bị tháo.

Bước 2: Sau 2 giờ có 512 bể, còn thiếu 712. Coi toàn bộ công việc hoặc cả bể là một đơn vị. Phần làm được trong một giờ là năng suất; khi cùng làm thì cộng các phần công việc, còn có vòi tháo ra thì phải trừ phần bị tháo.

Đáp số: Thời gian thêm là 712:524=145 giờ.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Mỗi giờ lượng nước tăng 14−120=15 bể. Coi toàn bộ công việc hoặc cả bể là một đơn vị. Phần làm được trong một giờ là năng suất; khi cùng làm thì cộng các phần công việc, còn có vòi tháo ra thì phải trừ phần bị tháo.

Bước 2: Sau 2 giờ có 25 bể, còn thiếu 35. Coi toàn bộ công việc hoặc cả bể là một đơn vị. Phần làm được trong một giờ là năng suất; khi cùng làm thì cộng các phần công việc, còn có vòi tháo ra thì phải trừ phần bị tháo.

Đáp số: Thời gian thêm là 35:15=3 giờ.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Mỗi giờ lượng nước tăng 18−115=7120 bể. Coi toàn bộ công việc hoặc cả bể là một đơn vị. Phần làm được trong một giờ là năng suất; khi cùng làm thì cộng các phần công việc, còn có vòi tháo ra thì phải trừ phần bị tháo.

Bước 2: Sau 2 giờ có 760 bể, còn thiếu 5360. Coi toàn bộ công việc hoặc cả bể là một đơn vị. Phần làm được trong một giờ là năng suất; khi cùng làm thì cộng các phần công việc, còn có vòi tháo ra thì phải trừ phần bị tháo.

Đáp số: Thời gian thêm là 5360:7120=1067 giờ.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Mỗi giờ lượng nước tăng 15−120=320 bể. Coi toàn bộ công việc hoặc cả bể là một đơn vị. Phần làm được trong một giờ là năng suất; khi cùng làm thì cộng các phần công việc, còn có vòi tháo ra thì phải trừ phần bị tháo.

Bước 2: Sau 2 giờ có 310 bể, còn thiếu 710. Coi toàn bộ công việc hoặc cả bể là một đơn vị. Phần làm được trong một giờ là năng suất; khi cùng làm thì cộng các phần công việc, còn có vòi tháo ra thì phải trừ phần bị tháo.

Đáp số: Thời gian thêm là 710:320=143 giờ.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Mỗi giờ lượng nước tăng 16−110=115 bể. Coi toàn bộ công việc hoặc cả bể là một đơn vị. Phần làm được trong một giờ là năng suất; khi cùng làm thì cộng các phần công việc, còn có vòi tháo ra thì phải trừ phần bị tháo.

Bước 2: Sau 2 giờ có 215 bể, còn thiếu 1315. Coi toàn bộ công việc hoặc cả bể là một đơn vị. Phần làm được trong một giờ là năng suất; khi cùng làm thì cộng các phần công việc, còn có vòi tháo ra thì phải trừ phần bị tháo.

Đáp số: Thời gian thêm là 1315:115=13 giờ.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Mỗi giờ lượng nước tăng 16−120=760 bể. Coi toàn bộ công việc hoặc cả bể là một đơn vị. Phần làm được trong một giờ là năng suất; khi cùng làm thì cộng các phần công việc, còn có vòi tháo ra thì phải trừ phần bị tháo.

Bước 2: Sau 2 giờ có 730 bể, còn thiếu 2330. Coi toàn bộ công việc hoặc cả bể là một đơn vị. Phần làm được trong một giờ là năng suất; khi cùng làm thì cộng các phần công việc, còn có vòi tháo ra thì phải trừ phần bị tháo.

Đáp số: Thời gian thêm là 2330:760=467 giờ.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Mỗi giờ lượng nước tăng 15−115=215 bể. Coi toàn bộ công việc hoặc cả bể là một đơn vị. Phần làm được trong một giờ là năng suất; khi cùng làm thì cộng các phần công việc, còn có vòi tháo ra thì phải trừ phần bị tháo.

Bước 2: Sau 2 giờ có 415 bể, còn thiếu 1115. Coi toàn bộ công việc hoặc cả bể là một đơn vị. Phần làm được trong một giờ là năng suất; khi cùng làm thì cộng các phần công việc, còn có vòi tháo ra thì phải trừ phần bị tháo.

Đáp số: Thời gian thêm là 1115:215=112 giờ.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Mỗi giờ lượng nước tăng 15−112=760 bể. Coi toàn bộ công việc hoặc cả bể là một đơn vị. Phần làm được trong một giờ là năng suất; khi cùng làm thì cộng các phần công việc, còn có vòi tháo ra thì phải trừ phần bị tháo.

Đáp số: Thời gian thêm là 2330:760=467 giờ.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Mỗi giờ lượng nước tăng 14−110=320 bể. Coi toàn bộ công việc hoặc cả bể là một đơn vị. Phần làm được trong một giờ là năng suất; khi cùng làm thì cộng các phần công việc, còn có vòi tháo ra thì phải trừ phần bị tháo.

Đáp số: Thời gian thêm là 710:320=143 giờ.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Mỗi giờ lượng nước tăng 18−110=140 bể. Coi toàn bộ công việc hoặc cả bể là một đơn vị. Phần làm được trong một giờ là năng suất; khi cùng làm thì cộng các phần công việc, còn có vòi tháo ra thì phải trừ phần bị tháo.

Bước 2: Sau 2 giờ có 120 bể, còn thiếu 1920. Coi toàn bộ công việc hoặc cả bể là một đơn vị. Phần làm được trong một giờ là năng suất; khi cùng làm thì cộng các phần công việc, còn có vòi tháo ra thì phải trừ phần bị tháo.

Đáp số: Thời gian thêm là 1920:140=38 giờ.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Mỗi giờ lượng nước tăng 16−112=112 bể. Coi toàn bộ công việc hoặc cả bể là một đơn vị. Phần làm được trong một giờ là năng suất; khi cùng làm thì cộng các phần công việc, còn có vòi tháo ra thì phải trừ phần bị tháo.

Đáp số: Thời gian thêm là 56:112=10 giờ.

Bài 13: Mỗi giờ lượng nước tăng 16-118=19 bể. Ba giờ được 13, còn 23. Cần thêm 23:19=6 giờ.

Bài 14: Mỗi giờ lượng nước tăng 15-120=320 bể. Hai giờ được 310, còn 710. Cần thêm 710:320=423 giờ.

Bài 15: Mỗi giờ lượng nước tăng 18-124=112 bể. Bốn giờ được 13, còn 23. Cần thêm 23:112=8 giờ.

Tổng kết bài học

Ghi nhớ và tự kiểm tra

Trọng tâm của bài là nhận ra cấu trúc ẩn trong dạng Bài toán vòi chảy vào và vòi tháo ra.
Không làm theo phép tính máy móc; cần giải thích vì sao chọn cách làm.
Mọi đáp số phải được kiểm tra lại với toàn bộ dữ kiện của đề.

Câu hỏi tự kiểm tra

Em có tách được từng điều kiện và xác định thứ tự xử lí không?
Em có trình bày đủ các kết quả trung gian không?
Em có kiểm tra lại đáp số bằng điều kiện ban đầu hoặc một cách khác không?