Bài toán tổng hợp công việc và năng suất
Chuyên đề nâng cao bài toán tổng hợp công việc và năng suất với phương pháp chọn lọc, 20 bài toán phân loại và lời giải đầy đủ từng bước dành cho học sinh ôn thi vào lớp 6 CLC.
Mục tiêu bài học
- Nhận biết và xử lí các biến đổi nâng cao của dạng Bài toán tổng hợp công việc và năng suất.
- Biết phân tích dữ kiện ẩn, lựa chọn phương pháp ngắn gọn và kiểm tra kết quả.
- Trình bày lời giải đầy đủ từng bước theo ngôn ngữ Toán tiểu học, không dùng kiến thức thuần THCS.
Kiến thức cần nhớ
- Công việc = năng suất × thời gian.
- Nếu coi toàn bộ công việc là 1 thì năng suất một giờ là một phân số của công việc.
- Năng suất làm chung bằng tổng năng suất của các người hoặc máy đang cùng hoạt động.
- Trọng tâm là nhận đúng dữ kiện đặc trưng của dạng “Bài toán tổng hợp công việc và năng suất” và chọn phép tính phù hợp.
- Nên trình bày theo thứ tự: tóm tắt, lập luận, phép tính, kết luận.
Ví dụ minh họa
Phương pháp chung
- Đọc kĩ đề, gạch dưới dữ kiện và xác định chính xác yêu cầu cuối cùng.
- Ta coi toàn bộ công việc là một đơn vị hoặc một số phần bằng nhau, rồi xác định phần công việc mỗi người hay mỗi vòi hoàn thành trong một đơn vị thời gian.
- Trình bày từng kết quả trung gian, giải thích ý nghĩa của phép tính và kiểm tra lại kết luận.
Ví dụ 1: 5 người làm 5 giờ mỗi ngày thì xong việc trong 15 ngày. Nếu có 12 người làm 7 giờ mỗi ngày, với năng suất như nhau, cần bao nhiêu ngày?
Hướng dẫn giải chi tiết:
Phân tích đề: Ta coi toàn bộ công việc là một đơn vị hoặc một số phần bằng nhau, rồi xác định phần công việc mỗi người hay mỗi vòi hoàn thành trong một đơn vị thời gian.
Bước 1: Khối lượng công việc tương ứng 5×5×15=375 người-giờ. Coi toàn bộ công việc hoặc cả bể là một đơn vị. Phần làm được trong một giờ là năng suất; khi cùng làm thì cộng các phần công việc, còn có vòi tháo ra thì phải trừ phần bị tháo.
Vì sao làm như vậy: Năng suất cho biết trong một đơn vị thời gian hoàn thành được bao nhiêu phần công việc.
Bước 2: Mỗi ngày nhóm mới làm 12×7=84 người-giờ. Coi toàn bộ công việc hoặc cả bể là một đơn vị. Phần làm được trong một giờ là năng suất; khi cùng làm thì cộng các phần công việc, còn có vòi tháo ra thì phải trừ phần bị tháo.
Vì sao làm như vậy: Khi cùng làm, các phần công việc hoàn thành trong cùng một thời gian được cộng lại; khi có vòi tháo hoặc phần việc bị giảm thì phải trừ.
Ý nghĩa của kết quả: Thời gian tìm được phải dương và hợp lí so với thời gian làm riêng của từng người hoặc từng máy.
Kết luận: Số ngày cần là 375:84=(dfrac{125}{28}) ngày.
Kiểm tra: Nhân năng suất chung với thời gian vừa tìm để xem có hoàn thành đúng toàn bộ công việc hay không.
Ví dụ 2: 5 người làm 7 giờ mỗi ngày thì xong việc trong 9 ngày. Nếu có 15 người làm 9 giờ mỗi ngày, với năng suất như nhau, cần bao nhiêu ngày?
Hướng dẫn giải chi tiết:
Phân tích đề: Ta coi toàn bộ công việc là một đơn vị hoặc một số phần bằng nhau, rồi xác định phần công việc mỗi người hay mỗi vòi hoàn thành trong một đơn vị thời gian.
Bước 1: Khối lượng công việc tương ứng 5×7×9=315 người-giờ. Coi toàn bộ công việc hoặc cả bể là một đơn vị. Phần làm được trong một giờ là năng suất; khi cùng làm thì cộng các phần công việc, còn có vòi tháo ra thì phải trừ phần bị tháo.
Vì sao làm như vậy: Năng suất cho biết trong một đơn vị thời gian hoàn thành được bao nhiêu phần công việc.
Bước 2: Mỗi ngày nhóm mới làm 15×9=135 người-giờ. Coi toàn bộ công việc hoặc cả bể là một đơn vị. Phần làm được trong một giờ là năng suất; khi cùng làm thì cộng các phần công việc, còn có vòi tháo ra thì phải trừ phần bị tháo.
Vì sao làm như vậy: Khi cùng làm, các phần công việc hoàn thành trong cùng một thời gian được cộng lại; khi có vòi tháo hoặc phần việc bị giảm thì phải trừ.
Ý nghĩa của kết quả: Thời gian tìm được phải dương và hợp lí so với thời gian làm riêng của từng người hoặc từng máy.
Kết luận: Số ngày cần là 315:135=(dfrac{7}{3}) ngày.
Kiểm tra: Nhân năng suất chung với thời gian vừa tìm để xem có hoàn thành đúng toàn bộ công việc hay không.
Ví dụ 3: 12 người làm 5 giờ mỗi ngày thì xong việc trong 27 ngày. Nếu có 21 người làm 9 giờ mỗi ngày, với năng suất như nhau, cần bao nhiêu ngày?
Hướng dẫn giải chi tiết:
Phân tích đề: Ta coi toàn bộ công việc là một đơn vị hoặc một số phần bằng nhau, rồi xác định phần công việc mỗi người hay mỗi vòi hoàn thành trong một đơn vị thời gian.
Bước 1: Khối lượng công việc tương ứng 12×5×27=1620 người-giờ. Coi toàn bộ công việc hoặc cả bể là một đơn vị. Phần làm được trong một giờ là năng suất; khi cùng làm thì cộng các phần công việc, còn có vòi tháo ra thì phải trừ phần bị tháo.
Vì sao làm như vậy: Năng suất cho biết trong một đơn vị thời gian hoàn thành được bao nhiêu phần công việc.
Bước 2: Mỗi ngày nhóm mới làm 21×9=189 người-giờ. Coi toàn bộ công việc hoặc cả bể là một đơn vị. Phần làm được trong một giờ là năng suất; khi cùng làm thì cộng các phần công việc, còn có vòi tháo ra thì phải trừ phần bị tháo.
Vì sao làm như vậy: Khi cùng làm, các phần công việc hoàn thành trong cùng một thời gian được cộng lại; khi có vòi tháo hoặc phần việc bị giảm thì phải trừ.
Ý nghĩa của kết quả: Thời gian tìm được phải dương và hợp lí so với thời gian làm riêng của từng người hoặc từng máy.
Kết luận: Số ngày cần là 1620:189=(dfrac{60}{7}) ngày.
Kiểm tra: Nhân năng suất chung với thời gian vừa tìm để xem có hoàn thành đúng toàn bộ công việc hay không.
Bài tập áp dụng
Bài 1: 13 người làm 5 giờ mỗi ngày thì xong việc trong 29 ngày. Nếu có 21 người làm 5 giờ mỗi ngày, với năng suất như nhau, cần bao nhiêu ngày?
Bài 2: Người A làm một mình xong việc trong 20 giờ, người B trong 10 giờ. Hai người cùng làm 3 giờ, sau đó A nghỉ. B cần làm thêm bao lâu để xong?
Bài 3: Người A làm một mình xong việc trong 20 giờ, người B trong 24 giờ. Hai người cùng làm 3 giờ, sau đó A nghỉ. B cần làm thêm bao lâu để xong?
Bài 4: Người A làm một mình xong việc trong 15 giờ, người B trong 8 giờ. Hai người cùng làm 3 giờ, sau đó A nghỉ. B cần làm thêm bao lâu để xong?
Bài 5: Người A làm một mình xong việc trong 15 giờ, người B trong 10 giờ. Hai người cùng làm 3 giờ, sau đó A nghỉ. B cần làm thêm bao lâu để xong?
Xem lời giải
Bài 1: 13 người làm 5 giờ mỗi ngày thì xong việc trong 29 ngày. Nếu có 21 người làm 5 giờ mỗi ngày, với năng suất như nhau, cần bao nhiêu ngày?
Lời giải:
Trước hết, ta xác định năng suất trong một đơn vị thời gian của từng đối tượng, rồi cộng hoặc trừ để tìm năng suất chung.
Khối lượng công việc tương ứng 13×5×29=1885 người-giờ.
Kết quả này cho biết trong một giờ hoặc một ngày, nhóm hoàn thành được bao nhiêu phần công việc.
Mỗi ngày nhóm mới làm 21×5=105 người-giờ.
Lấy toàn bộ công việc chia cho năng suất chung để tìm thời gian, sau đó kiểm tra lại phần công việc đã hoàn thành.
Từ các kết quả trên, ta trả lời đầy đủ yêu cầu của bài toán và ghi đáp số kèm đơn vị (nếu có).
Đáp số: Số ngày cần là 1885:105=(dfrac{377}{21}) ngày.
Bài 2: Người A làm một mình xong việc trong 20 giờ, người B trong 10 giờ. Hai người cùng làm 3 giờ, sau đó A nghỉ. B cần làm thêm bao lâu để xong?
Lời giải:
Trước hết, ta xác định năng suất trong một đơn vị thời gian của từng đối tượng, rồi cộng hoặc trừ để tìm năng suất chung.
Mỗi giờ A làm (dfrac{1}{20}) công việc, B làm (dfrac{1}{10}); cùng làm 3 giờ được (dfrac{9}{20}).
Kết quả này cho biết trong một giờ hoặc một ngày, nhóm hoàn thành được bao nhiêu phần công việc.
Phần còn lại là 1−(dfrac{9}{20})=(dfrac{11}{20}).
Lấy toàn bộ công việc chia cho năng suất chung để tìm thời gian, sau đó kiểm tra lại phần công việc đã hoàn thành.
Từ các kết quả trên, ta trả lời đầy đủ yêu cầu của bài toán và ghi đáp số kèm đơn vị (nếu có).
Đáp số: B làm một giờ (dfrac{1}{10}), nên thời gian thêm là (dfrac{11}{20}):(dfrac{1}{10})=(dfrac{11}{2}) giờ.
Bài 3: Người A làm một mình xong việc trong 20 giờ, người B trong 24 giờ. Hai người cùng làm 3 giờ, sau đó A nghỉ. B cần làm thêm bao lâu để xong?
Lời giải:
Trước hết, ta xác định năng suất trong một đơn vị thời gian của từng đối tượng, rồi cộng hoặc trừ để tìm năng suất chung.
Mỗi giờ A làm (dfrac{1}{20}) công việc, B làm (dfrac{1}{24}); cùng làm 3 giờ được (dfrac{11}{40}).
Kết quả này cho biết trong một giờ hoặc một ngày, nhóm hoàn thành được bao nhiêu phần công việc.
Phần còn lại là 1−(dfrac{11}{40})=(dfrac{29}{40}).
Lấy toàn bộ công việc chia cho năng suất chung để tìm thời gian, sau đó kiểm tra lại phần công việc đã hoàn thành.
Từ các kết quả trên, ta trả lời đầy đủ yêu cầu của bài toán và ghi đáp số kèm đơn vị (nếu có).
Đáp số: B làm một giờ (dfrac{1}{24}), nên thời gian thêm là (dfrac{29}{40}):(dfrac{1}{24})=(dfrac{87}{5}) giờ.
Bài 4: Người A làm một mình xong việc trong 15 giờ, người B trong 8 giờ. Hai người cùng làm 3 giờ, sau đó A nghỉ. B cần làm thêm bao lâu để xong?
Lời giải:
Trước hết, ta xác định năng suất trong một đơn vị thời gian của từng đối tượng, rồi cộng hoặc trừ để tìm năng suất chung.
Mỗi giờ A làm (dfrac{1}{15}) công việc, B làm (dfrac{1}{8}); cùng làm 3 giờ được (dfrac{23}{40}).
Kết quả này cho biết trong một giờ hoặc một ngày, nhóm hoàn thành được bao nhiêu phần công việc.
Phần còn lại là 1−(dfrac{23}{40})=(dfrac{17}{40}).
Lấy toàn bộ công việc chia cho năng suất chung để tìm thời gian, sau đó kiểm tra lại phần công việc đã hoàn thành.
Từ các kết quả trên, ta trả lời đầy đủ yêu cầu của bài toán và ghi đáp số kèm đơn vị (nếu có).
Đáp số: B làm một giờ (dfrac{1}{8}), nên thời gian thêm là (dfrac{17}{40}):(dfrac{1}{8})=(dfrac{17}{5}) giờ.
Bài 5: Người A làm một mình xong việc trong 15 giờ, người B trong 10 giờ. Hai người cùng làm 3 giờ, sau đó A nghỉ. B cần làm thêm bao lâu để xong?
Lời giải:
Trước hết, ta xác định năng suất trong một đơn vị thời gian của từng đối tượng, rồi cộng hoặc trừ để tìm năng suất chung.
Mỗi giờ A làm (dfrac{1}{15}) công việc, B làm (dfrac{1}{10}); cùng làm 3 giờ được (dfrac{1}{2}).
Kết quả này cho biết trong một giờ hoặc một ngày, nhóm hoàn thành được bao nhiêu phần công việc.
Phần còn lại là 1−(dfrac{1}{2})=(dfrac{1}{2}).
Lấy toàn bộ công việc chia cho năng suất chung để tìm thời gian, sau đó kiểm tra lại phần công việc đã hoàn thành.
Từ các kết quả trên, ta trả lời đầy đủ yêu cầu của bài toán và ghi đáp số kèm đơn vị (nếu có).
Đáp số: B làm một giờ (dfrac{1}{10}), nên thời gian thêm là (dfrac{1}{2}):(dfrac{1}{10})=5 giờ.
Bài tập tự luyện
Bài 1: Ba người nếu làm riêng lần lượt cần 24, 20, 18 giờ. Cùng làm thì sau 2 giờ hoàn thành bao nhiêu phần công việc và cần thêm bao lâu để xong?
Bài 2: Ba người nếu làm riêng lần lượt cần 15, 12, 6 giờ. Cùng làm thì sau 2 giờ hoàn thành bao nhiêu phần công việc và cần thêm bao lâu để xong?
Bài 3: Ba người nếu làm riêng lần lượt cần 8, 15, 24 giờ. Cùng làm thì sau 2 giờ hoàn thành bao nhiêu phần công việc và cần thêm bao lâu để xong?
Bài 4: Ba người nếu làm riêng lần lượt cần 18, 24, 6 giờ. Cùng làm thì sau 2 giờ hoàn thành bao nhiêu phần công việc và cần thêm bao lâu để xong?
Bài 5: Một tổ phải làm 1481 sản phẩm. Trong 6 giờ đầu làm 50 sản phẩm/giờ, sau đó tăng lên 78 sản phẩm/giờ. Cần làm thêm bao lâu và năng suất trung bình cả quá trình là bao nhiêu?
Bài 6: Một tổ phải làm 814 sản phẩm. Trong 6 giờ đầu làm 61 sản phẩm/giờ, sau đó tăng lên 120 sản phẩm/giờ. Cần làm thêm bao lâu và năng suất trung bình cả quá trình là bao nhiêu?
Bài 7: Một tổ phải làm 1447 sản phẩm. Trong 6 giờ đầu làm 55 sản phẩm/giờ, sau đó tăng lên 119 sản phẩm/giờ. Cần làm thêm bao lâu và năng suất trung bình cả quá trình là bao nhiêu?
Bài 8: Một tổ phải làm 1110 sản phẩm. Trong 8 giờ đầu làm 53 sản phẩm/giờ, sau đó tăng lên 66 sản phẩm/giờ. Cần làm thêm bao lâu và năng suất trung bình cả quá trình là bao nhiêu?
Bài 9: Vòi A chảy đầy bể trong 8 giờ, vòi B trong 20 giờ. Mở cả hai trong 2 giờ rồi khóa B. A cần chảy thêm bao lâu để đầy bể?
Bài 10: Vòi A chảy đầy bể trong 6 giờ, vòi B trong 6 giờ. Mở cả hai trong 2 giờ rồi khóa B. A cần chảy thêm bao lâu để đầy bể?
Bài 11: Vòi A chảy đầy bể trong 10 giờ, vòi B trong 20 giờ. Mở cả hai trong 2 giờ rồi khóa B. A cần chảy thêm bao lâu để đầy bể?
Bài 12: Vòi A chảy đầy bể trong 4 giờ, vòi B trong 6 giờ. Mở cả hai trong 2 giờ rồi khóa B. A cần chảy thêm bao lâu để đầy bể?
Xem lời giải bài tập tự luyện
Bài 1: Ba người nếu làm riêng lần lượt cần 24, 20, 18 giờ. Cùng làm thì sau 2 giờ hoàn thành bao nhiêu phần công việc và cần thêm bao lâu để xong?
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Năng suất chung mỗi giờ là (dfrac{1}{24})+(dfrac{1}{20})+(dfrac{1}{18})=(dfrac{53}{360}). Coi toàn bộ công việc hoặc cả bể là một đơn vị. Phần làm được trong một giờ là năng suất; khi cùng làm thì cộng các phần công việc, còn có vòi tháo ra thì phải trừ phần bị tháo.
Bước 2: Sau 2 giờ hoàn thành (dfrac{53}{180}), còn (dfrac{127}{180}). Coi toàn bộ công việc hoặc cả bể là một đơn vị. Phần làm được trong một giờ là năng suất; khi cùng làm thì cộng các phần công việc, còn có vòi tháo ra thì phải trừ phần bị tháo.
Đáp số: Thời gian làm thêm là (dfrac{127}{180}):(dfrac{53}{360})=(dfrac{254}{53}) giờ.
Kiểm tra: Thay kết quả vừa tìm vào quan hệ ban đầu để kiểm tra quãng đường, thời gian hoặc phần công việc có khớp với đề bài hay không.
Bài 2: Ba người nếu làm riêng lần lượt cần 15, 12, 6 giờ. Cùng làm thì sau 2 giờ hoàn thành bao nhiêu phần công việc và cần thêm bao lâu để xong?
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Năng suất chung mỗi giờ là (dfrac{1}{15})+(dfrac{1}{12})+(dfrac{1}{6})=(dfrac{19}{60}). Coi toàn bộ công việc hoặc cả bể là một đơn vị. Phần làm được trong một giờ là năng suất; khi cùng làm thì cộng các phần công việc, còn có vòi tháo ra thì phải trừ phần bị tháo.
Bước 2: Sau 2 giờ hoàn thành (dfrac{19}{30}), còn (dfrac{11}{30}). Coi toàn bộ công việc hoặc cả bể là một đơn vị. Phần làm được trong một giờ là năng suất; khi cùng làm thì cộng các phần công việc, còn có vòi tháo ra thì phải trừ phần bị tháo.
Đáp số: Thời gian làm thêm là (dfrac{11}{30}):(dfrac{19}{60})=(dfrac{22}{19}) giờ.
Kiểm tra: Thay kết quả vừa tìm vào quan hệ ban đầu để kiểm tra quãng đường, thời gian hoặc phần công việc có khớp với đề bài hay không.
Bài 3: Ba người nếu làm riêng lần lượt cần 8, 15, 24 giờ. Cùng làm thì sau 2 giờ hoàn thành bao nhiêu phần công việc và cần thêm bao lâu để xong?
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Năng suất chung mỗi giờ là (dfrac{1}{8})+(dfrac{1}{15})+(dfrac{1}{24})=(dfrac{7}{30}). Coi toàn bộ công việc hoặc cả bể là một đơn vị. Phần làm được trong một giờ là năng suất; khi cùng làm thì cộng các phần công việc, còn có vòi tháo ra thì phải trừ phần bị tháo.
Bước 2: Sau 2 giờ hoàn thành (dfrac{7}{15}), còn (dfrac{8}{15}). Coi toàn bộ công việc hoặc cả bể là một đơn vị. Phần làm được trong một giờ là năng suất; khi cùng làm thì cộng các phần công việc, còn có vòi tháo ra thì phải trừ phần bị tháo.
Đáp số: Thời gian làm thêm là (dfrac{8}{15}):(dfrac{7}{30})=(dfrac{16}{7}) giờ.
Kiểm tra: Thay kết quả vừa tìm vào quan hệ ban đầu để kiểm tra quãng đường, thời gian hoặc phần công việc có khớp với đề bài hay không.
Bài 4: Ba người nếu làm riêng lần lượt cần 18, 24, 6 giờ. Cùng làm thì sau 2 giờ hoàn thành bao nhiêu phần công việc và cần thêm bao lâu để xong?
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Năng suất chung mỗi giờ là (dfrac{1}{18})+(dfrac{1}{24})+(dfrac{1}{6})=(dfrac{19}{72}). Coi toàn bộ công việc hoặc cả bể là một đơn vị. Phần làm được trong một giờ là năng suất; khi cùng làm thì cộng các phần công việc, còn có vòi tháo ra thì phải trừ phần bị tháo.
Bước 2: Sau 2 giờ hoàn thành (dfrac{19}{36}), còn (dfrac{17}{36}). Coi toàn bộ công việc hoặc cả bể là một đơn vị. Phần làm được trong một giờ là năng suất; khi cùng làm thì cộng các phần công việc, còn có vòi tháo ra thì phải trừ phần bị tháo.
Đáp số: Thời gian làm thêm là (dfrac{17}{36}):(dfrac{19}{72})=(dfrac{34}{19}) giờ.
Kiểm tra: Thay kết quả vừa tìm vào quan hệ ban đầu để kiểm tra quãng đường, thời gian hoặc phần công việc có khớp với đề bài hay không.
Bài 5: Một tổ phải làm 1481 sản phẩm. Trong 6 giờ đầu làm 50 sản phẩm/giờ, sau đó tăng lên 78 sản phẩm/giờ. Cần làm thêm bao lâu và năng suất trung bình cả quá trình là bao nhiêu?
Lời giải chi tiết:
Bước 1: 6 giờ đầu làm 50×6=300 sản phẩm; còn 1181. Muốn tìm hoặc điều chỉnh số trung bình cộng, ta luôn đưa bài toán về tổng: tổng bằng trung bình cộng nhân số lượng số. Sau khi thay đổi tổng, phải chia lại cho đúng số lượng số ban đầu.
Bước 2: Thời gian giai đoạn sau là 1181:78=(dfrac{1181}{78}) giờ; tổng thời gian (dfrac{1649}{78}) giờ. Vì số trung bình cộng bằng tổng chia cho số lượng số nên tổng phải bằng số trung bình cộng nhân với số lượng số. Đây là dữ kiện then chốt để tìm giá trị còn thiếu hoặc sửa lại số liệu đã ghi sai.
Đáp số: Năng suất trung bình = 1481:(dfrac{1649}{78})=(dfrac{115518}{1649}) sản phẩm/giờ.
Kiểm tra: Thay kết quả vừa tìm vào quan hệ ban đầu để kiểm tra quãng đường, thời gian hoặc phần công việc có khớp với đề bài hay không.
Bài 6: Một tổ phải làm 814 sản phẩm. Trong 6 giờ đầu làm 61 sản phẩm/giờ, sau đó tăng lên 120 sản phẩm/giờ. Cần làm thêm bao lâu và năng suất trung bình cả quá trình là bao nhiêu?
Lời giải chi tiết:
Bước 1: 6 giờ đầu làm 61×6=366 sản phẩm; còn 448. Muốn tìm hoặc điều chỉnh số trung bình cộng, ta luôn đưa bài toán về tổng: tổng bằng trung bình cộng nhân số lượng số. Sau khi thay đổi tổng, phải chia lại cho đúng số lượng số ban đầu.
Bước 2: Thời gian giai đoạn sau là 448:120=(dfrac{56}{15}) giờ; tổng thời gian (dfrac{146}{15}) giờ. Vì số trung bình cộng bằng tổng chia cho số lượng số nên tổng phải bằng số trung bình cộng nhân với số lượng số. Đây là dữ kiện then chốt để tìm giá trị còn thiếu hoặc sửa lại số liệu đã ghi sai.
Đáp số: Năng suất trung bình = 814:(dfrac{146}{15})=(dfrac{6105}{73}) sản phẩm/giờ.
Kiểm tra: Thay kết quả vừa tìm vào quan hệ ban đầu để kiểm tra quãng đường, thời gian hoặc phần công việc có khớp với đề bài hay không.
Bài 7: Một tổ phải làm 1447 sản phẩm. Trong 6 giờ đầu làm 55 sản phẩm/giờ, sau đó tăng lên 119 sản phẩm/giờ. Cần làm thêm bao lâu và năng suất trung bình cả quá trình là bao nhiêu?
Lời giải chi tiết:
Bước 1: 6 giờ đầu làm 55×6=330 sản phẩm; còn 1117. Muốn tìm hoặc điều chỉnh số trung bình cộng, ta luôn đưa bài toán về tổng: tổng bằng trung bình cộng nhân số lượng số. Sau khi thay đổi tổng, phải chia lại cho đúng số lượng số ban đầu.
Bước 2: Thời gian giai đoạn sau là 1117:119=(dfrac{1117}{119}) giờ; tổng thời gian (dfrac{1831}{119}) giờ. Vì số trung bình cộng bằng tổng chia cho số lượng số nên tổng phải bằng số trung bình cộng nhân với số lượng số. Đây là dữ kiện then chốt để tìm giá trị còn thiếu hoặc sửa lại số liệu đã ghi sai.
Đáp số: Năng suất trung bình = 1447:(dfrac{1831}{119})=(dfrac{172193}{1831}) sản phẩm/giờ.
Kiểm tra: Thay kết quả vừa tìm vào quan hệ ban đầu để kiểm tra quãng đường, thời gian hoặc phần công việc có khớp với đề bài hay không.
Bài 8: Một tổ phải làm 1110 sản phẩm. Trong 8 giờ đầu làm 53 sản phẩm/giờ, sau đó tăng lên 66 sản phẩm/giờ. Cần làm thêm bao lâu và năng suất trung bình cả quá trình là bao nhiêu?
Lời giải chi tiết:
Bước 1: 8 giờ đầu làm 53×8=424 sản phẩm; còn 686. Muốn tìm hoặc điều chỉnh số trung bình cộng, ta luôn đưa bài toán về tổng: tổng bằng trung bình cộng nhân số lượng số. Sau khi thay đổi tổng, phải chia lại cho đúng số lượng số ban đầu.
Bước 2: Thời gian giai đoạn sau là 686:66=(dfrac{343}{33}) giờ; tổng thời gian (dfrac{607}{33}) giờ. Vì số trung bình cộng bằng tổng chia cho số lượng số nên tổng phải bằng số trung bình cộng nhân với số lượng số. Đây là dữ kiện then chốt để tìm giá trị còn thiếu hoặc sửa lại số liệu đã ghi sai.
Đáp số: Năng suất trung bình = 1110:(dfrac{607}{33})=(dfrac{36630}{607}) sản phẩm/giờ.
Kiểm tra: Thay kết quả vừa tìm vào quan hệ ban đầu để kiểm tra quãng đường, thời gian hoặc phần công việc có khớp với đề bài hay không.
Bài 9: Vòi A chảy đầy bể trong 8 giờ, vòi B trong 20 giờ. Mở cả hai trong 2 giờ rồi khóa B. A cần chảy thêm bao lâu để đầy bể?
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Mỗi giờ hai vòi chảy (dfrac{1}{8})+(dfrac{1}{20})=(dfrac{7}{40}) bể. Coi toàn bộ công việc hoặc cả bể là một đơn vị. Phần làm được trong một giờ là năng suất; khi cùng làm thì cộng các phần công việc, còn có vòi tháo ra thì phải trừ phần bị tháo.
Bước 2: Trong 2 giờ chảy được (dfrac{7}{20}), còn (dfrac{13}{20}). Coi toàn bộ công việc hoặc cả bể là một đơn vị. Phần làm được trong một giờ là năng suất; khi cùng làm thì cộng các phần công việc, còn có vòi tháo ra thì phải trừ phần bị tháo.
Đáp số: Vòi A chảy mỗi giờ (dfrac{1}{8}) bể, nên cần thêm (dfrac{13}{20}):(dfrac{1}{8})=(dfrac{26}{5}) giờ.
Kiểm tra: Thay kết quả vừa tìm vào quan hệ ban đầu để kiểm tra quãng đường, thời gian hoặc phần công việc có khớp với đề bài hay không.
Bài 10: Vòi A chảy đầy bể trong 6 giờ, vòi B trong 6 giờ. Mở cả hai trong 2 giờ rồi khóa B. A cần chảy thêm bao lâu để đầy bể?
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Mỗi giờ hai vòi chảy (dfrac{1}{6})+(dfrac{1}{6})=(dfrac{1}{3}) bể. Coi toàn bộ công việc hoặc cả bể là một đơn vị. Phần làm được trong một giờ là năng suất; khi cùng làm thì cộng các phần công việc, còn có vòi tháo ra thì phải trừ phần bị tháo.
Bước 2: Trong 2 giờ chảy được (dfrac{2}{3}), còn (dfrac{1}{3}). Coi toàn bộ công việc hoặc cả bể là một đơn vị. Phần làm được trong một giờ là năng suất; khi cùng làm thì cộng các phần công việc, còn có vòi tháo ra thì phải trừ phần bị tháo.
Đáp số: Vòi A chảy mỗi giờ (dfrac{1}{6}) bể, nên cần thêm (dfrac{1}{3}):(dfrac{1}{6})=2 giờ.
Kiểm tra: Thay kết quả vừa tìm vào quan hệ ban đầu để kiểm tra quãng đường, thời gian hoặc phần công việc có khớp với đề bài hay không.
Bài 11: Vòi A chảy đầy bể trong 10 giờ, vòi B trong 20 giờ. Mở cả hai trong 2 giờ rồi khóa B. A cần chảy thêm bao lâu để đầy bể?
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Mỗi giờ hai vòi chảy (dfrac{1}{10})+(dfrac{1}{20})=(dfrac{3}{20}) bể. Coi toàn bộ công việc hoặc cả bể là một đơn vị. Phần làm được trong một giờ là năng suất; khi cùng làm thì cộng các phần công việc, còn có vòi tháo ra thì phải trừ phần bị tháo.
Bước 2: Trong 2 giờ chảy được (dfrac{3}{10}), còn (dfrac{7}{10}). Coi toàn bộ công việc hoặc cả bể là một đơn vị. Phần làm được trong một giờ là năng suất; khi cùng làm thì cộng các phần công việc, còn có vòi tháo ra thì phải trừ phần bị tháo.
Đáp số: Vòi A chảy mỗi giờ (dfrac{1}{10}) bể, nên cần thêm (dfrac{7}{10}):(dfrac{1}{10})=7 giờ.
Kiểm tra: Thay kết quả vừa tìm vào quan hệ ban đầu để kiểm tra quãng đường, thời gian hoặc phần công việc có khớp với đề bài hay không.
Bài 12: Vòi A chảy đầy bể trong 4 giờ, vòi B trong 6 giờ. Mở cả hai trong 2 giờ rồi khóa B. A cần chảy thêm bao lâu để đầy bể?
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Mỗi giờ hai vòi chảy (dfrac{1}{4})+(dfrac{1}{6})=(dfrac{5}{12}) bể. Coi toàn bộ công việc hoặc cả bể là một đơn vị. Phần làm được trong một giờ là năng suất; khi cùng làm thì cộng các phần công việc, còn có vòi tháo ra thì phải trừ phần bị tháo.
Bước 2: Trong 2 giờ chảy được (dfrac{5}{6}), còn (dfrac{1}{6}). Coi toàn bộ công việc hoặc cả bể là một đơn vị. Phần làm được trong một giờ là năng suất; khi cùng làm thì cộng các phần công việc, còn có vòi tháo ra thì phải trừ phần bị tháo.
Đáp số: Vòi A chảy mỗi giờ (dfrac{1}{4}) bể, nên cần thêm (dfrac{1}{6}):(dfrac{1}{4})=(dfrac{2}{3}) giờ.
Kiểm tra: Thay kết quả vừa tìm vào quan hệ ban đầu để kiểm tra quãng đường, thời gian hoặc phần công việc có khớp với đề bài hay không.
Ghi nhớ và tự kiểm tra
- Trọng tâm của bài là nhận ra cấu trúc ẩn trong dạng Bài toán tổng hợp công việc và năng suất.
- Không làm theo phép tính máy móc; cần giải thích vì sao chọn cách làm.
- Mọi đáp số phải được kiểm tra lại với toàn bộ dữ kiện của đề.
Câu hỏi tự kiểm tra
- Em có tách được từng điều kiện và xác định thứ tự xử lí không?
- Em có trình bày đủ các kết quả trung gian không?
- Em có kiểm tra lại đáp số bằng điều kiện ban đầu hoặc một cách khác không?