Mục tiêu bài học
- Nhận dạng đúng dữ kiện và phương pháp của chuyên đề “Bài toán tổng hợp hình học phẳng CLC”.
- Xác định các đoạn, cạnh hoặc mảnh hình tham gia vào yêu cầu trước khi bắt đầu tính.
- Kiểm tra kết quả bằng một cách sắp xếp hoặc phân nhóm khác nếu bài có nhiều trường hợp.
Kiến thức cần nhớ
- Tách hình phức tạp thành các hình quen thuộc hoặc ghép thêm để tạo hình dễ tính.
- Diện tích hình ghép bằng tổng diện tích các phần không chồng nhau; diện tích phần bị khoét bằng diện tích hình lớn trừ phần bỏ đi.
- Khi cắt ghép không làm mất hoặc chồng phần nào thì diện tích được bảo toàn.
- Vẽ hình và ghi rõ kích thước giúp tránh lấy nhầm cạnh hoặc cộng nhầm phần không thuộc chu vi.
Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Hình chữ nhật dài 25 cm, rộng 10 cm. Tăng chiều dài 10 cm và chiều rộng 8 cm. Tính diện tích tăng thêm bằng hai cách và chu vi mới.
Hướng dẫn giải chi tiết:
Bước 1: Diện tích cũ 25×10=250 cm²; diện tích mới (25+10)×(10+8)=630 cm².
Bước 2: Diện tích tăng 630−250=380 cm². Cách khác: dải dài 10×10, dải rộng 8×25, góc thêm 10×8; tổng cũng bằng 380.
Kết luận: Chu vi mới = [(35)+(18)]×2=106 cm.
Ví dụ 2: Hình chữ nhật dài 45 cm, rộng 12 cm. Tăng chiều dài 3 cm và chiều rộng 8 cm. Tính diện tích tăng thêm bằng hai cách và chu vi mới.
Hướng dẫn giải chi tiết:
Bước 1: Diện tích cũ 45×12=540 cm²; diện tích mới (45+3)×(12+8)=960 cm².
Bước 2: Diện tích tăng 960−540=420 cm². Cách khác: dải dài 3×12, dải rộng 8×45, góc thêm 3×8; tổng cũng bằng 420.
Kết luận: Chu vi mới = [(48)+(20)]×2=136 cm.
Ví dụ 3: Một hình vuông cạnh 12 cm. Tăng cạnh thêm 3 cm. Tính diện tích tăng thêm mà không cần nhân trực tiếp hai số lớn, rồi tính chu vi mới.
Hướng dẫn giải chi tiết:
Bước 1: Phần tăng gồm hai hình chữ nhật 12×3 và một hình vuông 3×3.
Bước 2: Diện tích tăng = 2×12×3+3×3=81 cm².
Kết luận: Cạnh mới 15 cm; chu vi mới 60 cm.
Bài tập áp dụng
Bài 1: Một hình vuông cạnh 42 cm. Tăng cạnh thêm 4 cm. Tính diện tích tăng thêm mà không cần nhân trực tiếp hai số lớn, rồi tính chu vi mới.
Bài 2: Tam giác có đáy 44 cm, chiều cao 12 cm. Giữ nguyên chiều cao, tăng đáy 10 cm. Tính diện tích mới và phần diện tích tăng thêm; sau đó tìm đáy nếu diện tích bằng 324 cm².
Bài 3: Tam giác có đáy 14 cm, chiều cao 20 cm. Giữ nguyên chiều cao, tăng đáy 8 cm. Tính diện tích mới và phần diện tích tăng thêm; sau đó tìm đáy nếu diện tích bằng 220 cm².
Bài 4: Hình thang có hai đáy 23 cm và 42 cm, chiều cao 11 cm. Tăng đáy nhỏ 7 cm và đáy lớn 7 cm, giữ nguyên chiều cao. Tính diện tích tăng thêm và diện tích mới.
Bài 5: Hình thang có hai đáy 22 cm và 27 cm, chiều cao 8 cm. Tăng đáy nhỏ 7 cm và đáy lớn 8 cm, giữ nguyên chiều cao. Tính diện tích tăng thêm và diện tích mới.
Xem lời giải
Bài 1: Một hình vuông cạnh 42 cm. Tăng cạnh thêm 4 cm. Tính diện tích tăng thêm mà không cần nhân trực tiếp hai số lớn, rồi tính chu vi mới.
Lời giải:
Phần tăng gồm hai hình chữ nhật 42×4 và một hình vuông 4×4.
Diện tích tăng = 2×42×4+4×4=352 cm².
Đáp số: Cạnh mới 46 cm; chu vi mới 184 cm.
Bài 2: Tam giác có đáy 44 cm, chiều cao 12 cm. Giữ nguyên chiều cao, tăng đáy 10 cm. Tính diện tích mới và phần diện tích tăng thêm; sau đó tìm đáy nếu diện tích bằng 324 cm².
Lời giải:
Diện tích ban đầu 44×12:2=264 cm²; diện tích mới (44+10)×12:2=324 cm².
Phần tăng = 10×12:2=60 cm².
Đáp số: Từ diện tích 324, đáy = 324×2:12=54 cm.
Bài 3: Tam giác có đáy 14 cm, chiều cao 20 cm. Giữ nguyên chiều cao, tăng đáy 8 cm. Tính diện tích mới và phần diện tích tăng thêm; sau đó tìm đáy nếu diện tích bằng 220 cm².
Lời giải:
Diện tích ban đầu 14×20:2=140 cm²; diện tích mới (14+8)×20:2=220 cm².
Phần tăng = 8×20:2=80 cm².
Đáp số: Từ diện tích 220, đáy = 220×2:20=22 cm.
Bài 4: Hình thang có hai đáy 23 cm và 42 cm, chiều cao 11 cm. Tăng đáy nhỏ 7 cm và đáy lớn 7 cm, giữ nguyên chiều cao. Tính diện tích tăng thêm và diện tích mới.
Lời giải:
Tổng hai đáy tăng 7+7=14 cm.
Diện tích tăng = (14)×11:2=77 cm².
Đáp số: Diện tích mới = (30+49)×11:2=8692 cm².
Bài 5: Hình thang có hai đáy 22 cm và 27 cm, chiều cao 8 cm. Tăng đáy nhỏ 7 cm và đáy lớn 8 cm, giữ nguyên chiều cao. Tính diện tích tăng thêm và diện tích mới.
Lời giải:
Tổng hai đáy tăng 7+8=15 cm.
Diện tích tăng = (15)×8:2=60 cm².
Đáp số: Diện tích mới = (29+35)×8:2=256 cm².
Bài tập tự luyện
Bài 1: Hình tròn bán kính 26 cm. Tính chu vi và diện tích với π = 3,14. Nếu bán kính tăng gấp đôi, chu vi và diện tích tăng gấp mấy lần?
Bài 2: Hình tròn bán kính 5 cm. Tính chu vi và diện tích với π = 3,14. Nếu bán kính tăng gấp đôi, chu vi và diện tích tăng gấp mấy lần?
Bài 3: Một mảnh đất hình chữ nhật 44 m × 27 m bị cắt bỏ một hình chữ nhật 16 m × 5 m ở góc. Tính diện tích còn lại bằng cách chia hình và nêu một cách kiểm tra.
Bài 4: Một mảnh đất hình chữ nhật 43 m × 38 m bị cắt bỏ một hình chữ nhật 17 m × 16 m ở góc. Tính diện tích còn lại bằng cách chia hình và nêu một cách kiểm tra.
Bài 5: Ghép hai hình chữ nhật kích thước 8 cm × 20 cm và 15 cm × 20 cm dọc theo một cạnh dài 20 cm. Tính diện tích hình ghép và chu vi ngoài.
Bài 6: Ghép hai hình chữ nhật kích thước 12 cm × 8 cm và 18 cm × 8 cm dọc theo một cạnh dài 8 cm. Tính diện tích hình ghép và chu vi ngoài.
Bài 7: Hai hình có diện tích tỉ lệ 1:1 và tổng diện tích 78 cm². Tìm diện tích mỗi hình. Nếu chiều cao bằng nhau, tỉ số hai đáy là bao nhiêu?
Bài 8: Hai hình có diện tích tỉ lệ 3:2 và tổng diện tích 120 cm². Tìm diện tích mỗi hình. Nếu chiều cao bằng nhau, tỉ số hai đáy là bao nhiêu?
Bài 9: Hai tam giác có chung đáy 21 cm, chiều cao lần lượt 8 cm và 7 cm. So sánh diện tích, tính hiệu và tỉ số diện tích.
Bài 10: Hai tam giác có chung đáy 20 cm, chiều cao lần lượt 10 cm và 7 cm. So sánh diện tích, tính hiệu và tỉ số diện tích.
Bài 11: Hình chữ nhật có diện tích 801 cm², chiều rộng 9 cm. Tìm chiều dài và chu vi. Nếu chiều rộng tăng 2 cm nhưng diện tích giữ nguyên, chiều dài mới là bao nhiêu?
Bài 12: Hình chữ nhật có diện tích 1188 cm², chiều rộng 22 cm. Tìm chiều dài và chu vi. Nếu chiều rộng tăng 2 cm nhưng diện tích giữ nguyên, chiều dài mới là bao nhiêu?
Xem lời giải bài tập tự luyện
Bài 1: Hình tròn bán kính 26 cm. Tính chu vi và diện tích với π = 3,14. Nếu bán kính tăng gấp đôi, chu vi và diện tích tăng gấp mấy lần?
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Chu vi = 2×3,14×26=408225 cm; diện tích = 3,14×26×26=5306625 cm².
Bước 2: Bán kính gấp đôi làm chu vi gấp 2 vì chu vi tỉ lệ với bán kính.
Đáp số: Diện tích gấp 4 vì cả hai thừa số bán kính đều gấp 2.
Bài 2: Hình tròn bán kính 5 cm. Tính chu vi và diện tích với π = 3,14. Nếu bán kính tăng gấp đôi, chu vi và diện tích tăng gấp mấy lần?
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Chu vi = 2×3,14×5=1575 cm; diện tích = 3,14×5×5=1572 cm².
Bước 2: Bán kính gấp đôi làm chu vi gấp 2 vì chu vi tỉ lệ với bán kính.
Đáp số: Diện tích gấp 4 vì cả hai thừa số bán kính đều gấp 2.
Bài 3: Một mảnh đất hình chữ nhật 44 m × 27 m bị cắt bỏ một hình chữ nhật 16 m × 5 m ở góc. Tính diện tích còn lại bằng cách chia hình và nêu một cách kiểm tra.
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Diện tích hình lớn = 44×27=1188 m²; phần cắt bỏ = 16×5=80 m².
Bước 2: Diện tích còn lại = 1188−80=1108 m².
Đáp số: Kiểm tra bằng cách chia phần còn lại thành hai hình chữ nhật; tổng diện tích hai phần cũng bằng 1108 m².
Bài 4: Một mảnh đất hình chữ nhật 43 m × 38 m bị cắt bỏ một hình chữ nhật 17 m × 16 m ở góc. Tính diện tích còn lại bằng cách chia hình và nêu một cách kiểm tra.
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Diện tích hình lớn = 43×38=1634 m²; phần cắt bỏ = 17×16=272 m².
Bước 2: Diện tích còn lại = 1634−272=1362 m².
Đáp số: Kiểm tra bằng cách chia phần còn lại thành hai hình chữ nhật; tổng diện tích hai phần cũng bằng 1362 m².
Bài 5: Ghép hai hình chữ nhật kích thước 8 cm × 20 cm và 15 cm × 20 cm dọc theo một cạnh dài 20 cm. Tính diện tích hình ghép và chu vi ngoài.
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Diện tích hình ghép = 8×20+15×20=460 cm².
Bước 2: Tổng chu vi hai hình riêng là 56+70=126 cm.
Đáp số: Cạnh ghép dài 20 cm bị tính hai lần nên chu vi ngoài = 126−2×20=86 cm.
Bài 6: Ghép hai hình chữ nhật kích thước 12 cm × 8 cm và 18 cm × 8 cm dọc theo một cạnh dài 8 cm. Tính diện tích hình ghép và chu vi ngoài.
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Diện tích hình ghép = 12×8+18×8=240 cm².
Bước 2: Tổng chu vi hai hình riêng là 40+52=92 cm.
Đáp số: Cạnh ghép dài 8 cm bị tính hai lần nên chu vi ngoài = 92−2×8=76 cm.
Bài 7: Hai hình có diện tích tỉ lệ 1:1 và tổng diện tích 78 cm². Tìm diện tích mỗi hình. Nếu chiều cao bằng nhau, tỉ số hai đáy là bao nhiêu?
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Tổng số phần = 1+1=2; một phần = 78:2=39 cm².
Bước 2: Diện tích hai hình là 39 cm² và 39 cm².
Đáp số: Nếu chiều cao bằng nhau, diện tích tỉ lệ với đáy nên tỉ số hai đáy cũng là 1:1.
Bài 8: Hai hình có diện tích tỉ lệ 3:2 và tổng diện tích 120 cm². Tìm diện tích mỗi hình. Nếu chiều cao bằng nhau, tỉ số hai đáy là bao nhiêu?
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Tổng số phần = 3+2=5; một phần = 120:5=24 cm².
Bước 2: Diện tích hai hình là 72 cm² và 48 cm².
Đáp số: Nếu chiều cao bằng nhau, diện tích tỉ lệ với đáy nên tỉ số hai đáy cũng là 3:2.
Bài 9: Hai tam giác có chung đáy 21 cm, chiều cao lần lượt 8 cm và 7 cm. So sánh diện tích, tính hiệu và tỉ số diện tích.
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Diện tích lần lượt là 21×8:2=84 cm² và 21×7:2=1472 cm².
Bước 2: Hiệu diện tích là 212 cm².
Đáp số: Vì chung đáy, tỉ số diện tích bằng tỉ số chiều cao: 8:7=87.
Bài 10: Hai tam giác có chung đáy 20 cm, chiều cao lần lượt 10 cm và 7 cm. So sánh diện tích, tính hiệu và tỉ số diện tích.
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Diện tích lần lượt là 20×10:2=100 cm² và 20×7:2=70 cm².
Bước 2: Hiệu diện tích là 30 cm².
Đáp số: Vì chung đáy, tỉ số diện tích bằng tỉ số chiều cao: 10:7=107.
Bài 11: Hình chữ nhật có diện tích 801 cm², chiều rộng 9 cm. Tìm chiều dài và chu vi. Nếu chiều rộng tăng 2 cm nhưng diện tích giữ nguyên, chiều dài mới là bao nhiêu?
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Chiều dài = 801:9=89 cm.
Bước 2: Chu vi = (89+9)×2=196 cm.
Đáp số: Khi rộng 11 cm và diện tích không đổi, chiều dài mới = 801:11=80111 cm.
Bài 12: Hình chữ nhật có diện tích 1188 cm², chiều rộng 22 cm. Tìm chiều dài và chu vi. Nếu chiều rộng tăng 2 cm nhưng diện tích giữ nguyên, chiều dài mới là bao nhiêu?
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Chiều dài = 1188:22=54 cm.
Bước 2: Chu vi = (54+22)×2=152 cm.
Đáp số: Khi rộng 24 cm và diện tích không đổi, chiều dài mới = 1188:24=992 cm.
Bài 13: Một tấm bìa hình chữ nhật 18 cm × 9 cm bị bỏ đi một hình vuông cạnh 2 cm. Tính diện tích còn lại.
Lời giải
Diện tích còn lại: 18 × 9 − 2 × 2 = 158 cm².
Bài 14: Một tấm bìa hình chữ nhật 21 cm × 10 cm bị bỏ đi một hình vuông cạnh 3 cm. Tính diện tích còn lại.
Lời giải
Diện tích còn lại: 21 × 10 − 3 × 3 = 201 cm².
Bài 15: Một tấm bìa hình chữ nhật 24 cm × 11 cm bị bỏ đi một hình vuông cạnh 4 cm. Tính diện tích còn lại.
Lời giải
Diện tích còn lại: 24 × 11 − 4 × 4 = 248 cm².
Ghi nhớ
- Tách hình phức tạp thành các hình quen thuộc hoặc ghép thêm để tạo hình dễ tính.
- Diện tích hình ghép bằng tổng diện tích các phần không chồng nhau; diện tích phần bị khoét bằng diện tích hình lớn trừ phần bỏ đi.
- Khi cắt ghép không làm mất hoặc chồng phần nào thì diện tích được bảo toàn.