Bài toán cân vật

Học xong bài này

Mục tiêu bài học

Biết tổ chức dữ kiện của chuyên đề “Bài toán cân vật” bằng bảng, sơ đồ hoặc loại trừ.
Suy luận từng bước từ điều chắc chắn, không bỏ sót điều kiện.
Kiểm tra phương án cuối cùng với toàn bộ dữ kiện.

Nắm chắc trước khi làm bài

Kiến thức cần nhớ

Cân thăng bằng cho ba loại kết quả: đĩa trái hạ, hai đĩa cân bằng, hoặc đĩa phải hạ. Chỉ dùng hướng nghiêng để nhận biết viên sai khi đề đã cho biết nó nhẹ hơn hay nặng hơn.

Để tìm một viên khác thường đã biết nhẹ hay nặng, chia số viên nghi ngờ thành ba nhóm có số lượng gần bằng nhau; cân hai nhóm bằng số viên.
Nếu cân bằng, viên sai ở nhóm chưa cân; nếu cân lệch, chọn đúng nhóm ở đĩa nhẹ hơn hoặc nặng hơn theo giả thiết.
Lặp lại trên nhóm nghi ngờ. Trong k lần cân, có tối đa 3^k chuỗi kết quả; nếu số vị trí nhiều hơn 3^k thì chắc chắn không đủ k lần cân.
Quy tắc này chỉ áp dụng khi biết trước viên sai nhẹ hay nặng. Nếu không biết chiều sai, phải xây dựng phép cân khác.

Quan sát cách làm

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Một hộp bi dùng trong câu lạc bộ Toán bị lẫn viên không đạt chuẩn. Trong 9 viên chỉ có một viên nhẹ hơn các viên còn lại, các viên khác cân nặng bằng nhau. Chỉ có cân thăng bằng hai đĩa. Hãy chỉ ra cách tìm viên khác thường trong không quá 2 lần cân.

Hướng dẫn giải chi tiết:

Chia 9 viên nghi ngờ thành ba nhóm 3, 3 và 3 viên; cân hai nhóm 3 viên. Cân bằng thì viên khác thường nằm trong nhóm để riêng; cân lệch thì nằm ở đĩa nhẹ. Trong nhóm còn nghi ngờ (nhiều nhất 3 viên), cân 1 viên với 1 viên và để riêng 1 viên. Cân bằng thì viên khác thường nằm trong nhóm để riêng; cân lệch thì nằm ở đĩa nhẹ. Bắt đầu với 9 viên, sau lần cân thứ nhất còn nhiều nhất 3 viên nghi ngờ; lần cân thứ hai xác định được viên khác thường. Số lần cân nhiều nhất là 2; với 1 lần cân chỉ phân biệt được tối đa 3 khả năng nên không đủ cho 9 viên.

Ví dụ 2: Bộ quả cân nhỏ của phòng học có một quả sai khối lượng. Trong 8 viên chỉ có một viên nặng hơn các viên còn lại, các viên khác cân nặng bằng nhau. Chỉ có cân thăng bằng hai đĩa. Hãy chỉ ra cách tìm viên khác thường trong không quá 2 lần cân.

Hướng dẫn giải chi tiết:

Chia 8 viên nghi ngờ thành ba nhóm 3, 3 và 2 viên; cân hai nhóm 3 viên. Cân bằng thì viên khác thường nằm trong nhóm để riêng; cân lệch thì nằm ở đĩa nặng. Trong nhóm còn nghi ngờ (nhiều nhất 3 viên), cân 1 viên với 1 viên và để riêng 1 viên. Cân bằng thì viên khác thường nằm trong nhóm để riêng; cân lệch thì nằm ở đĩa nặng. Bắt đầu với 8 viên, sau lần cân thứ nhất còn nhiều nhất 3 viên nghi ngờ; lần cân thứ hai xác định được viên khác thường. Số lần cân nhiều nhất là 2; với 1 lần cân chỉ phân biệt được tối đa 3 khả năng nên không đủ cho 8 viên.

Ví dụ 3: Bạn Lan nhận một túi 10 đồng xu cùng hình dạng và biết rõ loại sai cân nặng. Trong 10 viên chỉ có một viên nhẹ hơn các viên còn lại, các viên khác cân nặng bằng nhau. Chỉ có cân thăng bằng hai đĩa. Hãy chỉ ra cách tìm viên khác thường trong không quá 3 lần cân.

Hướng dẫn giải chi tiết:

Chia 10 viên nghi ngờ thành ba nhóm 4, 4 và 2 viên; cân hai nhóm 4 viên. Cân bằng thì viên khác thường nằm trong nhóm để riêng; cân lệch thì nằm ở đĩa nhẹ. Trong nhóm còn nghi ngờ (nhiều nhất 4 viên), cân 2 viên với 2 viên và để riêng 0 viên. Viên khác thường nằm ở đĩa nhẹ. Trong nhóm còn nghi ngờ (nhiều nhất 2 viên), cân 1 viên với 1 viên và để riêng 0 viên. Viên khác thường nằm ở đĩa nhẹ. Bắt đầu với 10 viên, sau lần cân thứ nhất còn nhiều nhất 4 viên nghi ngờ, sau lần thứ hai còn nhiều nhất 2 viên và lần thứ ba xác định được viên khác thường. Số lần cân nhiều nhất là 3; với 2 lần cân chỉ phân biệt được tối đa 9 khả năng nên không đủ cho 10 viên.

Luyện ngay sau ví dụ

Bài tập áp dụng

Bài 1: Trong ba quả cầu đánh số A, B, C có một quả nặng bất thường. Trong 3 viên chỉ có một viên nặng hơn các viên còn lại, các viên khác cân nặng bằng nhau. Chỉ có cân thăng bằng hai đĩa. Hãy chỉ ra cách tìm viên khác thường trong không quá 1 lần cân.

Bài 2: Một bộ sáu viên bi được đóng gói, trong đó có một viên nhẹ. Trong 6 viên chỉ có một viên nhẹ hơn các viên còn lại, các viên khác cân nặng bằng nhau. Chỉ có cân thăng bằng hai đĩa. Hãy chỉ ra cách tìm viên khác thường trong không quá 2 lần cân.

Bài 3: Từ bảy đồng xu được đánh số 1 đến 7, phải nhận ra đồng nặng. Trong 7 viên chỉ có một viên nặng hơn các viên còn lại, các viên khác cân nặng bằng nhau. Chỉ có cân thăng bằng hai đĩa. Hãy chỉ ra cách tìm viên khác thường trong không quá 2 lần cân.

Bài 4: Có 12 viên bi giống hệt nhau, một viên nhẹ hơn. Liệu luôn tìm được viên đó chỉ với 2 lần cân thăng bằng không? Giải thích.

Bài 5: Có 9 đồng xu, một đồng nhẹ hơn. Lần cân đầu, Nam cân ba đồng với ba đồng và thấy cân bằng. Hỏi Nam phải cân tiếp thế nào để tìm đồng nhẹ?

Xem lời giải

Lời giải:

Cân 1 viên với 1 viên. Nếu cân lệch, viên ở đĩa nặng là viên cần tìm; nếu cân bằng, đó là viên thứ ba.

Lời giải:

Chia 6 viên nghi ngờ thành ba nhóm 2, 2 và 2 viên; cân hai nhóm 2 viên. Cân bằng thì viên khác thường nằm trong nhóm để riêng; cân lệch thì nằm ở đĩa nhẹ. Trong nhóm còn nghi ngờ (nhiều nhất 2 viên), cân 1 viên với 1 viên và để riêng 0 viên. Viên khác thường nằm ở đĩa nhẹ. Bắt đầu với 6 viên, sau lần cân thứ nhất còn nhiều nhất 2 viên nghi ngờ; lần cân thứ hai xác định được viên khác thường. Số lần cân nhiều nhất là 2; với 1 lần cân chỉ phân biệt được tối đa 3 khả năng nên không đủ cho 6 viên.

Lời giải:

Chia 7 viên nghi ngờ thành ba nhóm 3, 3 và 1 viên; cân hai nhóm 3 viên. Cân bằng thì viên khác thường nằm trong nhóm để riêng; cân lệch thì nằm ở đĩa nặng. Trong nhóm còn nghi ngờ (nhiều nhất 3 viên), cân 1 viên với 1 viên và để riêng 1 viên. Cân bằng thì viên khác thường nằm trong nhóm để riêng; cân lệch thì nằm ở đĩa nặng. Bắt đầu với 7 viên, sau lần cân thứ nhất còn nhiều nhất 3 viên nghi ngờ; lần cân thứ hai xác định được viên khác thường. Số lần cân nhiều nhất là 2; với 1 lần cân chỉ phân biệt được tối đa 3 khả năng nên không đủ cho 7 viên.

Bài 4: Có 12 viên bi giống hệt nhau, một viên nhẹ hơn. Liệu luôn tìm được viên đó chỉ với 2 lần cân thăng bằng không? Giải thích.

Lời giải:

Không. Mỗi lần cân có tối đa 3 kết quả (trái nhẹ, cân bằng, phải nhẹ); 2 lần cân phân biệt được tối đa 3×3=9 trường hợp, ít hơn 12 vị trí có thể của viên nhẹ. Cần ít nhất 3 lần.

Lời giải:

Sáu đồng đã cân đều chuẩn; đồng nhẹ nằm trong ba đồng chưa cân. Cân một trong ba đồng đó với một đồng khác trong cùng nhóm. Nếu lệch, đồng ở đĩa nhẹ hơn là đồng cần tìm; nếu cân bằng, đồng thứ ba là đồng nhẹ.

Tự kiểm tra mức độ thành thạo

Bài tập tự luyện

Bài 1: Bốn viên ngọc nhựa giống nhau về màu sắc được bày trên bàn. Trong 4 viên chỉ có một viên nhẹ hơn các viên còn lại, các viên khác cân nặng bằng nhau. Chỉ có cân thăng bằng hai đĩa. Hãy chỉ ra cách tìm viên khác thường trong không quá 2 lần cân.

Bài 2: Trong năm chiếc nút kim loại, có một nút nặng hơn. Trong 5 viên chỉ có một viên nặng hơn các viên còn lại, các viên khác cân nặng bằng nhau. Chỉ có cân thăng bằng hai đĩa. Hãy chỉ ra cách tìm viên khác thường trong không quá 2 lần cân.

Bài 3: Để luyện cách chia trường hợp, cô giáo chuẩn bị mười một viên bi đánh số. Trong 11 viên chỉ có một viên nhẹ hơn các viên còn lại, các viên khác cân nặng bằng nhau. Chỉ có cân thăng bằng hai đĩa. Hãy chỉ ra cách tìm viên khác thường trong không quá 3 lần cân.

Bài 4: Một cơ sở đóng gói phát hiện có một viên bi quá nặng trong lô mười bốn viên. Trong 14 viên chỉ có một viên nặng hơn các viên còn lại, các viên khác cân nặng bằng nhau. Chỉ có cân thăng bằng hai đĩa. Hãy chỉ ra cách tìm viên khác thường trong không quá 3 lần cân.

Bài 5: Hai mươi đồng xu có cùng mẫu, nhưng một đồng bằng vật liệu nhẹ. Trong 20 viên chỉ có một viên nhẹ hơn các viên còn lại, các viên khác cân nặng bằng nhau. Chỉ có cân thăng bằng hai đĩa. Hãy chỉ ra cách tìm viên khác thường trong không quá 3 lần cân.

Bài 6: Thử thách cân vật: có đúng một viên nặng trong 27 viên như nhau về kích thước. Trong 27 viên chỉ có một viên nặng hơn các viên còn lại, các viên khác cân nặng bằng nhau. Chỉ có cân thăng bằng hai đĩa. Hãy chỉ ra cách tìm viên khác thường trong không quá 3 lần cân.

Bài 7: Có 28 viên bi, đúng một viên nặng hơn các viên còn lại. Hãy xét khẳng định: “Chắc chắn tìm được viên nặng chỉ bằng 3 lần cân thăng bằng”. Khẳng định đúng hay sai?

Bài 8: Một bộ mẫu thử có 13 viên tròn, một viên có khối lượng lớn bất thường. Trong 13 viên chỉ có một viên nặng hơn các viên còn lại, các viên khác cân nặng bằng nhau. Chỉ có cân thăng bằng hai đĩa. Hãy chỉ ra cách tìm viên khác thường trong không quá 3 lần cân.

Bài 9: Tám đồng xu có một đồng nhẹ. Cân 3 đồng bên trái với 3 đồng bên phải; kết quả bên trái hạ xuống. Hỏi đồng nhẹ có thể ở đâu và cần cân thêm bao nhiêu lần?

Bài 10: Có chín viên bi, một viên nặng hơn. Cân 3 viên với 3 viên, hai đĩa cân bằng. Hãy mô tả lần cân tiếp theo.

Bài 11: Một hộp 18 đồng xu đã được đánh dấu số; chỉ có một đồng nhẹ hơn chuẩn. Trong 18 viên chỉ có một viên nhẹ hơn các viên còn lại, các viên khác cân nặng bằng nhau. Chỉ có cân thăng bằng hai đĩa. Hãy chỉ ra cách tìm viên khác thường trong không quá 3 lần cân.

Bài 12: Bài toán thử thách: 26 viên bi giống nhau, duy nhất một viên nặng hơn. Trong 26 viên chỉ có một viên nặng hơn các viên còn lại, các viên khác cân nặng bằng nhau. Chỉ có cân thăng bằng hai đĩa. Hãy chỉ ra cách tìm viên khác thường trong không quá 3 lần cân.

Xem lời giải bài tập tự luyện

Lời giải:

Chia 4 viên nghi ngờ thành ba nhóm 2, 2 và 0 viên; cân hai nhóm 2 viên. Viên khác thường nằm ở đĩa nhẹ. Trong nhóm còn nghi ngờ (nhiều nhất 2 viên), cân 1 viên với 1 viên và để riêng 0 viên. Viên khác thường nằm ở đĩa nhẹ. Bắt đầu với 4 viên, sau lần cân thứ nhất còn nhiều nhất 2 viên nghi ngờ; lần cân thứ hai xác định được viên khác thường. Số lần cân nhiều nhất là 2; với 1 lần cân chỉ phân biệt được tối đa 3 khả năng nên không đủ cho 4 viên.

Lời giải:

Chia 5 viên nghi ngờ thành ba nhóm 2, 2 và 1 viên; cân hai nhóm 2 viên. Cân bằng thì viên khác thường nằm trong nhóm để riêng; cân lệch thì nằm ở đĩa nặng. Trong nhóm còn nghi ngờ (nhiều nhất 2 viên), cân 1 viên với 1 viên và để riêng 0 viên. Viên khác thường nằm ở đĩa nặng. Bắt đầu với 5 viên, sau lần cân thứ nhất còn nhiều nhất 2 viên nghi ngờ; lần cân thứ hai xác định được viên khác thường. Số lần cân nhiều nhất là 2; với 1 lần cân chỉ phân biệt được tối đa 3 khả năng nên không đủ cho 5 viên.

Lời giải:

Chia 11 viên nghi ngờ thành ba nhóm 4, 4 và 3 viên; cân hai nhóm 4 viên. Cân bằng thì viên khác thường nằm trong nhóm để riêng; cân lệch thì nằm ở đĩa nhẹ. Trong nhóm còn nghi ngờ (nhiều nhất 4 viên), cân 2 viên với 2 viên và để riêng 0 viên. Viên khác thường nằm ở đĩa nhẹ. Trong nhóm còn nghi ngờ (nhiều nhất 2 viên), cân 1 viên với 1 viên và để riêng 0 viên. Viên khác thường nằm ở đĩa nhẹ. Bắt đầu với 11 viên, sau lần cân thứ nhất còn nhiều nhất 4 viên nghi ngờ, sau lần thứ hai còn nhiều nhất 2 viên và lần thứ ba xác định được viên khác thường. Số lần cân nhiều nhất là 3; với 2 lần cân chỉ phân biệt được tối đa 9 khả năng nên không đủ cho 11 viên.

Lời giải:

Chia 14 viên nghi ngờ thành ba nhóm 5, 5 và 4 viên; cân hai nhóm 5 viên. Cân bằng thì viên khác thường nằm trong nhóm để riêng; cân lệch thì nằm ở đĩa nặng. Trong nhóm còn nghi ngờ (nhiều nhất 5 viên), cân 2 viên với 2 viên và để riêng 1 viên. Cân bằng thì viên khác thường nằm trong nhóm để riêng; cân lệch thì nằm ở đĩa nặng. Trong nhóm còn nghi ngờ (nhiều nhất 2 viên), cân 1 viên với 1 viên và để riêng 0 viên. Viên khác thường nằm ở đĩa nặng. Bắt đầu với 14 viên, sau lần cân thứ nhất còn nhiều nhất 5 viên nghi ngờ, sau lần thứ hai còn nhiều nhất 2 viên và lần thứ ba xác định được viên khác thường. Số lần cân nhiều nhất là 3; với 2 lần cân chỉ phân biệt được tối đa 9 khả năng nên không đủ cho 14 viên.

Lời giải:

Chia 20 viên nghi ngờ thành ba nhóm 7, 7 và 6 viên; cân hai nhóm 7 viên. Cân bằng thì viên khác thường nằm trong nhóm để riêng; cân lệch thì nằm ở đĩa nhẹ. Trong nhóm còn nghi ngờ (nhiều nhất 7 viên), cân 3 viên với 3 viên và để riêng 1 viên. Cân bằng thì viên khác thường nằm trong nhóm để riêng; cân lệch thì nằm ở đĩa nhẹ. Trong nhóm còn nghi ngờ (nhiều nhất 3 viên), cân 1 viên với 1 viên và để riêng 1 viên. Cân bằng thì viên khác thường nằm trong nhóm để riêng; cân lệch thì nằm ở đĩa nhẹ. Bắt đầu với 20 viên, sau lần cân thứ nhất còn nhiều nhất 7 viên nghi ngờ, sau lần thứ hai còn nhiều nhất 3 viên và lần thứ ba xác định được viên khác thường. Số lần cân nhiều nhất là 3; với 2 lần cân chỉ phân biệt được tối đa 9 khả năng nên không đủ cho 20 viên.

Lời giải:

Chia 27 viên nghi ngờ thành ba nhóm 9, 9 và 9 viên; cân hai nhóm 9 viên. Cân bằng thì viên khác thường nằm trong nhóm để riêng; cân lệch thì nằm ở đĩa nặng. Trong nhóm còn nghi ngờ (nhiều nhất 9 viên), cân 3 viên với 3 viên và để riêng 3 viên. Cân bằng thì viên khác thường nằm trong nhóm để riêng; cân lệch thì nằm ở đĩa nặng. Trong nhóm còn nghi ngờ (nhiều nhất 3 viên), cân 1 viên với 1 viên và để riêng 1 viên. Cân bằng thì viên khác thường nằm trong nhóm để riêng; cân lệch thì nằm ở đĩa nặng. Bắt đầu với 27 viên, sau lần cân thứ nhất còn nhiều nhất 9 viên nghi ngờ, sau lần thứ hai còn nhiều nhất 3 viên và lần thứ ba xác định được viên khác thường. Số lần cân nhiều nhất là 3; với 2 lần cân chỉ phân biệt được tối đa 9 khả năng nên không đủ cho 27 viên.

Lời giải:

Sai. Ba lần cân có tối đa 3³=27 chuỗi kết quả; trong khi có 28 vị trí có thể của viên nặng. Vì 27 < 28 nên ít nhất cần 4 lần cân. Chia theo ba nhóm và tiếp tục cân cho phép tìm viên đó trong 4 lần.

Lời giải:

Chia 13 viên nghi ngờ thành ba nhóm 5, 5 và 3 viên; cân hai nhóm 5 viên. Cân bằng thì viên khác thường nằm trong nhóm để riêng; cân lệch thì nằm ở đĩa nặng. Trong nhóm còn nghi ngờ (nhiều nhất 5 viên), cân 2 viên với 2 viên và để riêng 1 viên. Cân bằng thì viên khác thường nằm trong nhóm để riêng; cân lệch thì nằm ở đĩa nặng. Trong nhóm còn nghi ngờ (nhiều nhất 2 viên), cân 1 viên với 1 viên và để riêng 0 viên. Viên khác thường nằm ở đĩa nặng. Bắt đầu với 13 viên, sau lần cân thứ nhất còn nhiều nhất 5 viên nghi ngờ, sau lần thứ hai còn nhiều nhất 2 viên và lần thứ ba xác định được viên khác thường. Số lần cân nhiều nhất là 3; với 2 lần cân chỉ phân biệt được tối đa 9 khả năng nên không đủ cho 13 viên.

Lời giải:

Đĩa trái hạ xuống nghĩa là bên phải nhẹ hơn. Đồng sai nằm trong 3 đồng bên phải, không nằm trong 2 đồng để ngoài. Cân một đồng bên phải với một đồng bên phải khác: nếu lệch chọn đồng nhẹ; nếu bằng chọn đồng còn lại. Chỉ cần thêm 1 lần cân.

Bài 10: Có chín viên bi, một viên nặng hơn. Cân 3 viên với 3 viên, hai đĩa cân bằng. Hãy mô tả lần cân tiếp theo.

Lời giải:

Viên nặng chắc chắn nằm trong 3 viên chưa cân. Cân 1 viên với 1 viên trong ba viên đó: nếu lệch lấy viên ở đĩa nặng hơn, nếu cân bằng lấy viên thứ ba. Vậy thêm một lần cân là đủ.

Lời giải:

Chia 18 viên nghi ngờ thành ba nhóm 6, 6 và 6 viên; cân hai nhóm 6 viên. Cân bằng thì viên khác thường nằm trong nhóm để riêng; cân lệch thì nằm ở đĩa nhẹ. Trong nhóm còn nghi ngờ (nhiều nhất 6 viên), cân 2 viên với 2 viên và để riêng 2 viên. Cân bằng thì viên khác thường nằm trong nhóm để riêng; cân lệch thì nằm ở đĩa nhẹ. Trong nhóm còn nghi ngờ (nhiều nhất 2 viên), cân 1 viên với 1 viên và để riêng 0 viên. Viên khác thường nằm ở đĩa nhẹ. Bắt đầu với 18 viên, sau lần cân thứ nhất còn nhiều nhất 6 viên nghi ngờ, sau lần thứ hai còn nhiều nhất 2 viên và lần thứ ba xác định được viên khác thường. Số lần cân nhiều nhất là 3; với 2 lần cân chỉ phân biệt được tối đa 9 khả năng nên không đủ cho 18 viên.

Lời giải:

Chia 26 viên nghi ngờ thành ba nhóm 9, 9 và 8 viên; cân hai nhóm 9 viên. Cân bằng thì viên khác thường nằm trong nhóm để riêng; cân lệch thì nằm ở đĩa nặng. Trong nhóm còn nghi ngờ (nhiều nhất 9 viên), cân 3 viên với 3 viên và để riêng 3 viên. Cân bằng thì viên khác thường nằm trong nhóm để riêng; cân lệch thì nằm ở đĩa nặng. Trong nhóm còn nghi ngờ (nhiều nhất 3 viên), cân 1 viên với 1 viên và để riêng 1 viên. Cân bằng thì viên khác thường nằm trong nhóm để riêng; cân lệch thì nằm ở đĩa nặng. Bắt đầu với 26 viên, sau lần cân thứ nhất còn nhiều nhất 9 viên nghi ngờ, sau lần thứ hai còn nhiều nhất 3 viên và lần thứ ba xác định được viên khác thường. Số lần cân nhiều nhất là 3; với 2 lần cân chỉ phân biệt được tối đa 9 khả năng nên không đủ cho 26 viên.

Chốt lại kiến thức

Ghi nhớ

Luôn đọc kỹ giả thiết: viên sai nhẹ hay nặng.
Chia nhóm gần bằng nhau và ghi cả ba khả năng của mỗi lần cân.
Kiểm tra giới hạn 3^k khả năng trước khi khẳng định số lần cân đủ hay không.