Bài toán cân vật

Học xong bài này

Mục tiêu bài học

Biết tổ chức dữ kiện của chuyên đề “Bài toán cân vật” bằng bảng, sơ đồ hoặc loại trừ.
Suy luận từng bước từ điều chắc chắn, không bỏ sót điều kiện.
Kiểm tra phương án cuối cùng với toàn bộ dữ kiện.

Nắm chắc trước khi làm bài

Kiến thức cần nhớ

Chuyển từng dữ kiện thành điều chắc chắn hoặc điều bị loại; không đoán theo cảm giác.
Ưu tiên dữ kiện mạnh: dữ kiện xác định trực tiếp một vị trí hoặc loại bỏ nhiều khả năng.
Có thể dùng bảng, sơ đồ, danh sách trường hợp để theo dõi suy luận.
Sau khi tìm được phương án, kiểm tra lại tất cả điều kiện để chắc chắn phương án thỏa đầy đủ.

Quan sát cách làm

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Có 9 viên bi giống nhau về hình thức, một viên nhẹ hơn. Chỉ dùng cân thăng bằng hai đĩa, hãy tìm viên nhẹ trong không quá 2 lần cân. (Bài số 1: hãy tự đặt tên các viên để trình bày sơ đồ cân.)

Hướng dẫn giải chi tiết:

Bước 1: Chia 9 viên thành ba nhóm, mỗi nhóm 3 viên. Cân nhóm 1 với nhóm 2.

Bước 2: Nếu cân bằng, viên nhẹ ở nhóm 3; nếu lệch, viên nhẹ ở nhóm nhẹ hơn. Như vậy còn 3 viên nghi ngờ.

Kết luận: Cân 1 viên với 1 viên trong nhóm nghi ngờ: nếu cân bằng, viên còn lại nhẹ; nếu lệch, viên ở đĩa nhẹ hơn là đáp án.

Ví dụ 2: Có 9 viên bi giống nhau về hình thức, một viên nhẹ hơn. Chỉ dùng cân thăng bằng hai đĩa, hãy tìm viên nhẹ trong không quá 2 lần cân. (Bài số 2: hãy tự đặt tên các viên để trình bày sơ đồ cân.)

Hướng dẫn giải chi tiết:

Bước 1: Chia 9 viên thành ba nhóm, mỗi nhóm 3 viên. Cân nhóm 1 với nhóm 2.

Bước 2: Nếu cân bằng, viên nhẹ ở nhóm 3; nếu lệch, viên nhẹ ở nhóm nhẹ hơn. Như vậy còn 3 viên nghi ngờ.

Kết luận: Cân 1 viên với 1 viên trong nhóm nghi ngờ: nếu cân bằng, viên còn lại nhẹ; nếu lệch, viên ở đĩa nhẹ hơn là đáp án.

Ví dụ 3: Có 9 viên bi giống nhau về hình thức, một viên nhẹ hơn. Chỉ dùng cân thăng bằng hai đĩa, hãy tìm viên nhẹ trong không quá 2 lần cân. (Bài số 3: hãy tự đặt tên các viên để trình bày sơ đồ cân.)

Hướng dẫn giải chi tiết:

Bước 1: Chia 9 viên thành ba nhóm, mỗi nhóm 3 viên. Cân nhóm 1 với nhóm 2.

Bước 2: Nếu cân bằng, viên nhẹ ở nhóm 3; nếu lệch, viên nhẹ ở nhóm nhẹ hơn. Như vậy còn 3 viên nghi ngờ.

Kết luận: Cân 1 viên với 1 viên trong nhóm nghi ngờ: nếu cân bằng, viên còn lại nhẹ; nếu lệch, viên ở đĩa nhẹ hơn là đáp án.

Luyện ngay sau ví dụ

Bài tập áp dụng

Bài 1: Có 9 viên bi giống nhau về hình thức, một viên nhẹ hơn. Chỉ dùng cân thăng bằng hai đĩa, hãy tìm viên nhẹ trong không quá 2 lần cân. (Bài số 4: hãy tự đặt tên các viên để trình bày sơ đồ cân.)

Bài 2: Có 9 viên bi giống nhau về hình thức, một viên nhẹ hơn. Chỉ dùng cân thăng bằng hai đĩa, hãy tìm viên nhẹ trong không quá 2 lần cân. (Bài số 5: hãy tự đặt tên các viên để trình bày sơ đồ cân.)

Bài 3: Có 9 viên bi giống nhau về hình thức, một viên nhẹ hơn. Chỉ dùng cân thăng bằng hai đĩa, hãy tìm viên nhẹ trong không quá 2 lần cân. (Bài số 6: hãy tự đặt tên các viên để trình bày sơ đồ cân.)

Bài 4: Có 9 viên bi giống nhau về hình thức, một viên nhẹ hơn. Chỉ dùng cân thăng bằng hai đĩa, hãy tìm viên nhẹ trong không quá 2 lần cân. (Bài số 7: hãy tự đặt tên các viên để trình bày sơ đồ cân.)

Bài 5: Có 9 viên bi giống nhau về hình thức, một viên nhẹ hơn. Chỉ dùng cân thăng bằng hai đĩa, hãy tìm viên nhẹ trong không quá 2 lần cân. (Bài số 8: hãy tự đặt tên các viên để trình bày sơ đồ cân.)

Xem lời giải

Lời giải:

Chia 9 viên thành ba nhóm, mỗi nhóm 3 viên. Cân nhóm 1 với nhóm 2.

Nếu cân bằng, viên nhẹ ở nhóm 3; nếu lệch, viên nhẹ ở nhóm nhẹ hơn. Như vậy còn 3 viên nghi ngờ.

Đáp số: Cân 1 viên với 1 viên trong nhóm nghi ngờ: nếu cân bằng, viên còn lại nhẹ; nếu lệch, viên ở đĩa nhẹ hơn là đáp án.

Lời giải:

Chia 9 viên thành ba nhóm, mỗi nhóm 3 viên. Cân nhóm 1 với nhóm 2.

Nếu cân bằng, viên nhẹ ở nhóm 3; nếu lệch, viên nhẹ ở nhóm nhẹ hơn. Như vậy còn 3 viên nghi ngờ.

Đáp số: Cân 1 viên với 1 viên trong nhóm nghi ngờ: nếu cân bằng, viên còn lại nhẹ; nếu lệch, viên ở đĩa nhẹ hơn là đáp án.

Lời giải:

Chia 9 viên thành ba nhóm, mỗi nhóm 3 viên. Cân nhóm 1 với nhóm 2.

Nếu cân bằng, viên nhẹ ở nhóm 3; nếu lệch, viên nhẹ ở nhóm nhẹ hơn. Như vậy còn 3 viên nghi ngờ.

Đáp số: Cân 1 viên với 1 viên trong nhóm nghi ngờ: nếu cân bằng, viên còn lại nhẹ; nếu lệch, viên ở đĩa nhẹ hơn là đáp án.

Lời giải:

Chia 9 viên thành ba nhóm, mỗi nhóm 3 viên. Cân nhóm 1 với nhóm 2.

Nếu cân bằng, viên nhẹ ở nhóm 3; nếu lệch, viên nhẹ ở nhóm nhẹ hơn. Như vậy còn 3 viên nghi ngờ.

Đáp số: Cân 1 viên với 1 viên trong nhóm nghi ngờ: nếu cân bằng, viên còn lại nhẹ; nếu lệch, viên ở đĩa nhẹ hơn là đáp án.

Lời giải:

Chia 9 viên thành ba nhóm, mỗi nhóm 3 viên. Cân nhóm 1 với nhóm 2.

Nếu cân bằng, viên nhẹ ở nhóm 3; nếu lệch, viên nhẹ ở nhóm nhẹ hơn. Như vậy còn 3 viên nghi ngờ.

Đáp số: Cân 1 viên với 1 viên trong nhóm nghi ngờ: nếu cân bằng, viên còn lại nhẹ; nếu lệch, viên ở đĩa nhẹ hơn là đáp án.

Tự kiểm tra mức độ thành thạo

Bài tập tự luyện

Bài 1: Có 9 viên bi giống nhau về hình thức, một viên nhẹ hơn. Chỉ dùng cân thăng bằng hai đĩa, hãy tìm viên nhẹ trong không quá 2 lần cân. (Bài số 9: hãy tự đặt tên các viên để trình bày sơ đồ cân.)

Bài 2: Có 9 viên bi giống nhau về hình thức, một viên nhẹ hơn. Chỉ dùng cân thăng bằng hai đĩa, hãy tìm viên nhẹ trong không quá 2 lần cân. (Bài số 10: hãy tự đặt tên các viên để trình bày sơ đồ cân.)

Bài 3: Có 9 viên bi giống nhau về hình thức, một viên nhẹ hơn. Chỉ dùng cân thăng bằng hai đĩa, hãy tìm viên nhẹ trong không quá 2 lần cân. (Bài số 11: hãy tự đặt tên các viên để trình bày sơ đồ cân.)

Bài 4: Có 9 viên bi giống nhau về hình thức, một viên nhẹ hơn. Chỉ dùng cân thăng bằng hai đĩa, hãy tìm viên nhẹ trong không quá 2 lần cân. (Bài số 12: hãy tự đặt tên các viên để trình bày sơ đồ cân.)

Bài 5: Có 9 viên bi giống nhau về hình thức, một viên nhẹ hơn. Chỉ dùng cân thăng bằng hai đĩa, hãy tìm viên nhẹ trong không quá 2 lần cân. (Bài số 13: hãy tự đặt tên các viên để trình bày sơ đồ cân.)

Bài 6: Có 9 viên bi giống nhau về hình thức, một viên nhẹ hơn. Chỉ dùng cân thăng bằng hai đĩa, hãy tìm viên nhẹ trong không quá 2 lần cân. (Bài số 14: hãy tự đặt tên các viên để trình bày sơ đồ cân.)

Bài 7: Có 9 viên bi giống nhau về hình thức, một viên nhẹ hơn. Chỉ dùng cân thăng bằng hai đĩa, hãy tìm viên nhẹ trong không quá 2 lần cân. (Bài số 15: hãy tự đặt tên các viên để trình bày sơ đồ cân.)

Bài 8: Có 9 viên bi giống nhau về hình thức, một viên nhẹ hơn. Chỉ dùng cân thăng bằng hai đĩa, hãy tìm viên nhẹ trong không quá 2 lần cân. (Bài số 16: hãy tự đặt tên các viên để trình bày sơ đồ cân.)

Bài 9: Có 9 viên bi giống nhau về hình thức, một viên nhẹ hơn. Chỉ dùng cân thăng bằng hai đĩa, hãy tìm viên nhẹ trong không quá 2 lần cân. (Bài số 17: hãy tự đặt tên các viên để trình bày sơ đồ cân.)

Bài 10: Có 9 viên bi giống nhau về hình thức, một viên nhẹ hơn. Chỉ dùng cân thăng bằng hai đĩa, hãy tìm viên nhẹ trong không quá 2 lần cân. (Bài số 18: hãy tự đặt tên các viên để trình bày sơ đồ cân.)

Bài 11: Có 9 viên bi giống nhau về hình thức, một viên nhẹ hơn. Chỉ dùng cân thăng bằng hai đĩa, hãy tìm viên nhẹ trong không quá 2 lần cân. (Bài số 19: hãy tự đặt tên các viên để trình bày sơ đồ cân.)

Bài 12: Có 9 viên bi giống nhau về hình thức, một viên nhẹ hơn. Chỉ dùng cân thăng bằng hai đĩa, hãy tìm viên nhẹ trong không quá 2 lần cân. (Bài số 20: hãy tự đặt tên các viên để trình bày sơ đồ cân.)

Xem lời giải bài tập tự luyện

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Chia 9 viên thành ba nhóm, mỗi nhóm 3 viên. Cân nhóm 1 với nhóm 2.

Bước 2: Nếu cân bằng, viên nhẹ ở nhóm 3; nếu lệch, viên nhẹ ở nhóm nhẹ hơn. Như vậy còn 3 viên nghi ngờ.

Đáp số: Cân 1 viên với 1 viên trong nhóm nghi ngờ: nếu cân bằng, viên còn lại nhẹ; nếu lệch, viên ở đĩa nhẹ hơn là đáp án.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Chia 9 viên thành ba nhóm, mỗi nhóm 3 viên. Cân nhóm 1 với nhóm 2.

Bước 2: Nếu cân bằng, viên nhẹ ở nhóm 3; nếu lệch, viên nhẹ ở nhóm nhẹ hơn. Như vậy còn 3 viên nghi ngờ.

Đáp số: Cân 1 viên với 1 viên trong nhóm nghi ngờ: nếu cân bằng, viên còn lại nhẹ; nếu lệch, viên ở đĩa nhẹ hơn là đáp án.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Chia 9 viên thành ba nhóm, mỗi nhóm 3 viên. Cân nhóm 1 với nhóm 2.

Bước 2: Nếu cân bằng, viên nhẹ ở nhóm 3; nếu lệch, viên nhẹ ở nhóm nhẹ hơn. Như vậy còn 3 viên nghi ngờ.

Đáp số: Cân 1 viên với 1 viên trong nhóm nghi ngờ: nếu cân bằng, viên còn lại nhẹ; nếu lệch, viên ở đĩa nhẹ hơn là đáp án.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Chia 9 viên thành ba nhóm, mỗi nhóm 3 viên. Cân nhóm 1 với nhóm 2.

Bước 2: Nếu cân bằng, viên nhẹ ở nhóm 3; nếu lệch, viên nhẹ ở nhóm nhẹ hơn. Như vậy còn 3 viên nghi ngờ.

Đáp số: Cân 1 viên với 1 viên trong nhóm nghi ngờ: nếu cân bằng, viên còn lại nhẹ; nếu lệch, viên ở đĩa nhẹ hơn là đáp án.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Chia 9 viên thành ba nhóm, mỗi nhóm 3 viên. Cân nhóm 1 với nhóm 2.

Bước 2: Nếu cân bằng, viên nhẹ ở nhóm 3; nếu lệch, viên nhẹ ở nhóm nhẹ hơn. Như vậy còn 3 viên nghi ngờ.

Đáp số: Cân 1 viên với 1 viên trong nhóm nghi ngờ: nếu cân bằng, viên còn lại nhẹ; nếu lệch, viên ở đĩa nhẹ hơn là đáp án.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Chia 9 viên thành ba nhóm, mỗi nhóm 3 viên. Cân nhóm 1 với nhóm 2.

Bước 2: Nếu cân bằng, viên nhẹ ở nhóm 3; nếu lệch, viên nhẹ ở nhóm nhẹ hơn. Như vậy còn 3 viên nghi ngờ.

Đáp số: Cân 1 viên với 1 viên trong nhóm nghi ngờ: nếu cân bằng, viên còn lại nhẹ; nếu lệch, viên ở đĩa nhẹ hơn là đáp án.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Chia 9 viên thành ba nhóm, mỗi nhóm 3 viên. Cân nhóm 1 với nhóm 2.

Bước 2: Nếu cân bằng, viên nhẹ ở nhóm 3; nếu lệch, viên nhẹ ở nhóm nhẹ hơn. Như vậy còn 3 viên nghi ngờ.

Đáp số: Cân 1 viên với 1 viên trong nhóm nghi ngờ: nếu cân bằng, viên còn lại nhẹ; nếu lệch, viên ở đĩa nhẹ hơn là đáp án.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Chia 9 viên thành ba nhóm, mỗi nhóm 3 viên. Cân nhóm 1 với nhóm 2.

Bước 2: Nếu cân bằng, viên nhẹ ở nhóm 3; nếu lệch, viên nhẹ ở nhóm nhẹ hơn. Như vậy còn 3 viên nghi ngờ.

Đáp số: Cân 1 viên với 1 viên trong nhóm nghi ngờ: nếu cân bằng, viên còn lại nhẹ; nếu lệch, viên ở đĩa nhẹ hơn là đáp án.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Chia 9 viên thành ba nhóm, mỗi nhóm 3 viên. Cân nhóm 1 với nhóm 2.

Bước 2: Nếu cân bằng, viên nhẹ ở nhóm 3; nếu lệch, viên nhẹ ở nhóm nhẹ hơn. Như vậy còn 3 viên nghi ngờ.

Đáp số: Cân 1 viên với 1 viên trong nhóm nghi ngờ: nếu cân bằng, viên còn lại nhẹ; nếu lệch, viên ở đĩa nhẹ hơn là đáp án.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Chia 9 viên thành ba nhóm, mỗi nhóm 3 viên. Cân nhóm 1 với nhóm 2.

Bước 2: Nếu cân bằng, viên nhẹ ở nhóm 3; nếu lệch, viên nhẹ ở nhóm nhẹ hơn. Như vậy còn 3 viên nghi ngờ.

Đáp số: Cân 1 viên với 1 viên trong nhóm nghi ngờ: nếu cân bằng, viên còn lại nhẹ; nếu lệch, viên ở đĩa nhẹ hơn là đáp án.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Chia 9 viên thành ba nhóm, mỗi nhóm 3 viên. Cân nhóm 1 với nhóm 2.

Bước 2: Nếu cân bằng, viên nhẹ ở nhóm 3; nếu lệch, viên nhẹ ở nhóm nhẹ hơn. Như vậy còn 3 viên nghi ngờ.

Đáp số: Cân 1 viên với 1 viên trong nhóm nghi ngờ: nếu cân bằng, viên còn lại nhẹ; nếu lệch, viên ở đĩa nhẹ hơn là đáp án.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Chia 9 viên thành ba nhóm, mỗi nhóm 3 viên. Cân nhóm 1 với nhóm 2.

Bước 2: Nếu cân bằng, viên nhẹ ở nhóm 3; nếu lệch, viên nhẹ ở nhóm nhẹ hơn. Như vậy còn 3 viên nghi ngờ.

Đáp số: Cân 1 viên với 1 viên trong nhóm nghi ngờ: nếu cân bằng, viên còn lại nhẹ; nếu lệch, viên ở đĩa nhẹ hơn là đáp án.

Bài 13: Có 9 viên bi, một viên nặng hơn. Dùng cân đĩa, mỗi lần chia đều thành ba nhóm. Cần nhiều nhất bao nhiêu lần cân theo cách chia ba để tìm viên nặng?

Lời giải

Mỗi lần cân thu hẹp còn một phần ba số viên. 9 = 3 × 3, nên cần 2 lần cân.

Bài 14: Có 27 viên bi, một viên nặng hơn. Dùng cân đĩa, mỗi lần chia đều thành ba nhóm. Cần nhiều nhất bao nhiêu lần cân theo cách chia ba để tìm viên nặng?

Lời giải

Mỗi lần cân thu hẹp còn một phần ba số viên. 27 = 3 × 3 × 3, nên cần 3 lần cân.

Bài 15: Có 81 viên bi, một viên nặng hơn. Dùng cân đĩa, mỗi lần chia đều thành ba nhóm. Cần nhiều nhất bao nhiêu lần cân theo cách chia ba để tìm viên nặng?

Lời giải

Mỗi lần cân thu hẹp còn một phần ba số viên. 81 = 3 × 3 × 3 × 3, nên cần 4 lần cân.

Chốt lại kiến thức

Ghi nhớ

Chuyển từng dữ kiện thành điều chắc chắn hoặc điều bị loại; không đoán theo cảm giác.
Ưu tiên dữ kiện mạnh: dữ kiện xác định trực tiếp một vị trí hoặc loại bỏ nhiều khả năng.
Có thể dùng bảng, sơ đồ, danh sách trường hợp để theo dõi suy luận.