Bài toán cân vật
Chuyên đề nâng cao bài toán cân vật với phương pháp chọn lọc, 20 bài toán phân loại và lời giải đầy đủ từng bước dành cho học sinh ôn thi vào lớp 6 CLC.
Mục tiêu bài học
- Nhận biết và xử lí các biến đổi nâng cao của dạng Bài toán cân vật.
- Biết phân tích dữ kiện ẩn, lựa chọn phương pháp ngắn gọn và kiểm tra kết quả.
- Trình bày lời giải đầy đủ từng bước theo ngôn ngữ Toán tiểu học, không dùng kiến thức thuần THCS.
Kiến thức cần nhớ
- Ghi từng điều kiện thành câu ngắn, bảng hoặc sơ đồ để tránh bỏ sót.
- Mỗi lần suy luận chỉ dùng điều đã biết chắc chắn; không suy đoán theo cảm tính.
- Sau khi có phương án, kiểm tra lại toàn bộ điều kiện ban đầu.
- Trọng tâm là nhận đúng dữ kiện đặc trưng của dạng “Bài toán cân vật” và chọn phép tính phù hợp.
- Nên trình bày theo thứ tự: tóm tắt, lập luận, phép tính, kết luận.
Ví dụ minh họa
Phương pháp chung
- Đọc kĩ đề, gạch dưới dữ kiện và xác định chính xác yêu cầu cuối cùng.
- Ta liệt kê các đối tượng và điều kiện, lập bảng hoặc sơ đồ để theo dõi. Mỗi kết luận phải dựa trên một điều kiện cụ thể, không đoán theo cảm tính.
- Trình bày từng kết quả trung gian, giải thích ý nghĩa của phép tính và kiểm tra lại kết luận.
Ví dụ 1: Có 9 viên bi giống nhau về hình thức, một viên nhẹ hơn. Chỉ dùng cân thăng bằng hai đĩa, hãy tìm viên nhẹ trong không quá 2 lần cân. (Bài số 1: hãy tự đặt tên các viên để trình bày sơ đồ cân.)
Hướng dẫn giải chi tiết:
Phân tích đề: Ta liệt kê các đối tượng và điều kiện, lập bảng hoặc sơ đồ để theo dõi. Mỗi kết luận phải dựa trên một điều kiện cụ thể, không đoán theo cảm tính.
Bước 1: Chia 9 viên thành ba nhóm, mỗi nhóm 3 viên. Cân nhóm 1 với nhóm 2. Ta lần lượt thử từng khả năng và đối chiếu với mọi dữ kiện. Một khả năng chỉ được giữ lại khi không gây mâu thuẫn; khả năng cuối cùng phải thỏa mãn đồng thời tất cả điều kiện.
Vì sao làm như vậy: Bảng suy luận giúp loại dần những khả năng mâu thuẫn và giữ lại các khả năng còn phù hợp.
Bước 2: Nếu cân bằng, viên nhẹ ở nhóm 3; nếu lệch, viên nhẹ ở nhóm nhẹ hơn. Như vậy còn 3 viên nghi ngờ. Ta lần lượt thử từng khả năng và đối chiếu với mọi dữ kiện. Một khả năng chỉ được giữ lại khi không gây mâu thuẫn; khả năng cuối cùng phải thỏa mãn đồng thời tất cả điều kiện.
Vì sao làm như vậy: Ta kết hợp các điều kiện theo thứ tự, ưu tiên điều kiện xác định được ngay một đối tượng hoặc vị trí.
Ý nghĩa của kết quả: Phương án cuối cùng phải thỏa mãn tất cả điều kiện, không chỉ một vài điều kiện.
Kết luận: Cân 1 viên với 1 viên trong nhóm nghi ngờ: nếu cân bằng, viên còn lại nhẹ; nếu lệch, viên ở đĩa nhẹ hơn là đáp án.
Kiểm tra: Thay toàn bộ phương án vào từng câu của đề và kiểm tra không có mâu thuẫn.
Ví dụ 2: Có 9 viên bi giống nhau về hình thức, một viên nhẹ hơn. Chỉ dùng cân thăng bằng hai đĩa, hãy tìm viên nhẹ trong không quá 2 lần cân. (Bài số 2: hãy tự đặt tên các viên để trình bày sơ đồ cân.)
Hướng dẫn giải chi tiết:
Phân tích đề: Ta liệt kê các đối tượng và điều kiện, lập bảng hoặc sơ đồ để theo dõi. Mỗi kết luận phải dựa trên một điều kiện cụ thể, không đoán theo cảm tính.
Bước 1: Chia 9 viên thành ba nhóm, mỗi nhóm 3 viên. Cân nhóm 1 với nhóm 2. Ta lần lượt thử từng khả năng và đối chiếu với mọi dữ kiện. Một khả năng chỉ được giữ lại khi không gây mâu thuẫn; khả năng cuối cùng phải thỏa mãn đồng thời tất cả điều kiện.
Vì sao làm như vậy: Bảng suy luận giúp loại dần những khả năng mâu thuẫn và giữ lại các khả năng còn phù hợp.
Bước 2: Nếu cân bằng, viên nhẹ ở nhóm 3; nếu lệch, viên nhẹ ở nhóm nhẹ hơn. Như vậy còn 3 viên nghi ngờ. Ta lần lượt thử từng khả năng và đối chiếu với mọi dữ kiện. Một khả năng chỉ được giữ lại khi không gây mâu thuẫn; khả năng cuối cùng phải thỏa mãn đồng thời tất cả điều kiện.
Vì sao làm như vậy: Ta kết hợp các điều kiện theo thứ tự, ưu tiên điều kiện xác định được ngay một đối tượng hoặc vị trí.
Ý nghĩa của kết quả: Phương án cuối cùng phải thỏa mãn tất cả điều kiện, không chỉ một vài điều kiện.
Kết luận: Cân 1 viên với 1 viên trong nhóm nghi ngờ: nếu cân bằng, viên còn lại nhẹ; nếu lệch, viên ở đĩa nhẹ hơn là đáp án.
Kiểm tra: Thay toàn bộ phương án vào từng câu của đề và kiểm tra không có mâu thuẫn.
Ví dụ 3: Có 9 viên bi giống nhau về hình thức, một viên nhẹ hơn. Chỉ dùng cân thăng bằng hai đĩa, hãy tìm viên nhẹ trong không quá 2 lần cân. (Bài số 3: hãy tự đặt tên các viên để trình bày sơ đồ cân.)
Hướng dẫn giải chi tiết:
Phân tích đề: Ta liệt kê các đối tượng và điều kiện, lập bảng hoặc sơ đồ để theo dõi. Mỗi kết luận phải dựa trên một điều kiện cụ thể, không đoán theo cảm tính.
Bước 1: Chia 9 viên thành ba nhóm, mỗi nhóm 3 viên. Cân nhóm 1 với nhóm 2. Ta lần lượt thử từng khả năng và đối chiếu với mọi dữ kiện. Một khả năng chỉ được giữ lại khi không gây mâu thuẫn; khả năng cuối cùng phải thỏa mãn đồng thời tất cả điều kiện.
Vì sao làm như vậy: Bảng suy luận giúp loại dần những khả năng mâu thuẫn và giữ lại các khả năng còn phù hợp.
Bước 2: Nếu cân bằng, viên nhẹ ở nhóm 3; nếu lệch, viên nhẹ ở nhóm nhẹ hơn. Như vậy còn 3 viên nghi ngờ. Ta lần lượt thử từng khả năng và đối chiếu với mọi dữ kiện. Một khả năng chỉ được giữ lại khi không gây mâu thuẫn; khả năng cuối cùng phải thỏa mãn đồng thời tất cả điều kiện.
Vì sao làm như vậy: Ta kết hợp các điều kiện theo thứ tự, ưu tiên điều kiện xác định được ngay một đối tượng hoặc vị trí.
Ý nghĩa của kết quả: Phương án cuối cùng phải thỏa mãn tất cả điều kiện, không chỉ một vài điều kiện.
Kết luận: Cân 1 viên với 1 viên trong nhóm nghi ngờ: nếu cân bằng, viên còn lại nhẹ; nếu lệch, viên ở đĩa nhẹ hơn là đáp án.
Kiểm tra: Thay toàn bộ phương án vào từng câu của đề và kiểm tra không có mâu thuẫn.
Bài tập áp dụng
Bài 1: Có 9 viên bi giống nhau về hình thức, một viên nhẹ hơn. Chỉ dùng cân thăng bằng hai đĩa, hãy tìm viên nhẹ trong không quá 2 lần cân. (Bài số 4: hãy tự đặt tên các viên để trình bày sơ đồ cân.)
Bài 2: Có 9 viên bi giống nhau về hình thức, một viên nhẹ hơn. Chỉ dùng cân thăng bằng hai đĩa, hãy tìm viên nhẹ trong không quá 2 lần cân. (Bài số 5: hãy tự đặt tên các viên để trình bày sơ đồ cân.)
Bài 3: Có 9 viên bi giống nhau về hình thức, một viên nhẹ hơn. Chỉ dùng cân thăng bằng hai đĩa, hãy tìm viên nhẹ trong không quá 2 lần cân. (Bài số 6: hãy tự đặt tên các viên để trình bày sơ đồ cân.)
Bài 4: Có 9 viên bi giống nhau về hình thức, một viên nhẹ hơn. Chỉ dùng cân thăng bằng hai đĩa, hãy tìm viên nhẹ trong không quá 2 lần cân. (Bài số 7: hãy tự đặt tên các viên để trình bày sơ đồ cân.)
Bài 5: Có 9 viên bi giống nhau về hình thức, một viên nhẹ hơn. Chỉ dùng cân thăng bằng hai đĩa, hãy tìm viên nhẹ trong không quá 2 lần cân. (Bài số 8: hãy tự đặt tên các viên để trình bày sơ đồ cân.)
Xem lời giải
Bài 1: Có 9 viên bi giống nhau về hình thức, một viên nhẹ hơn. Chỉ dùng cân thăng bằng hai đĩa, hãy tìm viên nhẹ trong không quá 2 lần cân. (Bài số 4: hãy tự đặt tên các viên để trình bày sơ đồ cân.)
Lời giải:
Trước hết, ta lập bảng các khả năng, dùng từng điều kiện để loại trừ và chỉ giữ phương án thỏa mãn đồng thời mọi dữ kiện.
Chia 9 viên thành ba nhóm, mỗi nhóm 3 viên. Cân nhóm 1 với nhóm 2.
Điều kiện này loại được một số khả năng và thu hẹp vị trí hoặc giá trị của đối tượng.
Nếu cân bằng, viên nhẹ ở nhóm 3; nếu lệch, viên nhẹ ở nhóm nhẹ hơn. Như vậy còn 3 viên nghi ngờ.
Kết hợp các điều kiện còn lại để xác định phương án duy nhất, sau đó thử lại toàn bộ đề.
Từ các kết quả trên, ta trả lời đầy đủ yêu cầu của bài toán và ghi đáp số kèm đơn vị (nếu có).
Đáp số: Cân 1 viên với 1 viên trong nhóm nghi ngờ: nếu cân bằng, viên còn lại nhẹ; nếu lệch, viên ở đĩa nhẹ hơn là đáp án.
Bài 2: Có 9 viên bi giống nhau về hình thức, một viên nhẹ hơn. Chỉ dùng cân thăng bằng hai đĩa, hãy tìm viên nhẹ trong không quá 2 lần cân. (Bài số 5: hãy tự đặt tên các viên để trình bày sơ đồ cân.)
Lời giải:
Trước hết, ta lập bảng các khả năng, dùng từng điều kiện để loại trừ và chỉ giữ phương án thỏa mãn đồng thời mọi dữ kiện.
Chia 9 viên thành ba nhóm, mỗi nhóm 3 viên. Cân nhóm 1 với nhóm 2.
Điều kiện này loại được một số khả năng và thu hẹp vị trí hoặc giá trị của đối tượng.
Nếu cân bằng, viên nhẹ ở nhóm 3; nếu lệch, viên nhẹ ở nhóm nhẹ hơn. Như vậy còn 3 viên nghi ngờ.
Kết hợp các điều kiện còn lại để xác định phương án duy nhất, sau đó thử lại toàn bộ đề.
Từ các kết quả trên, ta trả lời đầy đủ yêu cầu của bài toán và ghi đáp số kèm đơn vị (nếu có).
Đáp số: Cân 1 viên với 1 viên trong nhóm nghi ngờ: nếu cân bằng, viên còn lại nhẹ; nếu lệch, viên ở đĩa nhẹ hơn là đáp án.
Bài 3: Có 9 viên bi giống nhau về hình thức, một viên nhẹ hơn. Chỉ dùng cân thăng bằng hai đĩa, hãy tìm viên nhẹ trong không quá 2 lần cân. (Bài số 6: hãy tự đặt tên các viên để trình bày sơ đồ cân.)
Lời giải:
Trước hết, ta lập bảng các khả năng, dùng từng điều kiện để loại trừ và chỉ giữ phương án thỏa mãn đồng thời mọi dữ kiện.
Chia 9 viên thành ba nhóm, mỗi nhóm 3 viên. Cân nhóm 1 với nhóm 2.
Điều kiện này loại được một số khả năng và thu hẹp vị trí hoặc giá trị của đối tượng.
Nếu cân bằng, viên nhẹ ở nhóm 3; nếu lệch, viên nhẹ ở nhóm nhẹ hơn. Như vậy còn 3 viên nghi ngờ.
Kết hợp các điều kiện còn lại để xác định phương án duy nhất, sau đó thử lại toàn bộ đề.
Từ các kết quả trên, ta trả lời đầy đủ yêu cầu của bài toán và ghi đáp số kèm đơn vị (nếu có).
Đáp số: Cân 1 viên với 1 viên trong nhóm nghi ngờ: nếu cân bằng, viên còn lại nhẹ; nếu lệch, viên ở đĩa nhẹ hơn là đáp án.
Bài 4: Có 9 viên bi giống nhau về hình thức, một viên nhẹ hơn. Chỉ dùng cân thăng bằng hai đĩa, hãy tìm viên nhẹ trong không quá 2 lần cân. (Bài số 7: hãy tự đặt tên các viên để trình bày sơ đồ cân.)
Lời giải:
Trước hết, ta lập bảng các khả năng, dùng từng điều kiện để loại trừ và chỉ giữ phương án thỏa mãn đồng thời mọi dữ kiện.
Chia 9 viên thành ba nhóm, mỗi nhóm 3 viên. Cân nhóm 1 với nhóm 2.
Điều kiện này loại được một số khả năng và thu hẹp vị trí hoặc giá trị của đối tượng.
Nếu cân bằng, viên nhẹ ở nhóm 3; nếu lệch, viên nhẹ ở nhóm nhẹ hơn. Như vậy còn 3 viên nghi ngờ.
Kết hợp các điều kiện còn lại để xác định phương án duy nhất, sau đó thử lại toàn bộ đề.
Từ các kết quả trên, ta trả lời đầy đủ yêu cầu của bài toán và ghi đáp số kèm đơn vị (nếu có).
Đáp số: Cân 1 viên với 1 viên trong nhóm nghi ngờ: nếu cân bằng, viên còn lại nhẹ; nếu lệch, viên ở đĩa nhẹ hơn là đáp án.
Bài 5: Có 9 viên bi giống nhau về hình thức, một viên nhẹ hơn. Chỉ dùng cân thăng bằng hai đĩa, hãy tìm viên nhẹ trong không quá 2 lần cân. (Bài số 8: hãy tự đặt tên các viên để trình bày sơ đồ cân.)
Lời giải:
Trước hết, ta lập bảng các khả năng, dùng từng điều kiện để loại trừ và chỉ giữ phương án thỏa mãn đồng thời mọi dữ kiện.
Chia 9 viên thành ba nhóm, mỗi nhóm 3 viên. Cân nhóm 1 với nhóm 2.
Điều kiện này loại được một số khả năng và thu hẹp vị trí hoặc giá trị của đối tượng.
Nếu cân bằng, viên nhẹ ở nhóm 3; nếu lệch, viên nhẹ ở nhóm nhẹ hơn. Như vậy còn 3 viên nghi ngờ.
Kết hợp các điều kiện còn lại để xác định phương án duy nhất, sau đó thử lại toàn bộ đề.
Từ các kết quả trên, ta trả lời đầy đủ yêu cầu của bài toán và ghi đáp số kèm đơn vị (nếu có).
Đáp số: Cân 1 viên với 1 viên trong nhóm nghi ngờ: nếu cân bằng, viên còn lại nhẹ; nếu lệch, viên ở đĩa nhẹ hơn là đáp án.
Bài tập tự luyện
Bài 1: Có 9 viên bi giống nhau về hình thức, một viên nhẹ hơn. Chỉ dùng cân thăng bằng hai đĩa, hãy tìm viên nhẹ trong không quá 2 lần cân. (Bài số 9: hãy tự đặt tên các viên để trình bày sơ đồ cân.)
Bài 2: Có 9 viên bi giống nhau về hình thức, một viên nhẹ hơn. Chỉ dùng cân thăng bằng hai đĩa, hãy tìm viên nhẹ trong không quá 2 lần cân. (Bài số 10: hãy tự đặt tên các viên để trình bày sơ đồ cân.)
Bài 3: Có 9 viên bi giống nhau về hình thức, một viên nhẹ hơn. Chỉ dùng cân thăng bằng hai đĩa, hãy tìm viên nhẹ trong không quá 2 lần cân. (Bài số 11: hãy tự đặt tên các viên để trình bày sơ đồ cân.)
Bài 4: Có 9 viên bi giống nhau về hình thức, một viên nhẹ hơn. Chỉ dùng cân thăng bằng hai đĩa, hãy tìm viên nhẹ trong không quá 2 lần cân. (Bài số 12: hãy tự đặt tên các viên để trình bày sơ đồ cân.)
Bài 5: Có 9 viên bi giống nhau về hình thức, một viên nhẹ hơn. Chỉ dùng cân thăng bằng hai đĩa, hãy tìm viên nhẹ trong không quá 2 lần cân. (Bài số 13: hãy tự đặt tên các viên để trình bày sơ đồ cân.)
Bài 6: Có 9 viên bi giống nhau về hình thức, một viên nhẹ hơn. Chỉ dùng cân thăng bằng hai đĩa, hãy tìm viên nhẹ trong không quá 2 lần cân. (Bài số 14: hãy tự đặt tên các viên để trình bày sơ đồ cân.)
Bài 7: Có 9 viên bi giống nhau về hình thức, một viên nhẹ hơn. Chỉ dùng cân thăng bằng hai đĩa, hãy tìm viên nhẹ trong không quá 2 lần cân. (Bài số 15: hãy tự đặt tên các viên để trình bày sơ đồ cân.)
Bài 8: Có 9 viên bi giống nhau về hình thức, một viên nhẹ hơn. Chỉ dùng cân thăng bằng hai đĩa, hãy tìm viên nhẹ trong không quá 2 lần cân. (Bài số 16: hãy tự đặt tên các viên để trình bày sơ đồ cân.)
Bài 9: Có 9 viên bi giống nhau về hình thức, một viên nhẹ hơn. Chỉ dùng cân thăng bằng hai đĩa, hãy tìm viên nhẹ trong không quá 2 lần cân. (Bài số 17: hãy tự đặt tên các viên để trình bày sơ đồ cân.)
Bài 10: Có 9 viên bi giống nhau về hình thức, một viên nhẹ hơn. Chỉ dùng cân thăng bằng hai đĩa, hãy tìm viên nhẹ trong không quá 2 lần cân. (Bài số 18: hãy tự đặt tên các viên để trình bày sơ đồ cân.)
Bài 11: Có 9 viên bi giống nhau về hình thức, một viên nhẹ hơn. Chỉ dùng cân thăng bằng hai đĩa, hãy tìm viên nhẹ trong không quá 2 lần cân. (Bài số 19: hãy tự đặt tên các viên để trình bày sơ đồ cân.)
Bài 12: Có 9 viên bi giống nhau về hình thức, một viên nhẹ hơn. Chỉ dùng cân thăng bằng hai đĩa, hãy tìm viên nhẹ trong không quá 2 lần cân. (Bài số 20: hãy tự đặt tên các viên để trình bày sơ đồ cân.)
Xem lời giải bài tập tự luyện
Bài 1: Có 9 viên bi giống nhau về hình thức, một viên nhẹ hơn. Chỉ dùng cân thăng bằng hai đĩa, hãy tìm viên nhẹ trong không quá 2 lần cân. (Bài số 9: hãy tự đặt tên các viên để trình bày sơ đồ cân.)
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Chia 9 viên thành ba nhóm, mỗi nhóm 3 viên. Cân nhóm 1 với nhóm 2. Ta lần lượt thử từng khả năng và đối chiếu với mọi dữ kiện. Một khả năng chỉ được giữ lại khi không gây mâu thuẫn; khả năng cuối cùng phải thỏa mãn đồng thời tất cả điều kiện.
Bước 2: Nếu cân bằng, viên nhẹ ở nhóm 3; nếu lệch, viên nhẹ ở nhóm nhẹ hơn. Như vậy còn 3 viên nghi ngờ. Ta lần lượt thử từng khả năng và đối chiếu với mọi dữ kiện. Một khả năng chỉ được giữ lại khi không gây mâu thuẫn; khả năng cuối cùng phải thỏa mãn đồng thời tất cả điều kiện.
Đáp số: Cân 1 viên với 1 viên trong nhóm nghi ngờ: nếu cân bằng, viên còn lại nhẹ; nếu lệch, viên ở đĩa nhẹ hơn là đáp án.
Kiểm tra: Đối chiếu trường hợp vừa tìm với từng điều kiện của đề. Nếu không có điều kiện nào bị vi phạm và các trường hợp đã được xét không trùng nhau, kết quả được chấp nhận.
Bài 2: Có 9 viên bi giống nhau về hình thức, một viên nhẹ hơn. Chỉ dùng cân thăng bằng hai đĩa, hãy tìm viên nhẹ trong không quá 2 lần cân. (Bài số 10: hãy tự đặt tên các viên để trình bày sơ đồ cân.)
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Chia 9 viên thành ba nhóm, mỗi nhóm 3 viên. Cân nhóm 1 với nhóm 2. Ta lần lượt thử từng khả năng và đối chiếu với mọi dữ kiện. Một khả năng chỉ được giữ lại khi không gây mâu thuẫn; khả năng cuối cùng phải thỏa mãn đồng thời tất cả điều kiện.
Bước 2: Nếu cân bằng, viên nhẹ ở nhóm 3; nếu lệch, viên nhẹ ở nhóm nhẹ hơn. Như vậy còn 3 viên nghi ngờ. Ta lần lượt thử từng khả năng và đối chiếu với mọi dữ kiện. Một khả năng chỉ được giữ lại khi không gây mâu thuẫn; khả năng cuối cùng phải thỏa mãn đồng thời tất cả điều kiện.
Đáp số: Cân 1 viên với 1 viên trong nhóm nghi ngờ: nếu cân bằng, viên còn lại nhẹ; nếu lệch, viên ở đĩa nhẹ hơn là đáp án.
Kiểm tra: Đối chiếu trường hợp vừa tìm với từng điều kiện của đề. Nếu không có điều kiện nào bị vi phạm và các trường hợp đã được xét không trùng nhau, kết quả được chấp nhận.
Bài 3: Có 9 viên bi giống nhau về hình thức, một viên nhẹ hơn. Chỉ dùng cân thăng bằng hai đĩa, hãy tìm viên nhẹ trong không quá 2 lần cân. (Bài số 11: hãy tự đặt tên các viên để trình bày sơ đồ cân.)
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Chia 9 viên thành ba nhóm, mỗi nhóm 3 viên. Cân nhóm 1 với nhóm 2. Ta lần lượt thử từng khả năng và đối chiếu với mọi dữ kiện. Một khả năng chỉ được giữ lại khi không gây mâu thuẫn; khả năng cuối cùng phải thỏa mãn đồng thời tất cả điều kiện.
Bước 2: Nếu cân bằng, viên nhẹ ở nhóm 3; nếu lệch, viên nhẹ ở nhóm nhẹ hơn. Như vậy còn 3 viên nghi ngờ. Ta lần lượt thử từng khả năng và đối chiếu với mọi dữ kiện. Một khả năng chỉ được giữ lại khi không gây mâu thuẫn; khả năng cuối cùng phải thỏa mãn đồng thời tất cả điều kiện.
Đáp số: Cân 1 viên với 1 viên trong nhóm nghi ngờ: nếu cân bằng, viên còn lại nhẹ; nếu lệch, viên ở đĩa nhẹ hơn là đáp án.
Kiểm tra: Đối chiếu trường hợp vừa tìm với từng điều kiện của đề. Nếu không có điều kiện nào bị vi phạm và các trường hợp đã được xét không trùng nhau, kết quả được chấp nhận.
Bài 4: Có 9 viên bi giống nhau về hình thức, một viên nhẹ hơn. Chỉ dùng cân thăng bằng hai đĩa, hãy tìm viên nhẹ trong không quá 2 lần cân. (Bài số 12: hãy tự đặt tên các viên để trình bày sơ đồ cân.)
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Chia 9 viên thành ba nhóm, mỗi nhóm 3 viên. Cân nhóm 1 với nhóm 2. Ta lần lượt thử từng khả năng và đối chiếu với mọi dữ kiện. Một khả năng chỉ được giữ lại khi không gây mâu thuẫn; khả năng cuối cùng phải thỏa mãn đồng thời tất cả điều kiện.
Bước 2: Nếu cân bằng, viên nhẹ ở nhóm 3; nếu lệch, viên nhẹ ở nhóm nhẹ hơn. Như vậy còn 3 viên nghi ngờ. Ta lần lượt thử từng khả năng và đối chiếu với mọi dữ kiện. Một khả năng chỉ được giữ lại khi không gây mâu thuẫn; khả năng cuối cùng phải thỏa mãn đồng thời tất cả điều kiện.
Đáp số: Cân 1 viên với 1 viên trong nhóm nghi ngờ: nếu cân bằng, viên còn lại nhẹ; nếu lệch, viên ở đĩa nhẹ hơn là đáp án.
Kiểm tra: Đối chiếu trường hợp vừa tìm với từng điều kiện của đề. Nếu không có điều kiện nào bị vi phạm và các trường hợp đã được xét không trùng nhau, kết quả được chấp nhận.
Bài 5: Có 9 viên bi giống nhau về hình thức, một viên nhẹ hơn. Chỉ dùng cân thăng bằng hai đĩa, hãy tìm viên nhẹ trong không quá 2 lần cân. (Bài số 13: hãy tự đặt tên các viên để trình bày sơ đồ cân.)
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Chia 9 viên thành ba nhóm, mỗi nhóm 3 viên. Cân nhóm 1 với nhóm 2. Ta lần lượt thử từng khả năng và đối chiếu với mọi dữ kiện. Một khả năng chỉ được giữ lại khi không gây mâu thuẫn; khả năng cuối cùng phải thỏa mãn đồng thời tất cả điều kiện.
Bước 2: Nếu cân bằng, viên nhẹ ở nhóm 3; nếu lệch, viên nhẹ ở nhóm nhẹ hơn. Như vậy còn 3 viên nghi ngờ. Ta lần lượt thử từng khả năng và đối chiếu với mọi dữ kiện. Một khả năng chỉ được giữ lại khi không gây mâu thuẫn; khả năng cuối cùng phải thỏa mãn đồng thời tất cả điều kiện.
Đáp số: Cân 1 viên với 1 viên trong nhóm nghi ngờ: nếu cân bằng, viên còn lại nhẹ; nếu lệch, viên ở đĩa nhẹ hơn là đáp án.
Kiểm tra: Đối chiếu trường hợp vừa tìm với từng điều kiện của đề. Nếu không có điều kiện nào bị vi phạm và các trường hợp đã được xét không trùng nhau, kết quả được chấp nhận.
Bài 6: Có 9 viên bi giống nhau về hình thức, một viên nhẹ hơn. Chỉ dùng cân thăng bằng hai đĩa, hãy tìm viên nhẹ trong không quá 2 lần cân. (Bài số 14: hãy tự đặt tên các viên để trình bày sơ đồ cân.)
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Chia 9 viên thành ba nhóm, mỗi nhóm 3 viên. Cân nhóm 1 với nhóm 2. Ta lần lượt thử từng khả năng và đối chiếu với mọi dữ kiện. Một khả năng chỉ được giữ lại khi không gây mâu thuẫn; khả năng cuối cùng phải thỏa mãn đồng thời tất cả điều kiện.
Bước 2: Nếu cân bằng, viên nhẹ ở nhóm 3; nếu lệch, viên nhẹ ở nhóm nhẹ hơn. Như vậy còn 3 viên nghi ngờ. Ta lần lượt thử từng khả năng và đối chiếu với mọi dữ kiện. Một khả năng chỉ được giữ lại khi không gây mâu thuẫn; khả năng cuối cùng phải thỏa mãn đồng thời tất cả điều kiện.
Đáp số: Cân 1 viên với 1 viên trong nhóm nghi ngờ: nếu cân bằng, viên còn lại nhẹ; nếu lệch, viên ở đĩa nhẹ hơn là đáp án.
Kiểm tra: Đối chiếu trường hợp vừa tìm với từng điều kiện của đề. Nếu không có điều kiện nào bị vi phạm và các trường hợp đã được xét không trùng nhau, kết quả được chấp nhận.
Bài 7: Có 9 viên bi giống nhau về hình thức, một viên nhẹ hơn. Chỉ dùng cân thăng bằng hai đĩa, hãy tìm viên nhẹ trong không quá 2 lần cân. (Bài số 15: hãy tự đặt tên các viên để trình bày sơ đồ cân.)
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Chia 9 viên thành ba nhóm, mỗi nhóm 3 viên. Cân nhóm 1 với nhóm 2. Ta lần lượt thử từng khả năng và đối chiếu với mọi dữ kiện. Một khả năng chỉ được giữ lại khi không gây mâu thuẫn; khả năng cuối cùng phải thỏa mãn đồng thời tất cả điều kiện.
Bước 2: Nếu cân bằng, viên nhẹ ở nhóm 3; nếu lệch, viên nhẹ ở nhóm nhẹ hơn. Như vậy còn 3 viên nghi ngờ. Ta lần lượt thử từng khả năng và đối chiếu với mọi dữ kiện. Một khả năng chỉ được giữ lại khi không gây mâu thuẫn; khả năng cuối cùng phải thỏa mãn đồng thời tất cả điều kiện.
Đáp số: Cân 1 viên với 1 viên trong nhóm nghi ngờ: nếu cân bằng, viên còn lại nhẹ; nếu lệch, viên ở đĩa nhẹ hơn là đáp án.
Kiểm tra: Đối chiếu trường hợp vừa tìm với từng điều kiện của đề. Nếu không có điều kiện nào bị vi phạm và các trường hợp đã được xét không trùng nhau, kết quả được chấp nhận.
Bài 8: Có 9 viên bi giống nhau về hình thức, một viên nhẹ hơn. Chỉ dùng cân thăng bằng hai đĩa, hãy tìm viên nhẹ trong không quá 2 lần cân. (Bài số 16: hãy tự đặt tên các viên để trình bày sơ đồ cân.)
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Chia 9 viên thành ba nhóm, mỗi nhóm 3 viên. Cân nhóm 1 với nhóm 2. Ta lần lượt thử từng khả năng và đối chiếu với mọi dữ kiện. Một khả năng chỉ được giữ lại khi không gây mâu thuẫn; khả năng cuối cùng phải thỏa mãn đồng thời tất cả điều kiện.
Bước 2: Nếu cân bằng, viên nhẹ ở nhóm 3; nếu lệch, viên nhẹ ở nhóm nhẹ hơn. Như vậy còn 3 viên nghi ngờ. Ta lần lượt thử từng khả năng và đối chiếu với mọi dữ kiện. Một khả năng chỉ được giữ lại khi không gây mâu thuẫn; khả năng cuối cùng phải thỏa mãn đồng thời tất cả điều kiện.
Đáp số: Cân 1 viên với 1 viên trong nhóm nghi ngờ: nếu cân bằng, viên còn lại nhẹ; nếu lệch, viên ở đĩa nhẹ hơn là đáp án.
Kiểm tra: Đối chiếu trường hợp vừa tìm với từng điều kiện của đề. Nếu không có điều kiện nào bị vi phạm và các trường hợp đã được xét không trùng nhau, kết quả được chấp nhận.
Bài 9: Có 9 viên bi giống nhau về hình thức, một viên nhẹ hơn. Chỉ dùng cân thăng bằng hai đĩa, hãy tìm viên nhẹ trong không quá 2 lần cân. (Bài số 17: hãy tự đặt tên các viên để trình bày sơ đồ cân.)
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Chia 9 viên thành ba nhóm, mỗi nhóm 3 viên. Cân nhóm 1 với nhóm 2. Ta lần lượt thử từng khả năng và đối chiếu với mọi dữ kiện. Một khả năng chỉ được giữ lại khi không gây mâu thuẫn; khả năng cuối cùng phải thỏa mãn đồng thời tất cả điều kiện.
Bước 2: Nếu cân bằng, viên nhẹ ở nhóm 3; nếu lệch, viên nhẹ ở nhóm nhẹ hơn. Như vậy còn 3 viên nghi ngờ. Ta lần lượt thử từng khả năng và đối chiếu với mọi dữ kiện. Một khả năng chỉ được giữ lại khi không gây mâu thuẫn; khả năng cuối cùng phải thỏa mãn đồng thời tất cả điều kiện.
Đáp số: Cân 1 viên với 1 viên trong nhóm nghi ngờ: nếu cân bằng, viên còn lại nhẹ; nếu lệch, viên ở đĩa nhẹ hơn là đáp án.
Kiểm tra: Đối chiếu trường hợp vừa tìm với từng điều kiện của đề. Nếu không có điều kiện nào bị vi phạm và các trường hợp đã được xét không trùng nhau, kết quả được chấp nhận.
Bài 10: Có 9 viên bi giống nhau về hình thức, một viên nhẹ hơn. Chỉ dùng cân thăng bằng hai đĩa, hãy tìm viên nhẹ trong không quá 2 lần cân. (Bài số 18: hãy tự đặt tên các viên để trình bày sơ đồ cân.)
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Chia 9 viên thành ba nhóm, mỗi nhóm 3 viên. Cân nhóm 1 với nhóm 2. Ta lần lượt thử từng khả năng và đối chiếu với mọi dữ kiện. Một khả năng chỉ được giữ lại khi không gây mâu thuẫn; khả năng cuối cùng phải thỏa mãn đồng thời tất cả điều kiện.
Bước 2: Nếu cân bằng, viên nhẹ ở nhóm 3; nếu lệch, viên nhẹ ở nhóm nhẹ hơn. Như vậy còn 3 viên nghi ngờ. Ta lần lượt thử từng khả năng và đối chiếu với mọi dữ kiện. Một khả năng chỉ được giữ lại khi không gây mâu thuẫn; khả năng cuối cùng phải thỏa mãn đồng thời tất cả điều kiện.
Đáp số: Cân 1 viên với 1 viên trong nhóm nghi ngờ: nếu cân bằng, viên còn lại nhẹ; nếu lệch, viên ở đĩa nhẹ hơn là đáp án.
Kiểm tra: Đối chiếu trường hợp vừa tìm với từng điều kiện của đề. Nếu không có điều kiện nào bị vi phạm và các trường hợp đã được xét không trùng nhau, kết quả được chấp nhận.
Bài 11: Có 9 viên bi giống nhau về hình thức, một viên nhẹ hơn. Chỉ dùng cân thăng bằng hai đĩa, hãy tìm viên nhẹ trong không quá 2 lần cân. (Bài số 19: hãy tự đặt tên các viên để trình bày sơ đồ cân.)
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Chia 9 viên thành ba nhóm, mỗi nhóm 3 viên. Cân nhóm 1 với nhóm 2. Ta lần lượt thử từng khả năng và đối chiếu với mọi dữ kiện. Một khả năng chỉ được giữ lại khi không gây mâu thuẫn; khả năng cuối cùng phải thỏa mãn đồng thời tất cả điều kiện.
Bước 2: Nếu cân bằng, viên nhẹ ở nhóm 3; nếu lệch, viên nhẹ ở nhóm nhẹ hơn. Như vậy còn 3 viên nghi ngờ. Ta lần lượt thử từng khả năng và đối chiếu với mọi dữ kiện. Một khả năng chỉ được giữ lại khi không gây mâu thuẫn; khả năng cuối cùng phải thỏa mãn đồng thời tất cả điều kiện.
Đáp số: Cân 1 viên với 1 viên trong nhóm nghi ngờ: nếu cân bằng, viên còn lại nhẹ; nếu lệch, viên ở đĩa nhẹ hơn là đáp án.
Kiểm tra: Đối chiếu trường hợp vừa tìm với từng điều kiện của đề. Nếu không có điều kiện nào bị vi phạm và các trường hợp đã được xét không trùng nhau, kết quả được chấp nhận.
Bài 12: Có 9 viên bi giống nhau về hình thức, một viên nhẹ hơn. Chỉ dùng cân thăng bằng hai đĩa, hãy tìm viên nhẹ trong không quá 2 lần cân. (Bài số 20: hãy tự đặt tên các viên để trình bày sơ đồ cân.)
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Chia 9 viên thành ba nhóm, mỗi nhóm 3 viên. Cân nhóm 1 với nhóm 2. Ta lần lượt thử từng khả năng và đối chiếu với mọi dữ kiện. Một khả năng chỉ được giữ lại khi không gây mâu thuẫn; khả năng cuối cùng phải thỏa mãn đồng thời tất cả điều kiện.
Bước 2: Nếu cân bằng, viên nhẹ ở nhóm 3; nếu lệch, viên nhẹ ở nhóm nhẹ hơn. Như vậy còn 3 viên nghi ngờ. Ta lần lượt thử từng khả năng và đối chiếu với mọi dữ kiện. Một khả năng chỉ được giữ lại khi không gây mâu thuẫn; khả năng cuối cùng phải thỏa mãn đồng thời tất cả điều kiện.
Đáp số: Cân 1 viên với 1 viên trong nhóm nghi ngờ: nếu cân bằng, viên còn lại nhẹ; nếu lệch, viên ở đĩa nhẹ hơn là đáp án.
Kiểm tra: Đối chiếu trường hợp vừa tìm với từng điều kiện của đề. Nếu không có điều kiện nào bị vi phạm và các trường hợp đã được xét không trùng nhau, kết quả được chấp nhận.
Ghi nhớ và tự kiểm tra
- Trọng tâm của bài là nhận ra cấu trúc ẩn trong dạng Bài toán cân vật.
- Không làm theo phép tính máy móc; cần giải thích vì sao chọn cách làm.
- Mọi đáp số phải được kiểm tra lại với toàn bộ dữ kiện của đề.
Câu hỏi tự kiểm tra
- Em có tách được từng điều kiện và xác định thứ tự xử lí không?
- Em có trình bày đủ các kết quả trung gian không?
- Em có kiểm tra lại đáp số bằng điều kiện ban đầu hoặc một cách khác không?