Bài 183 Tổ hợp và phương pháp đếm Nâng cao

Quy tắc nhân trong bài toán đếm

Chuyên đề nâng cao quy tắc nhân trong bài toán đếm với phương pháp chọn lọc, 20 bài toán phân loại và lời giải đầy đủ từng bước dành cho học sinh ôn thi vào lớp 6 CLC.

Học xong bài này

Mục tiêu bài học

Nhận biết và xử lí các biến đổi nâng cao của dạng Quy tắc nhân trong bài toán đếm.
Biết phân tích dữ kiện ẩn, lựa chọn phương pháp ngắn gọn và kiểm tra kết quả.
Trình bày lời giải đầy đủ từng bước theo ngôn ngữ Toán tiểu học, không dùng kiến thức thuần THCS.

Ghi nhớ kiến thức nền

Kiến thức cần nhớ

Phạm vi: Bài học chỉ tập trung vào câu hỏi nâng cao, dữ kiện ẩn, bài toán ngược và bài toán có nhiều điều kiện. Các thao tác cơ bản được coi là kiến thức nền.

Quy tắc cộng dùng cho các trường hợp loại trừ nhau; quy tắc nhân dùng cho các bước liên tiếp.
Cần xác định rõ có phân biệt thứ tự hay không và có cho phép lặp hay không.
Chia trường hợp sao cho các trường hợp không trùng và bao quát hết khả năng.
Một công việc gồm nhiều bước liên tiếp thì nhân số cách của từng bước.

Quan sát cách làm

Ví dụ minh họa

Phương pháp chung

Đọc kĩ đề, gạch dưới dữ kiện và xác định chính xác yêu cầu cuối cùng.
Ta chia quá trình lựa chọn thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Cần bảo đảm mỗi kết quả được đếm đúng một lần.
Trình bày từng kết quả trung gian, giải thích ý nghĩa của phép tính và kiểm tra lại kết luận.

Ví dụ 1: Một mã gồm ba phần; phần thứ nhất có 3 lựa chọn, phần thứ hai 4, phần thứ ba 4. Có bao nhiêu mã? Nếu cấm 1 lựa chọn ở phần đầu thì còn bao nhiêu?

Hướng dẫn giải chi tiết:

Phân tích đề: Ta chia quá trình lựa chọn thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Cần bảo đảm mỗi kết quả được đếm đúng một lần.

Bước 1: Theo quy tắc nhân, số mã ban đầu = 3×4×4=48. Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.

Vì sao làm như vậy: Khi mỗi lựa chọn ở bước trước ghép được với tất cả lựa chọn ở bước sau, số cách được tính bằng phép nhân.

Bước 2: Sau khi cấm 1 lựa chọn đầu, phần đầu còn 2 lựa chọn. Điều kiện cấm chỉ làm giảm số lựa chọn ở phần được nêu; các phần còn lại giữ nguyên. Ta thay số lựa chọn mới vào phép nhân để tìm số mã còn lại.

Vì sao làm như vậy: Khi chia thành các trường hợp riêng biệt, ta tính từng trường hợp rồi cộng, đồng thời loại những cách vi phạm điều kiện.

Ý nghĩa của kết quả: Kết quả phải là số tự nhiên và phản ánh đúng các điều kiện không lặp, không trùng hoặc không được phép.

Kết luận: Số mã còn lại = 2×4×4=32.

Kiểm tra: Liệt kê thử một trường hợp nhỏ hoặc đếm theo cách khác để phát hiện đếm thiếu, đếm thừa.

Ví dụ 2: Một mã gồm ba phần; phần thứ nhất có 4 lựa chọn, phần thứ hai 3, phần thứ ba 5. Có bao nhiêu mã? Nếu cấm 2 lựa chọn ở phần đầu thì còn bao nhiêu?

Hướng dẫn giải chi tiết:

Phân tích đề: Ta chia quá trình lựa chọn thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Cần bảo đảm mỗi kết quả được đếm đúng một lần.

Bước 1: Theo quy tắc nhân, số mã ban đầu = 4×3×5=60. Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.

Vì sao làm như vậy: Khi mỗi lựa chọn ở bước trước ghép được với tất cả lựa chọn ở bước sau, số cách được tính bằng phép nhân.

Bước 2: Sau khi cấm 2 lựa chọn đầu, phần đầu còn 2 lựa chọn. Điều kiện cấm chỉ làm giảm số lựa chọn ở phần được nêu; các phần còn lại giữ nguyên. Ta thay số lựa chọn mới vào phép nhân để tìm số mã còn lại.

Vì sao làm như vậy: Khi chia thành các trường hợp riêng biệt, ta tính từng trường hợp rồi cộng, đồng thời loại những cách vi phạm điều kiện.

Ý nghĩa của kết quả: Kết quả phải là số tự nhiên và phản ánh đúng các điều kiện không lặp, không trùng hoặc không được phép.

Kết luận: Số mã còn lại = 2×3×5=30.

Kiểm tra: Liệt kê thử một trường hợp nhỏ hoặc đếm theo cách khác để phát hiện đếm thiếu, đếm thừa.

Ví dụ 3: Một mã gồm ba phần; phần thứ nhất có 2 lựa chọn, phần thứ hai 2, phần thứ ba 6. Có bao nhiêu mã? Nếu cấm 2 lựa chọn ở phần đầu thì còn bao nhiêu?

Hướng dẫn giải chi tiết:

Phân tích đề: Ta chia quá trình lựa chọn thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Cần bảo đảm mỗi kết quả được đếm đúng một lần.

Bước 1: Theo quy tắc nhân, số mã ban đầu = 2×2×6=24. Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.

Vì sao làm như vậy: Khi mỗi lựa chọn ở bước trước ghép được với tất cả lựa chọn ở bước sau, số cách được tính bằng phép nhân.

Bước 2: Sau khi cấm 2 lựa chọn đầu, phần đầu còn 0 lựa chọn. Điều kiện cấm chỉ làm giảm số lựa chọn ở phần được nêu; các phần còn lại giữ nguyên. Ta thay số lựa chọn mới vào phép nhân để tìm số mã còn lại.

Vì sao làm như vậy: Khi chia thành các trường hợp riêng biệt, ta tính từng trường hợp rồi cộng, đồng thời loại những cách vi phạm điều kiện.

Ý nghĩa của kết quả: Kết quả phải là số tự nhiên và phản ánh đúng các điều kiện không lặp, không trùng hoặc không được phép.

Kết luận: Số mã còn lại = 0×2×6=0.

Kiểm tra: Liệt kê thử một trường hợp nhỏ hoặc đếm theo cách khác để phát hiện đếm thiếu, đếm thừa.

Làm theo kiến thức vừa học

Bài tập áp dụng

Gồm 5 bài tập nâng cao. Em hãy tự trình bày bài giải đầy đủ vào vở trước khi mở lời giải.

Bài 1: Một mã gồm ba phần; phần thứ nhất có 3 lựa chọn, phần thứ hai 4, phần thứ ba 2. Có bao nhiêu mã? Nếu cấm 2 lựa chọn ở phần đầu thì còn bao nhiêu?

Bài 2: Một mã gồm ba phần; phần thứ nhất có 2 lựa chọn, phần thứ hai 3, phần thứ ba 5. Có bao nhiêu mã? Nếu cấm 2 lựa chọn ở phần đầu thì còn bao nhiêu?

Bài 3: Một mã gồm ba phần; phần thứ nhất có 5 lựa chọn, phần thứ hai 3, phần thứ ba 4. Có bao nhiêu mã? Nếu cấm 1 lựa chọn ở phần đầu thì còn bao nhiêu?

Bài 4: Một mã gồm ba phần; phần thứ nhất có 2 lựa chọn, phần thứ hai 4, phần thứ ba 2. Có bao nhiêu mã? Nếu cấm 2 lựa chọn ở phần đầu thì còn bao nhiêu?

Bài 5: Một mã gồm ba phần; phần thứ nhất có 5 lựa chọn, phần thứ hai 5, phần thứ ba 2. Có bao nhiêu mã? Nếu cấm 2 lựa chọn ở phần đầu thì còn bao nhiêu?

Xem lời giải

Lời giải:

Trước hết, ta chia việc chọn thành từng bước hoặc từng trường hợp, xác định số lựa chọn ở mỗi phần và tránh đếm trùng.

Theo quy tắc nhân, số mã ban đầu = 3×4×2=24.

Mỗi lựa chọn của phần này ghép được với các lựa chọn phù hợp của phần sau, nên ta nhân số cách tương ứng.

Sau khi cấm 2 lựa chọn đầu, phần đầu còn 1 lựa chọn.

Nếu có điều kiện cấm hoặc lặp, ta loại các cách không hợp lệ trước khi cộng các trường hợp.

Từ các kết quả trên, ta trả lời đầy đủ yêu cầu của bài toán và ghi đáp số kèm đơn vị (nếu có).

Đáp số: Số mã còn lại = 1×4×2=8.

Lời giải:

Trước hết, ta chia việc chọn thành từng bước hoặc từng trường hợp, xác định số lựa chọn ở mỗi phần và tránh đếm trùng.

Theo quy tắc nhân, số mã ban đầu = 2×3×5=30.

Mỗi lựa chọn của phần này ghép được với các lựa chọn phù hợp của phần sau, nên ta nhân số cách tương ứng.

Sau khi cấm 2 lựa chọn đầu, phần đầu còn 0 lựa chọn.

Nếu có điều kiện cấm hoặc lặp, ta loại các cách không hợp lệ trước khi cộng các trường hợp.

Từ các kết quả trên, ta trả lời đầy đủ yêu cầu của bài toán và ghi đáp số kèm đơn vị (nếu có).

Đáp số: Số mã còn lại = 0×3×5=0.

Lời giải:

Trước hết, ta chia việc chọn thành từng bước hoặc từng trường hợp, xác định số lựa chọn ở mỗi phần và tránh đếm trùng.

Theo quy tắc nhân, số mã ban đầu = 5×3×4=60.

Mỗi lựa chọn của phần này ghép được với các lựa chọn phù hợp của phần sau, nên ta nhân số cách tương ứng.

Sau khi cấm 1 lựa chọn đầu, phần đầu còn 4 lựa chọn.

Nếu có điều kiện cấm hoặc lặp, ta loại các cách không hợp lệ trước khi cộng các trường hợp.

Từ các kết quả trên, ta trả lời đầy đủ yêu cầu của bài toán và ghi đáp số kèm đơn vị (nếu có).

Đáp số: Số mã còn lại = 4×3×4=48.

Lời giải:

Trước hết, ta chia việc chọn thành từng bước hoặc từng trường hợp, xác định số lựa chọn ở mỗi phần và tránh đếm trùng.

Theo quy tắc nhân, số mã ban đầu = 2×4×2=16.

Mỗi lựa chọn của phần này ghép được với các lựa chọn phù hợp của phần sau, nên ta nhân số cách tương ứng.

Sau khi cấm 2 lựa chọn đầu, phần đầu còn 0 lựa chọn.

Nếu có điều kiện cấm hoặc lặp, ta loại các cách không hợp lệ trước khi cộng các trường hợp.

Từ các kết quả trên, ta trả lời đầy đủ yêu cầu của bài toán và ghi đáp số kèm đơn vị (nếu có).

Đáp số: Số mã còn lại = 0×4×2=0.

Lời giải:

Trước hết, ta chia việc chọn thành từng bước hoặc từng trường hợp, xác định số lựa chọn ở mỗi phần và tránh đếm trùng.

Theo quy tắc nhân, số mã ban đầu = 5×5×2=50.

Mỗi lựa chọn của phần này ghép được với các lựa chọn phù hợp của phần sau, nên ta nhân số cách tương ứng.

Sau khi cấm 2 lựa chọn đầu, phần đầu còn 3 lựa chọn.

Nếu có điều kiện cấm hoặc lặp, ta loại các cách không hợp lệ trước khi cộng các trường hợp.

Từ các kết quả trên, ta trả lời đầy đủ yêu cầu của bài toán và ghi đáp số kèm đơn vị (nếu có).

Đáp số: Số mã còn lại = 3×5×2=30.

Tự kiểm tra mức độ thành thạo

Bài tập tự luyện

Em hãy tự làm trước. Các bài tập đều ở mức nâng cao hoặc nâng cao CLC.

Bài 1: Một mã gồm ba phần; phần thứ nhất có 6 lựa chọn, phần thứ hai 6, phần thứ ba 3. Có bao nhiêu mã? Nếu cấm 5 lựa chọn ở phần đầu thì còn bao nhiêu?

Bài 2: Một mã gồm ba phần; phần thứ nhất có 2 lựa chọn, phần thứ hai 3, phần thứ ba 3. Có bao nhiêu mã? Nếu cấm 1 lựa chọn ở phần đầu thì còn bao nhiêu?

Bài 3: Một mã gồm ba phần; phần thứ nhất có 4 lựa chọn, phần thứ hai 5, phần thứ ba 2. Có bao nhiêu mã? Nếu cấm 2 lựa chọn ở phần đầu thì còn bao nhiêu?

Bài 4: Một mã gồm ba phần; phần thứ nhất có 6 lựa chọn, phần thứ hai 2, phần thứ ba 3. Có bao nhiêu mã? Nếu cấm 6 lựa chọn ở phần đầu thì còn bao nhiêu?

Bài 5: Một mã gồm ba phần; phần thứ nhất có 6 lựa chọn, phần thứ hai 4, phần thứ ba 2. Có bao nhiêu mã? Nếu cấm 3 lựa chọn ở phần đầu thì còn bao nhiêu?

Bài 6: Một mã gồm ba phần; phần thứ nhất có 6 lựa chọn, phần thứ hai 5, phần thứ ba 6. Có bao nhiêu mã? Nếu cấm 1 lựa chọn ở phần đầu thì còn bao nhiêu?

Bài 7: Một mã gồm ba phần; phần thứ nhất có 5 lựa chọn, phần thứ hai 2, phần thứ ba 6. Có bao nhiêu mã? Nếu cấm 3 lựa chọn ở phần đầu thì còn bao nhiêu?

Bài 8: Một mã gồm ba phần; phần thứ nhất có 4 lựa chọn, phần thứ hai 6, phần thứ ba 2. Có bao nhiêu mã? Nếu cấm 2 lựa chọn ở phần đầu thì còn bao nhiêu?

Bài 9: Một mã gồm ba phần; phần thứ nhất có 3 lựa chọn, phần thứ hai 3, phần thứ ba 4. Có bao nhiêu mã? Nếu cấm 3 lựa chọn ở phần đầu thì còn bao nhiêu?

Bài 10: Một mã gồm ba phần; phần thứ nhất có 5 lựa chọn, phần thứ hai 6, phần thứ ba 6. Có bao nhiêu mã? Nếu cấm 4 lựa chọn ở phần đầu thì còn bao nhiêu?

Bài 11: Một mã gồm ba phần; phần thứ nhất có 6 lựa chọn, phần thứ hai 3, phần thứ ba 6. Có bao nhiêu mã? Nếu cấm 6 lựa chọn ở phần đầu thì còn bao nhiêu?

Bài 12: Một mã gồm ba phần; phần thứ nhất có 3 lựa chọn, phần thứ hai 5, phần thứ ba 6. Có bao nhiêu mã? Nếu cấm 2 lựa chọn ở phần đầu thì còn bao nhiêu?

Xem lời giải bài tập tự luyện

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Theo quy tắc nhân, số mã ban đầu = 6×6×3=108. Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.

Bước 2: Sau khi cấm 5 lựa chọn đầu, phần đầu còn 1 lựa chọn. Điều kiện cấm chỉ làm giảm số lựa chọn ở phần được nêu; các phần còn lại giữ nguyên. Ta thay số lựa chọn mới vào phép nhân để tìm số mã còn lại.

Đáp số: Số mã còn lại = 1×6×3=18.

Kiểm tra: Đối chiếu trường hợp vừa tìm với từng điều kiện của đề. Nếu không có điều kiện nào bị vi phạm và các trường hợp đã được xét không trùng nhau, kết quả được chấp nhận.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Theo quy tắc nhân, số mã ban đầu = 2×3×3=18. Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.

Bước 2: Sau khi cấm 1 lựa chọn đầu, phần đầu còn 1 lựa chọn. Điều kiện cấm chỉ làm giảm số lựa chọn ở phần được nêu; các phần còn lại giữ nguyên. Ta thay số lựa chọn mới vào phép nhân để tìm số mã còn lại.

Đáp số: Số mã còn lại = 1×3×3=9.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Theo quy tắc nhân, số mã ban đầu = 4×5×2=40. Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.

Đáp số: Số mã còn lại = 2×5×2=20.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Theo quy tắc nhân, số mã ban đầu = 6×2×3=36. Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.

Bước 2: Sau khi cấm 6 lựa chọn đầu, phần đầu còn 0 lựa chọn. Điều kiện cấm chỉ làm giảm số lựa chọn ở phần được nêu; các phần còn lại giữ nguyên. Ta thay số lựa chọn mới vào phép nhân để tìm số mã còn lại.

Đáp số: Số mã còn lại = 0×2×3=0.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Theo quy tắc nhân, số mã ban đầu = 6×4×2=48. Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.

Bước 2: Sau khi cấm 3 lựa chọn đầu, phần đầu còn 3 lựa chọn. Điều kiện cấm chỉ làm giảm số lựa chọn ở phần được nêu; các phần còn lại giữ nguyên. Ta thay số lựa chọn mới vào phép nhân để tìm số mã còn lại.

Đáp số: Số mã còn lại = 3×4×2=24.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Theo quy tắc nhân, số mã ban đầu = 6×5×6=180. Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.

Bước 2: Sau khi cấm 1 lựa chọn đầu, phần đầu còn 5 lựa chọn. Điều kiện cấm chỉ làm giảm số lựa chọn ở phần được nêu; các phần còn lại giữ nguyên. Ta thay số lựa chọn mới vào phép nhân để tìm số mã còn lại.

Đáp số: Số mã còn lại = 5×5×6=150.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Theo quy tắc nhân, số mã ban đầu = 5×2×6=60. Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.

Bước 2: Sau khi cấm 3 lựa chọn đầu, phần đầu còn 2 lựa chọn. Điều kiện cấm chỉ làm giảm số lựa chọn ở phần được nêu; các phần còn lại giữ nguyên. Ta thay số lựa chọn mới vào phép nhân để tìm số mã còn lại.

Đáp số: Số mã còn lại = 2×2×6=24.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Theo quy tắc nhân, số mã ban đầu = 4×6×2=48. Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.

Đáp số: Số mã còn lại = 2×6×2=24.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Theo quy tắc nhân, số mã ban đầu = 3×3×4=36. Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.

Bước 2: Sau khi cấm 3 lựa chọn đầu, phần đầu còn 0 lựa chọn. Điều kiện cấm chỉ làm giảm số lựa chọn ở phần được nêu; các phần còn lại giữ nguyên. Ta thay số lựa chọn mới vào phép nhân để tìm số mã còn lại.

Đáp số: Số mã còn lại = 0×3×4=0.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Theo quy tắc nhân, số mã ban đầu = 5×6×6=180. Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.

Bước 2: Sau khi cấm 4 lựa chọn đầu, phần đầu còn 1 lựa chọn. Điều kiện cấm chỉ làm giảm số lựa chọn ở phần được nêu; các phần còn lại giữ nguyên. Ta thay số lựa chọn mới vào phép nhân để tìm số mã còn lại.

Đáp số: Số mã còn lại = 1×6×6=36.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Theo quy tắc nhân, số mã ban đầu = 6×3×6=108. Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.

Đáp số: Số mã còn lại = 0×3×6=0.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Theo quy tắc nhân, số mã ban đầu = 3×5×6=90. Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.

Bước 2: Sau khi cấm 2 lựa chọn đầu, phần đầu còn 1 lựa chọn. Điều kiện cấm chỉ làm giảm số lựa chọn ở phần được nêu; các phần còn lại giữ nguyên. Ta thay số lựa chọn mới vào phép nhân để tìm số mã còn lại.

Đáp số: Số mã còn lại = 1×5×6=30.

Tổng kết bài học

Ghi nhớ và tự kiểm tra

Trọng tâm của bài là nhận ra cấu trúc ẩn trong dạng Quy tắc nhân trong bài toán đếm.
Không làm theo phép tính máy móc; cần giải thích vì sao chọn cách làm.
Mọi đáp số phải được kiểm tra lại với toàn bộ dữ kiện của đề.

Câu hỏi tự kiểm tra

Em có tách được từng điều kiện và xác định thứ tự xử lí không?
Em có trình bày đủ các kết quả trung gian không?
Em có kiểm tra lại đáp số bằng điều kiện ban đầu hoặc một cách khác không?