Bài toán thi đấu vòng tròn
Chuyên đề nâng cao bài toán thi đấu vòng tròn với phương pháp chọn lọc, 20 bài toán phân loại và lời giải đầy đủ từng bước dành cho học sinh ôn thi vào lớp 6 CLC.
Mục tiêu bài học
- Nhận biết và xử lí các biến đổi nâng cao của dạng Bài toán thi đấu vòng tròn.
- Biết phân tích dữ kiện ẩn, lựa chọn phương pháp ngắn gọn và kiểm tra kết quả.
- Trình bày lời giải đầy đủ từng bước theo ngôn ngữ Toán tiểu học, không dùng kiến thức thuần THCS.
Kiến thức cần nhớ
- Quy tắc cộng dùng cho các trường hợp loại trừ nhau; quy tắc nhân dùng cho các bước liên tiếp.
- Cần xác định rõ có phân biệt thứ tự hay không và có cho phép lặp hay không.
- Chia trường hợp sao cho các trường hợp không trùng và bao quát hết khả năng.
- Số cặp của n đối tượng là n(n−1):2.
Ví dụ minh họa
Phương pháp chung
- Đọc kĩ đề, gạch dưới dữ kiện và xác định chính xác yêu cầu cuối cùng.
- Ta chia quá trình lựa chọn thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Cần bảo đảm mỗi kết quả được đếm đúng một lần.
- Trình bày từng kết quả trung gian, giải thích ý nghĩa của phép tính và kiểm tra lại kết luận.
Ví dụ 1: Có 10 người, mỗi cặp bắt tay đúng một lần. Có bao nhiêu cái bắt tay? Nếu thêm một người thì số bắt tay tăng bao nhiêu?
Hướng dẫn giải chi tiết:
Phân tích đề: Ta chia quá trình lựa chọn thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Cần bảo đảm mỗi kết quả được đếm đúng một lần.
Bước 1: Mỗi người bắt tay 9 người, được 10×9 lượt đếm; mỗi cái bắt tay bị đếm hai lần. Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.
Vì sao làm như vậy: Khi mỗi lựa chọn ở bước trước ghép được với tất cả lựa chọn ở bước sau, số cách được tính bằng phép nhân.
Bước 2: Số bắt tay = 10×9:2=45. Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.
Vì sao làm như vậy: Khi chia thành các trường hợp riêng biệt, ta tính từng trường hợp rồi cộng, đồng thời loại những cách vi phạm điều kiện.
Ý nghĩa của kết quả: Kết quả phải là số tự nhiên và phản ánh đúng các điều kiện không lặp, không trùng hoặc không được phép.
Kết luận: Thêm một người, người đó bắt tay với 10 người cũ nên tăng 10 cái.
Kiểm tra: Liệt kê thử một trường hợp nhỏ hoặc đếm theo cách khác để phát hiện đếm thiếu, đếm thừa.
Ví dụ 2: Có 12 người, mỗi cặp bắt tay đúng một lần. Có bao nhiêu cái bắt tay? Nếu thêm một người thì số bắt tay tăng bao nhiêu?
Hướng dẫn giải chi tiết:
Phân tích đề: Ta chia quá trình lựa chọn thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Cần bảo đảm mỗi kết quả được đếm đúng một lần.
Bước 1: Mỗi người bắt tay 11 người, được 12×11 lượt đếm; mỗi cái bắt tay bị đếm hai lần. Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.
Vì sao làm như vậy: Khi mỗi lựa chọn ở bước trước ghép được với tất cả lựa chọn ở bước sau, số cách được tính bằng phép nhân.
Bước 2: Số bắt tay = 12×11:2=66. Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.
Vì sao làm như vậy: Khi chia thành các trường hợp riêng biệt, ta tính từng trường hợp rồi cộng, đồng thời loại những cách vi phạm điều kiện.
Ý nghĩa của kết quả: Kết quả phải là số tự nhiên và phản ánh đúng các điều kiện không lặp, không trùng hoặc không được phép.
Kết luận: Thêm một người, người đó bắt tay với 12 người cũ nên tăng 12 cái.
Kiểm tra: Liệt kê thử một trường hợp nhỏ hoặc đếm theo cách khác để phát hiện đếm thiếu, đếm thừa.
Ví dụ 3: Có 17 người, mỗi cặp bắt tay đúng một lần. Có bao nhiêu cái bắt tay? Nếu thêm một người thì số bắt tay tăng bao nhiêu?
Hướng dẫn giải chi tiết:
Phân tích đề: Ta chia quá trình lựa chọn thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Cần bảo đảm mỗi kết quả được đếm đúng một lần.
Bước 1: Mỗi người bắt tay 16 người, được 17×16 lượt đếm; mỗi cái bắt tay bị đếm hai lần. Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.
Vì sao làm như vậy: Khi mỗi lựa chọn ở bước trước ghép được với tất cả lựa chọn ở bước sau, số cách được tính bằng phép nhân.
Bước 2: Số bắt tay = 17×16:2=136. Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.
Vì sao làm như vậy: Khi chia thành các trường hợp riêng biệt, ta tính từng trường hợp rồi cộng, đồng thời loại những cách vi phạm điều kiện.
Ý nghĩa của kết quả: Kết quả phải là số tự nhiên và phản ánh đúng các điều kiện không lặp, không trùng hoặc không được phép.
Kết luận: Thêm một người, người đó bắt tay với 17 người cũ nên tăng 17 cái.
Kiểm tra: Liệt kê thử một trường hợp nhỏ hoặc đếm theo cách khác để phát hiện đếm thiếu, đếm thừa.
Bài tập áp dụng
Bài 1: Có 30 người, mỗi cặp bắt tay đúng một lần. Có bao nhiêu cái bắt tay? Nếu thêm một người thì số bắt tay tăng bao nhiêu?
Bài 2: Có 26 người, mỗi cặp bắt tay đúng một lần. Có bao nhiêu cái bắt tay? Nếu thêm một người thì số bắt tay tăng bao nhiêu?
Bài 3: Có 27 người, mỗi cặp bắt tay đúng một lần. Có bao nhiêu cái bắt tay? Nếu thêm một người thì số bắt tay tăng bao nhiêu?
Bài 4: Có 28 người, mỗi cặp bắt tay đúng một lần. Có bao nhiêu cái bắt tay? Nếu thêm một người thì số bắt tay tăng bao nhiêu?
Bài 5: Có 15 người, mỗi cặp bắt tay đúng một lần. Có bao nhiêu cái bắt tay? Nếu thêm một người thì số bắt tay tăng bao nhiêu?
Xem lời giải
Bài 1: Có 30 người, mỗi cặp bắt tay đúng một lần. Có bao nhiêu cái bắt tay? Nếu thêm một người thì số bắt tay tăng bao nhiêu?
Lời giải:
Trước hết, ta chia việc chọn thành từng bước hoặc từng trường hợp, xác định số lựa chọn ở mỗi phần và tránh đếm trùng.
Mỗi người bắt tay 29 người, được 30×29 lượt đếm; mỗi cái bắt tay bị đếm hai lần.
Mỗi lựa chọn của phần này ghép được với các lựa chọn phù hợp của phần sau, nên ta nhân số cách tương ứng.
Số bắt tay = 30×29:2=435.
Nếu có điều kiện cấm hoặc lặp, ta loại các cách không hợp lệ trước khi cộng các trường hợp.
Từ các kết quả trên, ta trả lời đầy đủ yêu cầu của bài toán và ghi đáp số kèm đơn vị (nếu có).
Đáp số: Thêm một người, người đó bắt tay với 30 người cũ nên tăng 30 cái.
Bài 2: Có 26 người, mỗi cặp bắt tay đúng một lần. Có bao nhiêu cái bắt tay? Nếu thêm một người thì số bắt tay tăng bao nhiêu?
Lời giải:
Trước hết, ta chia việc chọn thành từng bước hoặc từng trường hợp, xác định số lựa chọn ở mỗi phần và tránh đếm trùng.
Mỗi người bắt tay 25 người, được 26×25 lượt đếm; mỗi cái bắt tay bị đếm hai lần.
Mỗi lựa chọn của phần này ghép được với các lựa chọn phù hợp của phần sau, nên ta nhân số cách tương ứng.
Số bắt tay = 26×25:2=325.
Nếu có điều kiện cấm hoặc lặp, ta loại các cách không hợp lệ trước khi cộng các trường hợp.
Từ các kết quả trên, ta trả lời đầy đủ yêu cầu của bài toán và ghi đáp số kèm đơn vị (nếu có).
Đáp số: Thêm một người, người đó bắt tay với 26 người cũ nên tăng 26 cái.
Bài 3: Có 27 người, mỗi cặp bắt tay đúng một lần. Có bao nhiêu cái bắt tay? Nếu thêm một người thì số bắt tay tăng bao nhiêu?
Lời giải:
Trước hết, ta chia việc chọn thành từng bước hoặc từng trường hợp, xác định số lựa chọn ở mỗi phần và tránh đếm trùng.
Mỗi người bắt tay 26 người, được 27×26 lượt đếm; mỗi cái bắt tay bị đếm hai lần.
Mỗi lựa chọn của phần này ghép được với các lựa chọn phù hợp của phần sau, nên ta nhân số cách tương ứng.
Số bắt tay = 27×26:2=351.
Nếu có điều kiện cấm hoặc lặp, ta loại các cách không hợp lệ trước khi cộng các trường hợp.
Từ các kết quả trên, ta trả lời đầy đủ yêu cầu của bài toán và ghi đáp số kèm đơn vị (nếu có).
Đáp số: Thêm một người, người đó bắt tay với 27 người cũ nên tăng 27 cái.
Bài 4: Có 28 người, mỗi cặp bắt tay đúng một lần. Có bao nhiêu cái bắt tay? Nếu thêm một người thì số bắt tay tăng bao nhiêu?
Lời giải:
Trước hết, ta chia việc chọn thành từng bước hoặc từng trường hợp, xác định số lựa chọn ở mỗi phần và tránh đếm trùng.
Mỗi người bắt tay 27 người, được 28×27 lượt đếm; mỗi cái bắt tay bị đếm hai lần.
Mỗi lựa chọn của phần này ghép được với các lựa chọn phù hợp của phần sau, nên ta nhân số cách tương ứng.
Số bắt tay = 28×27:2=378.
Nếu có điều kiện cấm hoặc lặp, ta loại các cách không hợp lệ trước khi cộng các trường hợp.
Từ các kết quả trên, ta trả lời đầy đủ yêu cầu của bài toán và ghi đáp số kèm đơn vị (nếu có).
Đáp số: Thêm một người, người đó bắt tay với 28 người cũ nên tăng 28 cái.
Bài 5: Có 15 người, mỗi cặp bắt tay đúng một lần. Có bao nhiêu cái bắt tay? Nếu thêm một người thì số bắt tay tăng bao nhiêu?
Lời giải:
Trước hết, ta chia việc chọn thành từng bước hoặc từng trường hợp, xác định số lựa chọn ở mỗi phần và tránh đếm trùng.
Mỗi người bắt tay 14 người, được 15×14 lượt đếm; mỗi cái bắt tay bị đếm hai lần.
Mỗi lựa chọn của phần này ghép được với các lựa chọn phù hợp của phần sau, nên ta nhân số cách tương ứng.
Số bắt tay = 15×14:2=105.
Nếu có điều kiện cấm hoặc lặp, ta loại các cách không hợp lệ trước khi cộng các trường hợp.
Từ các kết quả trên, ta trả lời đầy đủ yêu cầu của bài toán và ghi đáp số kèm đơn vị (nếu có).
Đáp số: Thêm một người, người đó bắt tay với 15 người cũ nên tăng 15 cái.
Bài tập tự luyện
Bài 1: Có 24 người, mỗi cặp bắt tay đúng một lần. Có bao nhiêu cái bắt tay? Nếu thêm một người thì số bắt tay tăng bao nhiêu?
Bài 2: Có 9 người, mỗi cặp bắt tay đúng một lần. Có bao nhiêu cái bắt tay? Nếu thêm một người thì số bắt tay tăng bao nhiêu?
Bài 3: Có 13 người, mỗi cặp bắt tay đúng một lần. Có bao nhiêu cái bắt tay? Nếu thêm một người thì số bắt tay tăng bao nhiêu?
Bài 4: Có 8 người, mỗi cặp bắt tay đúng một lần. Có bao nhiêu cái bắt tay? Nếu thêm một người thì số bắt tay tăng bao nhiêu?
Bài 5: Có 11 người, mỗi cặp bắt tay đúng một lần. Có bao nhiêu cái bắt tay? Nếu thêm một người thì số bắt tay tăng bao nhiêu?
Bài 6: Có 23 người, mỗi cặp bắt tay đúng một lần. Có bao nhiêu cái bắt tay? Nếu thêm một người thì số bắt tay tăng bao nhiêu?
Bài 7: Có 21 người, mỗi cặp bắt tay đúng một lần. Có bao nhiêu cái bắt tay? Nếu thêm một người thì số bắt tay tăng bao nhiêu?
Bài 8: Có 19 người, mỗi cặp bắt tay đúng một lần. Có bao nhiêu cái bắt tay? Nếu thêm một người thì số bắt tay tăng bao nhiêu?
Bài 9: Có 22 người, mỗi cặp bắt tay đúng một lần. Có bao nhiêu cái bắt tay? Nếu thêm một người thì số bắt tay tăng bao nhiêu?
Bài 10: Có 18 người, mỗi cặp bắt tay đúng một lần. Có bao nhiêu cái bắt tay? Nếu thêm một người thì số bắt tay tăng bao nhiêu?
Bài 11: Có 20 người, mỗi cặp bắt tay đúng một lần. Có bao nhiêu cái bắt tay? Nếu thêm một người thì số bắt tay tăng bao nhiêu?
Bài 12: Có 14 người, mỗi cặp bắt tay đúng một lần. Có bao nhiêu cái bắt tay? Nếu thêm một người thì số bắt tay tăng bao nhiêu?
Xem lời giải bài tập tự luyện
Bài 1: Có 24 người, mỗi cặp bắt tay đúng một lần. Có bao nhiêu cái bắt tay? Nếu thêm một người thì số bắt tay tăng bao nhiêu?
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Mỗi người bắt tay 23 người, được 24×23 lượt đếm; mỗi cái bắt tay bị đếm hai lần. Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.
Bước 2: Số bắt tay = 24×23:2=276. Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.
Đáp số: Thêm một người, người đó bắt tay với 24 người cũ nên tăng 24 cái.
Kiểm tra: Đối chiếu trường hợp vừa tìm với từng điều kiện của đề. Nếu không có điều kiện nào bị vi phạm và các trường hợp đã được xét không trùng nhau, kết quả được chấp nhận.
Bài 2: Có 9 người, mỗi cặp bắt tay đúng một lần. Có bao nhiêu cái bắt tay? Nếu thêm một người thì số bắt tay tăng bao nhiêu?
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Mỗi người bắt tay 8 người, được 9×8 lượt đếm; mỗi cái bắt tay bị đếm hai lần. Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.
Bước 2: Số bắt tay = 9×8:2=36. Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.
Đáp số: Thêm một người, người đó bắt tay với 9 người cũ nên tăng 9 cái.
Kiểm tra: Đối chiếu trường hợp vừa tìm với từng điều kiện của đề. Nếu không có điều kiện nào bị vi phạm và các trường hợp đã được xét không trùng nhau, kết quả được chấp nhận.
Bài 3: Có 13 người, mỗi cặp bắt tay đúng một lần. Có bao nhiêu cái bắt tay? Nếu thêm một người thì số bắt tay tăng bao nhiêu?
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Mỗi người bắt tay 12 người, được 13×12 lượt đếm; mỗi cái bắt tay bị đếm hai lần. Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.
Bước 2: Số bắt tay = 13×12:2=78. Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.
Đáp số: Thêm một người, người đó bắt tay với 13 người cũ nên tăng 13 cái.
Kiểm tra: Đối chiếu trường hợp vừa tìm với từng điều kiện của đề. Nếu không có điều kiện nào bị vi phạm và các trường hợp đã được xét không trùng nhau, kết quả được chấp nhận.
Bài 4: Có 8 người, mỗi cặp bắt tay đúng một lần. Có bao nhiêu cái bắt tay? Nếu thêm một người thì số bắt tay tăng bao nhiêu?
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Mỗi người bắt tay 7 người, được 8×7 lượt đếm; mỗi cái bắt tay bị đếm hai lần. Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.
Bước 2: Số bắt tay = 8×7:2=28. Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.
Đáp số: Thêm một người, người đó bắt tay với 8 người cũ nên tăng 8 cái.
Kiểm tra: Đối chiếu trường hợp vừa tìm với từng điều kiện của đề. Nếu không có điều kiện nào bị vi phạm và các trường hợp đã được xét không trùng nhau, kết quả được chấp nhận.
Bài 5: Có 11 người, mỗi cặp bắt tay đúng một lần. Có bao nhiêu cái bắt tay? Nếu thêm một người thì số bắt tay tăng bao nhiêu?
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Mỗi người bắt tay 10 người, được 11×10 lượt đếm; mỗi cái bắt tay bị đếm hai lần. Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.
Bước 2: Số bắt tay = 11×10:2=55. Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.
Đáp số: Thêm một người, người đó bắt tay với 11 người cũ nên tăng 11 cái.
Kiểm tra: Đối chiếu trường hợp vừa tìm với từng điều kiện của đề. Nếu không có điều kiện nào bị vi phạm và các trường hợp đã được xét không trùng nhau, kết quả được chấp nhận.
Bài 6: Có 23 người, mỗi cặp bắt tay đúng một lần. Có bao nhiêu cái bắt tay? Nếu thêm một người thì số bắt tay tăng bao nhiêu?
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Mỗi người bắt tay 22 người, được 23×22 lượt đếm; mỗi cái bắt tay bị đếm hai lần. Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.
Bước 2: Số bắt tay = 23×22:2=253. Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.
Đáp số: Thêm một người, người đó bắt tay với 23 người cũ nên tăng 23 cái.
Kiểm tra: Đối chiếu trường hợp vừa tìm với từng điều kiện của đề. Nếu không có điều kiện nào bị vi phạm và các trường hợp đã được xét không trùng nhau, kết quả được chấp nhận.
Bài 7: Có 21 người, mỗi cặp bắt tay đúng một lần. Có bao nhiêu cái bắt tay? Nếu thêm một người thì số bắt tay tăng bao nhiêu?
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Mỗi người bắt tay 20 người, được 21×20 lượt đếm; mỗi cái bắt tay bị đếm hai lần. Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.
Bước 2: Số bắt tay = 21×20:2=210. Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.
Đáp số: Thêm một người, người đó bắt tay với 21 người cũ nên tăng 21 cái.
Kiểm tra: Đối chiếu trường hợp vừa tìm với từng điều kiện của đề. Nếu không có điều kiện nào bị vi phạm và các trường hợp đã được xét không trùng nhau, kết quả được chấp nhận.
Bài 8: Có 19 người, mỗi cặp bắt tay đúng một lần. Có bao nhiêu cái bắt tay? Nếu thêm một người thì số bắt tay tăng bao nhiêu?
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Mỗi người bắt tay 18 người, được 19×18 lượt đếm; mỗi cái bắt tay bị đếm hai lần. Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.
Bước 2: Số bắt tay = 19×18:2=171. Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.
Đáp số: Thêm một người, người đó bắt tay với 19 người cũ nên tăng 19 cái.
Kiểm tra: Đối chiếu trường hợp vừa tìm với từng điều kiện của đề. Nếu không có điều kiện nào bị vi phạm và các trường hợp đã được xét không trùng nhau, kết quả được chấp nhận.
Bài 9: Có 22 người, mỗi cặp bắt tay đúng một lần. Có bao nhiêu cái bắt tay? Nếu thêm một người thì số bắt tay tăng bao nhiêu?
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Mỗi người bắt tay 21 người, được 22×21 lượt đếm; mỗi cái bắt tay bị đếm hai lần. Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.
Bước 2: Số bắt tay = 22×21:2=231. Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.
Đáp số: Thêm một người, người đó bắt tay với 22 người cũ nên tăng 22 cái.
Kiểm tra: Đối chiếu trường hợp vừa tìm với từng điều kiện của đề. Nếu không có điều kiện nào bị vi phạm và các trường hợp đã được xét không trùng nhau, kết quả được chấp nhận.
Bài 10: Có 18 người, mỗi cặp bắt tay đúng một lần. Có bao nhiêu cái bắt tay? Nếu thêm một người thì số bắt tay tăng bao nhiêu?
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Mỗi người bắt tay 17 người, được 18×17 lượt đếm; mỗi cái bắt tay bị đếm hai lần. Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.
Bước 2: Số bắt tay = 18×17:2=153. Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.
Đáp số: Thêm một người, người đó bắt tay với 18 người cũ nên tăng 18 cái.
Kiểm tra: Đối chiếu trường hợp vừa tìm với từng điều kiện của đề. Nếu không có điều kiện nào bị vi phạm và các trường hợp đã được xét không trùng nhau, kết quả được chấp nhận.
Bài 11: Có 20 người, mỗi cặp bắt tay đúng một lần. Có bao nhiêu cái bắt tay? Nếu thêm một người thì số bắt tay tăng bao nhiêu?
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Mỗi người bắt tay 19 người, được 20×19 lượt đếm; mỗi cái bắt tay bị đếm hai lần. Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.
Bước 2: Số bắt tay = 20×19:2=190. Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.
Đáp số: Thêm một người, người đó bắt tay với 20 người cũ nên tăng 20 cái.
Kiểm tra: Đối chiếu trường hợp vừa tìm với từng điều kiện của đề. Nếu không có điều kiện nào bị vi phạm và các trường hợp đã được xét không trùng nhau, kết quả được chấp nhận.
Bài 12: Có 14 người, mỗi cặp bắt tay đúng một lần. Có bao nhiêu cái bắt tay? Nếu thêm một người thì số bắt tay tăng bao nhiêu?
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Mỗi người bắt tay 13 người, được 14×13 lượt đếm; mỗi cái bắt tay bị đếm hai lần. Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.
Bước 2: Số bắt tay = 14×13:2=91. Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.
Đáp số: Thêm một người, người đó bắt tay với 14 người cũ nên tăng 14 cái.
Kiểm tra: Đối chiếu trường hợp vừa tìm với từng điều kiện của đề. Nếu không có điều kiện nào bị vi phạm và các trường hợp đã được xét không trùng nhau, kết quả được chấp nhận.
Ghi nhớ và tự kiểm tra
- Trọng tâm của bài là nhận ra cấu trúc ẩn trong dạng Bài toán thi đấu vòng tròn.
- Không làm theo phép tính máy móc; cần giải thích vì sao chọn cách làm.
- Mọi đáp số phải được kiểm tra lại với toàn bộ dữ kiện của đề.
Câu hỏi tự kiểm tra
- Em có tách được từng điều kiện và xác định thứ tự xử lí không?
- Em có trình bày đủ các kết quả trung gian không?
- Em có kiểm tra lại đáp số bằng điều kiện ban đầu hoặc một cách khác không?