Đếm đoạn thẳng khi nối các điểm
Chuyên đề nâng cao đếm đoạn thẳng khi nối các điểm với phương pháp chọn lọc, 20 bài toán phân loại và lời giải đầy đủ từng bước dành cho học sinh ôn thi vào lớp 6 CLC.
Mục tiêu bài học
- Nhận biết và xử lí các biến đổi nâng cao của dạng Đếm đoạn thẳng khi nối các điểm.
- Biết phân tích dữ kiện ẩn, lựa chọn phương pháp ngắn gọn và kiểm tra kết quả.
- Trình bày lời giải đầy đủ từng bước theo ngôn ngữ Toán tiểu học, không dùng kiến thức thuần THCS.
Kiến thức cần nhớ
- Quy tắc cộng dùng cho các trường hợp loại trừ nhau; quy tắc nhân dùng cho các bước liên tiếp.
- Cần xác định rõ có phân biệt thứ tự hay không và có cho phép lặp hay không.
- Chia trường hợp sao cho các trường hợp không trùng và bao quát hết khả năng.
- Số cặp của n đối tượng là n(n−1):2.
Ví dụ minh họa
Phương pháp chung
- Đọc kĩ đề, gạch dưới dữ kiện và xác định chính xác yêu cầu cuối cùng.
- Ta chia quá trình lựa chọn thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Cần bảo đảm mỗi kết quả được đếm đúng một lần.
- Trình bày từng kết quả trung gian, giải thích ý nghĩa của phép tính và kiểm tra lại kết luận.
Ví dụ 1: Có 23 điểm, không có ba điểm thẳng hàng. Nối mỗi cặp điểm bằng một đoạn thẳng. Có bao nhiêu đoạn?
Hướng dẫn giải chi tiết:
Phân tích đề: Ta chia quá trình lựa chọn thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Cần bảo đảm mỗi kết quả được đếm đúng một lần.
Bước 1: Mỗi điểm nối với 22 điểm khác, được 23×22 lượt đếm. Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.
Vì sao làm như vậy: Khi mỗi lựa chọn ở bước trước ghép được với tất cả lựa chọn ở bước sau, số cách được tính bằng phép nhân.
Bước 2: Mỗi đoạn có hai đầu nên đã bị đếm hai lần. Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.
Vì sao làm như vậy: Khi chia thành các trường hợp riêng biệt, ta tính từng trường hợp rồi cộng, đồng thời loại những cách vi phạm điều kiện.
Ý nghĩa của kết quả: Kết quả phải là số tự nhiên và phản ánh đúng các điều kiện không lặp, không trùng hoặc không được phép.
Kết luận: Số đoạn là 23×22:2=253.
Kiểm tra: Liệt kê thử một trường hợp nhỏ hoặc đếm theo cách khác để phát hiện đếm thiếu, đếm thừa.
Ví dụ 2: Có 9 điểm, không có ba điểm thẳng hàng. Nối mỗi cặp điểm bằng một đoạn thẳng. Có bao nhiêu đoạn?
Hướng dẫn giải chi tiết:
Phân tích đề: Ta chia quá trình lựa chọn thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Cần bảo đảm mỗi kết quả được đếm đúng một lần.
Bước 1: Mỗi điểm nối với 8 điểm khác, được 9×8 lượt đếm. Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.
Vì sao làm như vậy: Khi mỗi lựa chọn ở bước trước ghép được với tất cả lựa chọn ở bước sau, số cách được tính bằng phép nhân.
Bước 2: Mỗi đoạn có hai đầu nên đã bị đếm hai lần. Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.
Vì sao làm như vậy: Khi chia thành các trường hợp riêng biệt, ta tính từng trường hợp rồi cộng, đồng thời loại những cách vi phạm điều kiện.
Ý nghĩa của kết quả: Kết quả phải là số tự nhiên và phản ánh đúng các điều kiện không lặp, không trùng hoặc không được phép.
Kết luận: Số đoạn là 9×8:2=36.
Kiểm tra: Liệt kê thử một trường hợp nhỏ hoặc đếm theo cách khác để phát hiện đếm thiếu, đếm thừa.
Ví dụ 3: Có 17 điểm, không có ba điểm thẳng hàng. Nối mỗi cặp điểm bằng một đoạn thẳng. Có bao nhiêu đoạn?
Hướng dẫn giải chi tiết:
Phân tích đề: Ta chia quá trình lựa chọn thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Cần bảo đảm mỗi kết quả được đếm đúng một lần.
Bước 1: Mỗi điểm nối với 16 điểm khác, được 17×16 lượt đếm. Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.
Vì sao làm như vậy: Khi mỗi lựa chọn ở bước trước ghép được với tất cả lựa chọn ở bước sau, số cách được tính bằng phép nhân.
Bước 2: Mỗi đoạn có hai đầu nên đã bị đếm hai lần. Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.
Vì sao làm như vậy: Khi chia thành các trường hợp riêng biệt, ta tính từng trường hợp rồi cộng, đồng thời loại những cách vi phạm điều kiện.
Ý nghĩa của kết quả: Kết quả phải là số tự nhiên và phản ánh đúng các điều kiện không lặp, không trùng hoặc không được phép.
Kết luận: Số đoạn là 17×16:2=136.
Kiểm tra: Liệt kê thử một trường hợp nhỏ hoặc đếm theo cách khác để phát hiện đếm thiếu, đếm thừa.
Bài tập áp dụng
Bài 1: Có 20 điểm, không có ba điểm thẳng hàng. Nối mỗi cặp điểm bằng một đoạn thẳng. Có bao nhiêu đoạn?
Bài 2: Có 8 điểm, không có ba điểm thẳng hàng. Nối mỗi cặp điểm bằng một đoạn thẳng. Có bao nhiêu đoạn?
Bài 3: Có 7 điểm, không có ba điểm thẳng hàng. Nối mỗi cặp điểm bằng một đoạn thẳng. Có bao nhiêu đoạn?
Bài 4: Có 12 điểm, không có ba điểm thẳng hàng. Nối mỗi cặp điểm bằng một đoạn thẳng. Có bao nhiêu đoạn?
Bài 5: Có 11 điểm, không có ba điểm thẳng hàng. Nối mỗi cặp điểm bằng một đoạn thẳng. Có bao nhiêu đoạn?
Xem lời giải
Bài 1: Có 20 điểm, không có ba điểm thẳng hàng. Nối mỗi cặp điểm bằng một đoạn thẳng. Có bao nhiêu đoạn?
Lời giải:
Trước hết, ta chia việc chọn thành từng bước hoặc từng trường hợp, xác định số lựa chọn ở mỗi phần và tránh đếm trùng.
Mỗi điểm nối với 19 điểm khác, được 20×19 lượt đếm.
Mỗi lựa chọn của phần này ghép được với các lựa chọn phù hợp của phần sau, nên ta nhân số cách tương ứng.
Mỗi đoạn có hai đầu nên đã bị đếm hai lần.
Nếu có điều kiện cấm hoặc lặp, ta loại các cách không hợp lệ trước khi cộng các trường hợp.
Từ các kết quả trên, ta trả lời đầy đủ yêu cầu của bài toán và ghi đáp số kèm đơn vị (nếu có).
Đáp số: Số đoạn là 20×19:2=190.
Bài 2: Có 8 điểm, không có ba điểm thẳng hàng. Nối mỗi cặp điểm bằng một đoạn thẳng. Có bao nhiêu đoạn?
Lời giải:
Trước hết, ta chia việc chọn thành từng bước hoặc từng trường hợp, xác định số lựa chọn ở mỗi phần và tránh đếm trùng.
Mỗi điểm nối với 7 điểm khác, được 8×7 lượt đếm.
Mỗi lựa chọn của phần này ghép được với các lựa chọn phù hợp của phần sau, nên ta nhân số cách tương ứng.
Mỗi đoạn có hai đầu nên đã bị đếm hai lần.
Nếu có điều kiện cấm hoặc lặp, ta loại các cách không hợp lệ trước khi cộng các trường hợp.
Từ các kết quả trên, ta trả lời đầy đủ yêu cầu của bài toán và ghi đáp số kèm đơn vị (nếu có).
Đáp số: Số đoạn là 8×7:2=28.
Bài 3: Có 7 điểm, không có ba điểm thẳng hàng. Nối mỗi cặp điểm bằng một đoạn thẳng. Có bao nhiêu đoạn?
Lời giải:
Trước hết, ta chia việc chọn thành từng bước hoặc từng trường hợp, xác định số lựa chọn ở mỗi phần và tránh đếm trùng.
Mỗi điểm nối với 6 điểm khác, được 7×6 lượt đếm.
Mỗi lựa chọn của phần này ghép được với các lựa chọn phù hợp của phần sau, nên ta nhân số cách tương ứng.
Mỗi đoạn có hai đầu nên đã bị đếm hai lần.
Nếu có điều kiện cấm hoặc lặp, ta loại các cách không hợp lệ trước khi cộng các trường hợp.
Từ các kết quả trên, ta trả lời đầy đủ yêu cầu của bài toán và ghi đáp số kèm đơn vị (nếu có).
Đáp số: Số đoạn là 7×6:2=21.
Bài 4: Có 12 điểm, không có ba điểm thẳng hàng. Nối mỗi cặp điểm bằng một đoạn thẳng. Có bao nhiêu đoạn?
Lời giải:
Trước hết, ta chia việc chọn thành từng bước hoặc từng trường hợp, xác định số lựa chọn ở mỗi phần và tránh đếm trùng.
Mỗi điểm nối với 11 điểm khác, được 12×11 lượt đếm.
Mỗi lựa chọn của phần này ghép được với các lựa chọn phù hợp của phần sau, nên ta nhân số cách tương ứng.
Mỗi đoạn có hai đầu nên đã bị đếm hai lần.
Nếu có điều kiện cấm hoặc lặp, ta loại các cách không hợp lệ trước khi cộng các trường hợp.
Từ các kết quả trên, ta trả lời đầy đủ yêu cầu của bài toán và ghi đáp số kèm đơn vị (nếu có).
Đáp số: Số đoạn là 12×11:2=66.
Bài 5: Có 11 điểm, không có ba điểm thẳng hàng. Nối mỗi cặp điểm bằng một đoạn thẳng. Có bao nhiêu đoạn?
Lời giải:
Trước hết, ta chia việc chọn thành từng bước hoặc từng trường hợp, xác định số lựa chọn ở mỗi phần và tránh đếm trùng.
Mỗi điểm nối với 10 điểm khác, được 11×10 lượt đếm.
Mỗi lựa chọn của phần này ghép được với các lựa chọn phù hợp của phần sau, nên ta nhân số cách tương ứng.
Mỗi đoạn có hai đầu nên đã bị đếm hai lần.
Nếu có điều kiện cấm hoặc lặp, ta loại các cách không hợp lệ trước khi cộng các trường hợp.
Từ các kết quả trên, ta trả lời đầy đủ yêu cầu của bài toán và ghi đáp số kèm đơn vị (nếu có).
Đáp số: Số đoạn là 11×10:2=55.
Bài tập tự luyện
Bài 1: Có 21 điểm, không có ba điểm thẳng hàng. Nối mỗi cặp điểm bằng một đoạn thẳng. Có bao nhiêu đoạn?
Bài 2: Có 15 điểm, không có ba điểm thẳng hàng. Nối mỗi cặp điểm bằng một đoạn thẳng. Có bao nhiêu đoạn?
Bài 3: Có 13 điểm, không có ba điểm thẳng hàng. Nối mỗi cặp điểm bằng một đoạn thẳng. Có bao nhiêu đoạn?
Bài 4: Có 18 điểm, không có ba điểm thẳng hàng. Nối mỗi cặp điểm bằng một đoạn thẳng. Có bao nhiêu đoạn?
Bài 5: Có 10 điểm, không có ba điểm thẳng hàng. Nối mỗi cặp điểm bằng một đoạn thẳng. Có bao nhiêu đoạn?
Bài 6: Có 24 điểm, không có ba điểm thẳng hàng. Nối mỗi cặp điểm bằng một đoạn thẳng. Có bao nhiêu đoạn?
Bài 7: Có 22 điểm, không có ba điểm thẳng hàng. Nối mỗi cặp điểm bằng một đoạn thẳng. Có bao nhiêu đoạn?
Bài 8: Có 25 điểm, không có ba điểm thẳng hàng. Nối mỗi cặp điểm bằng một đoạn thẳng. Có bao nhiêu đoạn?
Bài 9: Có 19 điểm, không có ba điểm thẳng hàng. Nối mỗi cặp điểm bằng một đoạn thẳng. Có bao nhiêu đoạn?
Bài 10: Có 16 điểm, không có ba điểm thẳng hàng. Nối mỗi cặp điểm bằng một đoạn thẳng. Có bao nhiêu đoạn?
Bài 11: Có 14 điểm, không có ba điểm thẳng hàng. Nối mỗi cặp điểm bằng một đoạn thẳng. Có bao nhiêu đoạn?
Bài 12: Có 6 điểm, không có ba điểm thẳng hàng. Nối mỗi cặp điểm bằng một đoạn thẳng. Có bao nhiêu đoạn?
Xem lời giải bài tập tự luyện
Bài 1: Có 21 điểm, không có ba điểm thẳng hàng. Nối mỗi cặp điểm bằng một đoạn thẳng. Có bao nhiêu đoạn?
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Mỗi điểm nối với 20 điểm khác, được 21×20 lượt đếm. Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.
Bước 2: Mỗi đoạn có hai đầu nên đã bị đếm hai lần. Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.
Đáp số: Số đoạn là 21×20:2=210.
Kiểm tra: Đối chiếu trường hợp vừa tìm với từng điều kiện của đề. Nếu không có điều kiện nào bị vi phạm và các trường hợp đã được xét không trùng nhau, kết quả được chấp nhận.
Bài 2: Có 15 điểm, không có ba điểm thẳng hàng. Nối mỗi cặp điểm bằng một đoạn thẳng. Có bao nhiêu đoạn?
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Mỗi điểm nối với 14 điểm khác, được 15×14 lượt đếm. Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.
Bước 2: Mỗi đoạn có hai đầu nên đã bị đếm hai lần. Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.
Đáp số: Số đoạn là 15×14:2=105.
Kiểm tra: Đối chiếu trường hợp vừa tìm với từng điều kiện của đề. Nếu không có điều kiện nào bị vi phạm và các trường hợp đã được xét không trùng nhau, kết quả được chấp nhận.
Bài 3: Có 13 điểm, không có ba điểm thẳng hàng. Nối mỗi cặp điểm bằng một đoạn thẳng. Có bao nhiêu đoạn?
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Mỗi điểm nối với 12 điểm khác, được 13×12 lượt đếm. Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.
Bước 2: Mỗi đoạn có hai đầu nên đã bị đếm hai lần. Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.
Đáp số: Số đoạn là 13×12:2=78.
Kiểm tra: Đối chiếu trường hợp vừa tìm với từng điều kiện của đề. Nếu không có điều kiện nào bị vi phạm và các trường hợp đã được xét không trùng nhau, kết quả được chấp nhận.
Bài 4: Có 18 điểm, không có ba điểm thẳng hàng. Nối mỗi cặp điểm bằng một đoạn thẳng. Có bao nhiêu đoạn?
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Mỗi điểm nối với 17 điểm khác, được 18×17 lượt đếm. Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.
Bước 2: Mỗi đoạn có hai đầu nên đã bị đếm hai lần. Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.
Đáp số: Số đoạn là 18×17:2=153.
Kiểm tra: Đối chiếu trường hợp vừa tìm với từng điều kiện của đề. Nếu không có điều kiện nào bị vi phạm và các trường hợp đã được xét không trùng nhau, kết quả được chấp nhận.
Bài 5: Có 10 điểm, không có ba điểm thẳng hàng. Nối mỗi cặp điểm bằng một đoạn thẳng. Có bao nhiêu đoạn?
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Mỗi điểm nối với 9 điểm khác, được 10×9 lượt đếm. Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.
Bước 2: Mỗi đoạn có hai đầu nên đã bị đếm hai lần. Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.
Đáp số: Số đoạn là 10×9:2=45.
Kiểm tra: Đối chiếu trường hợp vừa tìm với từng điều kiện của đề. Nếu không có điều kiện nào bị vi phạm và các trường hợp đã được xét không trùng nhau, kết quả được chấp nhận.
Bài 6: Có 24 điểm, không có ba điểm thẳng hàng. Nối mỗi cặp điểm bằng một đoạn thẳng. Có bao nhiêu đoạn?
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Mỗi điểm nối với 23 điểm khác, được 24×23 lượt đếm. Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.
Bước 2: Mỗi đoạn có hai đầu nên đã bị đếm hai lần. Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.
Đáp số: Số đoạn là 24×23:2=276.
Kiểm tra: Đối chiếu trường hợp vừa tìm với từng điều kiện của đề. Nếu không có điều kiện nào bị vi phạm và các trường hợp đã được xét không trùng nhau, kết quả được chấp nhận.
Bài 7: Có 22 điểm, không có ba điểm thẳng hàng. Nối mỗi cặp điểm bằng một đoạn thẳng. Có bao nhiêu đoạn?
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Mỗi điểm nối với 21 điểm khác, được 22×21 lượt đếm. Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.
Bước 2: Mỗi đoạn có hai đầu nên đã bị đếm hai lần. Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.
Đáp số: Số đoạn là 22×21:2=231.
Kiểm tra: Đối chiếu trường hợp vừa tìm với từng điều kiện của đề. Nếu không có điều kiện nào bị vi phạm và các trường hợp đã được xét không trùng nhau, kết quả được chấp nhận.
Bài 8: Có 25 điểm, không có ba điểm thẳng hàng. Nối mỗi cặp điểm bằng một đoạn thẳng. Có bao nhiêu đoạn?
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Mỗi điểm nối với 24 điểm khác, được 25×24 lượt đếm. Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.
Bước 2: Mỗi đoạn có hai đầu nên đã bị đếm hai lần. Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.
Đáp số: Số đoạn là 25×24:2=300.
Kiểm tra: Đối chiếu trường hợp vừa tìm với từng điều kiện của đề. Nếu không có điều kiện nào bị vi phạm và các trường hợp đã được xét không trùng nhau, kết quả được chấp nhận.
Bài 9: Có 19 điểm, không có ba điểm thẳng hàng. Nối mỗi cặp điểm bằng một đoạn thẳng. Có bao nhiêu đoạn?
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Mỗi điểm nối với 18 điểm khác, được 19×18 lượt đếm. Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.
Bước 2: Mỗi đoạn có hai đầu nên đã bị đếm hai lần. Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.
Đáp số: Số đoạn là 19×18:2=171.
Kiểm tra: Đối chiếu trường hợp vừa tìm với từng điều kiện của đề. Nếu không có điều kiện nào bị vi phạm và các trường hợp đã được xét không trùng nhau, kết quả được chấp nhận.
Bài 10: Có 16 điểm, không có ba điểm thẳng hàng. Nối mỗi cặp điểm bằng một đoạn thẳng. Có bao nhiêu đoạn?
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Mỗi điểm nối với 15 điểm khác, được 16×15 lượt đếm. Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.
Bước 2: Mỗi đoạn có hai đầu nên đã bị đếm hai lần. Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.
Đáp số: Số đoạn là 16×15:2=120.
Kiểm tra: Đối chiếu trường hợp vừa tìm với từng điều kiện của đề. Nếu không có điều kiện nào bị vi phạm và các trường hợp đã được xét không trùng nhau, kết quả được chấp nhận.
Bài 11: Có 14 điểm, không có ba điểm thẳng hàng. Nối mỗi cặp điểm bằng một đoạn thẳng. Có bao nhiêu đoạn?
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Mỗi điểm nối với 13 điểm khác, được 14×13 lượt đếm. Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.
Bước 2: Mỗi đoạn có hai đầu nên đã bị đếm hai lần. Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.
Đáp số: Số đoạn là 14×13:2=91.
Kiểm tra: Đối chiếu trường hợp vừa tìm với từng điều kiện của đề. Nếu không có điều kiện nào bị vi phạm và các trường hợp đã được xét không trùng nhau, kết quả được chấp nhận.
Bài 12: Có 6 điểm, không có ba điểm thẳng hàng. Nối mỗi cặp điểm bằng một đoạn thẳng. Có bao nhiêu đoạn?
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Mỗi điểm nối với 5 điểm khác, được 6×5 lượt đếm. Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.
Bước 2: Mỗi đoạn có hai đầu nên đã bị đếm hai lần. Ta chia việc đếm thành các bước hoặc các trường hợp không trùng nhau. Số cách qua nhiều bước được nhân, còn các trường hợp tách rời được cộng; cuối cùng kiểm tra để không đếm thiếu hoặc đếm lặp.
Đáp số: Số đoạn là 6×5:2=15.
Kiểm tra: Đối chiếu trường hợp vừa tìm với từng điều kiện của đề. Nếu không có điều kiện nào bị vi phạm và các trường hợp đã được xét không trùng nhau, kết quả được chấp nhận.
Ghi nhớ và tự kiểm tra
- Trọng tâm của bài là nhận ra cấu trúc ẩn trong dạng Đếm đoạn thẳng khi nối các điểm.
- Không làm theo phép tính máy móc; cần giải thích vì sao chọn cách làm.
- Mọi đáp số phải được kiểm tra lại với toàn bộ dữ kiện của đề.
Câu hỏi tự kiểm tra
- Em có tách được từng điều kiện và xác định thứ tự xử lí không?
- Em có trình bày đủ các kết quả trung gian không?
- Em có kiểm tra lại đáp số bằng điều kiện ban đầu hoặc một cách khác không?