Tìm giá trị nhỏ nhất của một biểu thức số học
Chuyên đề nâng cao tìm giá trị nhỏ nhất của một biểu thức số học với phương pháp chọn lọc, 20 bài toán phân loại và lời giải đầy đủ từng bước dành cho học sinh ôn thi vào lớp 6 CLC.
Mục tiêu bài học
- Nhận biết và xử lí các biến đổi nâng cao của dạng Tìm giá trị nhỏ nhất của một biểu thức số học.
- Biết phân tích dữ kiện ẩn, lựa chọn phương pháp ngắn gọn và kiểm tra kết quả.
- Trình bày lời giải đầy đủ từng bước theo ngôn ngữ Toán tiểu học, không dùng kiến thức thuần THCS.
Kiến thức cần nhớ
- Bài “chắc chắn” phải xét trường hợp xấu nhất trước khi thêm một đối tượng.
- Khi tối ưu, cần nêu rõ đại lượng cần lớn nhất hoặc nhỏ nhất và các điều kiện ràng buộc.
- Một phương án chỉ được coi là tối ưu khi vừa đạt mục tiêu vừa thỏa mãn mọi điều kiện.
- Với số tự nhiên dương và tổng cố định, tích nhỏ nhất khi một số nhỏ nhất có thể.
Ví dụ minh họa
Phương pháp chung
- Đọc kĩ đề, gạch dưới dữ kiện và xác định chính xác yêu cầu cuối cùng.
- Ta xét trường hợp bất lợi nhất hoặc cấu hình tạo ra giá trị lớn nhất, nhỏ nhất. Mục tiêu là chứng minh kết quả luôn đúng, không chỉ tìm một ví dụ đúng.
- Trình bày từng kết quả trung gian, giải thích ý nghĩa của phép tính và kiểm tra lại kết luận.
Ví dụ 1: Hai số tự nhiên dương có tổng 105, mỗi số không nhỏ hơn 25. Tìm tích nhỏ nhất.
Hướng dẫn giải chi tiết:
Phân tích đề: Ta xét trường hợp bất lợi nhất hoặc cấu hình tạo ra giá trị lớn nhất, nhỏ nhất. Mục tiêu là chứng minh kết quả luôn đúng, không chỉ tìm một ví dụ đúng.
Bước 1: Để tích nhỏ nhất với tổng không đổi, hai số phải xa nhau nhất trong phạm vi cho phép. Ta xét trường hợp bất lợi nhất mà yêu cầu vẫn chưa được bảo đảm. Lấy thêm một phần tử sau trường hợp đó sẽ cho số nhỏ nhất để chắc chắn đạt điều kiện.
Vì sao làm như vậy: Trường hợp bất lợi nhất cho biết có thể trì hoãn điều kiện cần đạt đến mức nào.
Bước 2: Số nhỏ nhất có thể là 25, số kia là 105−25=80. Ta xét trường hợp bất lợi nhất mà yêu cầu vẫn chưa được bảo đảm. Lấy thêm một phần tử sau trường hợp đó sẽ cho số nhỏ nhất để chắc chắn đạt điều kiện.
Vì sao làm như vậy: Sau khi tính số lượng tối đa vẫn chưa bảo đảm, ta thêm một đơn vị để điều kiện chắc chắn xảy ra; với bài tối ưu cần chứng minh không thể tốt hơn.
Ý nghĩa của kết quả: Kết quả cần kèm lập luận “vì sao chắc chắn” hoặc “vì sao lớn nhất, nhỏ nhất”.
Kết luận: Tích nhỏ nhất là 25×80=2000.
Kiểm tra: Dựng một cách sắp xếp đạt sát giới hạn và kiểm tra khi thêm một đơn vị thì điều kiện bắt buộc xảy ra.
Ví dụ 2: Hai số tự nhiên dương có tổng 51, mỗi số không nhỏ hơn 11. Tìm tích nhỏ nhất.
Hướng dẫn giải chi tiết:
Phân tích đề: Ta xét trường hợp bất lợi nhất hoặc cấu hình tạo ra giá trị lớn nhất, nhỏ nhất. Mục tiêu là chứng minh kết quả luôn đúng, không chỉ tìm một ví dụ đúng.
Bước 1: Để tích nhỏ nhất với tổng không đổi, hai số phải xa nhau nhất trong phạm vi cho phép. Ta xét trường hợp bất lợi nhất mà yêu cầu vẫn chưa được bảo đảm. Lấy thêm một phần tử sau trường hợp đó sẽ cho số nhỏ nhất để chắc chắn đạt điều kiện.
Vì sao làm như vậy: Trường hợp bất lợi nhất cho biết có thể trì hoãn điều kiện cần đạt đến mức nào.
Bước 2: Số nhỏ nhất có thể là 11, số kia là 51−11=40. Ta xét trường hợp bất lợi nhất mà yêu cầu vẫn chưa được bảo đảm. Lấy thêm một phần tử sau trường hợp đó sẽ cho số nhỏ nhất để chắc chắn đạt điều kiện.
Vì sao làm như vậy: Sau khi tính số lượng tối đa vẫn chưa bảo đảm, ta thêm một đơn vị để điều kiện chắc chắn xảy ra; với bài tối ưu cần chứng minh không thể tốt hơn.
Ý nghĩa của kết quả: Kết quả cần kèm lập luận “vì sao chắc chắn” hoặc “vì sao lớn nhất, nhỏ nhất”.
Kết luận: Tích nhỏ nhất là 11×40=440.
Kiểm tra: Dựng một cách sắp xếp đạt sát giới hạn và kiểm tra khi thêm một đơn vị thì điều kiện bắt buộc xảy ra.
Ví dụ 3: Hai số tự nhiên dương có tổng 96, mỗi số không nhỏ hơn 27. Tìm tích nhỏ nhất.
Hướng dẫn giải chi tiết:
Phân tích đề: Ta xét trường hợp bất lợi nhất hoặc cấu hình tạo ra giá trị lớn nhất, nhỏ nhất. Mục tiêu là chứng minh kết quả luôn đúng, không chỉ tìm một ví dụ đúng.
Bước 1: Để tích nhỏ nhất với tổng không đổi, hai số phải xa nhau nhất trong phạm vi cho phép. Ta xét trường hợp bất lợi nhất mà yêu cầu vẫn chưa được bảo đảm. Lấy thêm một phần tử sau trường hợp đó sẽ cho số nhỏ nhất để chắc chắn đạt điều kiện.
Vì sao làm như vậy: Trường hợp bất lợi nhất cho biết có thể trì hoãn điều kiện cần đạt đến mức nào.
Bước 2: Số nhỏ nhất có thể là 27, số kia là 96−27=69. Ta xét trường hợp bất lợi nhất mà yêu cầu vẫn chưa được bảo đảm. Lấy thêm một phần tử sau trường hợp đó sẽ cho số nhỏ nhất để chắc chắn đạt điều kiện.
Vì sao làm như vậy: Sau khi tính số lượng tối đa vẫn chưa bảo đảm, ta thêm một đơn vị để điều kiện chắc chắn xảy ra; với bài tối ưu cần chứng minh không thể tốt hơn.
Ý nghĩa của kết quả: Kết quả cần kèm lập luận “vì sao chắc chắn” hoặc “vì sao lớn nhất, nhỏ nhất”.
Kết luận: Tích nhỏ nhất là 27×69=1863.
Kiểm tra: Dựng một cách sắp xếp đạt sát giới hạn và kiểm tra khi thêm một đơn vị thì điều kiện bắt buộc xảy ra.
Bài tập áp dụng
Bài 1: Hai số tự nhiên dương có tổng 54, mỗi số không nhỏ hơn 13. Tìm tích nhỏ nhất.
Bài 2: Hai số tự nhiên dương có tổng 52, mỗi số không nhỏ hơn 10. Tìm tích nhỏ nhất.
Bài 3: Hai số tự nhiên dương có tổng 67, mỗi số không nhỏ hơn 7. Tìm tích nhỏ nhất.
Bài 4: Hai số tự nhiên dương có tổng 70, mỗi số không nhỏ hơn 13. Tìm tích nhỏ nhất.
Bài 5: Hai số tự nhiên dương có tổng 43, mỗi số không nhỏ hơn 6. Tìm tích nhỏ nhất.
Xem lời giải
Bài 1: Hai số tự nhiên dương có tổng 54, mỗi số không nhỏ hơn 13. Tìm tích nhỏ nhất.
Lời giải:
Trước hết, ta xét cách phân bố bất lợi nhất hoặc phương án sát giới hạn nhất, rồi thêm điều kiện cần thiết để có kết luận chắc chắn.
Để tích nhỏ nhất với tổng không đổi, hai số phải xa nhau nhất trong phạm vi cho phép.
Cấu hình này cho thấy số lượng lớn nhất có thể lấy hoặc sắp xếp mà điều kiện vẫn chưa bắt buộc xảy ra.
Số nhỏ nhất có thể là 13, số kia là 54−13=41.
Thêm một đơn vị hoặc so sánh các phương án để chứng minh giới hạn cần tìm.
Từ các kết quả trên, ta trả lời đầy đủ yêu cầu của bài toán và ghi đáp số kèm đơn vị (nếu có).
Đáp số: Tích nhỏ nhất là 13×41=533.
Bài 2: Hai số tự nhiên dương có tổng 52, mỗi số không nhỏ hơn 10. Tìm tích nhỏ nhất.
Lời giải:
Trước hết, ta xét cách phân bố bất lợi nhất hoặc phương án sát giới hạn nhất, rồi thêm điều kiện cần thiết để có kết luận chắc chắn.
Để tích nhỏ nhất với tổng không đổi, hai số phải xa nhau nhất trong phạm vi cho phép.
Cấu hình này cho thấy số lượng lớn nhất có thể lấy hoặc sắp xếp mà điều kiện vẫn chưa bắt buộc xảy ra.
Số nhỏ nhất có thể là 10, số kia là 52−10=42.
Thêm một đơn vị hoặc so sánh các phương án để chứng minh giới hạn cần tìm.
Từ các kết quả trên, ta trả lời đầy đủ yêu cầu của bài toán và ghi đáp số kèm đơn vị (nếu có).
Đáp số: Tích nhỏ nhất là 10×42=420.
Bài 3: Hai số tự nhiên dương có tổng 67, mỗi số không nhỏ hơn 7. Tìm tích nhỏ nhất.
Lời giải:
Trước hết, ta xét cách phân bố bất lợi nhất hoặc phương án sát giới hạn nhất, rồi thêm điều kiện cần thiết để có kết luận chắc chắn.
Để tích nhỏ nhất với tổng không đổi, hai số phải xa nhau nhất trong phạm vi cho phép.
Cấu hình này cho thấy số lượng lớn nhất có thể lấy hoặc sắp xếp mà điều kiện vẫn chưa bắt buộc xảy ra.
Số nhỏ nhất có thể là 7, số kia là 67−7=60.
Thêm một đơn vị hoặc so sánh các phương án để chứng minh giới hạn cần tìm.
Từ các kết quả trên, ta trả lời đầy đủ yêu cầu của bài toán và ghi đáp số kèm đơn vị (nếu có).
Đáp số: Tích nhỏ nhất là 7×60=420.
Bài 4: Hai số tự nhiên dương có tổng 70, mỗi số không nhỏ hơn 13. Tìm tích nhỏ nhất.
Lời giải:
Trước hết, ta xét cách phân bố bất lợi nhất hoặc phương án sát giới hạn nhất, rồi thêm điều kiện cần thiết để có kết luận chắc chắn.
Để tích nhỏ nhất với tổng không đổi, hai số phải xa nhau nhất trong phạm vi cho phép.
Cấu hình này cho thấy số lượng lớn nhất có thể lấy hoặc sắp xếp mà điều kiện vẫn chưa bắt buộc xảy ra.
Số nhỏ nhất có thể là 13, số kia là 70−13=57.
Thêm một đơn vị hoặc so sánh các phương án để chứng minh giới hạn cần tìm.
Từ các kết quả trên, ta trả lời đầy đủ yêu cầu của bài toán và ghi đáp số kèm đơn vị (nếu có).
Đáp số: Tích nhỏ nhất là 13×57=741.
Bài 5: Hai số tự nhiên dương có tổng 43, mỗi số không nhỏ hơn 6. Tìm tích nhỏ nhất.
Lời giải:
Trước hết, ta xét cách phân bố bất lợi nhất hoặc phương án sát giới hạn nhất, rồi thêm điều kiện cần thiết để có kết luận chắc chắn.
Để tích nhỏ nhất với tổng không đổi, hai số phải xa nhau nhất trong phạm vi cho phép.
Cấu hình này cho thấy số lượng lớn nhất có thể lấy hoặc sắp xếp mà điều kiện vẫn chưa bắt buộc xảy ra.
Số nhỏ nhất có thể là 6, số kia là 43−6=37.
Thêm một đơn vị hoặc so sánh các phương án để chứng minh giới hạn cần tìm.
Từ các kết quả trên, ta trả lời đầy đủ yêu cầu của bài toán và ghi đáp số kèm đơn vị (nếu có).
Đáp số: Tích nhỏ nhất là 6×37=222.
Bài tập tự luyện
Bài 1: Hai số tự nhiên dương có tổng 87, mỗi số không nhỏ hơn 14. Tìm tích nhỏ nhất.
Bài 2: Hai số tự nhiên dương có tổng 86, mỗi số không nhỏ hơn 28. Tìm tích nhỏ nhất.
Bài 3: Hai số tự nhiên dương có tổng 104, mỗi số không nhỏ hơn 28. Tìm tích nhỏ nhất.
Bài 4: Hai số tự nhiên dương có tổng 47, mỗi số không nhỏ hơn 10. Tìm tích nhỏ nhất.
Bài 5: Hai số tự nhiên dương có tổng 82, mỗi số không nhỏ hơn 7. Tìm tích nhỏ nhất.
Bài 6: Hai số tự nhiên dương có tổng 43, mỗi số không nhỏ hơn 8. Tìm tích nhỏ nhất.
Bài 7: Hai số tự nhiên dương có tổng 84, mỗi số không nhỏ hơn 28. Tìm tích nhỏ nhất.
Bài 8: Hai số tự nhiên dương có tổng 50, mỗi số không nhỏ hơn 6. Tìm tích nhỏ nhất.
Bài 9: Hai số tự nhiên dương có tổng 64, mỗi số không nhỏ hơn 15. Tìm tích nhỏ nhất.
Bài 10: Hai số tự nhiên dương có tổng 116, mỗi số không nhỏ hơn 20. Tìm tích nhỏ nhất.
Bài 11: Hai số tự nhiên dương có tổng 100, mỗi số không nhỏ hơn 24. Tìm tích nhỏ nhất.
Bài 12: Hai số tự nhiên dương có tổng 44, mỗi số không nhỏ hơn 5. Tìm tích nhỏ nhất.
Xem lời giải bài tập tự luyện
Bài 1: Hai số tự nhiên dương có tổng 87, mỗi số không nhỏ hơn 14. Tìm tích nhỏ nhất.
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Để tích nhỏ nhất với tổng không đổi, hai số phải xa nhau nhất trong phạm vi cho phép. Ta xét trường hợp bất lợi nhất mà yêu cầu vẫn chưa được bảo đảm. Lấy thêm một phần tử sau trường hợp đó sẽ cho số nhỏ nhất để chắc chắn đạt điều kiện.
Bước 2: Số nhỏ nhất có thể là 14, số kia là 87−14=73. Ta xét trường hợp bất lợi nhất mà yêu cầu vẫn chưa được bảo đảm. Lấy thêm một phần tử sau trường hợp đó sẽ cho số nhỏ nhất để chắc chắn đạt điều kiện.
Đáp số: Tích nhỏ nhất là 14×73=1022.
Kiểm tra: Đối chiếu trường hợp vừa tìm với từng điều kiện của đề. Nếu không có điều kiện nào bị vi phạm và các trường hợp đã được xét không trùng nhau, kết quả được chấp nhận.
Bài 2: Hai số tự nhiên dương có tổng 86, mỗi số không nhỏ hơn 28. Tìm tích nhỏ nhất.
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Để tích nhỏ nhất với tổng không đổi, hai số phải xa nhau nhất trong phạm vi cho phép. Ta xét trường hợp bất lợi nhất mà yêu cầu vẫn chưa được bảo đảm. Lấy thêm một phần tử sau trường hợp đó sẽ cho số nhỏ nhất để chắc chắn đạt điều kiện.
Bước 2: Số nhỏ nhất có thể là 28, số kia là 86−28=58. Ta xét trường hợp bất lợi nhất mà yêu cầu vẫn chưa được bảo đảm. Lấy thêm một phần tử sau trường hợp đó sẽ cho số nhỏ nhất để chắc chắn đạt điều kiện.
Đáp số: Tích nhỏ nhất là 28×58=1624.
Kiểm tra: Đối chiếu trường hợp vừa tìm với từng điều kiện của đề. Nếu không có điều kiện nào bị vi phạm và các trường hợp đã được xét không trùng nhau, kết quả được chấp nhận.
Bài 3: Hai số tự nhiên dương có tổng 104, mỗi số không nhỏ hơn 28. Tìm tích nhỏ nhất.
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Để tích nhỏ nhất với tổng không đổi, hai số phải xa nhau nhất trong phạm vi cho phép. Ta xét trường hợp bất lợi nhất mà yêu cầu vẫn chưa được bảo đảm. Lấy thêm một phần tử sau trường hợp đó sẽ cho số nhỏ nhất để chắc chắn đạt điều kiện.
Bước 2: Số nhỏ nhất có thể là 28, số kia là 104−28=76. Ta xét trường hợp bất lợi nhất mà yêu cầu vẫn chưa được bảo đảm. Lấy thêm một phần tử sau trường hợp đó sẽ cho số nhỏ nhất để chắc chắn đạt điều kiện.
Đáp số: Tích nhỏ nhất là 28×76=2128.
Kiểm tra: Đối chiếu trường hợp vừa tìm với từng điều kiện của đề. Nếu không có điều kiện nào bị vi phạm và các trường hợp đã được xét không trùng nhau, kết quả được chấp nhận.
Bài 4: Hai số tự nhiên dương có tổng 47, mỗi số không nhỏ hơn 10. Tìm tích nhỏ nhất.
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Để tích nhỏ nhất với tổng không đổi, hai số phải xa nhau nhất trong phạm vi cho phép. Ta xét trường hợp bất lợi nhất mà yêu cầu vẫn chưa được bảo đảm. Lấy thêm một phần tử sau trường hợp đó sẽ cho số nhỏ nhất để chắc chắn đạt điều kiện.
Bước 2: Số nhỏ nhất có thể là 10, số kia là 47−10=37. Ta xét trường hợp bất lợi nhất mà yêu cầu vẫn chưa được bảo đảm. Lấy thêm một phần tử sau trường hợp đó sẽ cho số nhỏ nhất để chắc chắn đạt điều kiện.
Đáp số: Tích nhỏ nhất là 10×37=370.
Kiểm tra: Đối chiếu trường hợp vừa tìm với từng điều kiện của đề. Nếu không có điều kiện nào bị vi phạm và các trường hợp đã được xét không trùng nhau, kết quả được chấp nhận.
Bài 5: Hai số tự nhiên dương có tổng 82, mỗi số không nhỏ hơn 7. Tìm tích nhỏ nhất.
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Để tích nhỏ nhất với tổng không đổi, hai số phải xa nhau nhất trong phạm vi cho phép. Ta xét trường hợp bất lợi nhất mà yêu cầu vẫn chưa được bảo đảm. Lấy thêm một phần tử sau trường hợp đó sẽ cho số nhỏ nhất để chắc chắn đạt điều kiện.
Bước 2: Số nhỏ nhất có thể là 7, số kia là 82−7=75. Ta xét trường hợp bất lợi nhất mà yêu cầu vẫn chưa được bảo đảm. Lấy thêm một phần tử sau trường hợp đó sẽ cho số nhỏ nhất để chắc chắn đạt điều kiện.
Đáp số: Tích nhỏ nhất là 7×75=525.
Kiểm tra: Đối chiếu trường hợp vừa tìm với từng điều kiện của đề. Nếu không có điều kiện nào bị vi phạm và các trường hợp đã được xét không trùng nhau, kết quả được chấp nhận.
Bài 6: Hai số tự nhiên dương có tổng 43, mỗi số không nhỏ hơn 8. Tìm tích nhỏ nhất.
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Để tích nhỏ nhất với tổng không đổi, hai số phải xa nhau nhất trong phạm vi cho phép. Ta xét trường hợp bất lợi nhất mà yêu cầu vẫn chưa được bảo đảm. Lấy thêm một phần tử sau trường hợp đó sẽ cho số nhỏ nhất để chắc chắn đạt điều kiện.
Bước 2: Số nhỏ nhất có thể là 8, số kia là 43−8=35. Ta xét trường hợp bất lợi nhất mà yêu cầu vẫn chưa được bảo đảm. Lấy thêm một phần tử sau trường hợp đó sẽ cho số nhỏ nhất để chắc chắn đạt điều kiện.
Đáp số: Tích nhỏ nhất là 8×35=280.
Kiểm tra: Đối chiếu trường hợp vừa tìm với từng điều kiện của đề. Nếu không có điều kiện nào bị vi phạm và các trường hợp đã được xét không trùng nhau, kết quả được chấp nhận.
Bài 7: Hai số tự nhiên dương có tổng 84, mỗi số không nhỏ hơn 28. Tìm tích nhỏ nhất.
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Để tích nhỏ nhất với tổng không đổi, hai số phải xa nhau nhất trong phạm vi cho phép. Ta xét trường hợp bất lợi nhất mà yêu cầu vẫn chưa được bảo đảm. Lấy thêm một phần tử sau trường hợp đó sẽ cho số nhỏ nhất để chắc chắn đạt điều kiện.
Bước 2: Số nhỏ nhất có thể là 28, số kia là 84−28=56. Ta xét trường hợp bất lợi nhất mà yêu cầu vẫn chưa được bảo đảm. Lấy thêm một phần tử sau trường hợp đó sẽ cho số nhỏ nhất để chắc chắn đạt điều kiện.
Đáp số: Tích nhỏ nhất là 28×56=1568.
Kiểm tra: Đối chiếu trường hợp vừa tìm với từng điều kiện của đề. Nếu không có điều kiện nào bị vi phạm và các trường hợp đã được xét không trùng nhau, kết quả được chấp nhận.
Bài 8: Hai số tự nhiên dương có tổng 50, mỗi số không nhỏ hơn 6. Tìm tích nhỏ nhất.
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Để tích nhỏ nhất với tổng không đổi, hai số phải xa nhau nhất trong phạm vi cho phép. Ta xét trường hợp bất lợi nhất mà yêu cầu vẫn chưa được bảo đảm. Lấy thêm một phần tử sau trường hợp đó sẽ cho số nhỏ nhất để chắc chắn đạt điều kiện.
Bước 2: Số nhỏ nhất có thể là 6, số kia là 50−6=44. Ta xét trường hợp bất lợi nhất mà yêu cầu vẫn chưa được bảo đảm. Lấy thêm một phần tử sau trường hợp đó sẽ cho số nhỏ nhất để chắc chắn đạt điều kiện.
Đáp số: Tích nhỏ nhất là 6×44=264.
Kiểm tra: Đối chiếu trường hợp vừa tìm với từng điều kiện của đề. Nếu không có điều kiện nào bị vi phạm và các trường hợp đã được xét không trùng nhau, kết quả được chấp nhận.
Bài 9: Hai số tự nhiên dương có tổng 64, mỗi số không nhỏ hơn 15. Tìm tích nhỏ nhất.
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Để tích nhỏ nhất với tổng không đổi, hai số phải xa nhau nhất trong phạm vi cho phép. Ta xét trường hợp bất lợi nhất mà yêu cầu vẫn chưa được bảo đảm. Lấy thêm một phần tử sau trường hợp đó sẽ cho số nhỏ nhất để chắc chắn đạt điều kiện.
Bước 2: Số nhỏ nhất có thể là 15, số kia là 64−15=49. Ta xét trường hợp bất lợi nhất mà yêu cầu vẫn chưa được bảo đảm. Lấy thêm một phần tử sau trường hợp đó sẽ cho số nhỏ nhất để chắc chắn đạt điều kiện.
Đáp số: Tích nhỏ nhất là 15×49=735.
Kiểm tra: Đối chiếu trường hợp vừa tìm với từng điều kiện của đề. Nếu không có điều kiện nào bị vi phạm và các trường hợp đã được xét không trùng nhau, kết quả được chấp nhận.
Bài 10: Hai số tự nhiên dương có tổng 116, mỗi số không nhỏ hơn 20. Tìm tích nhỏ nhất.
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Để tích nhỏ nhất với tổng không đổi, hai số phải xa nhau nhất trong phạm vi cho phép. Ta xét trường hợp bất lợi nhất mà yêu cầu vẫn chưa được bảo đảm. Lấy thêm một phần tử sau trường hợp đó sẽ cho số nhỏ nhất để chắc chắn đạt điều kiện.
Bước 2: Số nhỏ nhất có thể là 20, số kia là 116−20=96. Ta xét trường hợp bất lợi nhất mà yêu cầu vẫn chưa được bảo đảm. Lấy thêm một phần tử sau trường hợp đó sẽ cho số nhỏ nhất để chắc chắn đạt điều kiện.
Đáp số: Tích nhỏ nhất là 20×96=1920.
Kiểm tra: Đối chiếu trường hợp vừa tìm với từng điều kiện của đề. Nếu không có điều kiện nào bị vi phạm và các trường hợp đã được xét không trùng nhau, kết quả được chấp nhận.
Bài 11: Hai số tự nhiên dương có tổng 100, mỗi số không nhỏ hơn 24. Tìm tích nhỏ nhất.
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Để tích nhỏ nhất với tổng không đổi, hai số phải xa nhau nhất trong phạm vi cho phép. Ta xét trường hợp bất lợi nhất mà yêu cầu vẫn chưa được bảo đảm. Lấy thêm một phần tử sau trường hợp đó sẽ cho số nhỏ nhất để chắc chắn đạt điều kiện.
Bước 2: Số nhỏ nhất có thể là 24, số kia là 100−24=76. Ta xét trường hợp bất lợi nhất mà yêu cầu vẫn chưa được bảo đảm. Lấy thêm một phần tử sau trường hợp đó sẽ cho số nhỏ nhất để chắc chắn đạt điều kiện.
Đáp số: Tích nhỏ nhất là 24×76=1824.
Kiểm tra: Đối chiếu trường hợp vừa tìm với từng điều kiện của đề. Nếu không có điều kiện nào bị vi phạm và các trường hợp đã được xét không trùng nhau, kết quả được chấp nhận.
Bài 12: Hai số tự nhiên dương có tổng 44, mỗi số không nhỏ hơn 5. Tìm tích nhỏ nhất.
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Để tích nhỏ nhất với tổng không đổi, hai số phải xa nhau nhất trong phạm vi cho phép. Ta xét trường hợp bất lợi nhất mà yêu cầu vẫn chưa được bảo đảm. Lấy thêm một phần tử sau trường hợp đó sẽ cho số nhỏ nhất để chắc chắn đạt điều kiện.
Bước 2: Số nhỏ nhất có thể là 5, số kia là 44−5=39. Ta xét trường hợp bất lợi nhất mà yêu cầu vẫn chưa được bảo đảm. Lấy thêm một phần tử sau trường hợp đó sẽ cho số nhỏ nhất để chắc chắn đạt điều kiện.
Đáp số: Tích nhỏ nhất là 5×39=195.
Kiểm tra: Đối chiếu trường hợp vừa tìm với từng điều kiện của đề. Nếu không có điều kiện nào bị vi phạm và các trường hợp đã được xét không trùng nhau, kết quả được chấp nhận.
Ghi nhớ và tự kiểm tra
- Trọng tâm của bài là nhận ra cấu trúc ẩn trong dạng Tìm giá trị nhỏ nhất của một biểu thức số học.
- Không làm theo phép tính máy móc; cần giải thích vì sao chọn cách làm.
- Mọi đáp số phải được kiểm tra lại với toàn bộ dữ kiện của đề.
Câu hỏi tự kiểm tra
- Em có tách được từng điều kiện và xác định thứ tự xử lí không?
- Em có trình bày đủ các kết quả trung gian không?
- Em có kiểm tra lại đáp số bằng điều kiện ban đầu hoặc một cách khác không?