Tối ưu tổng, hiệu và tích
Chuyên đề nâng cao tối ưu tổng, hiệu và tích với phương pháp chọn lọc, 20 bài toán phân loại và lời giải đầy đủ từng bước dành cho học sinh ôn thi vào lớp 6 CLC.
Mục tiêu bài học
- Nhận biết và xử lí các biến đổi nâng cao của dạng Tối ưu tổng, hiệu và tích.
- Biết phân tích dữ kiện ẩn, lựa chọn phương pháp ngắn gọn và kiểm tra kết quả.
- Trình bày lời giải đầy đủ từng bước theo ngôn ngữ Toán tiểu học, không dùng kiến thức thuần THCS.
Kiến thức cần nhớ
- Bài “chắc chắn” phải xét trường hợp xấu nhất trước khi thêm một đối tượng.
- Khi tối ưu, cần nêu rõ đại lượng cần lớn nhất hoặc nhỏ nhất và các điều kiện ràng buộc.
- Một phương án chỉ được coi là tối ưu khi vừa đạt mục tiêu vừa thỏa mãn mọi điều kiện.
- Trọng tâm là nhận đúng dữ kiện đặc trưng của dạng “Tối ưu tổng, hiệu và tích” và chọn phép tính phù hợp.
- Nên trình bày theo thứ tự: tóm tắt, lập luận, phép tính, kết luận.
Ví dụ minh họa
Phương pháp chung
- Đọc kĩ đề, gạch dưới dữ kiện và xác định chính xác yêu cầu cuối cùng.
- Ta xét trường hợp bất lợi nhất hoặc cấu hình tạo ra giá trị lớn nhất, nhỏ nhất. Mục tiêu là chứng minh kết quả luôn đúng, không chỉ tìm một ví dụ đúng.
- Trình bày từng kết quả trung gian, giải thích ý nghĩa của phép tính và kiểm tra lại kết luận.
Ví dụ 1: Hai số tự nhiên có tổng 94. Tìm tích lớn nhất và giải thích vì sao hai số phải gần nhau nhất.
Hướng dẫn giải chi tiết:
Phân tích đề: Ta xét trường hợp bất lợi nhất hoặc cấu hình tạo ra giá trị lớn nhất, nhỏ nhất. Mục tiêu là chứng minh kết quả luôn đúng, không chỉ tìm một ví dụ đúng.
Bước 1: Xét hai số lệch nhau từ 2 trở lên; chuyển 1 đơn vị từ số lớn sang số bé làm tổng không đổi. Ta xét trường hợp bất lợi nhất mà yêu cầu vẫn chưa được bảo đảm. Lấy thêm một phần tử sau trường hợp đó sẽ cho số nhỏ nhất để chắc chắn đạt điều kiện.
Vì sao làm như vậy: Trường hợp bất lợi nhất cho biết có thể trì hoãn điều kiện cần đạt đến mức nào.
Bước 2: Sau chuyển, tích tăng vì hai số gần nhau hơn; tiếp tục đến khi hai số bằng nhau hoặc hơn kém 1. Ta xét trường hợp bất lợi nhất mà yêu cầu vẫn chưa được bảo đảm. Lấy thêm một phần tử sau trường hợp đó sẽ cho số nhỏ nhất để chắc chắn đạt điều kiện.
Vì sao làm như vậy: Sau khi tính số lượng tối đa vẫn chưa bảo đảm, ta thêm một đơn vị để điều kiện chắc chắn xảy ra; với bài tối ưu cần chứng minh không thể tốt hơn.
Ý nghĩa của kết quả: Kết quả cần kèm lập luận “vì sao chắc chắn” hoặc “vì sao lớn nhất, nhỏ nhất”.
Kết luận: Hai số tối ưu là 47 và 47; tích lớn nhất 47×47=2209.
Kiểm tra: Dựng một cách sắp xếp đạt sát giới hạn và kiểm tra khi thêm một đơn vị thì điều kiện bắt buộc xảy ra.
Ví dụ 2: Hai số tự nhiên có tổng 41. Tìm tích lớn nhất và giải thích vì sao hai số phải gần nhau nhất.
Hướng dẫn giải chi tiết:
Phân tích đề: Ta xét trường hợp bất lợi nhất hoặc cấu hình tạo ra giá trị lớn nhất, nhỏ nhất. Mục tiêu là chứng minh kết quả luôn đúng, không chỉ tìm một ví dụ đúng.
Bước 1: Xét hai số lệch nhau từ 2 trở lên; chuyển 1 đơn vị từ số lớn sang số bé làm tổng không đổi. Ta xét trường hợp bất lợi nhất mà yêu cầu vẫn chưa được bảo đảm. Lấy thêm một phần tử sau trường hợp đó sẽ cho số nhỏ nhất để chắc chắn đạt điều kiện.
Vì sao làm như vậy: Trường hợp bất lợi nhất cho biết có thể trì hoãn điều kiện cần đạt đến mức nào.
Bước 2: Sau chuyển, tích tăng vì hai số gần nhau hơn; tiếp tục đến khi hai số bằng nhau hoặc hơn kém 1. Ta xét trường hợp bất lợi nhất mà yêu cầu vẫn chưa được bảo đảm. Lấy thêm một phần tử sau trường hợp đó sẽ cho số nhỏ nhất để chắc chắn đạt điều kiện.
Vì sao làm như vậy: Sau khi tính số lượng tối đa vẫn chưa bảo đảm, ta thêm một đơn vị để điều kiện chắc chắn xảy ra; với bài tối ưu cần chứng minh không thể tốt hơn.
Ý nghĩa của kết quả: Kết quả cần kèm lập luận “vì sao chắc chắn” hoặc “vì sao lớn nhất, nhỏ nhất”.
Kết luận: Hai số tối ưu là 20 và 21; tích lớn nhất 20×21=420.
Kiểm tra: Dựng một cách sắp xếp đạt sát giới hạn và kiểm tra khi thêm một đơn vị thì điều kiện bắt buộc xảy ra.
Ví dụ 3: Hai số tự nhiên có tổng 46. Tìm tích lớn nhất và giải thích vì sao hai số phải gần nhau nhất.
Hướng dẫn giải chi tiết:
Phân tích đề: Ta xét trường hợp bất lợi nhất hoặc cấu hình tạo ra giá trị lớn nhất, nhỏ nhất. Mục tiêu là chứng minh kết quả luôn đúng, không chỉ tìm một ví dụ đúng.
Bước 1: Xét hai số lệch nhau từ 2 trở lên; chuyển 1 đơn vị từ số lớn sang số bé làm tổng không đổi. Ta xét trường hợp bất lợi nhất mà yêu cầu vẫn chưa được bảo đảm. Lấy thêm một phần tử sau trường hợp đó sẽ cho số nhỏ nhất để chắc chắn đạt điều kiện.
Vì sao làm như vậy: Trường hợp bất lợi nhất cho biết có thể trì hoãn điều kiện cần đạt đến mức nào.
Bước 2: Sau chuyển, tích tăng vì hai số gần nhau hơn; tiếp tục đến khi hai số bằng nhau hoặc hơn kém 1. Ta xét trường hợp bất lợi nhất mà yêu cầu vẫn chưa được bảo đảm. Lấy thêm một phần tử sau trường hợp đó sẽ cho số nhỏ nhất để chắc chắn đạt điều kiện.
Vì sao làm như vậy: Sau khi tính số lượng tối đa vẫn chưa bảo đảm, ta thêm một đơn vị để điều kiện chắc chắn xảy ra; với bài tối ưu cần chứng minh không thể tốt hơn.
Ý nghĩa của kết quả: Kết quả cần kèm lập luận “vì sao chắc chắn” hoặc “vì sao lớn nhất, nhỏ nhất”.
Kết luận: Hai số tối ưu là 23 và 23; tích lớn nhất 23×23=529.
Kiểm tra: Dựng một cách sắp xếp đạt sát giới hạn và kiểm tra khi thêm một đơn vị thì điều kiện bắt buộc xảy ra.
Bài tập áp dụng
Bài 1: Hai số tự nhiên có tổng 44. Tìm tích lớn nhất và giải thích vì sao hai số phải gần nhau nhất.
Bài 2: Hai số tự nhiên có tổng 72. Tìm tích lớn nhất và giải thích vì sao hai số phải gần nhau nhất.
Bài 3: Hai số tự nhiên có tổng 34. Tìm tích lớn nhất và giải thích vì sao hai số phải gần nhau nhất.
Bài 4: Hai số tự nhiên có tổng 95. Tìm tích lớn nhất và giải thích vì sao hai số phải gần nhau nhất.
Bài 5: Hai số tự nhiên có tổng 33. Tìm tích lớn nhất và giải thích vì sao hai số phải gần nhau nhất.
Xem lời giải
Bài 1: Hai số tự nhiên có tổng 44. Tìm tích lớn nhất và giải thích vì sao hai số phải gần nhau nhất.
Lời giải:
Trước hết, ta xét cách phân bố bất lợi nhất hoặc phương án sát giới hạn nhất, rồi thêm điều kiện cần thiết để có kết luận chắc chắn.
Xét hai số lệch nhau từ 2 trở lên; chuyển 1 đơn vị từ số lớn sang số bé làm tổng không đổi.
Cấu hình này cho thấy số lượng lớn nhất có thể lấy hoặc sắp xếp mà điều kiện vẫn chưa bắt buộc xảy ra.
Sau chuyển, tích tăng vì hai số gần nhau hơn; tiếp tục đến khi hai số bằng nhau hoặc hơn kém 1.
Thêm một đơn vị hoặc so sánh các phương án để chứng minh giới hạn cần tìm.
Từ các kết quả trên, ta trả lời đầy đủ yêu cầu của bài toán và ghi đáp số kèm đơn vị (nếu có).
Đáp số: Hai số tối ưu là 22 và 22; tích lớn nhất 22×22=484.
Bài 2: Hai số tự nhiên có tổng 72. Tìm tích lớn nhất và giải thích vì sao hai số phải gần nhau nhất.
Lời giải:
Trước hết, ta xét cách phân bố bất lợi nhất hoặc phương án sát giới hạn nhất, rồi thêm điều kiện cần thiết để có kết luận chắc chắn.
Xét hai số lệch nhau từ 2 trở lên; chuyển 1 đơn vị từ số lớn sang số bé làm tổng không đổi.
Cấu hình này cho thấy số lượng lớn nhất có thể lấy hoặc sắp xếp mà điều kiện vẫn chưa bắt buộc xảy ra.
Sau chuyển, tích tăng vì hai số gần nhau hơn; tiếp tục đến khi hai số bằng nhau hoặc hơn kém 1.
Thêm một đơn vị hoặc so sánh các phương án để chứng minh giới hạn cần tìm.
Từ các kết quả trên, ta trả lời đầy đủ yêu cầu của bài toán và ghi đáp số kèm đơn vị (nếu có).
Đáp số: Hai số tối ưu là 36 và 36; tích lớn nhất 36×36=1296.
Bài 3: Hai số tự nhiên có tổng 34. Tìm tích lớn nhất và giải thích vì sao hai số phải gần nhau nhất.
Lời giải:
Trước hết, ta xét cách phân bố bất lợi nhất hoặc phương án sát giới hạn nhất, rồi thêm điều kiện cần thiết để có kết luận chắc chắn.
Xét hai số lệch nhau từ 2 trở lên; chuyển 1 đơn vị từ số lớn sang số bé làm tổng không đổi.
Cấu hình này cho thấy số lượng lớn nhất có thể lấy hoặc sắp xếp mà điều kiện vẫn chưa bắt buộc xảy ra.
Sau chuyển, tích tăng vì hai số gần nhau hơn; tiếp tục đến khi hai số bằng nhau hoặc hơn kém 1.
Thêm một đơn vị hoặc so sánh các phương án để chứng minh giới hạn cần tìm.
Từ các kết quả trên, ta trả lời đầy đủ yêu cầu của bài toán và ghi đáp số kèm đơn vị (nếu có).
Đáp số: Hai số tối ưu là 17 và 17; tích lớn nhất 17×17=289.
Bài 4: Hai số tự nhiên có tổng 95. Tìm tích lớn nhất và giải thích vì sao hai số phải gần nhau nhất.
Lời giải:
Trước hết, ta xét cách phân bố bất lợi nhất hoặc phương án sát giới hạn nhất, rồi thêm điều kiện cần thiết để có kết luận chắc chắn.
Xét hai số lệch nhau từ 2 trở lên; chuyển 1 đơn vị từ số lớn sang số bé làm tổng không đổi.
Cấu hình này cho thấy số lượng lớn nhất có thể lấy hoặc sắp xếp mà điều kiện vẫn chưa bắt buộc xảy ra.
Sau chuyển, tích tăng vì hai số gần nhau hơn; tiếp tục đến khi hai số bằng nhau hoặc hơn kém 1.
Thêm một đơn vị hoặc so sánh các phương án để chứng minh giới hạn cần tìm.
Từ các kết quả trên, ta trả lời đầy đủ yêu cầu của bài toán và ghi đáp số kèm đơn vị (nếu có).
Đáp số: Hai số tối ưu là 47 và 48; tích lớn nhất 47×48=2256.
Bài 5: Hai số tự nhiên có tổng 33. Tìm tích lớn nhất và giải thích vì sao hai số phải gần nhau nhất.
Lời giải:
Trước hết, ta xét cách phân bố bất lợi nhất hoặc phương án sát giới hạn nhất, rồi thêm điều kiện cần thiết để có kết luận chắc chắn.
Xét hai số lệch nhau từ 2 trở lên; chuyển 1 đơn vị từ số lớn sang số bé làm tổng không đổi.
Cấu hình này cho thấy số lượng lớn nhất có thể lấy hoặc sắp xếp mà điều kiện vẫn chưa bắt buộc xảy ra.
Sau chuyển, tích tăng vì hai số gần nhau hơn; tiếp tục đến khi hai số bằng nhau hoặc hơn kém 1.
Thêm một đơn vị hoặc so sánh các phương án để chứng minh giới hạn cần tìm.
Từ các kết quả trên, ta trả lời đầy đủ yêu cầu của bài toán và ghi đáp số kèm đơn vị (nếu có).
Đáp số: Hai số tối ưu là 16 và 17; tích lớn nhất 16×17=272.
Bài tập tự luyện
Bài 1: Hai số tự nhiên có tổng 54. Tìm tích lớn nhất và giải thích vì sao hai số phải gần nhau nhất.
Bài 2: Hai số tự nhiên có tổng 52. Tìm tích lớn nhất và giải thích vì sao hai số phải gần nhau nhất.
Bài 3: Hai số tự nhiên có tổng 86. Tìm tích lớn nhất và giải thích vì sao hai số phải gần nhau nhất.
Bài 4: Hai số tự nhiên có tổng 62. Tìm tích lớn nhất và giải thích vì sao hai số phải gần nhau nhất.
Bài 5: Hai số tự nhiên có tổng 76. Tìm tích lớn nhất và giải thích vì sao hai số phải gần nhau nhất.
Bài 6: Hai số tự nhiên có tổng 92. Tìm tích lớn nhất và giải thích vì sao hai số phải gần nhau nhất.
Bài 7: Hai số tự nhiên có tổng 84. Tìm tích lớn nhất và giải thích vì sao hai số phải gần nhau nhất.
Bài 8: Hai số tự nhiên có tổng 32. Tìm tích lớn nhất và giải thích vì sao hai số phải gần nhau nhất.
Bài 9: Hai số tự nhiên có tổng 45. Tìm tích lớn nhất và giải thích vì sao hai số phải gần nhau nhất.
Bài 10: Hai số tự nhiên có tổng 49. Tìm tích lớn nhất và giải thích vì sao hai số phải gần nhau nhất.
Bài 11: Hai số tự nhiên có tổng 57. Tìm tích lớn nhất và giải thích vì sao hai số phải gần nhau nhất.
Bài 12: Hai số tự nhiên có tổng 89. Tìm tích lớn nhất và giải thích vì sao hai số phải gần nhau nhất.
Xem lời giải bài tập tự luyện
Bài 1: Hai số tự nhiên có tổng 54. Tìm tích lớn nhất và giải thích vì sao hai số phải gần nhau nhất.
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Xét hai số lệch nhau từ 2 trở lên; chuyển 1 đơn vị từ số lớn sang số bé làm tổng không đổi. Ta xét trường hợp bất lợi nhất mà yêu cầu vẫn chưa được bảo đảm. Lấy thêm một phần tử sau trường hợp đó sẽ cho số nhỏ nhất để chắc chắn đạt điều kiện.
Bước 2: Sau chuyển, tích tăng vì hai số gần nhau hơn; tiếp tục đến khi hai số bằng nhau hoặc hơn kém 1. Ta xét trường hợp bất lợi nhất mà yêu cầu vẫn chưa được bảo đảm. Lấy thêm một phần tử sau trường hợp đó sẽ cho số nhỏ nhất để chắc chắn đạt điều kiện.
Đáp số: Hai số tối ưu là 27 và 27; tích lớn nhất 27×27=729.
Kiểm tra: Đối chiếu trường hợp vừa tìm với từng điều kiện của đề. Nếu không có điều kiện nào bị vi phạm và các trường hợp đã được xét không trùng nhau, kết quả được chấp nhận.
Bài 2: Hai số tự nhiên có tổng 52. Tìm tích lớn nhất và giải thích vì sao hai số phải gần nhau nhất.
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Xét hai số lệch nhau từ 2 trở lên; chuyển 1 đơn vị từ số lớn sang số bé làm tổng không đổi. Ta xét trường hợp bất lợi nhất mà yêu cầu vẫn chưa được bảo đảm. Lấy thêm một phần tử sau trường hợp đó sẽ cho số nhỏ nhất để chắc chắn đạt điều kiện.
Bước 2: Sau chuyển, tích tăng vì hai số gần nhau hơn; tiếp tục đến khi hai số bằng nhau hoặc hơn kém 1. Ta xét trường hợp bất lợi nhất mà yêu cầu vẫn chưa được bảo đảm. Lấy thêm một phần tử sau trường hợp đó sẽ cho số nhỏ nhất để chắc chắn đạt điều kiện.
Đáp số: Hai số tối ưu là 26 và 26; tích lớn nhất 26×26=676.
Kiểm tra: Đối chiếu trường hợp vừa tìm với từng điều kiện của đề. Nếu không có điều kiện nào bị vi phạm và các trường hợp đã được xét không trùng nhau, kết quả được chấp nhận.
Bài 3: Hai số tự nhiên có tổng 86. Tìm tích lớn nhất và giải thích vì sao hai số phải gần nhau nhất.
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Xét hai số lệch nhau từ 2 trở lên; chuyển 1 đơn vị từ số lớn sang số bé làm tổng không đổi. Ta xét trường hợp bất lợi nhất mà yêu cầu vẫn chưa được bảo đảm. Lấy thêm một phần tử sau trường hợp đó sẽ cho số nhỏ nhất để chắc chắn đạt điều kiện.
Bước 2: Sau chuyển, tích tăng vì hai số gần nhau hơn; tiếp tục đến khi hai số bằng nhau hoặc hơn kém 1. Ta xét trường hợp bất lợi nhất mà yêu cầu vẫn chưa được bảo đảm. Lấy thêm một phần tử sau trường hợp đó sẽ cho số nhỏ nhất để chắc chắn đạt điều kiện.
Đáp số: Hai số tối ưu là 43 và 43; tích lớn nhất 43×43=1849.
Kiểm tra: Đối chiếu trường hợp vừa tìm với từng điều kiện của đề. Nếu không có điều kiện nào bị vi phạm và các trường hợp đã được xét không trùng nhau, kết quả được chấp nhận.
Bài 4: Hai số tự nhiên có tổng 62. Tìm tích lớn nhất và giải thích vì sao hai số phải gần nhau nhất.
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Xét hai số lệch nhau từ 2 trở lên; chuyển 1 đơn vị từ số lớn sang số bé làm tổng không đổi. Ta xét trường hợp bất lợi nhất mà yêu cầu vẫn chưa được bảo đảm. Lấy thêm một phần tử sau trường hợp đó sẽ cho số nhỏ nhất để chắc chắn đạt điều kiện.
Bước 2: Sau chuyển, tích tăng vì hai số gần nhau hơn; tiếp tục đến khi hai số bằng nhau hoặc hơn kém 1. Ta xét trường hợp bất lợi nhất mà yêu cầu vẫn chưa được bảo đảm. Lấy thêm một phần tử sau trường hợp đó sẽ cho số nhỏ nhất để chắc chắn đạt điều kiện.
Đáp số: Hai số tối ưu là 31 và 31; tích lớn nhất 31×31=961.
Kiểm tra: Đối chiếu trường hợp vừa tìm với từng điều kiện của đề. Nếu không có điều kiện nào bị vi phạm và các trường hợp đã được xét không trùng nhau, kết quả được chấp nhận.
Bài 5: Hai số tự nhiên có tổng 76. Tìm tích lớn nhất và giải thích vì sao hai số phải gần nhau nhất.
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Xét hai số lệch nhau từ 2 trở lên; chuyển 1 đơn vị từ số lớn sang số bé làm tổng không đổi. Ta xét trường hợp bất lợi nhất mà yêu cầu vẫn chưa được bảo đảm. Lấy thêm một phần tử sau trường hợp đó sẽ cho số nhỏ nhất để chắc chắn đạt điều kiện.
Bước 2: Sau chuyển, tích tăng vì hai số gần nhau hơn; tiếp tục đến khi hai số bằng nhau hoặc hơn kém 1. Ta xét trường hợp bất lợi nhất mà yêu cầu vẫn chưa được bảo đảm. Lấy thêm một phần tử sau trường hợp đó sẽ cho số nhỏ nhất để chắc chắn đạt điều kiện.
Đáp số: Hai số tối ưu là 38 và 38; tích lớn nhất 38×38=1444.
Kiểm tra: Đối chiếu trường hợp vừa tìm với từng điều kiện của đề. Nếu không có điều kiện nào bị vi phạm và các trường hợp đã được xét không trùng nhau, kết quả được chấp nhận.
Bài 6: Hai số tự nhiên có tổng 92. Tìm tích lớn nhất và giải thích vì sao hai số phải gần nhau nhất.
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Xét hai số lệch nhau từ 2 trở lên; chuyển 1 đơn vị từ số lớn sang số bé làm tổng không đổi. Ta xét trường hợp bất lợi nhất mà yêu cầu vẫn chưa được bảo đảm. Lấy thêm một phần tử sau trường hợp đó sẽ cho số nhỏ nhất để chắc chắn đạt điều kiện.
Bước 2: Sau chuyển, tích tăng vì hai số gần nhau hơn; tiếp tục đến khi hai số bằng nhau hoặc hơn kém 1. Ta xét trường hợp bất lợi nhất mà yêu cầu vẫn chưa được bảo đảm. Lấy thêm một phần tử sau trường hợp đó sẽ cho số nhỏ nhất để chắc chắn đạt điều kiện.
Đáp số: Hai số tối ưu là 46 và 46; tích lớn nhất 46×46=2116.
Kiểm tra: Đối chiếu trường hợp vừa tìm với từng điều kiện của đề. Nếu không có điều kiện nào bị vi phạm và các trường hợp đã được xét không trùng nhau, kết quả được chấp nhận.
Bài 7: Hai số tự nhiên có tổng 84. Tìm tích lớn nhất và giải thích vì sao hai số phải gần nhau nhất.
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Xét hai số lệch nhau từ 2 trở lên; chuyển 1 đơn vị từ số lớn sang số bé làm tổng không đổi. Ta xét trường hợp bất lợi nhất mà yêu cầu vẫn chưa được bảo đảm. Lấy thêm một phần tử sau trường hợp đó sẽ cho số nhỏ nhất để chắc chắn đạt điều kiện.
Bước 2: Sau chuyển, tích tăng vì hai số gần nhau hơn; tiếp tục đến khi hai số bằng nhau hoặc hơn kém 1. Ta xét trường hợp bất lợi nhất mà yêu cầu vẫn chưa được bảo đảm. Lấy thêm một phần tử sau trường hợp đó sẽ cho số nhỏ nhất để chắc chắn đạt điều kiện.
Đáp số: Hai số tối ưu là 42 và 42; tích lớn nhất 42×42=1764.
Kiểm tra: Đối chiếu trường hợp vừa tìm với từng điều kiện của đề. Nếu không có điều kiện nào bị vi phạm và các trường hợp đã được xét không trùng nhau, kết quả được chấp nhận.
Bài 8: Hai số tự nhiên có tổng 32. Tìm tích lớn nhất và giải thích vì sao hai số phải gần nhau nhất.
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Xét hai số lệch nhau từ 2 trở lên; chuyển 1 đơn vị từ số lớn sang số bé làm tổng không đổi. Ta xét trường hợp bất lợi nhất mà yêu cầu vẫn chưa được bảo đảm. Lấy thêm một phần tử sau trường hợp đó sẽ cho số nhỏ nhất để chắc chắn đạt điều kiện.
Bước 2: Sau chuyển, tích tăng vì hai số gần nhau hơn; tiếp tục đến khi hai số bằng nhau hoặc hơn kém 1. Ta xét trường hợp bất lợi nhất mà yêu cầu vẫn chưa được bảo đảm. Lấy thêm một phần tử sau trường hợp đó sẽ cho số nhỏ nhất để chắc chắn đạt điều kiện.
Đáp số: Hai số tối ưu là 16 và 16; tích lớn nhất 16×16=256.
Kiểm tra: Đối chiếu trường hợp vừa tìm với từng điều kiện của đề. Nếu không có điều kiện nào bị vi phạm và các trường hợp đã được xét không trùng nhau, kết quả được chấp nhận.
Bài 9: Hai số tự nhiên có tổng 45. Tìm tích lớn nhất và giải thích vì sao hai số phải gần nhau nhất.
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Xét hai số lệch nhau từ 2 trở lên; chuyển 1 đơn vị từ số lớn sang số bé làm tổng không đổi. Ta xét trường hợp bất lợi nhất mà yêu cầu vẫn chưa được bảo đảm. Lấy thêm một phần tử sau trường hợp đó sẽ cho số nhỏ nhất để chắc chắn đạt điều kiện.
Bước 2: Sau chuyển, tích tăng vì hai số gần nhau hơn; tiếp tục đến khi hai số bằng nhau hoặc hơn kém 1. Ta xét trường hợp bất lợi nhất mà yêu cầu vẫn chưa được bảo đảm. Lấy thêm một phần tử sau trường hợp đó sẽ cho số nhỏ nhất để chắc chắn đạt điều kiện.
Đáp số: Hai số tối ưu là 22 và 23; tích lớn nhất 22×23=506.
Kiểm tra: Đối chiếu trường hợp vừa tìm với từng điều kiện của đề. Nếu không có điều kiện nào bị vi phạm và các trường hợp đã được xét không trùng nhau, kết quả được chấp nhận.
Bài 10: Hai số tự nhiên có tổng 49. Tìm tích lớn nhất và giải thích vì sao hai số phải gần nhau nhất.
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Xét hai số lệch nhau từ 2 trở lên; chuyển 1 đơn vị từ số lớn sang số bé làm tổng không đổi. Ta xét trường hợp bất lợi nhất mà yêu cầu vẫn chưa được bảo đảm. Lấy thêm một phần tử sau trường hợp đó sẽ cho số nhỏ nhất để chắc chắn đạt điều kiện.
Bước 2: Sau chuyển, tích tăng vì hai số gần nhau hơn; tiếp tục đến khi hai số bằng nhau hoặc hơn kém 1. Ta xét trường hợp bất lợi nhất mà yêu cầu vẫn chưa được bảo đảm. Lấy thêm một phần tử sau trường hợp đó sẽ cho số nhỏ nhất để chắc chắn đạt điều kiện.
Đáp số: Hai số tối ưu là 24 và 25; tích lớn nhất 24×25=600.
Kiểm tra: Đối chiếu trường hợp vừa tìm với từng điều kiện của đề. Nếu không có điều kiện nào bị vi phạm và các trường hợp đã được xét không trùng nhau, kết quả được chấp nhận.
Bài 11: Hai số tự nhiên có tổng 57. Tìm tích lớn nhất và giải thích vì sao hai số phải gần nhau nhất.
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Xét hai số lệch nhau từ 2 trở lên; chuyển 1 đơn vị từ số lớn sang số bé làm tổng không đổi. Ta xét trường hợp bất lợi nhất mà yêu cầu vẫn chưa được bảo đảm. Lấy thêm một phần tử sau trường hợp đó sẽ cho số nhỏ nhất để chắc chắn đạt điều kiện.
Bước 2: Sau chuyển, tích tăng vì hai số gần nhau hơn; tiếp tục đến khi hai số bằng nhau hoặc hơn kém 1. Ta xét trường hợp bất lợi nhất mà yêu cầu vẫn chưa được bảo đảm. Lấy thêm một phần tử sau trường hợp đó sẽ cho số nhỏ nhất để chắc chắn đạt điều kiện.
Đáp số: Hai số tối ưu là 28 và 29; tích lớn nhất 28×29=812.
Kiểm tra: Đối chiếu trường hợp vừa tìm với từng điều kiện của đề. Nếu không có điều kiện nào bị vi phạm và các trường hợp đã được xét không trùng nhau, kết quả được chấp nhận.
Bài 12: Hai số tự nhiên có tổng 89. Tìm tích lớn nhất và giải thích vì sao hai số phải gần nhau nhất.
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Xét hai số lệch nhau từ 2 trở lên; chuyển 1 đơn vị từ số lớn sang số bé làm tổng không đổi. Ta xét trường hợp bất lợi nhất mà yêu cầu vẫn chưa được bảo đảm. Lấy thêm một phần tử sau trường hợp đó sẽ cho số nhỏ nhất để chắc chắn đạt điều kiện.
Bước 2: Sau chuyển, tích tăng vì hai số gần nhau hơn; tiếp tục đến khi hai số bằng nhau hoặc hơn kém 1. Ta xét trường hợp bất lợi nhất mà yêu cầu vẫn chưa được bảo đảm. Lấy thêm một phần tử sau trường hợp đó sẽ cho số nhỏ nhất để chắc chắn đạt điều kiện.
Đáp số: Hai số tối ưu là 44 và 45; tích lớn nhất 44×45=1980.
Kiểm tra: Đối chiếu trường hợp vừa tìm với từng điều kiện của đề. Nếu không có điều kiện nào bị vi phạm và các trường hợp đã được xét không trùng nhau, kết quả được chấp nhận.
Ghi nhớ và tự kiểm tra
- Trọng tâm của bài là nhận ra cấu trúc ẩn trong dạng Tối ưu tổng, hiệu và tích.
- Không làm theo phép tính máy móc; cần giải thích vì sao chọn cách làm.
- Mọi đáp số phải được kiểm tra lại với toàn bộ dữ kiện của đề.
Câu hỏi tự kiểm tra
- Em có tách được từng điều kiện và xác định thứ tự xử lí không?
- Em có trình bày đủ các kết quả trung gian không?
- Em có kiểm tra lại đáp số bằng điều kiện ban đầu hoặc một cách khác không?