Mục tiêu bài học
- Hiểu tư duy trường hợp xấu nhất hoặc tối ưu trong chuyên đề “Tìm giá trị nhỏ nhất của một biểu thức số học”.
- Biết giải thích vì sao số lượng tìm được là đủ và vì sao nhỏ hơn thì chưa chắc chắn.
- Giải được bài phân loại bằng lập luận số học rõ ràng.
Kiến thức cần nhớ
- Bài ‘chắc chắn’ thường xét trường hợp xấu nhất: trì hoãn điều cần đạt lâu nhất rồi lấy thêm 1.
- Khi phân đồ vật vào nhóm, nếu số đồ vật nhiều hơn số nhóm thì phải có nhóm nhận từ 2 đồ vật trở lên.
- Bài tối ưu cần xác định đại lượng giữ nguyên và thử cách phân chia cân đối hoặc lệch nhất tùy mục tiêu.
- Kết quả tối ưu phải được kiểm tra bằng lập luận, không chỉ thử một vài trường hợp.
Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Hai số tự nhiên dương có tổng 105, mỗi số không nhỏ hơn 25. Tìm tích nhỏ nhất.
Hướng dẫn giải chi tiết:
Bước 1: Để tích nhỏ nhất với tổng không đổi, hai số phải xa nhau nhất trong phạm vi cho phép.
Bước 2: Số nhỏ nhất có thể là 25, số kia là 105−25=80.
Kết luận: Tích nhỏ nhất là 25×80=2000.
Ví dụ 2: Hai số tự nhiên dương có tổng 51, mỗi số không nhỏ hơn 11. Tìm tích nhỏ nhất.
Hướng dẫn giải chi tiết:
Bước 1: Để tích nhỏ nhất với tổng không đổi, hai số phải xa nhau nhất trong phạm vi cho phép.
Bước 2: Số nhỏ nhất có thể là 11, số kia là 51−11=40.
Kết luận: Tích nhỏ nhất là 11×40=440.
Ví dụ 3: Hai số tự nhiên dương có tổng 96, mỗi số không nhỏ hơn 27. Tìm tích nhỏ nhất.
Hướng dẫn giải chi tiết:
Bước 1: Để tích nhỏ nhất với tổng không đổi, hai số phải xa nhau nhất trong phạm vi cho phép.
Bước 2: Số nhỏ nhất có thể là 27, số kia là 96−27=69.
Kết luận: Tích nhỏ nhất là 27×69=1863.
Bài tập áp dụng
Bài 1: Hai số tự nhiên dương có tổng 54, mỗi số không nhỏ hơn 13. Tìm tích nhỏ nhất.
Bài 2: Hai số tự nhiên dương có tổng 52, mỗi số không nhỏ hơn 10. Tìm tích nhỏ nhất.
Bài 3: Hai số tự nhiên dương có tổng 67, mỗi số không nhỏ hơn 7. Tìm tích nhỏ nhất.
Bài 4: Hai số tự nhiên dương có tổng 70, mỗi số không nhỏ hơn 13. Tìm tích nhỏ nhất.
Bài 5: Hai số tự nhiên dương có tổng 43, mỗi số không nhỏ hơn 6. Tìm tích nhỏ nhất.
Xem lời giải
Bài 1: Hai số tự nhiên dương có tổng 54, mỗi số không nhỏ hơn 13. Tìm tích nhỏ nhất.
Lời giải:
Để tích nhỏ nhất với tổng không đổi, hai số phải xa nhau nhất trong phạm vi cho phép.
Số nhỏ nhất có thể là 13, số kia là 54−13=41.
Đáp số: Tích nhỏ nhất là 13×41=533.
Bài 2: Hai số tự nhiên dương có tổng 52, mỗi số không nhỏ hơn 10. Tìm tích nhỏ nhất.
Lời giải:
Để tích nhỏ nhất với tổng không đổi, hai số phải xa nhau nhất trong phạm vi cho phép.
Số nhỏ nhất có thể là 10, số kia là 52−10=42.
Đáp số: Tích nhỏ nhất là 10×42=420.
Bài 3: Hai số tự nhiên dương có tổng 67, mỗi số không nhỏ hơn 7. Tìm tích nhỏ nhất.
Lời giải:
Để tích nhỏ nhất với tổng không đổi, hai số phải xa nhau nhất trong phạm vi cho phép.
Số nhỏ nhất có thể là 7, số kia là 67−7=60.
Đáp số: Tích nhỏ nhất là 7×60=420.
Bài 4: Hai số tự nhiên dương có tổng 70, mỗi số không nhỏ hơn 13. Tìm tích nhỏ nhất.
Lời giải:
Để tích nhỏ nhất với tổng không đổi, hai số phải xa nhau nhất trong phạm vi cho phép.
Số nhỏ nhất có thể là 13, số kia là 70−13=57.
Đáp số: Tích nhỏ nhất là 13×57=741.
Bài 5: Hai số tự nhiên dương có tổng 43, mỗi số không nhỏ hơn 6. Tìm tích nhỏ nhất.
Lời giải:
Để tích nhỏ nhất với tổng không đổi, hai số phải xa nhau nhất trong phạm vi cho phép.
Số nhỏ nhất có thể là 6, số kia là 43−6=37.
Đáp số: Tích nhỏ nhất là 6×37=222.
Bài tập tự luyện
Bài 1: Hai số tự nhiên dương có tổng 87, mỗi số không nhỏ hơn 14. Tìm tích nhỏ nhất.
Bài 2: Hai số tự nhiên dương có tổng 86, mỗi số không nhỏ hơn 28. Tìm tích nhỏ nhất.
Bài 3: Hai số tự nhiên dương có tổng 104, mỗi số không nhỏ hơn 28. Tìm tích nhỏ nhất.
Bài 4: Hai số tự nhiên dương có tổng 47, mỗi số không nhỏ hơn 10. Tìm tích nhỏ nhất.
Bài 5: Hai số tự nhiên dương có tổng 82, mỗi số không nhỏ hơn 7. Tìm tích nhỏ nhất.
Bài 6: Hai số tự nhiên dương có tổng 43, mỗi số không nhỏ hơn 8. Tìm tích nhỏ nhất.
Bài 7: Hai số tự nhiên dương có tổng 84, mỗi số không nhỏ hơn 28. Tìm tích nhỏ nhất.
Bài 8: Hai số tự nhiên dương có tổng 50, mỗi số không nhỏ hơn 6. Tìm tích nhỏ nhất.
Bài 9: Hai số tự nhiên dương có tổng 64, mỗi số không nhỏ hơn 15. Tìm tích nhỏ nhất.
Bài 10: Hai số tự nhiên dương có tổng 116, mỗi số không nhỏ hơn 20. Tìm tích nhỏ nhất.
Bài 11: Hai số tự nhiên dương có tổng 100, mỗi số không nhỏ hơn 24. Tìm tích nhỏ nhất.
Bài 12: Hai số tự nhiên dương có tổng 44, mỗi số không nhỏ hơn 5. Tìm tích nhỏ nhất.
Xem lời giải bài tập tự luyện
Bài 1: Hai số tự nhiên dương có tổng 87, mỗi số không nhỏ hơn 14. Tìm tích nhỏ nhất.
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Để tích nhỏ nhất với tổng không đổi, hai số phải xa nhau nhất trong phạm vi cho phép.
Bước 2: Số nhỏ nhất có thể là 14, số kia là 87−14=73.
Đáp số: Tích nhỏ nhất là 14×73=1022.
Bài 2: Hai số tự nhiên dương có tổng 86, mỗi số không nhỏ hơn 28. Tìm tích nhỏ nhất.
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Để tích nhỏ nhất với tổng không đổi, hai số phải xa nhau nhất trong phạm vi cho phép.
Bước 2: Số nhỏ nhất có thể là 28, số kia là 86−28=58.
Đáp số: Tích nhỏ nhất là 28×58=1624.
Bài 3: Hai số tự nhiên dương có tổng 104, mỗi số không nhỏ hơn 28. Tìm tích nhỏ nhất.
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Để tích nhỏ nhất với tổng không đổi, hai số phải xa nhau nhất trong phạm vi cho phép.
Bước 2: Số nhỏ nhất có thể là 28, số kia là 104−28=76.
Đáp số: Tích nhỏ nhất là 28×76=2128.
Bài 4: Hai số tự nhiên dương có tổng 47, mỗi số không nhỏ hơn 10. Tìm tích nhỏ nhất.
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Để tích nhỏ nhất với tổng không đổi, hai số phải xa nhau nhất trong phạm vi cho phép.
Bước 2: Số nhỏ nhất có thể là 10, số kia là 47−10=37.
Đáp số: Tích nhỏ nhất là 10×37=370.
Bài 5: Hai số tự nhiên dương có tổng 82, mỗi số không nhỏ hơn 7. Tìm tích nhỏ nhất.
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Để tích nhỏ nhất với tổng không đổi, hai số phải xa nhau nhất trong phạm vi cho phép.
Bước 2: Số nhỏ nhất có thể là 7, số kia là 82−7=75.
Đáp số: Tích nhỏ nhất là 7×75=525.
Bài 6: Hai số tự nhiên dương có tổng 43, mỗi số không nhỏ hơn 8. Tìm tích nhỏ nhất.
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Để tích nhỏ nhất với tổng không đổi, hai số phải xa nhau nhất trong phạm vi cho phép.
Bước 2: Số nhỏ nhất có thể là 8, số kia là 43−8=35.
Đáp số: Tích nhỏ nhất là 8×35=280.
Bài 7: Hai số tự nhiên dương có tổng 84, mỗi số không nhỏ hơn 28. Tìm tích nhỏ nhất.
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Để tích nhỏ nhất với tổng không đổi, hai số phải xa nhau nhất trong phạm vi cho phép.
Bước 2: Số nhỏ nhất có thể là 28, số kia là 84−28=56.
Đáp số: Tích nhỏ nhất là 28×56=1568.
Bài 8: Hai số tự nhiên dương có tổng 50, mỗi số không nhỏ hơn 6. Tìm tích nhỏ nhất.
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Để tích nhỏ nhất với tổng không đổi, hai số phải xa nhau nhất trong phạm vi cho phép.
Bước 2: Số nhỏ nhất có thể là 6, số kia là 50−6=44.
Đáp số: Tích nhỏ nhất là 6×44=264.
Bài 9: Hai số tự nhiên dương có tổng 64, mỗi số không nhỏ hơn 15. Tìm tích nhỏ nhất.
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Để tích nhỏ nhất với tổng không đổi, hai số phải xa nhau nhất trong phạm vi cho phép.
Bước 2: Số nhỏ nhất có thể là 15, số kia là 64−15=49.
Đáp số: Tích nhỏ nhất là 15×49=735.
Bài 10: Hai số tự nhiên dương có tổng 116, mỗi số không nhỏ hơn 20. Tìm tích nhỏ nhất.
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Để tích nhỏ nhất với tổng không đổi, hai số phải xa nhau nhất trong phạm vi cho phép.
Bước 2: Số nhỏ nhất có thể là 20, số kia là 116−20=96.
Đáp số: Tích nhỏ nhất là 20×96=1920.
Bài 11: Hai số tự nhiên dương có tổng 100, mỗi số không nhỏ hơn 24. Tìm tích nhỏ nhất.
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Để tích nhỏ nhất với tổng không đổi, hai số phải xa nhau nhất trong phạm vi cho phép.
Bước 2: Số nhỏ nhất có thể là 24, số kia là 100−24=76.
Đáp số: Tích nhỏ nhất là 24×76=1824.
Bài 12: Hai số tự nhiên dương có tổng 44, mỗi số không nhỏ hơn 5. Tìm tích nhỏ nhất.
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Để tích nhỏ nhất với tổng không đổi, hai số phải xa nhau nhất trong phạm vi cho phép.
Bước 2: Số nhỏ nhất có thể là 5, số kia là 44−5=39.
Đáp số: Tích nhỏ nhất là 5×39=195.
Bài 13: Hai số tự nhiên có tổng 30. Tìm tích lớn nhất.
Lời giải
Tích lớn nhất khi hai số gần nhau nhất: 15 × 15 = 225.
Bài 14: Hai số tự nhiên có tổng 32. Tìm tích lớn nhất.
Lời giải
Tích lớn nhất khi hai số gần nhau nhất: 16 × 16 = 256.
Bài 15: Hai số tự nhiên có tổng 34. Tìm tích lớn nhất.
Lời giải
Tích lớn nhất khi hai số gần nhau nhất: 17 × 17 = 289.
Ghi nhớ
- Bài ‘chắc chắn’ thường xét trường hợp xấu nhất: trì hoãn điều cần đạt lâu nhất rồi lấy thêm 1.
- Khi phân đồ vật vào nhóm, nếu số đồ vật nhiều hơn số nhóm thì phải có nhóm nhận từ 2 đồ vật trở lên.
- Bài tối ưu cần xác định đại lượng giữ nguyên và thử cách phân chia cân đối hoặc lệch nhất tùy mục tiêu.