Bài 208 Thống kê và xác suất nâng cao Nâng cao CLC

Tính trung bình từ bảng số liệu

Chuyên đề nâng cao tính trung bình từ bảng số liệu với phương pháp chọn lọc, 20 bài toán phân loại và lời giải đầy đủ từng bước dành cho học sinh ôn thi vào lớp 6 CLC.

Học xong bài này

Mục tiêu bài học

Nhận biết và xử lí các biến đổi nâng cao của dạng Tính trung bình từ bảng số liệu.
Biết phân tích dữ kiện ẩn, lựa chọn phương pháp ngắn gọn và kiểm tra kết quả.
Trình bày lời giải đầy đủ từng bước theo ngôn ngữ Toán tiểu học, không dùng kiến thức thuần THCS.

Ghi nhớ kiến thức nền

Kiến thức cần nhớ

Phạm vi: Bài học chỉ tập trung vào câu hỏi nâng cao, dữ kiện ẩn, bài toán ngược và bài toán có nhiều điều kiện. Các thao tác cơ bản được coi là kiến thức nền.

Đọc đúng tiêu đề, đơn vị và chú giải trước khi lấy số liệu từ bảng hoặc biểu đồ.
Trung bình cộng bằng tổng các giá trị chia cho số giá trị.
Xác suất thực nghiệm được ước lượng bằng số lần sự kiện xảy ra chia cho tổng số lần thử.
Trọng tâm là nhận đúng dữ kiện đặc trưng của dạng “Tính trung bình từ bảng số liệu” và chọn phép tính phù hợp.
Nên trình bày theo thứ tự: tóm tắt, lập luận, phép tính, kết luận.

Quan sát cách làm

Ví dụ minh họa

Phương pháp chung

Đọc kĩ đề, gạch dưới dữ kiện và xác định chính xác yêu cầu cuối cùng.
Ta đọc đúng tổng số lần quan sát, số lần sự kiện xảy ra và đơn vị của số liệu. Khi so sánh cần đưa các tỉ lệ về cùng dạng phân số hoặc phần trăm.
Trình bày từng kết quả trung gian, giải thích ý nghĩa của phép tính và kiểm tra lại kết luận.

Ví dụ 1: Trung bình của 5 số theo bảng ghi là 56,6. Sau đó phát hiện một giá trị 66 đã ghi thừa 5 đơn vị. Tính trung bình đúng mà không cần biết các số còn lại.

Hướng dẫn giải chi tiết:

Phân tích đề: Ta đọc đúng tổng số lần quan sát, số lần sự kiện xảy ra và đơn vị của số liệu. Khi so sánh cần đưa các tỉ lệ về cùng dạng phân số hoặc phần trăm.

Bước 1: Tổng theo bảng ghi là 56,6×5=283. Vì số trung bình cộng bằng tổng chia cho số lượng số nên tổng phải bằng số trung bình cộng nhân với số lượng số. Đây là dữ kiện then chốt để tìm giá trị còn thiếu hoặc sửa lại số liệu đã ghi sai.

Vì sao làm như vậy: Tỉ lệ được tính bằng số lần sự kiện xảy ra chia cho tổng số lần thử; hai số này phải lấy từ cùng một giai đoạn dữ liệu.

Bước 2: Giá trị bị ghi thừa 5, nên tổng đúng là 283−5=278. Vì số trung bình cộng bằng tổng chia cho số lượng số nên tổng phải bằng số trung bình cộng nhân với số lượng số. Đây là dữ kiện then chốt để tìm giá trị còn thiếu hoặc sửa lại số liệu đã ghi sai.

Vì sao làm như vậy: Khi có dữ liệu mới, ta cộng cả số lần thử lẫn số lần xảy ra trước khi tính tỉ lệ mới.

Ý nghĩa của kết quả: Tỉ lệ phải nằm từ 0 đến 1 hoặc từ 0% đến 100% và được diễn giải đúng là tăng, giảm hay không đổi.

Kết luận: Trung bình đúng là 278:5=55,6.

Kiểm tra: Đối chiếu số lần thuận lợi với tổng số lần thử và ước lượng tỉ lệ trước khi kết luận.

Ví dụ 2: Trung bình của 7 số theo bảng ghi là 45. Sau đó phát hiện một giá trị 63 đã ghi thừa 5 đơn vị. Tính trung bình đúng mà không cần biết các số còn lại.

Hướng dẫn giải chi tiết:

Bước 1: Tổng theo bảng ghi là 45×7=315. Vì số trung bình cộng bằng tổng chia cho số lượng số nên tổng phải bằng số trung bình cộng nhân với số lượng số. Đây là dữ kiện then chốt để tìm giá trị còn thiếu hoặc sửa lại số liệu đã ghi sai.

Vì sao làm như vậy: Tỉ lệ được tính bằng số lần sự kiện xảy ra chia cho tổng số lần thử; hai số này phải lấy từ cùng một giai đoạn dữ liệu.

Bước 2: Giá trị bị ghi thừa 5, nên tổng đúng là 315−5=310. Vì số trung bình cộng bằng tổng chia cho số lượng số nên tổng phải bằng số trung bình cộng nhân với số lượng số. Đây là dữ kiện then chốt để tìm giá trị còn thiếu hoặc sửa lại số liệu đã ghi sai.

Vì sao làm như vậy: Khi có dữ liệu mới, ta cộng cả số lần thử lẫn số lần xảy ra trước khi tính tỉ lệ mới.

Ý nghĩa của kết quả: Tỉ lệ phải nằm từ 0 đến 1 hoặc từ 0% đến 100% và được diễn giải đúng là tăng, giảm hay không đổi.

Kết luận: Trung bình đúng là 310:7=44,29.

Kiểm tra: Đối chiếu số lần thuận lợi với tổng số lần thử và ước lượng tỉ lệ trước khi kết luận.

Ví dụ 3: Trung bình của 6 số theo bảng ghi là 39,5. Sau đó phát hiện một giá trị 62 đã ghi thừa 5 đơn vị. Tính trung bình đúng mà không cần biết các số còn lại.

Hướng dẫn giải chi tiết:

Bước 1: Tổng theo bảng ghi là 39,5×6=237. Vì số trung bình cộng bằng tổng chia cho số lượng số nên tổng phải bằng số trung bình cộng nhân với số lượng số. Đây là dữ kiện then chốt để tìm giá trị còn thiếu hoặc sửa lại số liệu đã ghi sai.

Vì sao làm như vậy: Tỉ lệ được tính bằng số lần sự kiện xảy ra chia cho tổng số lần thử; hai số này phải lấy từ cùng một giai đoạn dữ liệu.

Bước 2: Giá trị bị ghi thừa 5, nên tổng đúng là 237−5=232. Vì số trung bình cộng bằng tổng chia cho số lượng số nên tổng phải bằng số trung bình cộng nhân với số lượng số. Đây là dữ kiện then chốt để tìm giá trị còn thiếu hoặc sửa lại số liệu đã ghi sai.

Vì sao làm như vậy: Khi có dữ liệu mới, ta cộng cả số lần thử lẫn số lần xảy ra trước khi tính tỉ lệ mới.

Ý nghĩa của kết quả: Tỉ lệ phải nằm từ 0 đến 1 hoặc từ 0% đến 100% và được diễn giải đúng là tăng, giảm hay không đổi.

Kết luận: Trung bình đúng là 232:6=38,67.

Kiểm tra: Đối chiếu số lần thuận lợi với tổng số lần thử và ước lượng tỉ lệ trước khi kết luận.

Làm theo kiến thức vừa học

Bài tập áp dụng

Gồm 5 bài tập nâng cao. Em hãy tự trình bày bài giải đầy đủ vào vở trước khi mở lời giải.

Bài 1: Trung bình của 8 số theo bảng ghi là 56,38. Sau đó phát hiện một giá trị 69 đã ghi thừa 10 đơn vị. Tính trung bình đúng mà không cần biết các số còn lại.

Bài 2: Trung bình của 5 số theo bảng ghi là 55. Sau đó phát hiện một giá trị 43 đã ghi thừa 5 đơn vị. Tính trung bình đúng mà không cần biết các số còn lại.

Bài 3: Trung bình của 6 số theo bảng ghi là 55,67. Sau đó phát hiện một giá trị 72 đã ghi thừa 15 đơn vị. Tính trung bình đúng mà không cần biết các số còn lại.

Bài 4: Trung bình của 5 số theo bảng ghi là 35,2. Sau đó phát hiện một giá trị 44 đã ghi thừa 15 đơn vị. Tính trung bình đúng mà không cần biết các số còn lại.

Bài 5: Trung bình của 7 số theo bảng ghi là 50,14. Sau đó phát hiện một giá trị 84 đã ghi thừa 5 đơn vị. Tính trung bình đúng mà không cần biết các số còn lại.

Xem lời giải

Lời giải:

Trước hết, ta xác định tổng số trường hợp và số trường hợp phù hợp, rồi lập tỉ số và rút gọn hoặc đổi sang phần trăm.

Tổng theo bảng ghi là 56,38×8=451.

Tỉ số này biểu thị mức độ xuất hiện của sự kiện trong toàn bộ các lần quan sát.

Giá trị bị ghi thừa 10, nên tổng đúng là 451−10=441.

Nếu có thêm dữ liệu, cộng đúng cả tử số và mẫu số rồi mới so sánh hai tỉ lệ.

Từ các kết quả trên, ta trả lời đầy đủ yêu cầu của bài toán và ghi đáp số kèm đơn vị (nếu có).

Đáp số: Trung bình đúng là 441:8=55,12.

Lời giải:

Trước hết, ta xác định tổng số trường hợp và số trường hợp phù hợp, rồi lập tỉ số và rút gọn hoặc đổi sang phần trăm.

Tổng theo bảng ghi là 55×5=275.

Tỉ số này biểu thị mức độ xuất hiện của sự kiện trong toàn bộ các lần quan sát.

Giá trị bị ghi thừa 5, nên tổng đúng là 275−5=270.

Nếu có thêm dữ liệu, cộng đúng cả tử số và mẫu số rồi mới so sánh hai tỉ lệ.

Từ các kết quả trên, ta trả lời đầy đủ yêu cầu của bài toán và ghi đáp số kèm đơn vị (nếu có).

Đáp số: Trung bình đúng là 270:5=54.

Lời giải:

Trước hết, ta xác định tổng số trường hợp và số trường hợp phù hợp, rồi lập tỉ số và rút gọn hoặc đổi sang phần trăm.

Tổng theo bảng ghi là 55,67×6=334.

Tỉ số này biểu thị mức độ xuất hiện của sự kiện trong toàn bộ các lần quan sát.

Giá trị bị ghi thừa 15, nên tổng đúng là 334−15=319.

Nếu có thêm dữ liệu, cộng đúng cả tử số và mẫu số rồi mới so sánh hai tỉ lệ.

Từ các kết quả trên, ta trả lời đầy đủ yêu cầu của bài toán và ghi đáp số kèm đơn vị (nếu có).

Đáp số: Trung bình đúng là 319:6=53,17.

Lời giải:

Trước hết, ta xác định tổng số trường hợp và số trường hợp phù hợp, rồi lập tỉ số và rút gọn hoặc đổi sang phần trăm.

Tổng theo bảng ghi là 35,2×5=176.

Tỉ số này biểu thị mức độ xuất hiện của sự kiện trong toàn bộ các lần quan sát.

Giá trị bị ghi thừa 15, nên tổng đúng là 176−15=161.

Nếu có thêm dữ liệu, cộng đúng cả tử số và mẫu số rồi mới so sánh hai tỉ lệ.

Từ các kết quả trên, ta trả lời đầy đủ yêu cầu của bài toán và ghi đáp số kèm đơn vị (nếu có).

Đáp số: Trung bình đúng là 161:5=32,2.

Lời giải:

Trước hết, ta xác định tổng số trường hợp và số trường hợp phù hợp, rồi lập tỉ số và rút gọn hoặc đổi sang phần trăm.

Tổng theo bảng ghi là 50,14×7=351.

Tỉ số này biểu thị mức độ xuất hiện của sự kiện trong toàn bộ các lần quan sát.

Giá trị bị ghi thừa 5, nên tổng đúng là 351−5=346.

Nếu có thêm dữ liệu, cộng đúng cả tử số và mẫu số rồi mới so sánh hai tỉ lệ.

Từ các kết quả trên, ta trả lời đầy đủ yêu cầu của bài toán và ghi đáp số kèm đơn vị (nếu có).

Đáp số: Trung bình đúng là 346:7=49,43.

Tự kiểm tra mức độ thành thạo

Bài tập tự luyện

Em hãy tự làm trước. Các bài tập đều ở mức nâng cao hoặc nâng cao CLC.

Bài 1: Trung bình của 8 số theo bảng ghi là 49,88. Sau đó phát hiện một giá trị 31 đã ghi thừa 5 đơn vị. Tính trung bình đúng mà không cần biết các số còn lại.

Bài 2: Trung bình của 6 số theo bảng ghi là 50,67. Sau đó phát hiện một giá trị 63 đã ghi thừa 10 đơn vị. Tính trung bình đúng mà không cần biết các số còn lại.

Bài 3: Trung bình của 7 số theo bảng ghi là 45. Sau đó phát hiện một giá trị 37 đã ghi thừa 10 đơn vị. Tính trung bình đúng mà không cần biết các số còn lại.

Bài 4: Trung bình của 5 số theo bảng ghi là 60. Sau đó phát hiện một giá trị 42 đã ghi thừa 10 đơn vị. Tính trung bình đúng mà không cần biết các số còn lại.

Bài 5: Trung bình của 8 số theo bảng ghi là 52,88. Sau đó phát hiện một giá trị 48 đã ghi thừa 15 đơn vị. Tính trung bình đúng mà không cần biết các số còn lại.

Bài 6: Trung bình của 7 số theo bảng ghi là 51. Sau đó phát hiện một giá trị 41 đã ghi thừa 10 đơn vị. Tính trung bình đúng mà không cần biết các số còn lại.

Bài 7: Trung bình của 6 số theo bảng ghi là 53,33. Sau đó phát hiện một giá trị 60 đã ghi thừa 15 đơn vị. Tính trung bình đúng mà không cần biết các số còn lại.

Bài 8: Trung bình của 8 số theo bảng ghi là 62,5. Sau đó phát hiện một giá trị 94 đã ghi thừa 15 đơn vị. Tính trung bình đúng mà không cần biết các số còn lại.

Bài 9: Trung bình của 5 số theo bảng ghi là 47,8. Sau đó phát hiện một giá trị 79 đã ghi thừa 5 đơn vị. Tính trung bình đúng mà không cần biết các số còn lại.

Bài 10: Trung bình của 8 số theo bảng ghi là 50,75. Sau đó phát hiện một giá trị 73 đã ghi thừa 15 đơn vị. Tính trung bình đúng mà không cần biết các số còn lại.

Bài 11: Trung bình của 8 số theo bảng ghi là 45,38. Sau đó phát hiện một giá trị 31 đã ghi thừa 5 đơn vị. Tính trung bình đúng mà không cần biết các số còn lại.

Bài 12: Trung bình của 5 số theo bảng ghi là 40,8. Sau đó phát hiện một giá trị 42 đã ghi thừa 15 đơn vị. Tính trung bình đúng mà không cần biết các số còn lại.

Xem lời giải bài tập tự luyện

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Tổng theo bảng ghi là 49,88×8=399. Vì số trung bình cộng bằng tổng chia cho số lượng số nên tổng phải bằng số trung bình cộng nhân với số lượng số. Đây là dữ kiện then chốt để tìm giá trị còn thiếu hoặc sửa lại số liệu đã ghi sai.

Bước 2: Giá trị bị ghi thừa 5, nên tổng đúng là 399−5=394. Vì số trung bình cộng bằng tổng chia cho số lượng số nên tổng phải bằng số trung bình cộng nhân với số lượng số. Đây là dữ kiện then chốt để tìm giá trị còn thiếu hoặc sửa lại số liệu đã ghi sai.

Đáp số: Trung bình đúng là 394:8=49,25.

Kiểm tra: Cuối cùng, thay kết quả vào các điều kiện ban đầu hoặc thực hiện phép tính ngược. Nếu tất cả dữ kiện đều được thỏa mãn thì lời giải và đáp số là hợp lí.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Tổng theo bảng ghi là 50,67×6=304. Vì số trung bình cộng bằng tổng chia cho số lượng số nên tổng phải bằng số trung bình cộng nhân với số lượng số. Đây là dữ kiện then chốt để tìm giá trị còn thiếu hoặc sửa lại số liệu đã ghi sai.

Bước 2: Giá trị bị ghi thừa 10, nên tổng đúng là 304−10=294. Vì số trung bình cộng bằng tổng chia cho số lượng số nên tổng phải bằng số trung bình cộng nhân với số lượng số. Đây là dữ kiện then chốt để tìm giá trị còn thiếu hoặc sửa lại số liệu đã ghi sai.

Đáp số: Trung bình đúng là 294:6=49.

Lời giải chi tiết:

Bước 2: Giá trị bị ghi thừa 10, nên tổng đúng là 315−10=305. Vì số trung bình cộng bằng tổng chia cho số lượng số nên tổng phải bằng số trung bình cộng nhân với số lượng số. Đây là dữ kiện then chốt để tìm giá trị còn thiếu hoặc sửa lại số liệu đã ghi sai.

Đáp số: Trung bình đúng là 305:7=43,57.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Tổng theo bảng ghi là 60×5=300. Vì số trung bình cộng bằng tổng chia cho số lượng số nên tổng phải bằng số trung bình cộng nhân với số lượng số. Đây là dữ kiện then chốt để tìm giá trị còn thiếu hoặc sửa lại số liệu đã ghi sai.

Bước 2: Giá trị bị ghi thừa 10, nên tổng đúng là 300−10=290. Vì số trung bình cộng bằng tổng chia cho số lượng số nên tổng phải bằng số trung bình cộng nhân với số lượng số. Đây là dữ kiện then chốt để tìm giá trị còn thiếu hoặc sửa lại số liệu đã ghi sai.

Đáp số: Trung bình đúng là 290:5=58.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Tổng theo bảng ghi là 52,88×8=423. Vì số trung bình cộng bằng tổng chia cho số lượng số nên tổng phải bằng số trung bình cộng nhân với số lượng số. Đây là dữ kiện then chốt để tìm giá trị còn thiếu hoặc sửa lại số liệu đã ghi sai.

Bước 2: Giá trị bị ghi thừa 15, nên tổng đúng là 423−15=408. Vì số trung bình cộng bằng tổng chia cho số lượng số nên tổng phải bằng số trung bình cộng nhân với số lượng số. Đây là dữ kiện then chốt để tìm giá trị còn thiếu hoặc sửa lại số liệu đã ghi sai.

Đáp số: Trung bình đúng là 408:8=51.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Tổng theo bảng ghi là 51×7=357. Vì số trung bình cộng bằng tổng chia cho số lượng số nên tổng phải bằng số trung bình cộng nhân với số lượng số. Đây là dữ kiện then chốt để tìm giá trị còn thiếu hoặc sửa lại số liệu đã ghi sai.

Bước 2: Giá trị bị ghi thừa 10, nên tổng đúng là 357−10=347. Vì số trung bình cộng bằng tổng chia cho số lượng số nên tổng phải bằng số trung bình cộng nhân với số lượng số. Đây là dữ kiện then chốt để tìm giá trị còn thiếu hoặc sửa lại số liệu đã ghi sai.

Đáp số: Trung bình đúng là 347:7=49,57.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Tổng theo bảng ghi là 53,33×6=320. Vì số trung bình cộng bằng tổng chia cho số lượng số nên tổng phải bằng số trung bình cộng nhân với số lượng số. Đây là dữ kiện then chốt để tìm giá trị còn thiếu hoặc sửa lại số liệu đã ghi sai.

Bước 2: Giá trị bị ghi thừa 15, nên tổng đúng là 320−15=305. Vì số trung bình cộng bằng tổng chia cho số lượng số nên tổng phải bằng số trung bình cộng nhân với số lượng số. Đây là dữ kiện then chốt để tìm giá trị còn thiếu hoặc sửa lại số liệu đã ghi sai.

Đáp số: Trung bình đúng là 305:6=50,83.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Tổng theo bảng ghi là 62,5×8=500. Vì số trung bình cộng bằng tổng chia cho số lượng số nên tổng phải bằng số trung bình cộng nhân với số lượng số. Đây là dữ kiện then chốt để tìm giá trị còn thiếu hoặc sửa lại số liệu đã ghi sai.

Bước 2: Giá trị bị ghi thừa 15, nên tổng đúng là 500−15=485. Vì số trung bình cộng bằng tổng chia cho số lượng số nên tổng phải bằng số trung bình cộng nhân với số lượng số. Đây là dữ kiện then chốt để tìm giá trị còn thiếu hoặc sửa lại số liệu đã ghi sai.

Đáp số: Trung bình đúng là 485:8=60,62.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Tổng theo bảng ghi là 47,8×5=239. Vì số trung bình cộng bằng tổng chia cho số lượng số nên tổng phải bằng số trung bình cộng nhân với số lượng số. Đây là dữ kiện then chốt để tìm giá trị còn thiếu hoặc sửa lại số liệu đã ghi sai.

Bước 2: Giá trị bị ghi thừa 5, nên tổng đúng là 239−5=234. Vì số trung bình cộng bằng tổng chia cho số lượng số nên tổng phải bằng số trung bình cộng nhân với số lượng số. Đây là dữ kiện then chốt để tìm giá trị còn thiếu hoặc sửa lại số liệu đã ghi sai.

Đáp số: Trung bình đúng là 234:5=46,8.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Tổng theo bảng ghi là 50,75×8=406. Vì số trung bình cộng bằng tổng chia cho số lượng số nên tổng phải bằng số trung bình cộng nhân với số lượng số. Đây là dữ kiện then chốt để tìm giá trị còn thiếu hoặc sửa lại số liệu đã ghi sai.

Bước 2: Giá trị bị ghi thừa 15, nên tổng đúng là 406−15=391. Vì số trung bình cộng bằng tổng chia cho số lượng số nên tổng phải bằng số trung bình cộng nhân với số lượng số. Đây là dữ kiện then chốt để tìm giá trị còn thiếu hoặc sửa lại số liệu đã ghi sai.

Đáp số: Trung bình đúng là 391:8=48,88.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Tổng theo bảng ghi là 45,38×8=363. Vì số trung bình cộng bằng tổng chia cho số lượng số nên tổng phải bằng số trung bình cộng nhân với số lượng số. Đây là dữ kiện then chốt để tìm giá trị còn thiếu hoặc sửa lại số liệu đã ghi sai.

Bước 2: Giá trị bị ghi thừa 5, nên tổng đúng là 363−5=358. Vì số trung bình cộng bằng tổng chia cho số lượng số nên tổng phải bằng số trung bình cộng nhân với số lượng số. Đây là dữ kiện then chốt để tìm giá trị còn thiếu hoặc sửa lại số liệu đã ghi sai.

Đáp số: Trung bình đúng là 358:8=44,75.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Tổng theo bảng ghi là 40,8×5=204. Vì số trung bình cộng bằng tổng chia cho số lượng số nên tổng phải bằng số trung bình cộng nhân với số lượng số. Đây là dữ kiện then chốt để tìm giá trị còn thiếu hoặc sửa lại số liệu đã ghi sai.

Bước 2: Giá trị bị ghi thừa 15, nên tổng đúng là 204−15=189. Vì số trung bình cộng bằng tổng chia cho số lượng số nên tổng phải bằng số trung bình cộng nhân với số lượng số. Đây là dữ kiện then chốt để tìm giá trị còn thiếu hoặc sửa lại số liệu đã ghi sai.

Đáp số: Trung bình đúng là 189:5=37,8.

Tổng kết bài học

Ghi nhớ và tự kiểm tra

Trọng tâm của bài là nhận ra cấu trúc ẩn trong dạng Tính trung bình từ bảng số liệu.
Không làm theo phép tính máy móc; cần giải thích vì sao chọn cách làm.
Mọi đáp số phải được kiểm tra lại với toàn bộ dữ kiện của đề.

Câu hỏi tự kiểm tra

Em có tách được từng điều kiện và xác định thứ tự xử lí không?
Em có trình bày đủ các kết quả trung gian không?
Em có kiểm tra lại đáp số bằng điều kiện ban đầu hoặc một cách khác không?