Đề bài
Phần II. Tự luận
Trình bày đầy đủ cách làm và nêu rõ lập luận ở các bài phân loại.
Bài 1: Trên lưới 4 cột, 3 hàng, đi từ góc dưới trái đến góc trên phải chỉ bằng bước sang phải hoặc đi lên. Có bao nhiêu đường đi ngắn nhất đi qua điểm lưới cách góc xuất phát 2 bước sang phải và 2 bước đi lên?
Bài 2: Viết liên tiếp dãy chữ số 913591359135… theo chu kì. Chữ số ở vị trí thứ 2 468 là chữ số nào?
Bài 3: Tính tổng 24 số hạng đầu của dãy 12, 22, 32, 42, …
Bài 4: Viết liên tiếp các số tự nhiên từ 1 đến 99. Chữ số 8 xuất hiện bao nhiêu lần?
Bài 5: (Phân loại) Một khối có 200 học sinh, số học sinh nam chiếm 40%. Trong số học sinh nam có 30% tham gia đội tuyển Toán. Có bao nhiêu học sinh nam tham gia đội tuyển Toán?
Bài 6: (Phân loại) Một bạn dùng 13 số tiền để mua sách, sau đó dùng 13 số tiền còn lại để mua đồ dùng học tập. Cuối cùng còn 160 nghìn đồng. Hỏi lúc đầu bạn có bao nhiêu nghìn đồng?
Bài 7: (Phân loại) Từ các chữ số 0, 1, 6, 7, 8, lập các số chẵn có bốn chữ số, các chữ số không lặp. Có bao nhiêu số như vậy?
Bài 8: (Phân loại) Có bao nhiêu số tự nhiên từ 141 đến 590 vừa chia cho 7 dư 5, vừa chia cho 9 dư 4?
Đáp án và lời giải chi tiết
Bài 1:
Từ điểm xuất phát đến điểm bắt buộc cần 2 bước sang phải và 2 bước đi lên; sắp xếp các bước đó có 6 cách. Từ điểm bắt buộc đến đích có 2 bước sang phải và 1 bước đi lên; sắp xếp có 3 cách. Mỗi cách ở đoạn đầu ghép với mỗi cách ở đoạn sau, nên có 6 × 3 = 18 đường đi.
Đáp số: 18
Bài 2:
Mỗi chu kì có 4 chữ số. Chia 2 468 cho 4 được số dư 0. Vì chia hết nên vị trí cần tìm là chữ số cuối chu kì. Chữ số đó là 5.
Đáp số: 5
Bài 3:
Số hạng thứ 24 là 12 + 10 × 23 = 242. Ghép số đầu với số cuối, số thứ hai với số áp cuối,… mỗi cặp đều có tổng 12 + 242 = 254. Có 12 cặp nên tổng là 254 × 12 = 3 048.
Đáp số: 3 048
Bài 4:
Đếm theo vị trí: ở hàng đơn vị, chữ số 8 xuất hiện 10 lần; ở hàng chục xuất hiện 10 lần; ở hàng trăm xuất hiện 0 lần. Tổng cộng 10 + 10 + 0 = 20 lần.
Đáp số: 20
Bài 5:
Số học sinh nam là 200 × 40 : 100 = 80. Số học sinh nam tham gia đội tuyển là 80 × 30 : 100 = 24.
Đáp số: 24
Bài 6:
Sau lần mua thứ hai, số tiền còn lại chiếm 23 số tiền trước lần mua đó. Vì vậy trước lần mua thứ hai có 160 : 23 = 240 nghìn đồng. Sau lần mua sách còn 23 số tiền ban đầu, nên số tiền ban đầu là 240 : 23 = 360 nghìn đồng.
Đáp số: 360
Bài 7:
Xét chữ số hàng đơn vị. Nếu hàng đơn vị là 0 thì hàng nghìn có 4 cách chọn, hàng trăm có 3 cách, hàng chục có 2 cách: có 4 × 3 × 2 = 24 số. Có 2 chữ số chẵn khác 0 có thể đứng ở hàng đơn vị; với mỗi chữ số như vậy, hàng nghìn có 3 cách chọn (không chọn 0), hàng trăm có 3 cách và hàng chục có 2 cách, được 3 × 3 × 2 = 18 số. Tổng cộng 24 + 2 × 18 = 60 số.
Đáp số: 60
Bài 8:
Xét lần lượt các số chia cho 7 dư 5, số đầu tiên trong khoảng đồng thời chia cho 9 dư 4 là 166. Nếu cộng thêm 7 × 9 = 63, cả hai số dư đều được giữ nguyên. Vì vậy các số cần tìm tạo thành dãy cách nhau 63 đơn vị. Số lượng là (590 − 166) : 63 lấy phần nguyên rồi cộng 1, được 7 số.
Đáp số: 7