Đề bài
Phần II. Tự luận
Trình bày đầy đủ cách làm và nêu rõ lập luận ở các bài phân loại.
Bài 1: Trên lưới 3 cột, 5 hàng, đi từ góc dưới trái đến góc trên phải chỉ bằng bước sang phải hoặc đi lên. Có bao nhiêu đường đi ngắn nhất đi qua điểm lưới cách góc xuất phát 1 bước sang phải và 4 bước đi lên?
Bài 2: Một hình chữ nhật có chiều dài lớn hơn chiều rộng. Cắt ở một đầu một hình vuông có cạnh bằng chiều rộng của hình chữ nhật thì phần còn lại là hình chữ nhật có chu vi 32 cm và chiều dài phần còn lại ngắn hơn chiều rộng ban đầu 4 cm. Tính diện tích hình chữ nhật ban đầu.
Bài 3: Từ các chữ số 0, 9, 8, 4, 1, lập các số chẵn có bốn chữ số, các chữ số không lặp. Có bao nhiêu số như vậy?
Bài 4: Một khối có 400 học sinh, số học sinh nam chiếm 60%. Trong số học sinh nam có 30% tham gia đội tuyển Toán. Có bao nhiêu học sinh nam tham gia đội tuyển Toán?
Bài 5: (Phân loại) Một số có ba chữ số, chữ số hàng chục là 1, tổng ba chữ số bằng 9. Khi viết các chữ số theo thứ tự ngược lại, số ban đầu lớn hơn số mới 396. Tìm số ban đầu.
Bài 6: (Phân loại) Tính tổng 30 số hạng đầu của dãy 10, 20, 30, 40, …
Bài 7: (Phân loại) Hai hộp có số bi theo tỉ số 5:8. Chuyển 12 viên từ hộp thứ nhất sang hộp thứ hai thì tỉ số mới là 103:196. Hỏi ban đầu hộp thứ nhất có bao nhiêu viên bi?
Bài 8: (Phân loại) Viết liên tiếp các số tự nhiên từ 1 đến 169. Chữ số 6 xuất hiện bao nhiêu lần?
Đáp án và lời giải chi tiết
Bài 1:
Từ điểm xuất phát đến điểm bắt buộc cần 1 bước sang phải và 4 bước đi lên; sắp xếp các bước đó có 5 cách. Từ điểm bắt buộc đến đích có 2 bước sang phải và 1 bước đi lên; sắp xếp có 3 cách. Mỗi cách ở đoạn đầu ghép với mỗi cách ở đoạn sau, nên có 5 × 3 = 15 đường đi.
Đáp số: 15
Bài 2:
Phần còn lại có hai kích thước là chiều rộng ban đầu và phần chiều dài còn dư. Nửa chu vi phần còn lại là 32 : 2 = 16 cm, tức tổng hai kích thước bằng 16. Hiệu hai kích thước bằng 4. Suy ra chiều rộng ban đầu là (16 + 4) : 2 = 10 cm; phần dư dài 6 cm. Chiều dài ban đầu là 10 + 6 = 16 cm. Diện tích là 16 × 10 = 160 cm².
Đáp số: 160
Bài 3:
Xét chữ số hàng đơn vị. Nếu hàng đơn vị là 0 thì hàng nghìn có 4 cách chọn, hàng trăm có 3 cách, hàng chục có 2 cách: có 4 × 3 × 2 = 24 số. Có 2 chữ số chẵn khác 0 có thể đứng ở hàng đơn vị; với mỗi chữ số như vậy, hàng nghìn có 3 cách chọn (không chọn 0), hàng trăm có 3 cách và hàng chục có 2 cách, được 3 × 3 × 2 = 18 số. Tổng cộng 24 + 2 × 18 = 60 số.
Đáp số: 60
Bài 4:
Số học sinh nam là 400 × 60 : 100 = 240. Số học sinh nam tham gia đội tuyển là 240 × 30 : 100 = 72.
Đáp số: 72
Bài 5:
Độ chênh lệch giữa số ban đầu và số viết ngược bằng 99 lần độ chênh lệch giữa chữ số hàng trăm và hàng đơn vị. Vì 396 : 99 = 4, hàng trăm hơn hàng đơn vị 4. Hai chữ số này có tổng 9 − 1 = 8. Suy ra hàng trăm là (8 + 4) : 2 = 6, hàng đơn vị là 2. Số cần tìm là 612.
Đáp số: 612
Bài 6:
Số hạng thứ 30 là 10 + 10 × 29 = 300. Ghép số đầu với số cuối, số thứ hai với số áp cuối,… mỗi cặp đều có tổng 10 + 300 = 310. Có 15 cặp nên tổng là 310 × 15 = 4 650.
Đáp số: 4 650
Bài 7:
Tổng số bi không đổi. Quy hai tỉ số về cùng một tổng số phần: trước khi chuyển, hộp thứ nhất ứng với 5 × 299 = 1495 phần; sau khi chuyển ứng với 103 × 13 = 1339 phần. 12 viên tương ứng 1495 − 1339 = 156 phần theo cách quy đổi này. Tổng số bi ứng với 13 × 299 = 3887 phần nên tổng số bi là 12 × 3887 : 156 = 299. Hộp thứ nhất ban đầu có 299 × 5 : 13 = 115 viên.
Đáp số: 115
Bài 8:
Đếm theo vị trí: ở hàng đơn vị, chữ số 6 xuất hiện 17 lần; ở hàng chục xuất hiện 20 lần; ở hàng trăm xuất hiện 0 lần. Tổng cộng 17 + 20 + 0 = 37 lần.
Đáp số: 37