Đề bài
Phần II. Tự luận
Trình bày đầy đủ cách làm và nêu rõ lập luận ở các bài phân loại.
Bài 1: Viết liên tiếp các số tự nhiên từ 1 đến 109. Chữ số 7 xuất hiện bao nhiêu lần?
Bài 2: Có bao nhiêu số tự nhiên từ 175 đến 846 vừa chia cho 7 dư 6, vừa chia cho 9 dư 2?
Bài 3: Trên lưới 5 cột, 3 hàng, đi từ góc dưới trái đến góc trên phải chỉ bằng bước sang phải hoặc đi lên. Có bao nhiêu đường đi ngắn nhất đi qua điểm lưới cách góc xuất phát 4 bước sang phải và 2 bước đi lên?
Bài 4: Từ các số tự nhiên 1, 2, 3, …, 40, có bao nhiêu cặp số khác nhau có tổng bằng 47?
Bài 5: (Phân loại) Từ các chữ số 0, 1, 6, 2, 8, lập các số chẵn có bốn chữ số, các chữ số không lặp. Có bao nhiêu số như vậy?
Bài 6: (Phân loại) Một hình chữ nhật có chiều dài lớn hơn chiều rộng. Cắt ở một đầu một hình vuông có cạnh bằng chiều rộng của hình chữ nhật thì phần còn lại là hình chữ nhật có chu vi 36 cm và chiều dài phần còn lại ngắn hơn chiều rộng ban đầu 8 cm. Tính diện tích hình chữ nhật ban đầu.
Bài 7: (Phân loại) Tìm số tự nhiên cần cộng vào cả tử số và mẫu số của phân số 710 để được phân số 56.
Bài 8: (Phân loại) Một khối có 400 học sinh, số học sinh nam chiếm 45%. Trong số học sinh nam có 30% tham gia đội tuyển Toán. Có bao nhiêu học sinh nam tham gia đội tuyển Toán?
Đáp án và lời giải chi tiết
Bài 1:
Đếm theo vị trí: ở hàng đơn vị, chữ số 7 xuất hiện 11 lần; ở hàng chục xuất hiện 10 lần; ở hàng trăm xuất hiện 0 lần. Tổng cộng 11 + 10 + 0 = 21 lần.
Đáp số: 21
Bài 2:
Xét lần lượt các số chia cho 7 dư 6, số đầu tiên trong khoảng đồng thời chia cho 9 dư 2 là 209. Nếu cộng thêm 7 × 9 = 63, cả hai số dư đều được giữ nguyên. Vì vậy các số cần tìm tạo thành dãy cách nhau 63 đơn vị. Số lượng là (846 − 209) : 63 lấy phần nguyên rồi cộng 1, được 11 số.
Đáp số: 11
Bài 3:
Từ điểm xuất phát đến điểm bắt buộc cần 4 bước sang phải và 2 bước đi lên; sắp xếp các bước đó có 15 cách. Từ điểm bắt buộc đến đích có 1 bước sang phải và 1 bước đi lên; sắp xếp có 2 cách. Mỗi cách ở đoạn đầu ghép với mỗi cách ở đoạn sau, nên có 15 × 2 = 30 đường đi.
Đáp số: 30
Bài 4:
Số bé trong cặp phải nhỏ hơn 47:2 và số lớn không vượt quá 40. Liệt kê theo thứ tự từ cặp đầu 7 + 40 đến cặp cuối 23 + 24, mỗi lần số bé tăng 1 thì số lớn giảm 1. Có tất cả 17 cặp.
Đáp số: 17
Bài 5:
Xét chữ số hàng đơn vị. Nếu hàng đơn vị là 0 thì hàng nghìn có 4 cách chọn, hàng trăm có 3 cách, hàng chục có 2 cách: có 4 × 3 × 2 = 24 số. Có 3 chữ số chẵn khác 0 có thể đứng ở hàng đơn vị; với mỗi chữ số như vậy, hàng nghìn có 3 cách chọn (không chọn 0), hàng trăm có 3 cách và hàng chục có 2 cách, được 3 × 3 × 2 = 18 số. Tổng cộng 24 + 3 × 18 = 78 số.
Đáp số: 78
Bài 6:
Phần còn lại có hai kích thước là chiều rộng ban đầu và phần chiều dài còn dư. Nửa chu vi phần còn lại là 36 : 2 = 18 cm, tức tổng hai kích thước bằng 18. Hiệu hai kích thước bằng 8. Suy ra chiều rộng ban đầu là (18 + 8) : 2 = 13 cm; phần dư dài 5 cm. Chiều dài ban đầu là 13 + 5 = 18 cm. Diện tích là 18 × 13 = 234 cm².
Đáp số: 234
Bài 7:
Hiệu giữa mẫu số và tử số ban đầu là 10 − 7 = 3; khi cộng cùng một số vào tử và mẫu thì hiệu này không đổi. Ở phân số mới, hiệu số phần là 6 − 5 = 1 phần, nên 1 phần ứng với 3. Tử số mới là 5 phần, bằng 15. Số cần cộng là 15 − 7 = 8.
Đáp số: 8
Bài 8:
Số học sinh nam là 400 × 45 : 100 = 180. Số học sinh nam tham gia đội tuyển là 180 × 30 : 100 = 54.
Đáp số: 54