Mục tiêu bài học
- Nhận dạng đúng dữ kiện và phương pháp của chuyên đề “Bài toán tổng hợp hình học phẳng CLC”.
- Xác định các đoạn, cạnh hoặc mảnh hình tham gia vào yêu cầu trước khi bắt đầu tính.
- Kiểm tra kết quả bằng một cách sắp xếp hoặc phân nhóm khác nếu bài có nhiều trường hợp.
Kiến thức cần nhớ
- Tách hình phức tạp thành các hình quen thuộc hoặc ghép thêm để tạo hình dễ tính.
- Diện tích hình ghép bằng tổng diện tích các phần không chồng nhau; diện tích phần bị khoét bằng diện tích hình lớn trừ phần bỏ đi.
- Khi cắt ghép không làm mất hoặc chồng phần nào thì diện tích được bảo toàn.
- Vẽ hình và ghi rõ kích thước giúp tránh lấy nhầm cạnh hoặc cộng nhầm phần không thuộc chu vi.
Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Hình chữ nhật dài 25 cm, rộng 10 cm. Tăng chiều dài 10 cm và chiều rộng 8 cm. Tính diện tích tăng thêm bằng hai cách và chu vi mới.
Hướng dẫn giải chi tiết:
Bước 1: Diện tích cũ 25×10=250 cm²; diện tích mới (25+10)×(10+8)=630 cm².
Bước 2: Diện tích tăng 630−250=380 cm². Cách khác: dải dài 10×10, dải rộng 8×25, góc thêm 10×8; tổng cũng bằng 380.
Kết luận: Chu vi mới = [(35)+(18)]×2=106 cm.
Ví dụ 2: Hình chữ nhật dài 45 cm, rộng 12 cm. Tăng chiều dài 3 cm và chiều rộng 8 cm. Tính diện tích tăng thêm bằng hai cách và chu vi mới.
Hướng dẫn giải chi tiết:
Bước 1: Diện tích cũ 45×12=540 cm²; diện tích mới (45+3)×(12+8)=960 cm².
Bước 2: Diện tích tăng 960−540=420 cm². Cách khác: dải dài 3×12, dải rộng 8×45, góc thêm 3×8; tổng cũng bằng 420.
Kết luận: Chu vi mới = [(48)+(20)]×2=136 cm.
Ví dụ 3: Một hình vuông cạnh 12 cm. Tăng cạnh thêm 3 cm. Tính diện tích tăng thêm mà không cần nhân trực tiếp hai số lớn, rồi tính chu vi mới.
Hướng dẫn giải chi tiết:
Bước 1: Phần tăng gồm hai hình chữ nhật 12×3 và một hình vuông 3×3.
Bước 2: Diện tích tăng = 2×12×3+3×3=81 cm².
Kết luận: Cạnh mới 15 cm; chu vi mới 60 cm.
Bài tập áp dụng
Bài 1: Một hình vuông cạnh 42 cm. Tăng cạnh thêm 4 cm. Tính diện tích tăng thêm mà không cần nhân trực tiếp hai số lớn, rồi tính chu vi mới.
Bài 2: Tam giác có đáy 44 cm, chiều cao 12 cm. Giữ nguyên chiều cao, tăng đáy 10 cm. Tính diện tích mới và phần diện tích tăng thêm; sau đó tìm đáy nếu diện tích bằng 324 cm².
Bài 3: Tam giác có đáy 14 cm, chiều cao 20 cm. Giữ nguyên chiều cao, tăng đáy 8 cm. Tính diện tích mới và phần diện tích tăng thêm; sau đó tìm đáy nếu diện tích bằng 220 cm².
Bài 4: Hình thang có hai đáy 23 cm và 42 cm, chiều cao 11 cm. Tăng đáy nhỏ 7 cm và đáy lớn 7 cm, giữ nguyên chiều cao. Tính diện tích tăng thêm và diện tích mới.
Bài 5: Hình thang có hai đáy 22 cm và 27 cm, chiều cao 8 cm. Tăng đáy nhỏ 7 cm và đáy lớn 8 cm, giữ nguyên chiều cao. Tính diện tích tăng thêm và diện tích mới.
Xem lời giải
Bài 1: Một hình vuông cạnh 42 cm. Tăng cạnh thêm 4 cm. Tính diện tích tăng thêm mà không cần nhân trực tiếp hai số lớn, rồi tính chu vi mới.
Lời giải:
Phần tăng gồm hai hình chữ nhật 42×4 và một hình vuông 4×4.
Diện tích tăng = 2×42×4+4×4=352 cm².
Đáp số: Cạnh mới 46 cm; chu vi mới 184 cm.
Bài 2: Tam giác có đáy 44 cm, chiều cao 12 cm. Giữ nguyên chiều cao, tăng đáy 10 cm. Tính diện tích mới và phần diện tích tăng thêm; sau đó tìm đáy nếu diện tích bằng 324 cm².
Lời giải:
Diện tích ban đầu 44×12:2=264 cm²; diện tích mới (44+10)×12:2=324 cm².
Phần tăng = 10×12:2=60 cm².
Đáp số: Từ diện tích 324, đáy = 324×2:12=54 cm.
Bài 3: Tam giác có đáy 14 cm, chiều cao 20 cm. Giữ nguyên chiều cao, tăng đáy 8 cm. Tính diện tích mới và phần diện tích tăng thêm; sau đó tìm đáy nếu diện tích bằng 220 cm².
Lời giải:
Diện tích ban đầu 14×20:2=140 cm²; diện tích mới (14+8)×20:2=220 cm².
Phần tăng = 8×20:2=80 cm².
Đáp số: Từ diện tích 220, đáy = 220×2:20=22 cm.
Bài 4: Hình thang có hai đáy 23 cm và 42 cm, chiều cao 11 cm. Tăng đáy nhỏ 7 cm và đáy lớn 7 cm, giữ nguyên chiều cao. Tính diện tích tăng thêm và diện tích mới.
Lời giải:
Tổng hai đáy tăng 7+7=14 cm.
Diện tích tăng = (14)×11:2=77 cm².
Đáp số: Diện tích mới = (30+49)×11:2=8692 cm².
Bài 5: Hình thang có hai đáy 22 cm và 27 cm, chiều cao 8 cm. Tăng đáy nhỏ 7 cm và đáy lớn 8 cm, giữ nguyên chiều cao. Tính diện tích tăng thêm và diện tích mới.
Lời giải:
Tổng hai đáy tăng 7+8=15 cm.
Diện tích tăng = (15)×8:2=60 cm².
Đáp số: Diện tích mới = (29+35)×8:2=256 cm².
Bài tập tự luyện
Bài 1: Hình tròn bán kính 26 cm. Tính chu vi và diện tích với π = 3,14. Nếu bán kính tăng gấp đôi, chu vi và diện tích tăng gấp mấy lần?
Bài 2: Hình tròn bán kính 5 cm. Tính chu vi và diện tích với π = 3,14. Nếu bán kính tăng gấp đôi, chu vi và diện tích tăng gấp mấy lần?
Bài 3: Một mảnh đất hình chữ nhật 44 m × 27 m bị cắt bỏ một hình chữ nhật 16 m × 5 m ở góc. Tính diện tích còn lại bằng cách chia hình và nêu một cách kiểm tra.
Bài 4: Một mảnh đất hình chữ nhật 43 m × 38 m bị cắt bỏ một hình chữ nhật 17 m × 16 m ở góc. Tính diện tích còn lại bằng cách chia hình và nêu một cách kiểm tra.
Bài 5: Ghép hai hình chữ nhật kích thước 8 cm × 20 cm và 15 cm × 20 cm dọc theo một cạnh dài 20 cm. Tính diện tích hình ghép và chu vi ngoài.
Bài 6: Ghép hai hình chữ nhật kích thước 12 cm × 8 cm và 18 cm × 8 cm dọc theo một cạnh dài 8 cm. Tính diện tích hình ghép và chu vi ngoài.
Bài 7: Hai hình có diện tích tỉ lệ 1:1 và tổng diện tích 78 cm². Tìm diện tích mỗi hình. Nếu chiều cao bằng nhau, tỉ số hai đáy là bao nhiêu?
Bài 8: Hai hình có diện tích tỉ lệ 3:2 và tổng diện tích 120 cm². Tìm diện tích mỗi hình. Nếu chiều cao bằng nhau, tỉ số hai đáy là bao nhiêu?
Bài 9: Hai tam giác có chung đáy 21 cm, chiều cao lần lượt 8 cm và 7 cm. So sánh diện tích, tính hiệu và tỉ số diện tích.
Bài 10: Hai tam giác có chung đáy 20 cm, chiều cao lần lượt 10 cm và 7 cm. So sánh diện tích, tính hiệu và tỉ số diện tích.
Bài 11: Hình chữ nhật có diện tích 801 cm², chiều rộng 9 cm. Tìm chiều dài và chu vi. Nếu chiều rộng tăng 2 cm nhưng diện tích giữ nguyên, chiều dài mới là bao nhiêu?
Bài 12: Hình chữ nhật có diện tích 1188 cm², chiều rộng 22 cm. Tìm chiều dài và chu vi. Nếu chiều rộng tăng 2 cm nhưng diện tích giữ nguyên, chiều dài mới là bao nhiêu?
Xem lời giải bài tập tự luyện
Bài 1: Hình tròn bán kính 26 cm. Tính chu vi và diện tích với π = 3,14. Nếu bán kính tăng gấp đôi, chu vi và diện tích tăng gấp mấy lần?
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Chu vi = 2×3,14×26=408225 cm; diện tích = 3,14×26×26=5306625 cm². Các phân số phải được đưa về cùng đơn vị phần trước khi cộng, trừ hoặc so sánh. Ta rút gọn, quy đồng hoặc chọn phân số trung gian phù hợp, sau đó rút gọn kết quả cuối cùng nếu có thể.
Bước 2: Bán kính gấp đôi làm chu vi gấp 2 vì chu vi tỉ lệ với bán kính.
Đáp số: Diện tích gấp 4 vì cả hai thừa số bán kính đều gấp 2.
Bài 2: Hình tròn bán kính 5 cm. Tính chu vi và diện tích với π = 3,14. Nếu bán kính tăng gấp đôi, chu vi và diện tích tăng gấp mấy lần?
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Chu vi = 2×3,14×5=1575 cm; diện tích = 3,14×5×5=1572 cm². Các phân số phải được đưa về cùng đơn vị phần trước khi cộng, trừ hoặc so sánh. Ta rút gọn, quy đồng hoặc chọn phân số trung gian phù hợp, sau đó rút gọn kết quả cuối cùng nếu có thể.
Bước 2: Bán kính gấp đôi làm chu vi gấp 2 vì chu vi tỉ lệ với bán kính.
Đáp số: Diện tích gấp 4 vì cả hai thừa số bán kính đều gấp 2.
Bài 3: Một mảnh đất hình chữ nhật 44 m × 27 m bị cắt bỏ một hình chữ nhật 16 m × 5 m ở góc. Tính diện tích còn lại bằng cách chia hình và nêu một cách kiểm tra.
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Diện tích hình lớn = 44×27=1188 m²; phần cắt bỏ = 16×5=80 m².
Bước 2: Diện tích còn lại = 1188−80=1108 m².
Đáp số: Kiểm tra bằng cách chia phần còn lại thành hai hình chữ nhật; tổng diện tích hai phần cũng bằng 1108 m².
Bài 4: Một mảnh đất hình chữ nhật 43 m × 38 m bị cắt bỏ một hình chữ nhật 17 m × 16 m ở góc. Tính diện tích còn lại bằng cách chia hình và nêu một cách kiểm tra.
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Diện tích hình lớn = 43×38=1634 m²; phần cắt bỏ = 17×16=272 m².
Bước 2: Diện tích còn lại = 1634−272=1362 m².
Đáp số: Kiểm tra bằng cách chia phần còn lại thành hai hình chữ nhật; tổng diện tích hai phần cũng bằng 1362 m².
Bài 5: Ghép hai hình chữ nhật kích thước 8 cm × 20 cm và 15 cm × 20 cm dọc theo một cạnh dài 20 cm. Tính diện tích hình ghép và chu vi ngoài.
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Diện tích hình ghép = 8×20+15×20=460 cm².
Bước 2: Tổng chu vi hai hình riêng là 56+70=126 cm.
Đáp số: Cạnh ghép dài 20 cm bị tính hai lần nên chu vi ngoài = 126−2×20=86 cm.
Bài 6: Ghép hai hình chữ nhật kích thước 12 cm × 8 cm và 18 cm × 8 cm dọc theo một cạnh dài 8 cm. Tính diện tích hình ghép và chu vi ngoài.
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Diện tích hình ghép = 12×8+18×8=240 cm².
Bước 2: Tổng chu vi hai hình riêng là 40+52=92 cm.
Đáp số: Cạnh ghép dài 8 cm bị tính hai lần nên chu vi ngoài = 92−2×8=76 cm.
Bài 7: Hai hình có diện tích tỉ lệ 1:1 và tổng diện tích 78 cm². Tìm diện tích mỗi hình. Nếu chiều cao bằng nhau, tỉ số hai đáy là bao nhiêu?
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Tổng số phần = 1+1=2; một phần = 78:2=39 cm².
Bước 2: Diện tích hai hình là 39 cm² và 39 cm².
Đáp số: Nếu chiều cao bằng nhau, diện tích tỉ lệ với đáy nên tỉ số hai đáy cũng là 1:1.
Bài 8: Hai hình có diện tích tỉ lệ 3:2 và tổng diện tích 120 cm². Tìm diện tích mỗi hình. Nếu chiều cao bằng nhau, tỉ số hai đáy là bao nhiêu?
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Tổng số phần = 3+2=5; một phần = 120:5=24 cm².
Bước 2: Diện tích hai hình là 72 cm² và 48 cm².
Đáp số: Nếu chiều cao bằng nhau, diện tích tỉ lệ với đáy nên tỉ số hai đáy cũng là 3:2.
Bài 9: Hai tam giác có chung đáy 21 cm, chiều cao lần lượt 8 cm và 7 cm. So sánh diện tích, tính hiệu và tỉ số diện tích.
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Diện tích lần lượt là 21×8:2=84 cm² và 21×7:2=1472 cm². Các phân số phải được đưa về cùng đơn vị phần trước khi cộng, trừ hoặc so sánh. Ta rút gọn, quy đồng hoặc chọn phân số trung gian phù hợp, sau đó rút gọn kết quả cuối cùng nếu có thể.
Bước 2: Hiệu diện tích là 212 cm². Các phân số phải được đưa về cùng đơn vị phần trước khi cộng, trừ hoặc so sánh. Ta rút gọn, quy đồng hoặc chọn phân số trung gian phù hợp, sau đó rút gọn kết quả cuối cùng nếu có thể.
Đáp số: Vì chung đáy, tỉ số diện tích bằng tỉ số chiều cao: 8:7=87.
Bài 10: Hai tam giác có chung đáy 20 cm, chiều cao lần lượt 10 cm và 7 cm. So sánh diện tích, tính hiệu và tỉ số diện tích.
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Diện tích lần lượt là 20×10:2=100 cm² và 20×7:2=70 cm².
Bước 2: Hiệu diện tích là 30 cm².
Đáp số: Vì chung đáy, tỉ số diện tích bằng tỉ số chiều cao: 10:7=107.
Bài 11: Hình chữ nhật có diện tích 801 cm², chiều rộng 9 cm. Tìm chiều dài và chu vi. Nếu chiều rộng tăng 2 cm nhưng diện tích giữ nguyên, chiều dài mới là bao nhiêu?
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Chiều dài = 801:9=89 cm.
Bước 2: Chu vi = (89+9)×2=196 cm.
Đáp số: Khi rộng 11 cm và diện tích không đổi, chiều dài mới = 801:11=80111 cm.
Bài 12: Hình chữ nhật có diện tích 1188 cm², chiều rộng 22 cm. Tìm chiều dài và chu vi. Nếu chiều rộng tăng 2 cm nhưng diện tích giữ nguyên, chiều dài mới là bao nhiêu?
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Chiều dài = 1188:22=54 cm.
Bước 2: Chu vi = (54+22)×2=152 cm.
Đáp số: Khi rộng 24 cm và diện tích không đổi, chiều dài mới = 1188:24=992 cm.
Bài 13: Một tấm bìa hình chữ nhật 18 cm × 9 cm bị bỏ đi một hình vuông cạnh 2 cm. Tính diện tích còn lại.
Lời giải
Diện tích còn lại: 18 × 9 − 2 × 2 = 158 cm².
Bài 14: Một tấm bìa hình chữ nhật 21 cm × 10 cm bị bỏ đi một hình vuông cạnh 3 cm. Tính diện tích còn lại.
Lời giải
Diện tích còn lại: 21 × 10 − 3 × 3 = 201 cm².
Bài 15: Một tấm bìa hình chữ nhật 24 cm × 11 cm bị bỏ đi một hình vuông cạnh 4 cm. Tính diện tích còn lại.
Lời giải
Diện tích còn lại: 24 × 11 − 4 × 4 = 248 cm².
Ghi nhớ
- Tách hình phức tạp thành các hình quen thuộc hoặc ghép thêm để tạo hình dễ tính.
- Diện tích hình ghép bằng tổng diện tích các phần không chồng nhau; diện tích phần bị khoét bằng diện tích hình lớn trừ phần bỏ đi.
- Khi cắt ghép không làm mất hoặc chồng phần nào thì diện tích được bảo toàn.