Dạng toán tìm số khi biết tổng, hiệu hoặc tích các chữ số thường xuất hiện trong đề ôn thi vào lớp 6 chất lượng cao. Bài toán có thể yêu cầu tìm số có hai chữ số, số có ba chữ số hoặc kết hợp với các điều kiện như đảo thứ tự chữ số, viết thêm chữ số, xóa chữ số và so sánh số ban đầu với số mới.

Để giải tốt dạng toán này, học sinh cần nắm chắc cấu tạo số, giới hạn của mỗi chữ số và mối quan hệ giữa một số với số được tạo thành khi đảo thứ tự các chữ số.

1. Kiến thức cần nhớ

1.1. Cấu tạo số có hai chữ số

Gọi số có hai chữ số là ab, trong đó:

* a là chữ số hàng chục, có giá trị từ 1 đến 9.
* b là chữ số hàng đơn vị, có giá trị từ 0 đến 9.

Ta có:

ab=10a+b

Khi đảo thứ tự hai chữ số, ta được số:

ba=10b+a

Tổng của số ban đầu và số viết theo thứ tự ngược lại là:

ab+ba=11(a+b)

Hiệu của số ban đầu và số viết theo thứ tự ngược lại là:

ab-ba=9(a-b)

Như vậy:

* Tổng của hai số phụ thuộc vào tổng hai chữ số.
* Hiệu của hai số phụ thuộc vào hiệu hai chữ số.
* Hiệu của một số có hai chữ số và số viết theo thứ tự ngược lại luôn chia hết cho 9.
* Tổng của hai số luôn chia hết cho 11.

1.2. Cấu tạo số có ba chữ số

Gọi số có ba chữ số là abc, trong đó:

* a là chữ số hàng trăm, có giá trị từ 1 đến 9.
* b là chữ số hàng chục, có giá trị từ 0 đến 9.
* c là chữ số hàng đơn vị, có giá trị từ 0 đến 9.

Ta có:

abc=100a+10b+c

Số được tạo thành khi đảo thứ tự các chữ số là:

cba=100c+10b+a

Hiệu của số ban đầu và số viết theo thứ tự ngược lại là:

abc-cba=99(a-c)

Chữ số hàng chục không ảnh hưởng đến hiệu giữa số ban đầu và số viết theo thứ tự ngược lại.

1.3. Giới hạn của tổng, hiệu và tích các chữ số

Đối với số có hai chữ số:

* Tổng hai chữ số lớn nhất là 18.
* Hiệu tuyệt đối của hai chữ số lớn nhất là 9.
* Tích hai chữ số lớn nhất là 81.

Đối với số có ba chữ số:

* Tổng ba chữ số lớn nhất là 27.
* Tích ba chữ số lớn nhất là 729.

Khi tìm được giá trị của các chữ số, cần kiểm tra:

* Chữ số hàng cao nhất phải khác 0.
* Mỗi chữ số phải là số tự nhiên từ 0 đến 9.
* Các chữ số phải thỏa mãn tất cả điều kiện của đề bài.

2. Các dạng toán thường gặp

2.1. Tìm số khi biết tổng và hiệu hai chữ số

Gọi chữ số hàng chục là a, chữ số hàng đơn vị là b.

Nếu biết:

a+b=S

a-b=H

thì:

a=S+H2

b=S-H2

Hai số S+H và S-H phải là các số chẵn thì a và b mới là số tự nhiên.

Nếu chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ số hàng chục, ta có thể đặt:

b-a=H

Sau đó giải tương tự.

Ví dụ 1: Tìm số có hai chữ số, biết tổng hai chữ số bằng 11 và chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị 3 đơn vị.

Lời giải:

Gọi chữ số hàng chục là a, chữ số hàng đơn vị là b.

Theo đề bài, ta có:

a+b=11

a-b=3

Chữ số hàng chục là:

(11+3):2=7

Chữ số hàng đơn vị là:

11-7=4

Vậy số cần tìm là 74.

2.2. Tìm số khi biết tổng và tích các chữ số

Khi biết tổng và tích của các chữ số, học sinh có thể:

1. Liệt kê các cặp chữ số có tích đúng bằng tích đã cho.
2. Kiểm tra tổng của từng cặp.
3. Sắp xếp các chữ số theo điều kiện của đề bài.

Ví dụ 2: Tìm tất cả các số có hai chữ số, biết tổng hai chữ số bằng 12 và tích hai chữ số bằng 35.

Lời giải:

Các cặp số tự nhiên có tích bằng 35 là:

1× 35=35

5× 7=35

Vì mỗi chữ số không lớn hơn 9 nên chỉ có hai chữ số 5 và 7 phù hợp.

Ta có:

5+7=12

Hai số có thể lập được là 57 và 75.

Vậy các số cần tìm là 57 và 75.

2.3. Tìm số khi biết hiệu và tích các chữ số

Ta liệt kê các cặp chữ số có tích bằng tích đã cho, sau đó chọn cặp có hiệu đúng với điều kiện của bài toán.

Ví dụ 3: Tìm số có hai chữ số, biết tích hai chữ số bằng 18 và chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị 3 đơn vị.

Lời giải:

Các cặp chữ số có tích bằng 18 là:

2× 9=18

3× 6=18

Trong các cặp trên, hai số 6 và 3 có hiệu bằng 3.

Vì chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị nên chữ số hàng chục là 6, chữ số hàng đơn vị là 3.

Vậy số cần tìm là 63.

2.4. Tìm số thông qua số viết theo thứ tự ngược lại

Với số có hai chữ số ab:

ab-ba=9(a-b)

Do đó, nếu số ban đầu lớn hơn số viết theo thứ tự ngược lại một số đơn vị, ta lấy hiệu đó chia cho 9 để tìm hiệu hai chữ số.

Ví dụ 4: Tìm số có hai chữ số, biết tổng hai chữ số bằng 10 và số đó lớn hơn số viết theo thứ tự ngược lại 54 đơn vị.

Lời giải:

Gọi số cần tìm là ab.

Ta có:

ab-ba=54

Suy ra:

9(a-b)=54

a-b=6

Mặt khác:

a+b=10

Chữ số hàng chục là:

(10+6):2=8

Chữ số hàng đơn vị là:

10-8=2

Vậy số cần tìm là 82.

Kiểm tra:

82-28=54

2.5. Tìm số khi biết tổng của số và số viết ngược lại

Với số có hai chữ số:

ab+ba=11(a+b)

Ta lấy tổng của hai số chia cho 11 để tìm tổng hai chữ số.

Ví dụ 5: Tìm số có hai chữ số, biết số đó lớn hơn số viết theo thứ tự ngược lại, hiệu hai chữ số bằng 4 và tổng của hai số bằng 132.

Lời giải:

Gọi số cần tìm là ab.

Theo đề bài:

ab+ba=132

Suy ra:

11(a+b)=132

a+b=12

Vì số ban đầu lớn hơn số viết ngược lại nên chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị.

Ta có:

a-b=4

Chữ số hàng chục là:

(12+4):2=8

Chữ số hàng đơn vị là:

12-8=4

Vậy số cần tìm là 84.

Kiểm tra:

84+48=132

2.6. Tìm số có ba chữ số khi biết quan hệ giữa các chữ số

Với số có ba chữ số, nên chọn một chữ số làm cơ sở rồi biểu diễn hai chữ số còn lại theo chữ số đó.

Ví dụ 6: Tìm số có ba chữ số, biết tổng ba chữ số bằng 13, chữ số hàng trăm lớn hơn chữ số hàng chục 2 đơn vị và chữ số hàng đơn vị nhỏ hơn chữ số hàng chục 1 đơn vị.

Lời giải:

Gọi chữ số hàng chục là b.

Chữ số hàng trăm là:

b+2

Chữ số hàng đơn vị là:

b-1

Theo đề bài, tổng ba chữ số bằng 13 nên:

(b+2)+b+(b-1)=13

3b+1=13

3b=12

b=4

Chữ số hàng trăm là:

4+2=6

Chữ số hàng đơn vị là:

4-1=3

Vậy số cần tìm là 643.

2.7. Tìm số có ba chữ số khi biết tích các chữ số

Nếu các chữ số có mối quan hệ đặc biệt như ba chữ số liên tiếp, ta biểu diễn các chữ số theo chữ số ở giữa rồi sử dụng điều kiện về tích.

Ví dụ 7: Tìm số có ba chữ số, biết ba chữ số là ba số tự nhiên liên tiếp theo thứ tự giảm dần và tích của chúng bằng 24.

Lời giải:

Các bộ ba số tự nhiên liên tiếp có tích bằng 24 là:

2× 3× 4=24

Vì các chữ số được viết theo thứ tự giảm dần nên ba chữ số lần lượt là 4, 3 và 2.

Vậy số cần tìm là 432.

2.8. Tìm số có ba chữ số kết hợp với số viết ngược lại

Với số abc:

abc-cba=99(a-c)

Từ hiệu của hai số, ta tìm được hiệu giữa chữ số hàng trăm và chữ số hàng đơn vị.

Ví dụ 8: Tìm số có ba chữ số, biết tổng ba chữ số bằng 12, chữ số hàng chục gấp 2 lần chữ số hàng đơn vị và số đó lớn hơn số viết theo thứ tự ngược lại 396 đơn vị.

Lời giải:

Gọi số cần tìm là abc.

Ta có:

abc-cba=396

Suy ra:

99(a-c)=396

a-c=4

Chữ số hàng chục gấp 2 lần chữ số hàng đơn vị nên:

b=2c

Chữ số hàng trăm là:

a=c+4

Tổng ba chữ số bằng 12 nên:

(c+4)+2c+c=12

4c+4=12

4c=8

c=2

Suy ra:

a=2+4=6

b=2× 2=4

Vậy số cần tìm là 642.

Kiểm tra:

642-246=396

3. Phương pháp giải chung

Khi gặp bài toán tìm số dựa vào tổng, hiệu hoặc tích các chữ số, học sinh có thể thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Gọi các chữ số cần tìm.

Với số có hai chữ số, gọi số đó là ab.

Với số có ba chữ số, gọi số đó là abc.

Bước 2: Ghi rõ điều kiện của các chữ số.

Chữ số hàng cao nhất phải khác 0. Các chữ số còn lại có giá trị từ 0 đến 9.

Bước 3: Chuyển các dữ kiện của đề bài thành biểu thức.

Ví dụ:

* Tổng hai chữ số bằng 12: a+b=12.
* Hàng chục hơn hàng đơn vị 4 đơn vị: a-b=4.
* Tích hai chữ số bằng 24: a× b=24.
* Hàng chục gấp 2 lần hàng đơn vị: a=2b.

Bước 4: Tìm các chữ số.

Có thể sử dụng cách tính tổng – hiệu, liệt kê các cặp thừa số hoặc thay thế một chữ số theo chữ số khác.

Bước 5: Lập số và kiểm tra lại.

Cần kiểm tra số vừa tìm có thỏa mãn đầy đủ tất cả điều kiện của đề bài hay không.

4. Bài tập luyện tập

Mức 1: Cơ bản

1. Tìm số có hai chữ số, biết tổng hai chữ số bằng 9 và chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị 3 đơn vị.

2. Tìm số có hai chữ số, biết tổng hai chữ số bằng 13 và chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ số hàng chục 5 đơn vị.

3. Tìm số có hai chữ số, biết tích hai chữ số bằng 24 và chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị 2 đơn vị.

4. Tìm tất cả các số có hai chữ số, biết tổng hai chữ số bằng 11 và tích hai chữ số bằng 28.

5. Tìm số có hai chữ số, biết chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị 5 đơn vị và tổng của số đó với số viết theo thứ tự ngược lại bằng 121.

6. Tìm số có hai chữ số, biết tổng hai chữ số bằng 10 và số đó lớn hơn số viết theo thứ tự ngược lại 54 đơn vị.

7. Tìm số có hai chữ số, biết tích hai chữ số bằng 16 và số đó nhỏ hơn số viết theo thứ tự ngược lại 54 đơn vị.

8. Tìm số có hai chữ số, biết tổng hai chữ số bằng 15 và chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ số hàng chục 3 đơn vị.

Mức 2: Vận dụng

9. Tìm số có ba chữ số, biết tổng ba chữ số bằng 13, chữ số hàng trăm lớn hơn chữ số hàng chục 2 đơn vị và chữ số hàng đơn vị nhỏ hơn chữ số hàng chục 1 đơn vị.

10. Tìm số có ba chữ số, biết tổng ba chữ số bằng 19, chữ số hàng trăm gấp 2 lần chữ số hàng đơn vị và chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị 3 đơn vị.

11. Tìm số có ba chữ số, biết ba chữ số là ba số tự nhiên liên tiếp theo thứ tự tăng dần và tích của chúng bằng 24.

12. Tìm số có ba chữ số, biết ba chữ số là ba số tự nhiên liên tiếp theo thứ tự giảm dần và tích của chúng bằng 24.

13. Tìm số có ba chữ số, biết tổng ba chữ số bằng 14, chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị 1 đơn vị và số đó lớn hơn số viết theo thứ tự ngược lại 396 đơn vị.

14. Tìm số có ba chữ số, biết tổng ba chữ số bằng 15, chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng trăm 1 đơn vị và số viết theo thứ tự ngược lại lớn hơn số ban đầu 198 đơn vị.

15. Tìm số có ba chữ số, biết chữ số hàng chục bằng chữ số hàng đơn vị, tổng ba chữ số bằng 10 và tích ba chữ số bằng 36.

16. Tìm số có ba chữ số, biết tổng ba chữ số bằng 12, chữ số hàng trăm gấp 2 lần chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị bằng chữ số hàng chục.

Mức 3: Nâng cao

17. Tìm số có hai chữ số, biết số đó bằng 3 lần tổng các chữ số của nó.

18. Tìm số có hai chữ số, biết số đó bằng 2 lần tích các chữ số của nó.

19. Tìm số có ba chữ số, biết tổng ba chữ số bằng 16, chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị 2 đơn vị và số đó lớn hơn số viết theo thứ tự ngược lại 495 đơn vị.

20. Tìm số có ba chữ số, biết tổng ba chữ số bằng 15, số đó lớn hơn số viết theo thứ tự ngược lại 594 đơn vị và chữ số hàng chục bằng trung bình cộng của chữ số hàng trăm và chữ số hàng đơn vị.

5. Đáp án

1. 63.

2. 49.

3. 64.

4. 47 và 74.

5. 83.

6. 82.

7. 28.

8. 69.

9. 643.

10. 874.

11. 234.

12. 432.

13. 743.

14. 456.

15. 433.

16. 633.

17. 27.

18. 36.

19. 853.

20. 852.

6. Hướng dẫn giải bài tập

Bài 1:

Gọi chữ số hàng chục là a, chữ số hàng đơn vị là b.

Ta có:

a+b=9

a-b=3

Chữ số hàng chục là:

(9+3):2=6

Chữ số hàng đơn vị là:

9-6=3

Vậy số cần tìm là 63.

Bài 2:

Ta có:

a+b=13

b-a=5

Chữ số hàng đơn vị là:

(13+5):2=9

Chữ số hàng chục là:

13-9=4

Vậy số cần tìm là 49.

Bài 3:

Các cặp chữ số có tích bằng 24 là 3 và 8; 4 và 6.

Hai chữ số có hiệu bằng 2 là 6 và 4.

Vì chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị nên số cần tìm là 64.

Bài 4:

Các cặp chữ số có tích bằng 28 là 4 và 7.

Ta có:

4+7=11

Hai số lập được là 47 và 74.

Bài 5:

Tổng của số và số viết theo thứ tự ngược lại bằng 121 nên:

11(a+b)=121

a+b=11

Mặt khác:

a-b=5

Chữ số hàng chục là:

(11+5):2=8

Chữ số hàng đơn vị là:

11-8=3

Vậy số cần tìm là 83.

Bài 6:

Số ban đầu lớn hơn số viết ngược lại 54 đơn vị nên:

9(a-b)=54

a-b=6

Kết hợp với a+b=10, ta tìm được:

a=8

b=2

Vậy số cần tìm là 82.

Bài 7:

Số ban đầu nhỏ hơn số viết ngược lại 54 đơn vị nên:

9(b-a)=54

b-a=6

Các cặp chữ số có tích bằng 16 là 2 và 8; 4 và 4.

Chỉ có hai chữ số 2 và 8 có hiệu bằng 6.

Vì chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ số hàng chục nên số cần tìm là 28.

Bài 8:

Ta có:

a+b=15

b-a=3

Chữ số hàng đơn vị là:

(15+3):2=9

Chữ số hàng chục là:

15-9=6

Vậy số cần tìm là 69.

Bài 9:

Gọi chữ số hàng chục là b.

Chữ số hàng trăm là b+2, chữ số hàng đơn vị là b-1.

Ta có:

(b+2)+b+(b-1)=13

3b+1=13

b=4

Suy ra chữ số hàng trăm là 6, chữ số hàng đơn vị là 3.

Vậy số cần tìm là 643.

Bài 10:

Gọi chữ số hàng đơn vị là c.

Chữ số hàng trăm là 2c, chữ số hàng chục là c+3.

Ta có:

2c+(c+3)+c=19

4c+3=19

4c=16

c=4

Chữ số hàng trăm là:

2× 4=8

Chữ số hàng chục là:

4+3=7

Vậy số cần tìm là 874.

Bài 11:

Ba chữ số là ba số tự nhiên liên tiếp có tích bằng 24.

Ta có:

2× 3× 4=24

Vì các chữ số được sắp xếp theo thứ tự tăng dần nên số cần tìm là 234.

Bài 12:

Ba chữ số là 2, 3 và 4.

Vì các chữ số được sắp xếp theo thứ tự giảm dần nên số cần tìm là 432.

Bài 13:

Gọi số cần tìm là abc.

Ta có:

abc-cba=396

99(a-c)=396

a-c=4

Mặt khác:

b=c+1

a=c+4

Tổng ba chữ số bằng 14 nên:

(c+4)+(c+1)+c=14

3c+5=14

c=3

Suy ra:

a=7

b=4

Vậy số cần tìm là 743.

Bài 14:

Số viết ngược lại lớn hơn số ban đầu 198 đơn vị nên:

99(c-a)=198

c-a=2

Ta có:

b=a+1

c=a+2

Tổng ba chữ số bằng 15 nên:

a+(a+1)+(a+2)=15

3a+3=15

a=4

Suy ra:

b=5

c=6

Vậy số cần tìm là 456.

Bài 15:

Gọi chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị đều là b, chữ số hàng trăm là a.

Ta có:

a+2b=10

a× b× b=36

Thử các chữ số có bình phương là ước của 36.

Với b=3, ta có:

a× 3× 3=36

a=4

Kiểm tra:

4+3+3=10

Vậy số cần tìm là 433.

Bài 16:

Gọi chữ số hàng chục là b.

Chữ số hàng trăm là 2b, chữ số hàng đơn vị là b.

Theo đề bài:

2b+b+b=12

4b=12

b=3

Chữ số hàng trăm là:

2× 3=6

Vậy số cần tìm là 633.

Bài 17:

Gọi số cần tìm là ab.

Theo đề bài:

10a+b=3(a+b)

10a+b=3a+3b

7a=2b

Vì b không lớn hơn 9 nên 2b không lớn hơn 18. Do đó 7a không lớn hơn 18, suy ra a chỉ có thể bằng 1 hoặc 2.

Vì 7a=2b là số chẵn nên a phải là số chẵn.

Suy ra:

a=2

b=7

Vậy số cần tìm là 27.

Kiểm tra:

3× (2+7)=27

Bài 18:

Gọi số cần tìm là ab.

Theo đề bài:

10a+b=2ab

10a=b(2a-1)

Vì a và 2a-1 không có ước chung lớn hơn 1 nên 2a-1 phải là một ước lẻ của 10.

Các ước lẻ của 10 là 1 và 5.

Nếu:

2a-1=1

thì a=1 và b=10, không phải là một chữ số.

Nếu:

2a-1=5

thì a=3.

Khi đó:

b=30:5=6

Vậy số cần tìm là 36.

Kiểm tra:

2× 3× 6=36

Bài 19:

Gọi số cần tìm là abc.

Ta có:

abc-cba=495

99(a-c)=495

a-c=5

Theo đề bài:

b=c+2

Suy ra:

a=c+5

Tổng ba chữ số bằng 16 nên:

(c+5)+(c+2)+c=16

3c+7=16

c=3

Suy ra:

a=8

b=5

Vậy số cần tìm là 853.

Kiểm tra:

853-358=495

Bài 20:

Gọi số cần tìm là abc.

Ta có:

abc-cba=594

99(a-c)=594

a-c=6

Chữ số hàng chục bằng trung bình cộng của chữ số hàng trăm và chữ số hàng đơn vị nên:

2b=a+c

Mặt khác:

a+b+c=15

Đặt:

a+c=S

Khi đó:

b=S2

Ta có:

S+S2=15

3S2=15

S=10

Suy ra:

a+c=10

a-c=6

Chữ số hàng trăm là:

(10+6):2=8

Chữ số hàng đơn vị là:

10-8=2

Chữ số hàng chục là:

(8+2):2=5

Vậy số cần tìm là 852.

Kiểm tra:

852-258=594

Xem thêm