Chuyên đề: Chia hết, số dư và chữ số tận cùng – Ôn thi vào lớp 6 chất lượng cao

Chia hết, số dư và chữ số tận cùng là chuyên đề thường xuất hiện trong đề thi tuyển sinh vào lớp 6 của các trường chất lượng cao. Bài toán có thể được trình bày dưới nhiều hình thức như tìm chữ số chưa biết, xác định số dư, tìm số tự nhiên thỏa mãn nhiều điều kiện, tìm chữ số tận cùng của lũy thừa hoặc chứng minh một biểu thức chia hết.

Để làm tốt chuyên đề này, học sinh không chỉ cần thuộc các dấu hiệu chia hết mà còn phải biết phân tích điều kiện, phát hiện quy luật và lựa chọn cách tính phù hợp.

I. Kiến thức cần nhớ

1. Phép chia hết và phép chia có dư

Khi chia số tự nhiên a cho số tự nhiên b khác 0, ta luôn viết được:

a=b× q+r

Trong đó:

a là số bị chia.
b là số chia.
q là thương.
r là số dư.
Số dư luôn thỏa mãn 0≤ r<b.

Nếu r=0 thì a chia hết cho b.

Nếu r\ne 0 thì a không chia hết cho b.

Ví dụ:

72=8× 9

Vì số dư bằng 0 nên 72 chia hết cho 8.

Ta cũng có:

75=8× 9+3

Vậy 75 chia cho 8 được thương là 9 và dư 3.

2. Dấu hiệu chia hết cho 2

Một số chia hết cho 2 khi chữ số tận cùng của số đó là 0, 2, 4, 6 hoặc 8.

Ví dụ:

346 chia hết cho 2 vì chữ số tận cùng là 6.
725 không chia hết cho 2 vì chữ số tận cùng là 5.

3. Dấu hiệu chia hết cho 3

Một số chia hết cho 3 khi tổng các chữ số của số đó chia hết cho 3.

Ví dụ, xét số 2316.

Tổng các chữ số là:

2+3+1+6=12

Vì 12 chia hết cho 3 nên 2316 chia hết cho 3.

4. Dấu hiệu chia hết cho 4

Một số chia hết cho 4 khi số tạo bởi hai chữ số tận cùng của số đó chia hết cho 4.

Ví dụ, số 1532 có hai chữ số tận cùng là 32.

Vì 32 chia hết cho 4 nên 1532 chia hết cho 4.

5. Dấu hiệu chia hết cho 5

Một số chia hết cho 5 khi chữ số tận cùng là 0 hoặc 5.

Ví dụ:

1240 chia hết cho 5.
2835 chia hết cho 5.
4728 không chia hết cho 5.

6. Dấu hiệu chia hết cho 6

Một số chia hết cho 6 khi số đó đồng thời chia hết cho 2 và chia hết cho 3.

Ví dụ, xét số 714.

Chữ số tận cùng là 4 nên 714 chia hết cho 2.
Tổng các chữ số là 7+1+4=12, chia hết cho 3.

Vậy 714 chia hết cho 6.

7. Dấu hiệu chia hết cho 8

Một số chia hết cho 8 khi số tạo bởi ba chữ số tận cùng của số đó chia hết cho 8.

Ví dụ, số 15320 có ba chữ số tận cùng là 320.

Vì:

320:8=40

nên 15320 chia hết cho 8.

8. Dấu hiệu chia hết cho 9

Một số chia hết cho 9 khi tổng các chữ số của số đó chia hết cho 9.

Ví dụ, xét số 7290.

Tổng các chữ số là:

7+2+9+0=18

Vì 18 chia hết cho 9 nên 7290 chia hết cho 9.

9. Dấu hiệu chia hết cho 10

Một số chia hết cho 10 khi chữ số tận cùng là 0.

Ví dụ: 1250 chia hết cho 10.

10. Dấu hiệu chia hết cho 11

Một số chia hết cho 11 nếu hiệu giữa tổng các chữ số ở vị trí xen kẽ chia hết cho 11.

Ví dụ, xét số 2728.

Ta có:

(2+2)-(7+8)=4-15=-11

Vì -11 chia hết cho 11 nên 2728 chia hết cho 11.

Có thể kiểm tra:

2728:11=248

11. Dấu hiệu chia hết cho 25

Một số chia hết cho 25 khi hai chữ số tận cùng là 00, 25, 50 hoặc 75.

Ví dụ:

1200 chia hết cho 25.
3425 chia hết cho 25.
8750 chia hết cho 25.
1675 chia hết cho 25.

12. Dấu hiệu chia hết cho 125

Một số chia hết cho 125 khi số tạo bởi ba chữ số tận cùng chia hết cho 125.

Các số có ba chữ số tận cùng là:

000,\ 125,\ 250,\ 375,\ 500,\ 625,\ 750,\ 875

đều chia hết cho 125.

Ví dụ: 56375 chia hết cho 125 vì ba chữ số tận cùng là 375 và:

375:125=3

13. Một số tính chất chia hết quan trọng

Với các số tự nhiên a, b và m:

Nếu a và b đều chia hết cho m thì a+b chia hết cho m.
Nếu a và b đều chia hết cho m, đồng thời a≥ b, thì a-b chia hết cho m.
Nếu a chia hết cho m thì a× b chia hết cho m.
Nếu một tích có một thừa số chia hết cho m thì tích đó chia hết cho m.
Nếu a chia hết cho m và m chia hết cho n thì a chia hết cho n.

Ví dụ, vì 36 và 54 đều chia hết cho 9 nên:

36+54=90

cũng chia hết cho 9.

14. Cách tính số dư của tổng, hiệu và tích

Muốn tìm số dư của một biểu thức khi chia cho một số, ta có thể thay từng số trong biểu thức bằng số dư của nó khi chia cho số đó.

Ví dụ:

2026 chia cho 7 dư 3.
2027 chia cho 7 dư 4.

Do đó, 2026+2027 có cùng số dư với:

3+4=7

khi chia cho 7.

Vì 7 chia hết cho 7 nên 2026+2027 chia hết cho 7.

15. Quy luật chữ số tận cùng của lũy thừa

Chữ số tận cùng của một lũy thừa chỉ phụ thuộc vào chữ số tận cùng của cơ số.

Các quy luật thường gặp:

Chữ số tận cùng của cơ số	Chữ số tận cùng của các lũy thừa
0	Luôn là 0
1	Luôn là 1
2	2,\ 4,\ 8,\ 6 rồi lặp lại
3	3,\ 9,\ 7,\ 1 rồi lặp lại
4	4,\ 6 rồi lặp lại
5	Luôn là 5
6	Luôn là 6
7	7,\ 9,\ 3,\ 1 rồi lặp lại
8	8,\ 4,\ 2,\ 6 rồi lặp lại
9	9,\ 1 rồi lặp lại

Với chu kì gồm 4 chữ số, ta chia số mũ cho 4:

Dư 1: chọn chữ số thứ nhất.
Dư 2: chọn chữ số thứ hai.
Dư 3: chọn chữ số thứ ba.
Chia hết cho 4: chọn chữ số thứ tư.

II. Các dạng toán thường gặp

Dạng 1. Xét một số có chia hết cho các số đã cho hay không

Phương pháp

Ta lần lượt áp dụng các dấu hiệu chia hết tương ứng. Khi xét chia hết cho một hợp số như 6, 12, 18, 36 hoặc 45, cần phân tích hợp số đó thành các thừa số thích hợp.

Ví dụ:

Muốn chia hết cho 6, số đó phải chia hết cho 2 và 3.
Muốn chia hết cho 12, số đó phải chia hết cho 3 và 4.
Muốn chia hết cho 18, số đó phải chia hết cho 2 và 9.
Muốn chia hết cho 36, số đó phải chia hết cho 4 và 9.
Muốn chia hết cho 45, số đó phải chia hết cho 5 và 9.

Ví dụ 1

Xét xem số 7350 chia hết cho những số nào trong các số 2, 3, 5, 6, 9, 10 và 25.

Lời giải

Số 7350 có chữ số tận cùng là 0 nên chia hết cho 2, 5 và 10.

Tổng các chữ số của 7350 là:

7+3+5+0=15

Vì 15 chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9 nên 7350 chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9.

Số 7350 đồng thời chia hết cho 2 và 3 nên chia hết cho 6.

Hai chữ số tận cùng của 7350 là 50. Vì 50 chia hết cho 25 nên 7350 chia hết cho 25.

Vậy 7350 chia hết cho 2, 3, 5, 6, 10 và 25 nhưng không chia hết cho 9.

Dạng 2. Tìm một chữ số chưa biết để số đã cho chia hết

Phương pháp

Bước 1: Xác định dấu hiệu chia hết cần sử dụng.

Bước 2: Lập tổng các chữ số hoặc xét các chữ số tận cùng.

Bước 3: Chú ý rằng chữ số chưa biết chỉ có thể nhận một trong các giá trị từ 0 đến 9.

Ví dụ 2

Tìm chữ số a để số 4a72 chia hết cho 9.

Lời giải

Muốn số 4a72 chia hết cho 9 thì tổng các chữ số của nó phải chia hết cho 9.

Tổng các chữ số là:

4+a+7+2=13+a

Vì a là một chữ số nên:

13≤ 13+a≤ 22

Trong khoảng từ 13 đến 22, chỉ có số 18 chia hết cho 9.

Do đó:

13+a=18

Suy ra:

a=18-13=5

Vậy chữ số cần tìm là a=5.

Số nhận được là 4572.

Kiểm tra:

4+5+7+2=18

nên 4572 chia hết cho 9.

Ví dụ 3

Tìm chữ số a để số 23a0 chia hết cho 36.

Lời giải

Ta có:

36=4× 9

Muốn số 23a0 chia hết cho 36 thì số đó phải đồng thời chia hết cho 4 và 9.

Hai chữ số tận cùng của số là a0.

Các số có dạng a0 chia hết cho 4 là:

00,\ 20,\ 40,\ 60,\ 80

Do đó:

a\in{0;2;4;6;8}

Mặt khác, tổng các chữ số của 23a0 là:

2+3+a+0=5+a

Muốn số đó chia hết cho 9 thì 5+a phải chia hết cho 9.

Vì a là một chữ số nên 5+a nằm trong khoảng từ 5 đến 14. Trong khoảng này chỉ có 9 chia hết cho 9.

Ta có:

5+a=9

Suy ra:

a=4

Giá trị a=4 cũng thỏa mãn điều kiện chia hết cho 4 vì hai chữ số tận cùng là 40.

Vậy a=4 và số cần tìm là 2340.

Dạng 3. Tìm hai chữ số chưa biết

Phương pháp

Khi có hai chữ số chưa biết, ta nên ưu tiên điều kiện liên quan đến chữ số tận cùng trước. Điều này giúp giảm số trường hợp cần xét.

Sau đó, dùng dấu hiệu chia hết cho 3, 9 hoặc 11 để tìm chữ số còn lại.

Ví dụ 4

Tìm tất cả các số có dạng 7a2b chia hết cho 36.

Lời giải

Ta có:

36=4× 9

Vì 4 và 9 không có ước chung lớn hơn 1, số 7a2b chia hết cho 36 khi đồng thời chia hết cho 4 và 9.

Trước hết, xét điều kiện chia hết cho 4.

Hai chữ số tận cùng của số là 2b.

Các số từ 20 đến 29 chia hết cho 4 là:

20,\ 24,\ 28

Do đó:

b\in{0;4;8}

Xét từng trường hợp.

Trường hợp 1: b=0

Tổng các chữ số là:

7+a+2+0=9+a

Muốn chia hết cho 9 thì 9+a phải chia hết cho 9.

Vì a là một chữ số nên:

a=0\quad\text{hoặc}\quad a=9

Ta được hai số:

7020,\quad 7920

Trường hợp 2: b=4

Tổng các chữ số là:

7+a+2+4=13+a

Trong khoảng từ 13 đến 22, chỉ có 18 chia hết cho 9.

Do đó:

13+a=18

Suy ra:

a=5

Ta được số 7524.

Trường hợp 3: b=8

Tổng các chữ số là:

7+a+2+8=17+a

Trong khoảng từ 17 đến 26, số chia hết cho 9 là 18.

Do đó:

17+a=18

Suy ra:

a=1

Ta được số 7128.

Vậy các số cần tìm là:

7020,\quad 7920,\quad 7524,\quad 7128

Dạng 4. Tìm số dư của một tổng, hiệu hoặc tích

Phương pháp

Ta tìm số dư của từng số khi chia cho số đã cho, sau đó thực hiện phép tính với các số dư.

Nếu kết quả còn lớn hơn hoặc bằng số chia thì tiếp tục chia để tìm số dư cuối cùng.

Ví dụ 5

Tìm số dư của biểu thức:

2026× 2027+2028

khi chia cho 7.

Lời giải

Ta có:

2026=7× 289+3

nên 2026 chia cho 7 dư 3.

Tương tự:

2027=7× 289+4

nên 2027 chia cho 7 dư 4.

Và:

2028=7× 289+5

nên 2028 chia cho 7 dư 5.

Do đó, biểu thức đã cho có cùng số dư với:

3× 4+5=17

Ta có:

17=7× 2+3

Vậy biểu thức 2026× 2027+2028 chia cho 7 dư 3.

Dạng 5. Tìm số khi các phép chia có cùng số dư

Phương pháp

Nếu số n chia cho các số a, b, c đều có cùng số dư là r thì:

n-r

chia hết cho cả a, b và c.

Vì vậy, ta tìm bội chung nhỏ nhất của a, b và c.

Ví dụ 6

Tìm số tự nhiên nhỏ nhất lớn hơn 9, biết rằng số đó chia cho 4, 6 và 9 đều dư 1.

Lời giải

Gọi số cần tìm là n.

Vì n chia cho 4, 6 và 9 đều dư 1 nên:

n-1

chia hết cho 4, 6 và 9.

Ta có:

\operatorname{BCNN}(4,6,9)=36

Do đó:

n-1=36

Suy ra:

n=36+1=37

Kiểm tra:

37=4× 9+1

37=6× 6+1

37=9× 4+1

Vậy số cần tìm là 37.

Dạng 6. Tìm số thỏa mãn các điều kiện về số dư khác nhau

Phương pháp

Với dạng toán này, học sinh có thể:

Liệt kê các số thỏa mãn điều kiện thứ nhất.
Kiểm tra lần lượt các điều kiện còn lại.
Hoặc tìm quy luật lặp của các số thỏa mãn.

Khi đề yêu cầu số nhỏ nhất trong một phạm vi không quá lớn, phương pháp liệt kê thường đơn giản và an toàn.

Ví dụ 7

Tìm số tự nhiên nhỏ nhất lớn hơn 7, biết rằng số đó chia cho 5 dư 1 và chia cho 7 dư 3.

Lời giải

Các số lớn hơn 7 chia cho 5 dư 1 là:

11,\ 16,\ 21,\ 26,\ 31,\ 36,\ldots

Ta kiểm tra lần lượt khi chia cho 7:

11 chia cho 7 dư 4.
16 chia cho 7 dư 2.
21 chia hết cho 7.
26 chia cho 7 dư 5.
31 chia cho 7 dư 3.

Vậy số tự nhiên nhỏ nhất thỏa mãn hai điều kiện là 31.

Dạng 7. Tìm chữ số tận cùng của một lũy thừa

Phương pháp

Bước 1: Xác định chữ số tận cùng của cơ số.

Bước 2: Viết chu kì chữ số tận cùng của các lũy thừa.

Bước 3: Chia số mũ cho độ dài của chu kì.

Bước 4: Dựa vào số dư để chọn chữ số tương ứng.

Ví dụ 8

Tìm chữ số tận cùng của 7²⁰²⁵.

Lời giải

Các lũy thừa của 7 có chữ số tận cùng lần lượt là:

7,\ 9,\ 3,\ 1

Chu kì gồm 4 chữ số.

Ta có:

2025:4=506\text{ dư }1

Số mũ chia cho 4 dư 1 nên ta chọn chữ số thứ nhất trong chu kì.

Vậy 7²⁰²⁵ có chữ số tận cùng là 7.

Dạng 8. Tìm chữ số tận cùng của một biểu thức

Phương pháp

Ta tìm chữ số tận cùng của từng số hạng hoặc từng thừa số, sau đó thực hiện phép tính với các chữ số tận cùng.

Ví dụ 9

Tìm chữ số tận cùng của:

3²⁰²⁵+7²⁰²⁵

Lời giải

Các lũy thừa của 3 có chu kì chữ số tận cùng là:

3,\ 9,\ 7,\ 1

Ta có:

2025:4=506\text{ dư }1

Vậy 3²⁰²⁵ có chữ số tận cùng là 3.

Các lũy thừa của 7 có chu kì:

7,\ 9,\ 3,\ 1

Vì 2025 chia cho 4 dư 1 nên 7²⁰²⁵ có chữ số tận cùng là 7.

Tổng hai chữ số tận cùng là:

3+7=10

Vậy biểu thức đã cho có chữ số tận cùng là 0.

Dạng 9. Tìm hai chữ số tận cùng

Phương pháp

Để tìm hai chữ số tận cùng của một số, ta chỉ cần xét số dư của số đó khi chia cho 100.

Với các lũy thừa, có thể tính một vài lũy thừa đầu tiên để phát hiện quy luật hoặc tách số mũ thành các phần thuận lợi.

Ví dụ 10

Tìm hai chữ số tận cùng của 7⁸.

Lời giải

Ta có:

7²=49

7⁴=49²=2401

Vậy 7⁴ có hai chữ số tận cùng là 01.

Do đó:

7⁸=(7⁴)²

Vì 7⁴ có hai chữ số tận cùng là 01 nên (7⁴)² cũng có hai chữ số tận cùng là:

01²=01

Vậy hai chữ số tận cùng của 7⁸ là 01.

Dạng 10. Chứng minh một biểu thức chia hết

Phương pháp

Một số cách thường dùng:

Tách biểu thức thành tổng hoặc hiệu của các số cùng chia hết cho một số.
Viết biểu thức thành tích có một thừa số chia hết cho số cần chứng minh.
Sử dụng tính chất của các số chẵn, số lẻ hoặc các số tự nhiên liên tiếp.
Xét số dư của từng trường hợp.

Ví dụ 11

Chứng minh rằng tích của ba số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 6.

Lời giải

Gọi ba số tự nhiên liên tiếp là:

n,\quad n+1,\quad n+2

Trong ba số tự nhiên liên tiếp luôn có ít nhất một số chia hết cho 3.

Đồng thời, trong ba số tự nhiên liên tiếp luôn có ít nhất một số chẵn, tức là chia hết cho 2.

Vì tích:

n(n+1)(n+2)

có một thừa số chia hết cho 2 và một thừa số chia hết cho 3 nên tích đó chia hết cho:

2× 3=6

Vậy tích của ba số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 6.

III. Bài tập luyện tập

A. Mức 1: Cơ bản

Câu 1. Xét xem số 7350 chia hết cho những số nào trong các số 2, 3, 5, 6, 9, 10 và 25.

Câu 2. Tìm tất cả các chữ số a để số 52a chia hết cho 3.

Câu 3. Tìm chữ số a để số 4a72 chia hết cho 9.

Câu 4. Tìm chữ số a để số 63a5 chia hết cho cả 5 và 9.

Câu 5. Tìm số dư của 2026 khi chia cho 7.

Câu 6. Tìm số dư của 12345 khi chia cho 9.

Câu 7. Tìm chữ số tận cùng của 3¹⁷.

Câu 8. Tìm chữ số tận cùng của 8²⁴.

Câu 9. Chứng minh rằng 5²⁰²⁵+1 chia hết cho 6.

Câu 10. Tìm số có ba chữ số nhỏ nhất chia hết cho 12.

B. Mức 2: Vận dụng

Câu 11. Tìm tất cả các số có dạng 7a2b chia hết cho 36.

Câu 12. Tìm tất cả các số có dạng 3a5b chia hết cho 45.

Câu 13. Tìm tất cả các số có dạng 5a6b chia hết cho 18.

Câu 14. Tìm số dư của tổng:

1+2+3+·s+99+100

khi chia cho 9.

Câu 15. Tìm số dư của:

2²⁰+3²⁰

khi chia cho 5.

Câu 16. Tìm số tự nhiên nhỏ nhất lớn hơn 100, biết rằng số đó chia cho 6 dư 2 và chia cho 8 dư 4.

Câu 17. Tìm số tự nhiên nằm trong khoảng từ 100 đến 200, biết rằng số đó chia cho 6 dư 2, chia cho 8 dư 4 và chia hết cho 5.

Câu 18. Tìm số tự nhiên nhỏ nhất có ba chữ số thỏa mãn:

Chia cho 7 dư 3.
Chia cho 9 dư 5.
Chia cho 5 dư 2.

Câu 19. Một thư viện có từ 100 đến 150 quyển truyện. Nếu xếp thành từng nhóm 6 quyển thì thừa 2 quyển, xếp thành từng nhóm 8 quyển thì thừa 4 quyển, còn xếp thành từng nhóm 5 quyển thì vừa đủ. Hỏi thư viện có bao nhiêu quyển truyện?

Câu 20. Tìm chữ số tận cùng của:

2²⁰²⁶+3²⁰²⁶+7²⁰²⁶+8²⁰²⁶

Câu 21. Tìm hai chữ số tận cùng của 3²⁰.

C. Mức 3: Nâng cao

Câu 22. Tìm hai chữ số tận cùng của 7²⁰.

Câu 23. Tìm chữ số tận cùng của tổng:

1¹⁺²²⁺³³⁺·s+10¹⁰

Câu 24. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n>0, số 10²ⁿ-1 chia hết cho 99.

Câu 25. Chứng minh rằng tích của ba số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 6.

Câu 26. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên a, số a^3-a chia hết cho 6.

Câu 27. Tìm số có ba chữ số, biết rằng:

Số đó chia hết cho 9 và 11.
Chữ số hàng trăm gấp đôi chữ số hàng đơn vị.

Câu 28. Tìm số tự nhiên nhỏ nhất lớn hơn 15, biết rằng khi chia số đó cho 8, 12 và 15 đều dư 5.

Câu 29. Tìm số tự nhiên có hai chữ số nhỏ nhất sao cho 2n+1 chia hết cho 3 và 3n+2 chia hết cho 5.

Câu 30. Tìm số có bốn chữ số nhỏ nhất, biết rằng số đó có chữ số tận cùng là 5 và chia hết cho cả 9 và 11.

IV. Lời giải chi tiết

Câu 1

Số 7350 có chữ số tận cùng là 0 nên chia hết cho 2, 5 và 10.

Tổng các chữ số là:

7+3+5+0=15

Vì 15 chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9 nên 7350 chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9.

Số 7350 chia hết cho cả 2 và 3 nên chia hết cho 6.

Hai chữ số tận cùng là 50, chia hết cho 25.

Vậy 7350 chia hết cho 2, 3, 5, 6, 10 và 25; không chia hết cho 9.

Câu 2

Tổng các chữ số của 52a là:

5+2+a=7+a

Muốn số đó chia hết cho 3 thì 7+a phải chia hết cho 3.

Vì a là một chữ số nên 7+a nằm trong khoảng từ 7 đến 16.

Các số chia hết cho 3 trong khoảng này là 9, 12 và 15.

Ta có:

7+a=9\Rightarrow a=2

7+a=12\Rightarrow a=5

7+a=15\Rightarrow a=8

Vậy:

a\in{2;5;8}

Câu 3

Tổng các chữ số của số 4a72 là:

4+a+7+2=13+a

Muốn số đó chia hết cho 9 thì 13+a phải chia hết cho 9.

Trong khoảng từ 13 đến 22, chỉ có 18 chia hết cho 9.

Do đó:

13+a=18

Suy ra:

a=5

Vậy a=5.

Câu 4

Số 63a5 có chữ số tận cùng là 5 nên luôn chia hết cho 5.

Muốn số đó chia hết cho 9 thì tổng các chữ số phải chia hết cho 9.

Ta có:

6+3+a+5=14+a

Vì a là một chữ số nên 14+a nằm trong khoảng từ 14 đến 23. Trong khoảng này chỉ có 18 chia hết cho 9.

Do đó:

14+a=18

Suy ra:

a=4

Vậy số cần tìm là 6345.

Câu 5

Ta có:

2026=7× 289+3

Vậy 2026 chia cho 7 dư 3.

Câu 6

Tổng các chữ số của 12345 là:

1+2+3+4+5=15

Số 15 chia cho 9 dư 6.

Vì một số và tổng các chữ số của nó có cùng số dư khi chia cho 9, nên 12345 chia cho 9 dư 6.

Câu 7

Chữ số tận cùng của các lũy thừa của 3 lặp theo chu kì:

3,\ 9,\ 7,\ 1

Ta có:

17:4=4\text{ dư }1

Vậy 3¹⁷ có chữ số tận cùng là chữ số thứ nhất trong chu kì, tức là 3.

Câu 8

Chữ số tận cùng của các lũy thừa của 8 lặp theo chu kì:

8,\ 4,\ 2,\ 6

Ta có:

24:4=6

Số mũ chia hết cho 4 nên chọn chữ số thứ tư trong chu kì.

Vậy 8²⁴ có chữ số tận cùng là 6.

Câu 9

Vì 5 là số lẻ nên 5²⁰²⁵ là số lẻ.

Do đó, 5²⁰²⁵+1 là số chẵn và chia hết cho 2.

Khi chia 5 cho 3, ta được số dư là 2.

Các lũy thừa của số có số dư 2 khi chia cho 3 luân phiên có số dư:

2,\ 1,\ 2,\ 1,\ldots

Vì 2025 là số lẻ nên 5²⁰²⁵ chia cho 3 dư 2.

Do đó:

5²⁰²⁵+1

chia hết cho 3.

Vậy 5²⁰²⁵+1 chia hết cho cả 2 và 3, nên chia hết cho 6.

Câu 10

Số có ba chữ số nhỏ nhất là 100.

Ta lần lượt xét các bội của 12 gần 100:

12× 8=96

Số 96 chưa có ba chữ số.

Bội tiếp theo là:

12× 9=108

Số 108 có ba chữ số.

Vậy số có ba chữ số nhỏ nhất chia hết cho 12 là 108.

Câu 11

Muốn số 7a2b chia hết cho 36, số đó phải chia hết cho 4 và 9.

Hai chữ số tận cùng là 2b. Các số từ 20 đến 29 chia hết cho 4 là:

20,\ 24,\ 28

Do đó:

b\in{0;4;8}

Nếu b=0, tổng các chữ số là 9+a. Ta có a=0 hoặc a=9.

Nếu b=4, tổng các chữ số là 13+a. Ta có 13+a=18, suy ra a=5.

Nếu b=8, tổng các chữ số là 17+a. Ta có 17+a=18, suy ra a=1.

Vậy các số cần tìm là:

7020,\quad 7920,\quad 7524,\quad 7128

Câu 12

Ta có:

45=5× 9

Muốn số 3a5b chia hết cho 45, số đó phải chia hết cho 5 và 9.

Muốn chia hết cho 5 thì:

b=0\quad\text{hoặc}\quad b=5

Nếu b=0, tổng các chữ số là:

3+a+5+0=8+a

Muốn chia hết cho 9 thì:

8+a=9

Suy ra a=1. Ta được số 3150.

Nếu b=5, tổng các chữ số là:

3+a+5+5=13+a

Muốn chia hết cho 9 thì:

13+a=18

Suy ra a=5. Ta được số 3555.

Vậy các số cần tìm là:

3150,\quad 3555

Câu 13

Ta có:

18=2× 9

Muốn số 5a6b chia hết cho 18, số đó phải chia hết cho 2 và 9.

Vì số phải chia hết cho 2 nên:

b\in{0;2;4;6;8}

Tổng các chữ số là:

5+a+6+b=11+a+b

Xét từng giá trị của b.

Nếu b=0:

11+a=18\Rightarrow a=7

Ta được số 5760.

Nếu b=2:

13+a=18\Rightarrow a=5

Ta được số 5562.

Nếu b=4:

15+a=18\Rightarrow a=3

Ta được số 5364.

Nếu b=6:

17+a=18\Rightarrow a=1

Ta được số 5166.

Nếu b=8:

19+a=27\Rightarrow a=8

Ta được số 5868.

Vậy các số cần tìm là:

5760,\quad 5562,\quad 5364,\quad 5166,\quad 5868

Câu 14

Tổng các số tự nhiên từ 1 đến 100 là:

1+2+3+·s+100=100× 1012

Ta có:

100× 1012=50× 101=5050

5050=9× 561+1

Vậy tổng đã cho chia cho 9 dư 1.

Câu 15

Ta xét số dư khi chia cho 5.

Các lũy thừa của 2 có số dư khi chia cho 5 lần lượt là:

2,\ 4,\ 3,\ 1

Chu kì có 4 số.

Vì:

20:4=5

nên 2²⁰ chia cho 5 dư 1.

Tương tự, các lũy thừa của 3 khi chia cho 5 có số dư:

3,\ 4,\ 2,\ 1

Vì 20 chia hết cho 4 nên 3²⁰ chia cho 5 dư 1.

Do đó:

2²⁰+3²⁰

có cùng số dư với:

1+1=2

khi chia cho 5.

Vậy số dư cần tìm là 2.

Câu 16

Các số chia cho 6 dư 2 là:

2,\ 8,\ 14,\ 20,\ 26,\ldots

Trong các số này, những số đồng thời chia cho 8 dư 4 là:

20,\ 44,\ 68,\ 92,\ 116,\ldots

Các số đó cách nhau:

\operatorname{BCNN}(6,8)=24

Số đầu tiên trong dãy lớn hơn 100 là 116.

Kiểm tra:

116=6× 19+2

116=8× 14+4

Vậy số cần tìm là 116.

Câu 17

Từ câu trên, các số chia cho 6 dư 2 và chia cho 8 dư 4 là:

20,\ 44,\ 68,\ 92,\ 116,\ 140,\ 164,\ 188,\ldots

Các số nằm trong khoảng từ 100 đến 200 là:

116,\ 140,\ 164,\ 188

Trong các số này chỉ có 140 chia hết cho 5.

Vậy số cần tìm là 140.

Câu 18

Vì số cần tìm chia cho 5 dư 2 nên chữ số tận cùng phải là 2 hoặc 7.

Ta xét từ số có ba chữ số nhỏ nhất.

Các số có ba chữ số chia cho 5 dư 2 là:

102,\ 107,\ 112,\ 117,\ 122,\ldots

Kiểm tra lần lượt:

102 chia cho 7 dư 4, không thỏa mãn.
107 chia cho 7 dư 2, không thỏa mãn.
112 chia hết cho 7, không thỏa mãn.
117 chia cho 7 dư 5, không thỏa mãn.
122 chia cho 7 dư 3.

Kiểm tra điều kiện chia cho 9:

122=9× 13+5

Vậy 122 thỏa mãn cả ba điều kiện.

Do đã xét các số theo thứ tự tăng dần nên 122 là số nhỏ nhất cần tìm.

Câu 19

Số quyển truyện nằm trong khoảng từ 100 đến 150.

Theo kết quả của dạng toán ở Câu 16, các số chia cho 6 dư 2 và chia cho 8 dư 4 là:

20,\ 44,\ 68,\ 92,\ 116,\ 140,\ 164,\ldots

Trong khoảng từ 100 đến 150 có hai số:

116,\quad 140

Vì số quyển truyện chia hết cho 5 nên chỉ có 140 thỏa mãn.

Kiểm tra:

140=6× 23+2

140=8× 17+4

140=5× 28

Vậy thư viện có 140 quyển truyện.

Câu 20

Ta tìm chữ số tận cùng của từng lũy thừa.

Vì:

2026:4=506\text{ dư }2

nên:

2²⁰²⁶ có chữ số tận cùng là 4.
3²⁰²⁶ có chữ số tận cùng là 9.
7²⁰²⁶ có chữ số tận cùng là 9.
8²⁰²⁶ có chữ số tận cùng là 4.

Tổng các chữ số tận cùng là:

4+9+9+4=26

Vậy biểu thức đã cho có chữ số tận cùng là 6.

Câu 21

Ta có:

3⁵=243

Suy ra:

3¹⁰=243²=59049

Vậy hai chữ số tận cùng của 3¹⁰ là 49.

Ta có:

3²⁰=(3¹⁰)²

Do đó, hai chữ số tận cùng của 3²⁰ giống hai chữ số tận cùng của:

49²=2401

Vậy hai chữ số tận cùng của 3²⁰ là 01.

Câu 22

Ta có:

7²=49

7⁴=49²=2401

Vậy 7⁴ có hai chữ số tận cùng là 01.

Ta có:

7²⁰=(7⁴)⁵

Vì một số có hai chữ số tận cùng là 01 thì mọi lũy thừa dương của số đó cũng có hai chữ số tận cùng là 01.

Vậy hai chữ số tận cùng của 7²⁰ là 01.

Câu 23

Ta tìm chữ số tận cùng của từng số hạng:

1¹

có chữ số tận cùng là 1.

2²

có chữ số tận cùng là 4.

3³

có chữ số tận cùng là 7.

4⁴

có chữ số tận cùng là 6.

5⁵

có chữ số tận cùng là 5.

6⁶

có chữ số tận cùng là 6.

Các lũy thừa của 7 có chu kì 7, 9, 3, 1.

Vì 7 chia cho 4 dư 3 nên 7⁷ có chữ số tận cùng là 3.

Các lũy thừa của 8 có chu kì 8, 4, 2, 6.

Vì 8 chia hết cho 4 nên 8⁸ có chữ số tận cùng là 6.

Vì số mũ 9 là số lẻ nên 9⁹ có chữ số tận cùng là 9.

Số 10¹⁰ có chữ số tận cùng là 0.

Tổng các chữ số tận cùng là:

1+4+7+6+5+6+3+6+9+0=47

Vậy tổng đã cho có chữ số tận cùng là 7.

Câu 24

Ta có:

10²ⁿ=(10²)ⁿ=100ⁿ

Do đó:

10²ⁿ-1=100^n-1

Ta sử dụng cách tách:

100^n-1=(100-1)(100^n-1+100^n-2+·s+100+1)

Vì:

100-1=99

nên:

10²ⁿ-1=99(100^n-1+100^n-2+·s+100+1)

Biểu thức trong ngoặc là một số tự nhiên.

Vậy 10²ⁿ-1 chia hết cho 99 với mọi số tự nhiên n>0.

Câu 25

Gọi ba số tự nhiên liên tiếp là:

n,\quad n+1,\quad n+2

Trong ba số tự nhiên liên tiếp luôn có một số chia hết cho 3.

Trong ba số tự nhiên liên tiếp cũng luôn có ít nhất một số chẵn, tức là chia hết cho 2.

Do đó, tích:

n(n+1)(n+2)

chia hết cho cả 2 và 3.

Vì 2 và 3 không có ước chung lớn hơn 1 nên tích đó chia hết cho:

2× 3=6

Vậy tích của ba số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 6.

Câu 26

Ta có:

a^3-a=a(a^2-1)

Mà:

a^2-1=(a-1)(a+1)

Do đó:

a^3-a=(a-1)a(a+1)

Ba số:

a-1,\quad a,\quad a+1

là ba số tự nhiên liên tiếp.

Theo kết quả của Câu 25, tích của ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 6.

Vậy a^3-a chia hết cho 6 với mọi số tự nhiên a.

Câu 27

Gọi số cần tìm là abc.

Theo đề bài, chữ số hàng trăm gấp đôi chữ số hàng đơn vị nên:

a=2c

Vì a và c là các chữ số, đồng thời a\ne 0, nên ta xét:

c\in{1;2;3;4}

Tương ứng:

a\in{2;4;6;8}

Số cần tìm chia hết cho 11 nên hiệu giữa tổng hai chữ số hàng trăm, hàng đơn vị và chữ số hàng chục phải chia hết cho 11:

a+c-b

phải chia hết cho 11.

Nếu c=1 thì a=2

Ta có:

a+c=3

Muốn 3-b chia hết cho 11, với b là một chữ số, chỉ có thể chọn b=3.

Số nhận được là 231. Tổng các chữ số là:

2+3+1=6

Số này không chia hết cho 9.

Nếu c=2 thì a=4

Ta có a+c=6, suy ra b=6.

Số nhận được là 462. Tổng các chữ số là:

4+6+2=12

Số này không chia hết cho 9.

Nếu c=3 thì a=6

Ta có a+c=9, suy ra b=9.

Số nhận được là 693. Tổng các chữ số là:

6+9+3=18

Số này chia hết cho 9.

Đồng thời:

(6+3)-9=0

nên 693 chia hết cho 11.

Nếu c=4 thì a=8

Ta có a+c=12.

Để 12-b chia hết cho 11, ta có:

12-b=11

Suy ra b=1.

Số nhận được là 814. Tổng các chữ số là:

8+1+4=13

Số này không chia hết cho 9.

Vậy số cần tìm là 693.

Câu 28

Gọi số cần tìm là n.

Vì n chia cho 8, 12 và 15 đều dư 5 nên:

n-5

chia hết cho 8, 12 và 15.

Ta phân tích:

8=2³

12=2²× 3

15=3× 5

Do đó:

\operatorname{BCNN}(8,12,15)=2³× 3× 5=120

Số nhỏ nhất lớn hơn 15 thỏa mãn là:

n=120+5=125

Kiểm tra:

125=8× 15+5

125=12× 10+5

125=15× 8+5

Vậy số cần tìm là 125.

Câu 29

Điều kiện thứ nhất:

2n+1

chia hết cho 3.

Ta thử các số dư của n khi chia cho 3.

Nếu n chia cho 3 dư 1 thì:

2n+1

chia cho 3 có số dư:

2× 1+1=3

nên chia hết cho 3.

Vậy n chia cho 3 dư 1.

Tương tự, điều kiện:

3n+2

chia hết cho 5.

Nếu n chia cho 5 dư 1 thì:

3n+2

chia cho 5 có số dư:

3× 1+2=5

nên chia hết cho 5.

Vậy n chia cho 5 dư 1.

Như vậy, n chia cho cả 3 và 5 đều dư 1.

Do đó:

n-1

chia hết cho cả 3 và 5, nên chia hết cho 15.

Các số thỏa mãn là:

1,\ 16,\ 31,\ 46,\ldots

Số có hai chữ số nhỏ nhất là 16.

Kiểm tra:

2× 16+1=33

và 33 chia hết cho 3.

3× 16+2=50

và 50 chia hết cho 5.

Vậy n=16.

Câu 30

Số cần tìm chia hết cho cả 9 và 11.

Vì 9 và 11 không có ước chung lớn hơn 1 nên số đó phải chia hết cho:

9× 11=99

Gọi số cần tìm là:

N=99× k

Ta cần N có chữ số tận cùng là 5.

Vì 99 có chữ số tận cùng là 9, nên tích 99× k có chữ số tận cùng giống chữ số tận cùng của 9× k.

Muốn 9× k có chữ số tận cùng là 5 thì k phải có chữ số tận cùng là 5.

Số N có bốn chữ số nên:

99× k≥ 1000

Suy ra k phải lớn hơn 10.

Số nhỏ nhất lớn hơn 10 và có chữ số tận cùng là 5 là 15.

Do đó:

N=99× 15=1485

Kiểm tra:

1+4+8+5=18

nên 1485 chia hết cho 9.

Đồng thời:

(1+8)-(4+5)=9-9=0

nên 1485 chia hết cho 11.

Vậy số có bốn chữ số nhỏ nhất cần tìm là 1485.

V. Những lỗi học sinh thường gặp

1. Nhầm dấu hiệu chia hết cho 4 và 8

Chia hết cho 4: chỉ xét hai chữ số tận cùng.
Chia hết cho 8: xét ba chữ số tận cùng.

2. Chỉ kiểm tra một điều kiện khi xét hợp số

Ví dụ, muốn một số chia hết cho 18, học sinh phải kiểm tra cả điều kiện chia hết cho 2 và chia hết cho 9.

Chỉ chia hết cho 2 hoặc chỉ chia hết cho 9 là chưa đủ.

3. Quên điều kiện của số dư

Nếu chia cho b thì số dư phải nhỏ hơn b.

Ví dụ, không thể nói một số chia cho 7 dư 8.

4. Chọn sai vị trí trong chu kì chữ số tận cùng

Với chu kì có 4 chữ số, nếu số mũ chia hết cho 4 thì phải chọn chữ số thứ tư, không phải chữ số thứ nhất.

5. Không kiểm tra lại kết quả

Sau khi tìm được chữ số hoặc số tự nhiên, nên thay lại vào tất cả các điều kiện của đề bài để kiểm tra.

VI. Kinh nghiệm làm bài

Đọc kĩ đề để xác định số chia, số dư và phạm vi cần tìm.
Ưu tiên điều kiện liên quan đến chữ số tận cùng vì thường giúp giảm nhanh số trường hợp.
Với bài tìm chữ số, luôn nhớ chữ số chỉ nhận giá trị từ 0 đến 9.
Với bài có nhiều điều kiện chia hết, nên phân tích số chia thành các thừa số phù hợp.
Với bài tìm số nhỏ nhất, cần chứng minh không có số nhỏ hơn thỏa mãn.
Với bài chữ số tận cùng, chỉ xét chữ số tận cùng của cơ số, không cần tính toàn bộ lũy thừa.
Luôn kiểm tra lại đáp án bằng tất cả các điều kiện đã cho.