Dãy số và quy luật là một trong những chuyên đề quan trọng trong các đề khảo sát năng lực và đề thi vào lớp 6 của các trường chất lượng cao. Dạng toán này không chỉ kiểm tra khả năng tính toán mà còn đánh giá năng lực quan sát, phân tích, khái quát hóa và suy luận logic của học sinh.

Một dãy số có thể được tạo ra bởi phép cộng, phép trừ, phép nhân, phép chia, sự kết hợp nhiều phép tính, quy luật theo vị trí hoặc mối liên hệ giữa các số hạng đứng trước. Vì vậy, khi làm bài, học sinh không nên vội vàng đoán số tiếp theo mà cần tìm được quy luật phù hợp với toàn bộ dãy số.

I. Kiến thức cần nhớ

1. Số hạng và vị trí của số hạng

Mỗi số trong dãy được gọi là một số hạng.

Ví dụ, trong dãy:

3;\ 7;\ 11;\ 15;\ 19;\ldots

ta có:

Số hạng thứ nhất là 3.
Số hạng thứ hai là 7.
Số hạng thứ ba là 11.
Số hạng thứ tư là 15.

Số hạng thứ n thường được kí hiệu là a_n.

2. Nguyên tắc tìm quy luật

Khi gặp một dãy số, nên lần lượt kiểm tra:

Hiệu giữa hai số hạng liên tiếp.
Thương giữa hai số hạng liên tiếp.
Các phép tính cộng, trừ, nhân, chia được thực hiện xen kẽ.
Các số ở vị trí lẻ và vị trí chẵn.
Mối liên hệ giữa một số hạng với hai số hạng đứng trước.
Mối liên hệ giữa số hạng và số thứ tự của nó.
Các dãy số đặc biệt như số chính phương, số lập phương, số tam giác hoặc tích của hai số tự nhiên liên tiếp.

Quy luật tìm được phải đúng với tất cả các số hạng đã cho.

II. Các dạng toán thường gặp

Dạng 1. Dãy số cách đều

Kiến thức cần nhớ

Dãy số cách đều là dãy mà hiệu giữa hai số hạng liên tiếp luôn không đổi.

Ví dụ:

5;\ 9;\ 13;\ 17;\ 21;\ldots

Ta có:

9-5=4;

13-9=4;

17-13=4;

21-17=4.

Khoảng cách giữa hai số hạng liên tiếp là 4.

Nếu số hạng đầu là a₁ và khoảng cách là d thì số hạng thứ n là:

a_n=a₁₊(n-1)× d.

Nếu dãy giảm đều, khoảng cách d có thể được xem là một số âm.

Ví dụ 1

Điền hai số tiếp theo vào dãy:

7;\ 12;\ 17;\ 22;\ 27;\ \square;\ \square.

Lời giải

Ta tính hiệu giữa hai số hạng liên tiếp:

12-7=5;

17-12=5;

22-17=5;

27-22=5.

Mỗi số hạng sau lớn hơn số hạng trước 5 đơn vị.

Số thứ nhất cần điền là:

27+5=32.

Số thứ hai cần điền là:

32+5=37.

Đáp số: 32;\ 37.

Ví dụ 2

Tìm số hạng thứ 25 của dãy:

6;\ 10;\ 14;\ 18;\ldots

Lời giải

Dãy số có:

Số hạng đầu là a₁=6.
Khoảng cách là d=4.
Số thứ tự cần tìm là n=25.

Áp dụng công thức:

a_n=a₁₊(n-1)× d.

Ta có:

a₂₅=6+(25-1)× 4.

a₂₅=6+24× 4.

a₂₅=6+96=102.

Đáp số: 102.

Dạng 2. Dãy có khoảng cách thay đổi theo quy luật

Kiến thức cần nhớ

Trong dạng này, hiệu giữa hai số hạng liên tiếp không bằng nhau nhưng các hiệu lại tạo thành một dãy có quy luật.

Ví dụ:

2;\ 5;\ 9;\ 14;\ 20;\ldots

Các khoảng cách là:

3;\ 4;\ 5;\ 6;\ldots

Khoảng cách tăng dần mỗi lần 1 đơn vị.

Ví dụ 1

Điền hai số tiếp theo:

4;\ 7;\ 11;\ 16;\ 22;\ \square;\ \square.

Lời giải

Ta tính các khoảng cách:

7-4=3;

11-7=4;

16-11=5;

22-16=6.

Các khoảng cách lần lượt là:

3;\ 4;\ 5;\ 6.

Khoảng cách tiếp theo là 7, sau đó là 8.

Số thứ nhất cần điền là:

22+7=29.

Số thứ hai cần điền là:

29+8=37.

Đáp số: 29;\ 37.

Ví dụ 2

Điền số thích hợp:

3;\ 8;\ 15;\ 24;\ 35;\ \square.

Lời giải

Ta tính hiệu giữa các số hạng liên tiếp:

8-3=5;

15-8=7;

24-15=9;

35-24=11.

Các khoảng cách là các số lẻ liên tiếp:

5;\ 7;\ 9;\ 11.

Khoảng cách tiếp theo là 13.

Số cần điền là:

35+13=48.

Đáp số: 48.

Dạng 3. Dãy nhân hoặc chia với cùng một số

Kiến thức cần nhớ

Mỗi số hạng sau có thể được tạo ra bằng cách nhân hoặc chia số hạng trước với cùng một số.

Ví dụ:

3;\ 9;\ 27;\ 81;\ldots

Mỗi số hạng sau gấp số hạng trước 3 lần.

Nếu số hạng đầu là a₁ và mỗi số hạng sau gấp số hạng trước q lần thì:

a_n=a₁× q^n-1.

Ví dụ 1

Điền hai số tiếp theo:

2;\ 6;\ 18;\ 54;\ \square;\ \square.

Lời giải

Ta có:

2× 3=6;

6× 3=18;

18× 3=54.

Mỗi số hạng sau gấp số hạng trước 3 lần.

Số thứ nhất cần điền là:

54× 3=162.

Số thứ hai cần điền là:

162× 3=486.

Đáp số: 162;\ 486.

Ví dụ 2

Điền hai số tiếp theo:

640;\ 320;\ 160;\ 80;\ \square;\ \square.

Lời giải

Ta có:

640:2=320;

320:2=160;

160:2=80.

Mỗi số hạng sau bằng số hạng trước chia cho 2.

Số thứ nhất cần điền là:

80:2=40.

Số thứ hai cần điền là:

40:2=20.

Đáp số: 40;\ 20.

Dạng 4. Dãy kết hợp phép nhân với phép cộng hoặc phép trừ

Kiến thức cần nhớ

Trong dạng này, số hạng sau được tạo thành bằng cách nhân số hạng trước với một số rồi cộng hoặc trừ một số cố định.

Ví dụ:

2;\ 5;\ 11;\ 23;\ 47;\ldots

Ta có:

2× 2+1=5;

5× 2+1=11;

11× 2+1=23;

23× 2+1=47.

Ví dụ

Điền hai số tiếp theo:

3;\ 10;\ 31;\ 94;\ \square;\ \square.

Lời giải

Ta thử xét mối liên hệ giữa các số hạng:

3× 3+1=10;

10× 3+1=31;

31× 3+1=94.

Quy luật của dãy là: lấy số hạng trước nhân với 3 rồi cộng 1.

Số thứ nhất cần điền là:

94× 3+1=283.

Số thứ hai cần điền là:

283× 3+1=850.

Đáp số: 283;\ 850.

Dạng 5. Dãy thực hiện xen kẽ hai phép tính

Kiến thức cần nhớ

Các phép tính được thực hiện luân phiên theo một chu kì nhất định.

Ví dụ:

4;\ 8;\ 7;\ 14;\ 13;\ 26;\ldots

Quy luật là:

Nhân với 2.
Trừ đi 1.
Tiếp tục nhân với 2, rồi trừ đi 1.

Ví dụ 1

Điền hai số tiếp theo:

5;\ 15;\ 13;\ 39;\ 37;\ \square;\ \square.

Lời giải

Ta có:

5× 3=15;

15-2=13;

13× 3=39;

39-2=37.

Hai phép tính được thực hiện xen kẽ là:

× 3;\ -2;\ × 3;\ -2;\ldots

Số thứ nhất cần điền là:

37× 3=111.

Số thứ hai cần điền là:

111-2=109.

Đáp số: 111;\ 109.

Ví dụ 2

Điền hai số tiếp theo:

3;\ 7;\ 14;\ 18;\ 36;\ 40;\ \square;\ \square.

Lời giải

Ta có:

3+4=7;

7× 2=14;

14+4=18;

18× 2=36;

36+4=40.

Quy luật là:

+4;\ × 2;\ +4;\ × 2;\ldots

Số thứ nhất cần điền là:

40× 2=80.

Số thứ hai cần điền là:

80+4=84.

Đáp số: 80;\ 84.

Dạng 6. Dãy gồm hai dãy nhỏ xen kẽ

Kiến thức cần nhớ

Khi không tìm được một quy luật chung cho toàn bộ dãy, ta nên tách:

Các số ở vị trí thứ 1,\ 3,\ 5,\ 7,\ldots
Các số ở vị trí thứ 2,\ 4,\ 6,\ 8,\ldots

Sau đó tìm quy luật của từng dãy nhỏ.

Ví dụ 1

Điền hai số tiếp theo:

1;\ 5;\ 2;\ 8;\ 3;\ 11;\ 4;\ 14;\ \square;\ \square.

Lời giải

Xét các số ở vị trí lẻ:

1;\ 2;\ 3;\ 4;\ldots

Dãy này tăng dần mỗi lần 1 đơn vị nên số tiếp theo là 5.

Xét các số ở vị trí chẵn:

5;\ 8;\ 11;\ 14;\ldots

Dãy này tăng dần mỗi lần 3 đơn vị nên số tiếp theo là:

14+3=17.

Đáp số: 5;\ 17.

Ví dụ 2

Tìm số hạng thứ 20 của dãy:

2;\ 10;\ 4;\ 15;\ 6;\ 20;\ 8;\ 25;\ldots

Lời giải

Các số ở vị trí lẻ là:

2;\ 4;\ 6;\ 8;\ldots

Đây là dãy các số chẵn liên tiếp.

Các số ở vị trí chẵn là:

10;\ 15;\ 20;\ 25;\ldots

Đây là dãy cách đều có khoảng cách 5.

Số hạng thứ 20 nằm ở vị trí chẵn.

Trong các số hạng ở vị trí chẵn, số hạng thứ 20 của dãy lớn là số thứ:

20:2=10.

Số thứ 10 của dãy:

10;\ 15;\ 20;\ 25;\ldots

là:

10+(10-1)× 5=55.

Đáp số: 55.

Dạng 7. Mỗi số hạng phụ thuộc vào các số hạng đứng trước

Kiến thức cần nhớ

Một số dãy được tạo thành bằng cách cộng hoặc kết hợp hai số hạng đứng trước.

Ví dụ:

1;\ 2;\ 3;\ 5;\ 8;\ 13;\ldots

Từ số hạng thứ ba, mỗi số hạng bằng tổng của hai số hạng đứng trước.

Ví dụ 1

Điền hai số tiếp theo:

2;\ 3;\ 5;\ 8;\ 13;\ 21;\ \square;\ \square.

Lời giải

Ta có:

2+3=5;

3+5=8;

5+8=13;

8+13=21.

Mỗi số hạng từ số hạng thứ ba bằng tổng hai số hạng đứng trước.

Số thứ nhất cần điền là:

13+21=34.

Số thứ hai cần điền là:

21+34=55.

Đáp số: 34;\ 55.

Ví dụ 2

Điền hai số tiếp theo:

1;\ 2;\ 4;\ 7;\ 12;\ 20;\ \square;\ \square.

Lời giải

Ta kiểm tra mối liên hệ giữa ba số hạng liên tiếp:

1+2+1=4;

2+4+1=7;

4+7+1=12;

7+12+1=20.

Mỗi số hạng bằng tổng hai số hạng đứng trước rồi cộng thêm 1.

Số thứ nhất cần điền là:

12+20+1=33.

Số thứ hai cần điền là:

20+33+1=54.

Đáp số: 33;\ 54.

Dạng 8. Dãy các số đặc biệt

1. Dãy số chính phương

Các số chính phương thường gặp là:

1;\ 4;\ 9;\ 16;\ 25;\ 36;\ 49;\ 64;\ 81;\ 100;\ldots

Ta có:

1=1²;

4=2²;

9=3²;

16=4²;

25=5².

Ví dụ

Điền hai số tiếp theo:

4;\ 9;\ 16;\ 25;\ 36;\ \square;\ \square.

Lời giải

Các số hạng lần lượt là:

2²;\ 3²;\ 4²;\ 5²;\ 6².

Hai số tiếp theo là:

7²=49;

8²=64.

Đáp số: 49;\ 64.

2. Dãy số lập phương

Các số lập phương thường gặp là:

1;\ 8;\ 27;\ 64;\ 125;\ 216;\ldots

Ta có:

1=1³;

8=2³;

27=3³;

64=4³;

125=5³.

Ví dụ

Điền số tiếp theo:

1;\ 8;\ 27;\ 64;\ 125;\ \square.

Lời giải

Các số hạng lần lượt là:

1³;\ 2³;\ 3³;\ 4³;\ 5³.

Số tiếp theo là:

6³=216.

Đáp số: 216.

3. Dãy tích của hai số tự nhiên liên tiếp

Dãy:

2;\ 6;\ 12;\ 20;\ 30;\ 42;\ldots

được tạo thành bởi:

1× 2;

2× 3;

3× 4;

4× 5;

5× 6;

6× 7.

Số hạng thứ n có dạng:

a_n=n×(n+1).

Ví dụ

Tìm số hạng thứ 15 của dãy:

2;\ 6;\ 12;\ 20;\ 30;\ldots

Lời giải

Số hạng thứ n của dãy là:

a_n=n×(n+1).

Do đó:

a₁₅=15× 16=240.

Đáp số: 240.

4. Dãy giai thừa

Dãy:

1;\ 2;\ 6;\ 24;\ 120;\ldots

được tạo thành như sau:

1=1;

2=1× 2;

6=1× 2× 3;

24=1× 2× 3× 4;

120=1× 2× 3× 4× 5.

Ví dụ

Điền hai số tiếp theo:

1;\ 2;\ 6;\ 24;\ 120;\ \square;\ \square.

Lời giải

Sau số 120, ta nhân tiếp với 6:

120× 6=720.

Sau đó nhân tiếp với 7:

720× 7=5040.

Đáp số: 720;\ 5040.

Dạng 9. Dãy có quy luật theo vị trí số hạng

Kiến thức cần nhớ

Một số dãy được tạo ra từ số thứ tự n của số hạng.

Các dạng thường gặp là:

a_n=n²;

a_n=n²⁺¹;

a_n=n²⁺²;

a_n=n×(n+1);

a_n=2n+1.

Ví dụ 1

Tìm số hạng thứ 30 của dãy:

2;\ 5;\ 10;\ 17;\ 26;\ldots

Lời giải

Ta viết các số hạng theo số thứ tự:

2=1²⁺¹;

5=2²⁺¹;

10=3²⁺¹;

17=4²⁺¹;

26=5²⁺¹.

Vậy số hạng thứ n là:

a_n=n²⁺¹.

Số hạng thứ 30 là:

a₃₀=30²⁺¹=900+1=901.

Đáp số: 901.

Ví dụ 2

Tìm số hạng thứ 50 của dãy:

3;\ 8;\ 15;\ 24;\ 35;\ldots

Lời giải

Ta có:

3=1²⁺²× 1;

8=2²⁺²× 2;

15=3²⁺²× 3;

24=4²⁺²× 4;

35=5²⁺²× 5.

Số hạng thứ n là:

a_n=n²⁺²ⁿ.

Số hạng thứ 50 là:

a₅₀=50²⁺²× 50.

a₅₀=2500+100=2600.

Đáp số: 2600.

Dạng 10. Tìm số số hạng và tính tổng dãy cách đều

1. Tìm số số hạng

Với một dãy cách đều, số số hạng được tính bằng:

\text{Số số hạng} \frac{\text{Số cuối}-\text{Số đầu}}{\text{Khoảng cách}}+1

Ví dụ

Dãy sau có bao nhiêu số hạng?

7;\ 12;\ 17;\ldots;\ 202.

Lời giải

Dãy có:

Số đầu là 7.
Số cuối là 202.
Khoảng cách là 5.

Số số hạng là:

202-75+1.

195:5+1=39+1=40.

Đáp số: 40 số hạng.

2. Tính tổng dãy cách đều

Tổng của một dãy cách đều được tính bằng:

\text{Tổng} \frac{(\text{Số đầu}+\text{Số cuối})×\text{Số số hạng}}{2}

Ví dụ

Tính tổng:

5+9+13+·s+101.

Lời giải

Dãy số có khoảng cách:

9-5=4.

Số số hạng là:

101-54+1.

96:4+1=24+1=25.

Tổng của dãy là:

(5+101)× 252.

106× 25:2=53× 25=1325.

Đáp số: 1325.

III. Phương pháp giải dãy số và quy luật

Bước 1. Tính hiệu

Lấy số hạng sau trừ số hạng trước.

Nếu các hiệu bằng nhau, dãy là dãy cách đều.

Nếu các hiệu không bằng nhau, tiếp tục tìm quy luật của các hiệu.

Bước 2. Tính thương

Lấy số hạng sau chia cho số hạng trước nếu phép chia thực hiện được.

Nếu các thương bằng nhau, dãy có quy luật nhân hoặc chia.

Bước 3. Kiểm tra phép tính kết hợp

Thử các quy luật thường gặp:

Nhân rồi cộng.
Nhân rồi trừ.
Cộng và nhân xen kẽ.
Trừ và chia xen kẽ.

Bước 4. Tách vị trí lẻ và chẵn

Nếu dãy có biểu hiện lên xuống bất thường, hãy xét riêng:

Vị trí lẻ.
Vị trí chẵn.

Bước 5. Xét hai số hạng đứng trước

Kiểm tra xem số hạng sau có bằng:

Tổng hai số hạng trước.
Hiệu hai số hạng trước.
Tổng hai số hạng trước cộng thêm một số.
Một số hạng trước nhân với số còn lại.

Bước 6. Đánh số thứ tự

Viết số thứ tự dưới từng số hạng để tìm công thức liên quan đến n.

Bước 7. Kiểm tra lại

Sau khi tìm được quy luật, phải kiểm tra quy luật đó với toàn bộ các số hạng đã cho.

IV. Bài tập luyện tập

Mức 1. Cơ bản

Câu 1. Điền hai số tiếp theo:

6;\ 10;\ 14;\ 18;\ \square;\ \square.

Câu 2. Điền hai số tiếp theo:

83;\ 76;\ 69;\ 62;\ \square;\ \square.

Câu 3. Điền hai số tiếp theo:

5;\ 15;\ 45;\ 135;\ \square;\ \square.

Câu 4. Điền hai số tiếp theo:

384;\ 192;\ 96;\ 48;\ \square;\ \square.

Câu 5. Điền hai số tiếp theo:

1;\ 3;\ 6;\ 10;\ 15;\ \square;\ \square.

Câu 6. Điền hai số tiếp theo:

2;\ 6;\ 12;\ 20;\ 30;\ \square;\ \square.

Câu 7. Điền hai số tiếp theo:

1;\ 4;\ 9;\ 16;\ 25;\ \square;\ \square.

Câu 8. Điền hai số tiếp theo:

2;\ 9;\ 28;\ 65;\ 126;\ \square;\ \square.

Câu 9. Điền hai số tiếp theo:

4;\ 8;\ 7;\ 14;\ 13;\ 26;\ \square;\ \square.

Câu 10. Điền hai số tiếp theo:

1;\ 5;\ 2;\ 8;\ 3;\ 11;\ 4;\ \square;\ \square.

Mức 2. Vận dụng

Câu 11. Điền hai số tiếp theo:

2;\ 5;\ 9;\ 14;\ 20;\ \square;\ \square.

Câu 12. Điền hai số tiếp theo:

3;\ 7;\ 15;\ 31;\ 63;\ \square;\ \square.

Câu 13. Điền hai số tiếp theo:

2;\ 3;\ 5;\ 8;\ 13;\ 21;\ \square;\ \square.

Câu 14. Điền hai số tiếp theo:

1;\ 2;\ 4;\ 7;\ 12;\ 20;\ \square;\ \square.

Câu 15. Điền hai số tiếp theo:

2;\ 6;\ 5;\ 15;\ 14;\ 42;\ \square;\ \square.

Câu 16. Điền hai số tiếp theo:

1;\ 4;\ 2;\ 7;\ 3;\ 10;\ 4;\ 13;\ \square;\ \square.

Câu 17. Tìm số hạng thứ 30 của dãy:

4;\ 9;\ 14;\ 19;\ldots

Câu 18. Tìm số hạng thứ 20 của dãy:

2;\ 6;\ 12;\ 20;\ 30;\ldots

Câu 19. Dãy sau có bao nhiêu số hạng?

7;\ 12;\ 17;\ldots;\ 202.

Câu 20. Tìm số còn thiếu:

3;\ 8;\ 15;\ 24;\ \square;\ 48.

Mức 3. Nâng cao

Câu 21. Tìm số hạng thứ 25 của dãy:

2;\ 5;\ 10;\ 17;\ 26;\ldots

Câu 22. Tính tổng 30 số lẻ đầu tiên:

1+3+5+·s

Câu 23. Điền hai số tiếp theo:

1;\ 2;\ 6;\ 24;\ 120;\ \square;\ \square.

Câu 24. Tìm số hạng thứ 15 của dãy:

2;\ 10;\ 4;\ 15;\ 6;\ 20;\ 8;\ 25;\ldots

Câu 25. Tìm số hạng thứ 20 của dãy:

1;\ 4;\ 2;\ 8;\ 3;\ 12;\ 4;\ 16;\ldots

Câu 26. Cho dãy:

1;\ 3;\ 4;\ 7;\ 11;\ 18;\ldots

Biết từ số hạng thứ ba, mỗi số hạng bằng tổng hai số hạng đứng trước. Tìm số hạng thứ 10.

Câu 27. Điền số tiếp theo:

2;\ 5;\ 16;\ 65;\ 326;\ \square.

Câu 28. Tìm số hạng thứ 50 của dãy:

3;\ 8;\ 15;\ 24;\ 35;\ldots

Câu 29. Tính tổng:

5+9+13+·s+101.

Câu 30. Điền hai số tiếp theo:

1;\ 3;\ 4;\ 9;\ 9;\ 27;\ 16;\ 81;\ \square;\ \square.

V. Lời giải chi tiết

Câu 1

Dãy số tăng đều.

Ta có:

10-6=4;

14-10=4;

18-14=4.

Mỗi số hạng sau lớn hơn số hạng trước 4 đơn vị.

Hai số cần điền là:

18+4=22;

22+4=26.

Đáp số: 22;\ 26.

Câu 2

Ta có:

83-76=7;

76-69=7;

69-62=7.

Mỗi số hạng sau nhỏ hơn số hạng trước 7 đơn vị.

Hai số cần điền là:

62-7=55;

55-7=48.

Đáp số: 55;\ 48.

Câu 3

Ta có:

5× 3=15;

15× 3=45;

45× 3=135.

Mỗi số hạng sau gấp số hạng trước 3 lần.

Hai số cần điền là:

135× 3=405;

405× 3=1215.

Đáp số: 405;\ 1215.

Câu 4

Ta có:

384:2=192;

192:2=96;

96:2=48.

Mỗi số hạng sau bằng một nửa số hạng trước.

Hai số cần điền là:

48:2=24;

24:2=12.

Đáp số: 24;\ 12.

Câu 5

Ta tính khoảng cách:

3-1=2;

6-3=3;

10-6=4;

15-10=5.

Các khoảng cách là:

2;\ 3;\ 4;\ 5.

Hai khoảng cách tiếp theo là 6 và 7.

Hai số cần điền là:

15+6=21;

21+7=28.

Đáp số: 21;\ 28.

Câu 6

Ta nhận thấy:

2=1× 2;

6=2× 3;

12=3× 4;

20=4× 5;

30=5× 6.

Hai số tiếp theo là:

6× 7=42;

7× 8=56.

Đáp số: 42;\ 56.

Câu 7

Các số hạng là các số chính phương:

1=1²;

4=2²;

9=3²;

16=4²;

25=5².

Hai số tiếp theo là:

6²=36;

7²=49.

Đáp số: 36;\ 49.

Câu 8

Ta có:

2=1³⁺¹;

9=2³⁺¹;

28=3³⁺¹;

65=4³⁺¹;

126=5³⁺¹.

Hai số tiếp theo là:

6³⁺¹=216+1=217;

7³⁺¹=343+1=344.

Đáp số: 217;\ 344.

Câu 9

Ta có:

4× 2=8;

8-1=7;

7× 2=14;

14-1=13;

13× 2=26.

Quy luật là nhân với 2, rồi trừ 1.

Hai số cần điền là:

26-1=25;

25× 2=50.

Đáp số: 25;\ 50.

Câu 10

Xét các số ở vị trí lẻ:

1;\ 2;\ 3;\ 4;\ldots

Số tiếp theo là 5.

Xét các số ở vị trí chẵn:

5;\ 8;\ 11;\ldots

Dãy tăng đều 3 đơn vị nên số tiếp theo là:

11+3=14.

Sau số 4 là số ở vị trí chẵn, nên điền 14 trước, rồi điền 5.

Đáp số: 14;\ 5.

Câu 11

Ta tính các khoảng cách:

5-2=3;

9-5=4;

14-9=5;

20-14=6.

Hai khoảng cách tiếp theo là 7 và 8.

Hai số cần điền là:

20+7=27;

27+8=35.

Đáp số: 27;\ 35.

Câu 12

Ta có:

3× 2+1=7;

7× 2+1=15;

15× 2+1=31;

31× 2+1=63.

Hai số tiếp theo là:

63× 2+1=127;

127× 2+1=255.

Đáp số: 127;\ 255.

Câu 13

Mỗi số hạng bằng tổng hai số hạng đứng trước:

2+3=5;

3+5=8;

5+8=13;

8+13=21.

Hai số tiếp theo là:

13+21=34;

21+34=55.

Đáp số: 34;\ 55.

Câu 14

Mỗi số hạng bằng tổng hai số hạng đứng trước rồi cộng 1:

1+2+1=4;

2+4+1=7;

4+7+1=12;

7+12+1=20.

Hai số tiếp theo là:

12+20+1=33;

20+33+1=54.

Đáp số: 33;\ 54.

Câu 15

Ta có:

2× 3=6;

6-1=5;

5× 3=15;

15-1=14;

14× 3=42.

Quy luật là nhân với 3, rồi trừ 1.

Hai số tiếp theo là:

42-1=41;

41× 3=123.

Đáp số: 41;\ 123.

Câu 16

Xét các số ở vị trí lẻ:

1;\ 2;\ 3;\ 4;\ldots

Số tiếp theo là 5.

Xét các số ở vị trí chẵn:

4;\ 7;\ 10;\ 13;\ldots

Dãy tăng đều 3 đơn vị nên số tiếp theo là:

13+3=16.

Đáp số: 5;\ 16.

Câu 17

Dãy:

4;\ 9;\ 14;\ 19;\ldots

có số hạng đầu là 4 và khoảng cách là 5.

Số hạng thứ 30 là:

a₃₀=4+(30-1)× 5.

a₃₀=4+29× 5.

a₃₀=4+145=149.

Đáp số: 149.

Câu 18

Ta nhận thấy:

2=1× 2;

6=2× 3;

12=3× 4;

20=4× 5;

30=5× 6.

Số hạng thứ n là:

a_n=n×(n+1).

Số hạng thứ 20 là:

a₂₀=20× 21=420.

Đáp số: 420.

Câu 19

Dãy có:

Số đầu là 7.
Số cuối là 202.
Khoảng cách là 5.

Số số hạng là:

202-75+1.

195:5+1=39+1=40.

Đáp số: 40 số hạng.

Câu 20

Ta tính các khoảng cách:

8-3=5;

15-8=7;

24-15=9.

Các khoảng cách là các số lẻ liên tiếp:

5;\ 7;\ 9;\ 11;\ 13.

Số còn thiếu là:

24+11=35.

Kiểm tra:

35+13=48.

Vậy số cần điền là 35.

Đáp số: 35.

Câu 21

Ta có:

2=1²⁺¹;

5=2²⁺¹;

10=3²⁺¹;

17=4²⁺¹;

26=5²⁺¹.

Số hạng thứ n là:

a_n=n²⁺¹.

Số hạng thứ 25 là:

a₂₅=25²⁺¹.

a₂₅=625+1=626.

Đáp số: 626.

Câu 22

Dãy 30 số lẻ đầu tiên là:

1;\ 3;\ 5;\ldots;\ 59.

Số lẻ thứ 30 là:

30× 2-1=59.

Tổng của dãy là:

(1+59)× 302.

60× 30:2=900.

Có thể ghi nhớ: tổng của n số lẻ đầu tiên bằng n².

Do đó:

1+3+5+·s+59=30²=900.

Đáp số: 900.

Câu 23

Dãy được tạo thành bằng cách lần lượt nhân với:

2;\ 3;\ 4;\ 5;\ldots

Ta có:

1× 2=2;

2× 3=6;

6× 4=24;

24× 5=120.

Hai số tiếp theo là:

120× 6=720;

720× 7=5040.

Đáp số: 720;\ 5040.

Câu 24

Xét các số ở vị trí lẻ:

2;\ 4;\ 6;\ 8;\ldots

Đây là dãy số chẵn liên tiếp.

Số hạng thứ 15 nằm ở vị trí lẻ.

Trong các vị trí lẻ, vị trí thứ 15 là số thứ:

(15+1):2=8.

Số chẵn thứ 8 là:

8× 2=16.

Đáp số: 16.

Câu 25

Các số ở vị trí lẻ là:

1;\ 2;\ 3;\ 4;\ldots

Các số ở vị trí chẵn là:

4;\ 8;\ 12;\ 16;\ldots

Số hạng thứ 20 nằm ở vị trí chẵn.

Đó là số thứ:

20:2=10

trong dãy:

4;\ 8;\ 12;\ldots

Số thứ 10 của dãy này là:

4× 10=40.

Đáp số: 40.

Câu 26

Dãy có quy luật:

a_n=a_n-1+a_n-2.

Ta tiếp tục tính:

Số hạng thứ 7 là:

11+18=29.

Số hạng thứ 8 là:

18+29=47.

Số hạng thứ 9 là:

29+47=76.

Số hạng thứ 10 là:

47+76=123.

Đáp số: 123.

Câu 27

Ta có:

2× 2+1=5;

5× 3+1=16;

16× 4+1=65;

65× 5+1=326.

Các số nhân lần lượt là:

2;\ 3;\ 4;\ 5.

Số tiếp theo được tính bằng cách nhân 326 với 6 rồi cộng 1:

326× 6+1=1956+1=1957.

Đáp số: 1957.

Câu 28

Ta có:

3=1²⁺²× 1;

8=2²⁺²× 2;

15=3²⁺²× 3;

24=4²⁺²× 4;

35=5²⁺²× 5.

Số hạng thứ n là:

a_n=n²⁺²ⁿ.

Số hạng thứ 50 là:

a₅₀=50²⁺²× 50.

a₅₀=2500+100=2600.

Đáp số: 2600.

Câu 29

Dãy số:

5;\ 9;\ 13;\ldots;\ 101

có khoảng cách là 4.

Số số hạng là:

101-54+1.

96:4+1=24+1=25.

Tổng của dãy là:

(5+101)× 252.

106× 25:2=53× 25=1325.

Đáp số: 1325.

Câu 30

Xét các số ở vị trí lẻ:

1;\ 4;\ 9;\ 16;\ldots

Đây là dãy các số chính phương:

1²;\ 2²;\ 3²;\ 4²;\ldots

Số tiếp theo là:

5²=25.

Xét các số ở vị trí chẵn:

3;\ 9;\ 27;\ 81;\ldots

Mỗi số hạng sau gấp số hạng trước 3 lần.

Số tiếp theo là:

81× 3=243.

Đáp số: 25;\ 243.

VI. Những lỗi học sinh thường gặp

1. Chỉ xét một hoặc hai số đầu

Một quy luật đúng phải phù hợp với toàn bộ dãy số. Không nên chỉ dựa vào hai số đầu để kết luận.

2. Bỏ qua dãy xen kẽ

Khi các số hạng tăng giảm bất thường, cần tách các vị trí lẻ và chẵn.

3. Nhầm vị trí số hạng

Khi tìm số hạng thứ n, nên đánh số thứ tự dưới từng số hạng đầu tiên để xác định đúng công thức.

4. Không kiểm tra đáp án

Sau khi tìm được số cần điền, cần thay vào dãy và kiểm tra xem quy luật có tiếp tục đúng hay không.

5. Chọn quy luật quá phức tạp

Trong bài toán tiểu học, nên ưu tiên quy luật đơn giản, rõ ràng và phù hợp với tất cả các dữ kiện.

VII. Mẹo làm bài thi

Luôn tính hiệu trước khi thử các quy luật phức tạp.
Nếu hiệu không cố định, hãy tìm quy luật của các hiệu.
Nếu các số tăng rất nhanh, nên kiểm tra phép nhân.
Nếu dãy lúc tăng, lúc giảm, hãy kiểm tra phép tính xen kẽ.
Nếu dãy có nhiều số và chưa thấy quy luật, hãy tách vị trí lẻ và chẵn.
Với bài tìm số hạng thứ n, nên tìm công thức của số hạng.
Với dãy cách đều, cần nhớ công thức tính số số hạng và tổng của dãy.
Luôn trình bày rõ quy luật trước khi viết đáp án.

Dãy số và quy luật là dạng toán đòi hỏi sự kiên trì và khả năng quan sát. Khi được luyện tập thường xuyên, học sinh sẽ nhận ra nhanh các quy luật quen thuộc, biết lựa chọn cách giải ngắn gọn và xử lí tốt những bài toán nâng cao trong đề thi vào lớp 6 chất lượng cao.