10 bài toán nâng cao lớp 3 chuyên đề “Số và cấu tạo số” (có hướng dẫn giải)

10 bài toán nâng cao lớp 3 chuyên đề “Số và cấu tạo số”, được Toán cấp 1 biên soạn có hướng dẫn giải chi tiết từng bài.

Hướng dẫn giải bằng các phương pháp phù hợp với tư duy của học sinh tiểu học (như phân tích cấu tạo số, phương pháp thử chọn).

Bài 1: Phân tích mối liên hệ giữa các hàng

Đề bài: Tìm một số có 3 chữ số, biết chữ số hàng trăm gấp 2 lần chữ số hàng chục, chữ số hàng chục gấp 3 lần chữ số hàng đơn vị.

Hướng dẫn giải:

• Chữ số hàng đơn vị không thể là 0 (vì nếu bằng 0 thì chữ số hàng chục và hàng trăm cũng bằng 0, không tạo thành số có 3 chữ số).
• Nếu chữ số hàng đơn vị là 1:
  • Chữ số hàng chục là: 1 x 3 = 3
  • Chữ số hàng trăm là: 3 x 2 = 6
  • Ta được số: 631 (Hợp lý)
• Nếu chữ số hàng đơn vị là 2:
  • Chữ số hàng chục là: 2 x 3 = 6
  • Chữ số hàng trăm là: 6 x 2 = 12 (Không hợp lý vì chữ số phải bé hơn 10)
• Vậy số cần tìm duy nhất là 631.

Bài 2: Viết thêm chữ số vào bên trái

Đề bài: Tìm một số có hai chữ số, biết rằng nếu viết thêm chữ số 3 vào bên trái số đó ta được một số mới gấp 5 lần số ban đầu.

Hướng dẫn giải:

• Gọi số có hai chữ số cần tìm là (với a lớn hơn 0 và a, b nhỏ hơn 10).
• Khi viết thêm chữ số 3 vào bên trái, ta được số mới là .
• Theo bài ra ta có:

• Phân tích cấu tạo số:

• Bớt đi ở cả hai vế:

• Vậy số cần tìm là 75.

Bài 3: Xóa bớt chữ số ở hàng cao nhất

Đề bài: Cho một số có 3 chữ số, trong đó chữ số hàng trăm là 4. Nếu xoá chữ số 4 đó đi ta được một số mới. Biết số ban đầu gấp 9 lần số mới. Tìm số ban đầu.

Hướng dẫn giải:

• Gọi số có 3 chữ số cần tìm là .
• Khi xóa chữ số 4 ở hàng trăm, ta được số mới là .
• Theo bài ra ta có:

• Phân tích cấu tạo số:

• Bớt đi ở cả hai vế:

• Vậy số ban đầu là 450.

Bài 4: Viết thêm chữ số 0 vào giữa

Đề bài: Tìm một số có hai chữ số, biết rằng nếu viết thêm chữ số 0 vào giữa hai chữ số đó thì ta được số mới gấp 9 lần số ban đầu.

Hướng dẫn giải:

• Gọi số cần tìm là . Số mới là .
• Ta có phép tính: .
• Xét chữ số hàng đơn vị: b x 9 có chữ số tận cùng là b. Do đó b chỉ có thể là 0 hoặc 5.
  • Trường hợp b = 0: -> 90 x a = 100 x a (Chỉ đúng khi a = 0, vô lý).
  • Trường hợp b = 5: .
• Phân tích cấu tạo số với b = 5:

• Bớt và 5 ở cả hai vế:

-> .

• Vậy số cần tìm là 45.

Bài 5: Tìm số theo tổng các chữ số và điều kiện

Đề bài: Tìm số chẵn có 3 chữ số, biết tổng các chữ số của số đó bằng 25.

Hướng dẫn giải:

• Vì là số chẵn nên chữ số hàng đơn vị phải là: 0, 2, 4, 6, 8.
• Tổng 3 chữ số bằng 25. Ta biết tổng lớn nhất của 2 chữ số (hàng trăm và hàng chục) là: 9 + 9 = 18.
• Do đó, chữ số hàng đơn vị ít nhất phải là: 25 – 18 = 7.
• Kết hợp hai điều kiện, chữ số hàng đơn vị bắt buộc phải là 8.
• Khi hàng đơn vị là 8, tổng của hàng trăm và hàng chục là: 25 – 8 = 17.
• Ta có: 17 = 8 + 9 = 9 + 8.
• Vậy các số tìm được là 898 và 988.

Bài 6: Cấu tạo số trang sách

Đề bài: Để đánh số trang của một cuốn sách dày 125 trang, người ta phải dùng tất cả bao nhiêu chữ số?

Hướng dẫn giải:

• Từ trang 1 đến trang 9: Có 9 trang dùng số có 1 chữ số.

Số chữ số cần dùng: 9 x 1 = 9 (chữ số).

• Từ trang 10 đến trang 99: Có (99 – 10) + 1 = 90 trang dùng số có 2 chữ số.

Số chữ số cần dùng: 90 x 2 = 180 (chữ số).

• Từ trang 100 đến trang 125: Có (125 – 100) + 1 = 26 trang dùng số có 3 chữ số.

Số chữ số cần dùng: 26 x 3 = 78 (chữ số).

• Tổng số chữ số phải dùng là: 9 + 180 + 78 = 267 (chữ số).

Bài 7: Lập số từ các chữ số cho trước

Đề bài: Cho 4 chữ số: 0, 2, 4, 6. Có thể lập được bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau từ các chữ số trên?

Hướng dẫn giải:

Để lập số có 3 chữ số khác nhau, ta phân tích các lựa chọn:

• Hàng trăm: Có 3 cách chọn (là 2, 4 hoặc 6, vì chữ số hàng trăm không thể là 0).
• Hàng chục: Có 3 cách chọn (trong 4 chữ số ban đầu, trừ đi 1 chữ số đã đứng ở hàng trăm).
• Hàng đơn vị: Có 2 cách chọn (trong 4 chữ số ban đầu, trừ đi 2 chữ số đã đứng ở hàng trăm và hàng chục).
• Số các số lập được là: 3 x 3 x 2 = 18 (số).

Bài 8: Đổi chỗ các chữ số (Phương pháp thử chọn)

Đề bài: Cho một số có hai chữ số. Biết tổng hai chữ số bằng 10. Nếu đổi chỗ hai chữ số cho nhau ta được một số mới lớn hơn số cũ 36 đơn vị. Tìm số ban đầu.

Hướng dẫn giải:

• Gọi số cần tìm là (a > 0). Số mới là .
• Vì số mới lớn hơn số cũ nên b > a.
• Tổng của a và b là 10. Ta dùng phương pháp thử chọn với các cặp số có tổng bằng 10 và b > a:
  • Nếu a = 1, b = 9: Số ban đầu 19, số mới 91. Hiệu là: 91 – 19 = 72 (Loại)
  • Nếu a = 2, b = 8: Số ban đầu 28, số mới 82. Hiệu là: 82 – 28 = 54 (Loại)
  • Nếu a = 3, b = 7: Số ban đầu 37, số mới 73. Hiệu là: 73 – 37 = 36 (Thỏa mãn)
  • Nếu a = 4, b = 6: Số ban đầu 46, số mới 64. Hiệu là: 64 – 46 = 18 (Loại)
• Vậy số ban đầu cần tìm là 37.

Bài 9: Suy luận logic qua hiệu các chữ số

Đề bài: Tìm một số có 3 chữ số, biết rằng chữ số hàng trăm lớn hơn chữ số hàng chục 5 đơn vị, chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị 4 đơn vị.

Hướng dẫn giải:

• Vì các hàng liên tiếp hơn kém nhau khá lớn, ta bắt đầu xét từ chữ số nhỏ nhất là hàng đơn vị.
• Nếu chữ số hàng đơn vị là 0:
  • Chữ số hàng chục là: 0 + 4 = 4.
  • Chữ số hàng trăm là: 4 + 5 = 9.
  • Ta được số: 940 (Hợp lý).
• Nếu chữ số hàng đơn vị là 1:
  • Chữ số hàng chục là: 1 + 4 = 5.
  • Chữ số hàng trăm là: 5 + 5 = 10 (Vô lý vì chữ số phải nhỏ hơn 10).
• Vậy số duy nhất thỏa mãn điều kiện đề bài là 940.

Bài 10: Xây dựng số lớn nhất với điều kiện

Đề bài: Tìm số có 3 chữ số lớn nhất, biết tổng các chữ số của số đó bằng 15 và các chữ số hoàn toàn khác nhau.

Hướng dẫn giải:

• Để số tìm được là lớn nhất, chữ số ở hàng cao nhất (hàng trăm) phải lớn nhất có thể. Chọn chữ số hàng trăm là 9.
• Tổng của chữ số hàng chục và hàng đơn vị còn lại là: 15 – 9 = 6.
• Để số là lớn nhất, chữ số hàng chục cũng phải lớn nhất có thể, nhưng phải nhỏ hơn 9 (do các chữ số khác nhau) và nhỏ hơn hoặc bằng 6. Chọn chữ số hàng chục là 6.
• Chữ số hàng đơn vị sẽ là: 6 – 6 = 0.
• Ta được các chữ số: 9, 6, 0 (đều khác nhau).
• Vậy số lớn nhất cần tìm là 960.