Sơ đồ Ven (Venn) giúp chúng ta giải các bài toán có những nhóm bị trùng nhau, chẳng hạn: bạn nào chỉ giỏi Toán, bạn nào giỏi cả Toán và Tiếng Việt, hay bạn nào giỏi cả ba môn. Bài học này hướng dẫn học sinh lớp 5 tự vẽ, tự điền số vào từng vùng, không cần học thuộc công thức khó.
1. Sơ đồ Ven là gì? Vì sao phải vẽ?
Hãy tưởng tượng có hai vòng tròn: vòng thứ nhất chứa những bạn giỏi Toán; vòng thứ hai chứa những bạn giỏi Tiếng Việt. Bạn nào giỏi cả hai môn phải đứng ở chỗ hai vòng tròn chồng lên nhau. Bạn nào chỉ giỏi một môn sẽ đứng ở phần riêng của vòng tròn ấy.
Ta gọi hình vẽ này là sơ đồ Ven. Nhờ hình vẽ, mỗi bạn được đặt vào đúng một vị trí. Vì thế, khi cộng các phần để đếm số học sinh, ta không bị đếm lặp.
| Từ trong đề | Hiểu như thế nào? |
|---|---|
| Chỉ giỏi Toán | Thuộc nhóm Toán, không thuộc các nhóm khác đang xét |
| Giỏi cả Toán và Lý | Thuộc đồng thời hai nhóm Toán, Lý; có thể thuộc thêm nhóm Sinh |
| Giỏi đúng hai môn | Thuộc hai nhóm, không thuộc nhóm thứ ba |
| Giỏi ít nhất một môn | Thuộc một, hai hoặc cả ba nhóm |
| Không giỏi môn nào | Nằm ngoài các hình tròn |
2. Giải bài toán sơ đồ Ven 2 hình tròn
Với hai nhóm, cách đơn giản nhất là: điền phần chung trước, rồi tìm hai phần riêng. Nếu đề cho tổng số học sinh, cuối cùng ta mới tìm số bạn nằm ngoài hai hình tròn.
Ví dụ 1. Biết số bạn giỏi cả hai môn
Đề bài: Lớp 5A có 30 học sinh; 18 bạn giỏi Toán, 16 bạn giỏi Tiếng Việt và 9 bạn giỏi cả hai môn. Hỏi có bao nhiêu bạn chỉ giỏi Toán, chỉ giỏi Tiếng Việt, và không giỏi môn nào trong hai môn?
Bước 1 – Điền phần chung: Có 9 bạn giỏi cả hai môn nên viết 9 vào phần giao nhau.
Bước 2 – Tìm phần riêng:
Chỉ giỏi Toán: 18 − 9 = 9 (bạn).
Chỉ giỏi Tiếng Việt: 16 − 9 = 7 (bạn).
Bước 3 – Tìm phần ngoài: Có 9 + 9 + 7 = 25 bạn giỏi ít nhất một môn. Vì lớp có 30 bạn nên số bạn không giỏi môn nào trong hai môn là 30 − 25 = 5 (bạn).
Đáp số: Chỉ giỏi Toán 9 bạn; chỉ giỏi Tiếng Việt 7 bạn; không giỏi môn nào trong hai môn 5 bạn.
Ví dụ 2. Chưa biết phần chung
Đề bài: Có 30 bạn tham gia ít nhất một trong hai câu lạc bộ cờ vua và cờ tướng. Trong đó có 18 bạn chơi cờ vua và 20 bạn chơi cờ tướng. Hỏi có bao nhiêu bạn chơi cả hai câu lạc bộ?
Vì sao phải trừ? Khi cộng 18 + 20, những bạn chơi cả hai câu lạc bộ đã được tính hai lần. Nhưng lớp chỉ có 30 bạn tham gia ít nhất một câu lạc bộ. Phần tính thừa chính là số bạn chơi cả hai.
Số bạn chơi cả hai câu lạc bộ: 18 + 20 − 30 = 8 (bạn).
Sau đó, chỉ chơi cờ vua: 18 − 8 = 10 bạn; chỉ chơi cờ tướng: 20 − 8 = 12 bạn.
3. Giải bài toán sơ đồ Ven 3 hình tròn
Khi có ba nhóm A, B, C, sơ đồ có 7 vùng nằm trong các hình tròn: ba vùng chỉ thuộc một nhóm, ba vùng chỉ thuộc đúng hai nhóm và một vùng thuộc cả ba nhóm.
Thứ tự điền chuẩn: (1) phần chung cả ba ở giữa → (2) ba phần chỉ thuộc đúng hai nhóm → (3) ba phần chỉ thuộc một nhóm → (4) phần ngoài nếu có đủ dữ kiện.
Ví dụ 3. Đề bài cho sẵn số bạn tham gia cả ba nhóm
Đề bài: Lớp có 35 học sinh. Có 14 bạn chơi cờ vua, 16 bạn chơi bóng đá và 12 bạn học bơi. Có 6 bạn chơi cả cờ vua và bóng đá, 5 bạn chơi cả bóng đá và bơi, 4 bạn chơi cả bơi và cờ vua; trong đó 3 bạn tham gia cả ba hoạt động. Hỏi có bao nhiêu bạn chỉ tham gia một hoạt động và bao nhiêu bạn không tham gia hoạt động nào?
Bước 1: Điền 3 vào phần giao của cả ba hình tròn.
Bước 2: Tìm ba vùng “chỉ tham gia đúng hai hoạt động”. Vì những bạn tham gia cả ba cũng nằm trong mỗi cặp nên phải trừ đi 3.
Chỉ cờ vua và bóng đá: 6 − 3 = 3.
Chỉ bóng đá và bơi: 5 − 3 = 2.
Chỉ bơi và cờ vua: 4 − 3 = 1.
Bước 3: Tìm những bạn chỉ tham gia đúng một hoạt động bằng cách lấy tổng của nhóm đó trừ tất cả các phần giao bên trong nhóm.
Chỉ cờ vua: 14 − 3 − 1 − 3 = 7.
Chỉ bóng đá: 16 − 3 − 2 − 3 = 8.
Chỉ bơi: 12 − 1 − 2 − 3 = 6.
Số bạn chỉ tham gia một hoạt động là 7 + 8 + 6 = 21 (bạn).
Tổng số bạn tham gia ít nhất một hoạt động là 21 + (3 + 2 + 1) + 3 = 30 (bạn). Vậy số bạn không tham gia hoạt động nào là 35 − 30 = 5 (bạn).
Đáp số: 21 bạn chỉ tham gia một hoạt động; 5 bạn không tham gia hoạt động nào.
4. Dạng khó nhất: Chưa biết số bạn giỏi cả ba môn
Đây là dạng cần suy luận thêm một bước trước khi điền sơ đồ. Chúng ta sẽ dùng chính bài toán về ba môn Toán, Lý, Sinh.
Ví dụ 4. Tìm phần giao cả ba từ số bạn giỏi đúng hai môn
Đề bài: Lớp 6C1 có 16 học sinh giỏi Toán, 15 học sinh giỏi Lý, 11 học sinh giỏi Sinh. Có 9 bạn giỏi Toán và Lý, 6 bạn giỏi Lý và Sinh, 8 bạn giỏi Sinh và Toán. Biết có đúng 11 bạn giỏi đúng hai môn. Hỏi có bao nhiêu bạn chỉ giỏi một trong ba môn?
Bước 1. Hiểu vì sao có bạn được tính một lần, có bạn được tính ba lần
Giả sử An chỉ giỏi Toán và Lý; Bình giỏi cả Toán, Lý và Sinh. Khi ta lần lượt kiểm đếm ba nhóm “Toán và Lý”, “Lý và Sinh”, “Sinh và Toán”, mỗi bạn xuất hiện như sau:
| Nhóm | An | Bình |
|---|---|---|
| Giỏi Toán và Lý | ✓ | ✓ |
| Giỏi Lý và Sinh | — | ✓ |
| Giỏi Sinh và Toán | — | ✓ |
| Tổng số lần được tính | 1 | 3 |
Vậy: Một bạn giỏi đúng hai môn xuất hiện một lần; một bạn giỏi cả ba môn xuất hiện ba lần. Đây là ý chính phải hiểu, không nên học thuộc phép tính khi chưa hiểu điều này.
Bước 2. Tìm số bạn giỏi cả ba môn
Cộng số học sinh của ba nhóm giỏi từng cặp môn:
9 + 6 + 8 = 23 (lượt).
23 lượt không có nghĩa là 23 bạn khác nhau. Trong tổng 23 lượt đó, 11 bạn giỏi đúng hai môn đã đóng góp 11 lượt. Các lượt còn lại đều do những bạn giỏi cả ba môn tạo ra.
Số lượt còn lại: 23 − 11 = 12 (lượt).
Mỗi bạn giỏi cả ba môn được tính ba lượt, nên số bạn là: 12 : 3 = 4 (bạn).
Ta viết số 4 vào vùng chính giữa của ba hình tròn. Những vùng chưa biết tạm thời đặt dấu hỏi.
Bước 3. Tìm ba vùng chỉ giỏi đúng hai môn
Trong 9 bạn giỏi Toán và Lý có 4 bạn giỏi cả ba môn, nên chỉ giỏi đúng Toán và Lý còn 9 − 4 = 5 bạn. Hai cặp còn lại làm tương tự.
Chỉ Toán và Lý: 9 − 4 = 5 (bạn).
Chỉ Lý và Sinh: 6 − 4 = 2 (bạn).
Chỉ Sinh và Toán: 8 − 4 = 4 (bạn).
Bước 4. Tìm ba vùng chỉ giỏi một môn
Bây giờ mọi phần giao đã có số. Với từng môn, ta lấy tổng số bạn giỏi môn đó trừ đi những vùng giao nằm trong hình tròn của môn ấy.
Chỉ giỏi Toán: 16 − 5 − 4 − 4 = 3 (bạn).
Chỉ giỏi Lý: 15 − 5 − 2 − 4 = 4 (bạn).
Chỉ giỏi Sinh: 11 − 4 − 2 − 4 = 1 (bạn).
Vậy số bạn chỉ giỏi một trong ba môn là 3 + 4 + 1 = 8 (bạn).
Kiểm tra: Số bạn giỏi đúng hai môn là 5 + 2 + 4 = 11, đúng với đề. Số bạn giỏi Toán là 3 + 5 + 4 + 4 = 16, cũng đúng với đề.
5. Ghi nhớ cách giải sơ đồ Ven lớp 5
- Đọc đề: Phân biệt “giỏi cả hai môn”, “chỉ giỏi hai môn”, “giỏi đúng một môn”.
- Vẽ hình: Hai nhóm dùng hai vòng tròn; ba nhóm dùng ba vòng tròn giao nhau.
- Điền số theo thứ tự: Vùng chung trước → vùng chỉ chung hai nhóm → vùng riêng → vùng ngoài.
- Trả lời và kiểm tra: Cộng các vùng liên quan để đối chiếu số ban đầu; không đếm một vùng hai lần.
6. Bài tập sơ đồ Ven có hình vẽ và lời giải
Hãy tự vẽ sơ đồ và làm bài trước. Sau đó mở phần “Xem lời giải và sơ đồ” của từng bài để đối chiếu. Các bài được xếp từ cơ bản đến nâng cao.
Mức 1 – Cơ bản: Hai hình tròn
Bài 1
Lớp 5A có 32 học sinh. Có 19 bạn giỏi Toán, 15 bạn giỏi Tiếng Anh và 8 bạn giỏi cả hai môn. Hỏi: a) Chỉ giỏi Toán? b) Chỉ giỏi Tiếng Anh? c) Không giỏi môn nào trong hai môn?
Xem lời giải và sơ đồ Ven bài 1
Lời giải từng bước:
- Điền 8 vào phần giao.
- Chỉ Toán: 19 − 8 = 11 (bạn).
- Chỉ Tiếng Anh: 15 − 8 = 7 (bạn).
- Giỏi ít nhất một môn: 11 + 8 + 7 = 26.
- Không giỏi môn nào: 32 − 26 = 6 (bạn).
Đáp số: a) 11 bạn; b) 7 bạn; c) 6 bạn.
Bài 2
Lớp có 40 học sinh. Có 25 bạn chơi bóng đá, 18 bạn chơi cầu lông và 11 bạn chơi cả hai. Hỏi: a) Chỉ bóng đá? b) Chỉ cầu lông? c) Chơi đúng một môn? d) Không chơi môn nào?
Xem lời giải và sơ đồ Ven bài 2
Lời giải từng bước:
- Điền 11 ở phần giao.
- Chỉ bóng đá: 25 − 11 = 14 (bạn).
- Chỉ cầu lông: 18 − 11 = 7 (bạn).
- Chơi đúng một môn: 14 + 7 = 21 (bạn).
- Không chơi môn nào: 40 − (14 + 11 + 7) = 8 (bạn).
Đáp số: a) 14; b) 7; c) 21; d) 8 bạn.
Bài 3
Có 30 bạn tham gia ít nhất một trong hai câu lạc bộ cờ vua và cờ tướng. Có 18 bạn chơi cờ vua, 20 bạn chơi cờ tướng. Hỏi: a) Chơi cả hai? b) Chỉ cờ vua? c) Chỉ cờ tướng?
Xem lời giải và sơ đồ Ven bài 3
Lời giải từng bước:
- Vì cả hai nhóm cộng lại đếm phần giao hai lần, phần giao là 18 + 20 − 30 = 8 (bạn).
- Chỉ cờ vua: 18 − 8 = 10 (bạn).
- Chỉ cờ tướng: 20 − 8 = 12 (bạn).
Đáp số: a) 8; b) 10; c) 12 bạn.
Mức 2 – Thông hiểu: Ba hình tròn
Bài 4
Lớp có 36 học sinh. Có 20 bạn tham gia cờ vua, 18 bạn tham gia vẽ và 15 bạn tham gia bóng bàn. Các cặp cờ vua–vẽ, vẽ–bóng bàn, bóng bàn–cờ vua lần lượt có 9, 7, 6 bạn; có 4 bạn tham gia cả ba. Hỏi: Chỉ tham gia một câu lạc bộ? Không tham gia câu lạc bộ nào?
Xem lời giải và sơ đồ Ven bài 4
Lời giải từng bước:
- Điền 4 ở giữa.
- Chỉ hai nhóm: cờ vua–vẽ 9 − 4 = 5; vẽ–bóng bàn 7 − 4 = 3; bóng bàn–cờ vua 6 − 4 = 2.
- Chỉ cờ vua: 20 − 5 − 2 − 4 = 9.
- Chỉ vẽ: 18 − 5 − 3 − 4 = 6.
- Chỉ bóng bàn: 15 − 2 − 3 − 4 = 6.
- Chỉ một CLB: 9 + 6 + 6 = 21.
- Có ít nhất một CLB: 21 + 5 + 3 + 2 + 4 = 35; không CLB nào: 36 − 35 = 1.
Đáp số: 21 bạn chỉ một CLB; 1 bạn không CLB nào.
Bài 5
Lớp 40 học sinh. Có 24 bạn đọc truyện cổ tích, 20 bạn đọc truyện khoa học, 18 bạn đọc truyện lịch sử. Có 11 bạn đọc cả cổ tích và khoa học; 9 bạn đọc cả khoa học và lịch sử; 8 bạn đọc cả lịch sử và cổ tích; 5 bạn đọc cả ba. Hỏi: a) Chỉ đọc một loại? b) Đọc đúng hai loại? c) Không đọc loại nào?
Xem lời giải và sơ đồ Ven bài 5
Lời giải từng bước:
- Giao ba: 5.
- Chỉ hai loại: cổ tích–khoa học 11 − 5 = 6; khoa học–lịch sử 9 − 5 = 4; lịch sử–cổ tích 8 − 5 = 3.
- Chỉ cổ tích: 24 − 6 − 3 − 5 = 10.
- Chỉ khoa học: 20 − 6 − 4 − 5 = 5.
- Chỉ lịch sử: 18 − 4 − 3 − 5 = 6.
- Chỉ một loại: 10 + 5 + 6 = 21.
- Đúng hai loại: 6 + 4 + 3 = 13.
- Không đọc loại nào: 40 − (21 + 13 + 5) = 1.
Đáp số: a) 21; b) 13; c) 1 bạn.
Mức 3 – Khá và nâng cao: Tự tìm phần giao ba
Bài 6
Lớp 45 học sinh. Có 24 bạn chơi bóng đá, 23 bạn chơi cầu lông, 19 bạn chơi cờ vua. Số bạn chơi các cặp bóng đá–cầu lông, cầu lông–cờ vua, cờ vua–bóng đá lần lượt là 12, 9, 10. Biết có đúng 19 bạn chơi đúng hai môn. Hỏi: a) Cả ba? b) Chỉ một? c) Không môn nào?
Xem lời giải và sơ đồ Ven bài 6
Lời giải từng bước:
- Tổng lượt ở ba cặp: 12 + 9 + 10 = 31.
- Giao cả ba: (31 − 19) : 3 = 4 (bạn).
- Chỉ hai môn: bóng đá–cầu lông 8; cầu lông–cờ vua 5; cờ vua–bóng đá 6.
- Chỉ bóng đá: 24 − 8 − 6 − 4 = 6.
- Chỉ cầu lông: 23 − 8 − 5 − 4 = 6.
- Chỉ cờ vua: 19 − 5 − 6 − 4 = 4.
- Chỉ một môn: 6 + 6 + 4 = 16.
- Không môn nào: 45 − (16 + 19 + 4) = 6.
Đáp số: a) 4; b) 16; c) 6 bạn.
Bài 7
Lớp 5C có 40 học sinh. Có 21 bạn thuộc nhóm A, 18 bạn thuộc nhóm B, 15 bạn thuộc nhóm C. Số bạn thuộc các cặp A–B, B–C, C–A lần lượt là 10, 7, 8. Biết có đúng 16 bạn thuộc đúng hai nhóm. Hỏi: a) Cả ba? b) Chỉ một? c) Không nhóm nào?
Xem lời giải và sơ đồ Ven bài 7
Lời giải từng bước:
- Tổng lượt theo ba cặp: 10 + 7 + 8 = 25.
- Cả ba: (25 − 16) : 3 = 3.
- Chỉ A–B: 10 − 3 = 7; chỉ B–C: 7 − 3 = 4; chỉ C–A: 8 − 3 = 5.
- Chỉ A: 21 − 7 − 5 − 3 = 6.
- Chỉ B: 18 − 7 − 4 − 3 = 4.
- Chỉ C: 15 − 5 − 4 − 3 = 3.
- Chỉ một nhóm: 6 + 4 + 3 = 13.
- Không nhóm nào: 40 − (13 + 16 + 3) = 8.
Đáp số: a) 3; b) 13; c) 8 bạn.
Bài 8
Lớp 5D có 32 học sinh. Có 20 bạn giỏi Toán, 16 bạn giỏi Tiếng Anh, 12 bạn giỏi Khoa học. Các cặp Toán–Anh, Anh–Khoa học, Khoa học–Toán lần lượt có 9, 7, 8 bạn; 9 bạn giỏi đúng hai môn. Hỏi: a) Cả ba? b) Chỉ từng môn? c) Chỉ một môn? d) Không môn nào?
Xem lời giải và sơ đồ Ven bài 8
Lời giải từng bước:
- Tổng lượt theo ba cặp: 9 + 7 + 8 = 24.
- Cả ba: (24 − 9) : 3 = 5.
- Chỉ Toán–Anh: 9 − 5 = 4; chỉ Anh–Khoa học: 7 − 5 = 2; chỉ Khoa học–Toán: 8 − 5 = 3.
- Chỉ Toán: 20 − 4 − 3 − 5 = 8.
- Chỉ Tiếng Anh: 16 − 4 − 2 − 5 = 5.
- Chỉ Khoa học: 12 − 3 − 2 − 5 = 2.
- Chỉ một môn: 8 + 5 + 2 = 15.
- Không môn nào: 32 − (15 + 9 + 5) = 3.
Đáp số: a) 5; b) Toán 8, Anh 5, Khoa học 2; c) 15; d) 3 bạn.
7. Những lỗi học sinh thường gặp
- Nhầm “cả hai” với “chỉ hai”: Ở bài toán ba môn, nhóm “giỏi Toán và Lý” vẫn có thể chứa bạn giỏi thêm Sinh.
- Điền phần riêng trước: Khi chưa tìm xong phần giao, rất dễ trừ thiếu hoặc đếm trùng. Hãy đi từ giữa ra ngoài.
- Quên vùng ngoài: Muốn tìm số bạn không thuộc nhóm nào phải biết tổng số học sinh đang xét.
- Không kiểm tra: Sau khi điền số, cộng các vùng trong từng vòng tròn; kết quả phải bằng dữ kiện đề cho.
8. Câu hỏi thường gặp
Sơ đồ Ven và sơ đồ Venn có phải là một không?
Có. “Sơ đồ Venn” là cách viết theo tên tiếng Anh Venn diagram; “sơ đồ Ven” là cách viết quen thuộc trong tài liệu học Toán bằng tiếng Việt.
Học sinh lớp 4 dùng sơ đồ Ven được không?
Được, nếu bắt đầu với bài toán hai nhóm có số liệu đơn giản. Bài toán ba nhóm và đếm nhiều lần thường thích hợp hơn với học sinh khá giỏi lớp 5.
Có phải cứ ba hình tròn thì lấy kết quả chia cho 3?
Không. Chỉ chia cho 3 trong cách đếm đặc biệt ở Ví dụ 4: khi đã trừ số bạn giỏi đúng hai môn khỏi tổng số lượt ở ba cặp môn. Khi đó mỗi bạn giỏi cả ba môn đóng góp đúng ba lượt.
Vẽ sơ đồ Ven có luôn tìm được đáp án không?
Không hẳn. Sơ đồ giúp thấy rõ các mối quan hệ, nhưng nếu đề thiếu dữ kiện cần thiết thì không thể tự suy ra mọi vùng.
9. Kết luận
Cách học sơ đồ Ven hiệu quả là vẽ hình – điền phần chung – tính các phần riêng – kiểm tra lại. Học sinh nên luyện chắc hai hình tròn trước, rồi tiến tới ba hình tròn. Khi hiểu vì sao một bạn có thể xuất hiện nhiều lần trong phép cộng các nhóm, các bài toán nâng cao sẽ trở nên dễ hiểu hơn và không cần nhớ mẹo máy móc.
